资源简介

《5.3 实系数一元二次方程的解法》教学设计
学习目标
知识 能力与素养
知道实系数一元二次方程在复数集中解的情况；会在复数范围内求解实系数一元二次方程；知道实系数一元二次方程有虚根时根与系数的关系. 培养和提升数学运算和逻辑推理等核心素养
学习重难点
重点 难点
在复数范围内求解实系数一元二次方程． 实系数一元二次方程有虚根时根与系数的关系．
教材分析
本节内容是在学习了复数运算后，对初中已学过的实系数一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善．
学情分析
学生对前面所学的复数概念、复数运算有了一定的掌握，但在基础运算和细节上有不足，学习中实数范围内的有关运算对复数知识的学习有负面的影响．
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
5.3 实系数一元二次方程的解法
（一）创设情境，生成问题
方程 x +1=0 在实数集R内无解.在复数集C中,因为i =(-i) =-1,所以方程有两个虚数解x1,2=±1.
一般地,对于实系数一元二次方程ax +bx+c=0,当Δ=b -4ac≥0时，方程有实数解；当Δ=b -4ac<0时，方程有虚数解.如何表示Δ<0时方程的解呢？
【设计意图】抛出问题，引发思考.
（二）调动思维，探究新知
当时，方程可化为.配方可得
.
因为，所以.
因此，当时，实系数一元二次方程在复数集中的两个根表示为
显然都是虚根，并且他们是一对共轭复数，容易验证，还满足
也就是说，韦达定理在复数集C中仍然成立.
【设计意图】引导学生经历求根公式的推导过程，体会基于方程有解的需要促使系数的扩充.
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】在复数集C中，求解方程
解: 因为所以
【典例2】已知实系数一元二次方程的一个根是，求它的另一个根和的值.
解:因为实系数一元二次方程的一个根是虚数，所以判别式，于是，方程有两个互为共轭复数的根，从而方程的另一个根是.
由根与系数的关系可得
即
【设计意图】例1直接运用公式，例2另一种方法是将一个根代入方程整理后求解.
【典例3】在复数集中解方程
解: 原方程可化为因此
由得
由得
所以原方程的根为
【设计意图】注意强调解题步骤.
温馨提示
在复数集C中，实系数一元二次方程求根公式为
当时，；
当时，.
（四）巩固练习，提升素养
1. 在复数集中解方程
2. 在复数集中解方程
3. 已知实系数一元二次方程一个根是，求另一个根和的值.
（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节5.3；
(2)书面作业： P170习题5.3的1，2，3.
（八）教学反思

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