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平行线及其判定例题精析及练习
思维导图
重 难点分 析
重点分析：
1.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，用符号“∥”表示.
2.平行线的判定方法：(1)根据定义判定.(2)三个判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.(3)平行的传递性.(4)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
难点分析：
1.平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也不一定平行.
2.过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，这一性质指出了过直线外一点作这条直线的平行线的“存在性”和“唯一性”，要注意“直线外一点”这一条件.
3.平行线的判定定理是通过角的关系说明直线的位置关系，实现了几何条件之间的转化，应用定理时要注意正确判断角的位置特征.
例题精析
例1 在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不重合的直线有且只有一个公共点；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.其中正确的有( ).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
思路点拨 根据直线的性质公理、相交线的定义、垂线的性质、平行公理对各小题分析判断后即可得解.
解题过程 ①过两点有且只有一条直线，正确.②在同一平面内，两条不重合的直线若相交则有且只有一个公共点，若平行则没有公共点，故错误.③在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确.④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确.综上所述，正确的有①③④共3个.故选C.
方法归纳 本题考查了平行公理、直线的性质、垂线的性质以及相交线的定义，属于基础概念题，熟记概念是解题的关键.
易错误区 两条不重合的直线除了平行外，如果不在同一平面内，也可能没有公共点.
例2(1)如图1,AB,CD,EF是三条公路,且AB⊥EF,CD⊥EF.试判断AB与CD的位置关系，并说明理由.
(2)如图2，在(1)的条件下，若小路OM平分 ，通往加油站N的岔道O'N平分 试判断OM与 的位置关系.
思路点拨 (1)根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，即可证得AB∥CD.(2)可通过证明直线OM与( 被EF所截得到的同位角相等来得出， 的结论.
解题过程 (1)AB∥CD.理由如下:
∴AB∥CD(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行).
(2)如图3,延长NO'与AB交于点P.
∵OM平分∠EOB,O'N平分∠CO'F,
∴∠EOM=∠FO'N=45°.
∵∠FO'N=∠EO'P,∴∠EOM=∠EO'P=45°.
∴OM∥O'N(同位角相等,两直线平行).
方法归纳 本题主要考查了平行线的判定方法.解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角或同旁内角.
易错误区 (2)中虽然有∠EOM与∠FO'N相等，但它们不是同位角，不能直接用来判定两直线平行.
例3如图,已知AE平分∠BAC,DF平分∠BDE,且∠1=∠2.
(1)能判定DF∥AE吗 为什么
(2)能判定DE∥AC吗 为什么
思路点拨 (1)根据角平分线的定义得出∠BAC=2∠BAE=2∠2,∠BDE=2∠FDE=2∠1,求出∠BAE=∠1即可.(2)根据角平分线的定义和已知得出∠BDE=∠BAC即可判定.
解题过程 (1)能.理由如下:
∵AE平分∠BAC,∴∠BAC=2∠BAE=2∠2.
∵DF平分∠BDE,∴∠BDE=2∠FDE=2∠1.
∵∠1=∠2,∴∠BAE=∠2=∠1.∴DF∥AE.
(2)能.理由如下:
∵AE平分∠BAC,∴∠BAC=2∠2.∵DF平分∠BDE,∴∠BDE=2∠1.
∵∠1=∠2,∴∠BAC=∠BDE.∴DE∥AC.
方法归纳 本题考查平行线的判定，能灵活运用平行线的判定定理证明两直线平行是解答本题的关键.
易错误区 本题利用同位角相等证明两直线平行，注意角的位置要正确，图中的∠1=∠2虽然也是角相等的条件，但它们不是同位角，所以不能直接应用于判定两直线平行.
例4 如图，O是直线AB上的点，点E，C，F在同一直线上，且OE，OF分别是∠AOC和∠BOC的平分线,OD⊥EF,垂足为D.
(1)OE与OF有什么关系 试说明理由.
(2)若OF=6,OE=8,EF=10,求OD的长.
(3)若∠AOE=35°,∠F=55°,AB与EF是否平行 请说明理由.
思路点拨 (1)根据平角的定义及角平分线的定义求解即可.
(2)根据三角形面积公式求解即可.(3)由(1)知 ，结合题意即可判定AB∥EF.
解题过程 (1)OE与OF互相垂直.理由如下:
∵OE,OF分别是∠AOC和∠BOC的平分线,
∵∠AOC+∠BOC=180°,
即∠EOF=90°.∴OE⊥OF.
(3)AB∥EF.理由如下:
由(1)知
∵∠AOE=35°,∴∠BOF=55°.∵∠F=55°,∴∠BOF=∠F.∴AB∥EF.
方法归纳 本题考查垂直的定义、角平分线的定义以及平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键.
易错误区 判断直线垂直或平行，都可以通过计算得出角度之间的特殊数量关系来证明.
探究提升
例 如图1,已知∠EAC=90°,∠1+∠2=90°,∠1=∠3,∠2=∠4.
(1)求证:DE∥BC.
(2)若将图形改变为图2、图3，其他条件不变，(1)中的结论是否成立 若成立，请选择一个图形予以证明；若不成立，请说明理由.
思路点拨(1)首先证明点D，A，B在同一条直线上，再证明∠1+∠3+∠2+∠4=180°,进而证明∠D+∠B=180°,即可解决问题.(2)在图2中,连接CE,证明∠AEC+∠ACE+∠3+∠4=180°,即可解决问题.
解题过程 (1)∵∠EAC=90°,∠1+∠2=90°,
∴∠EAC+∠1+∠2=180°.∴点D,A,B在同一条直线上.
∵∠1=∠3,∠2=∠4,∴∠1+∠3+∠2+∠4=2(∠1+∠2).
∵∠1+∠2=90°,∴∠1+∠3+∠2+∠4=180°.
∵∠B+∠1+∠3+∠D+∠2+∠4=360°,∴∠D+∠B=180°.
∴DE∥BC(同旁内角互补，两直线平行).
(2)成立.理由如下:如图4,连接EC.
∵∠1=∠3,∠2=∠4,且∠1+∠2=90°,
∴∠3+∠4=∠1+∠2=90°.
∵∠EAC=90°,∴∠AEC+∠ACE=180°-90°=90°.
∴∠AEC+∠4+∠ACE+∠3=180°,即∠DEC+∠BCE=180°.
∴DE∥BC(同旁内角互补，两直线平行).∴(1)中的结论仍成立.图3用类似方法可得DE∥BC.
方法归纳 本题考查了平行线的判定，解题的关键是灵活运用三角形的内角度数关系(三角形三个内角和等于180°)，结合平行线的判定定理来分析、判断、解答.
易错误区 (1)中要先证明D，A，B三点在同一条直线上，图2通过连接EC将∠3和∠4的关系用三角形联系起来是本题难点.
专 项 训 练
拓展训练
A组
1.在下列图形中,已知∠1=∠2,一定能推导出l ∥l 的是( ).
2.【河南】如图,不能判定AB∥CD的是( ).
A.∠B=∠DCE B.∠A=∠ACD
C.∠B+∠BCD=180° D.∠A=∠DCE
3.如图,直线AB,CD被直线EF所截,若 ，则经过下列操作可以使AB∥CD的是( ).
A.将CD绕点N顺时针旋转20° B.将CD绕点N逆时针旋转
C.将CD绕点N顺时针旋转40° D.将CD绕点N逆时针旋转40°
4.如图,下列条件中,能判定DE∥AC的是( ).
A.∠EDC=∠EFC )
C.∠3=∠4 D.∠1=∠2
5.如图，一个弯形管道ABCD，若它的两个拐角. 则管道 .这里用到的推理依据是 .
6.如图，请填写一个你认为恰当的条件： ，使
7.设a，b，l为同一平面内三条不同的直线.
(1)若 ，则l与b的位置关系是 .
(2)若 ，则a与b的位置关系是 .
(3)若 ，则l与b的位置关系是 .
8.如图,点B在DC上,BE平分. ,求证:
9.如图,已知.
(1)求 的度数.
(2)FC与AD平行吗 为什么
B组
10.下列说法中，正确的是( ).
A.两条不相交的直线叫做平行线
B.一条直线的平行线有且只有一条
C.在同一平面内,若直线a∥b,a∥c,则b∥c
D.若两条线段不相交，则它们互相平行
11.若将一副三角尺按如图所示的方式放置，则下列结论正确的是( ).
A.∠1=∠2 B.若∠2=30°,则有AC∥DE
C.若∠2=45°,则有∠4=∠D D.若∠2=50°,则有BC∥AE
12.在如图所示的方格纸中，找出互相平行的线段，并用符号表示出来：
13.在同一平面内有2024条直线a ,a ,…,a .如果( 那么a 与a 的位置关系是 .
14.如图,BD⊥AC于点D,EF⊥AC于点F,
(1)求∠GFC的度数.
(2)求证:DM∥BC.
15.如图,直线AB和CD被直线EF所截.
(1)如图1,EG平分. FH平分 (平分的是一对同旁内角)，则 与∠2满足 时，
(2)如图2,EG平分 FH平分 (平分的是一对同位角)，则. 与∠2满足 时，
(3)如图3,EG平分. FH平分 (平分的是一对内错角)，则 与 满足什么条件时， 为什么
走进重高
1.【台州】如图，已知∠1=90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是( ).
B.∠3=90° C.∠4=90°
2.【东营】将一副三角尺( )按如图所示的方式摆放，使得BA∥EF,则∠AOF等于( ).
A.75° B.90° C.105°
3.如图,∠1=140°,∠2=40°,∠3=108°,则. 时,
4.如图,下列条件:①∠1=∠3;②∠2+∠4=180°;③∠4=∠5;④∠2=∠3; .其中能判定直线 的有 (填序号).
5.【淄博】如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中 ，找出图中的平行线，并说明理由.
高分夺冠
1.七巧板是我们祖先的一个卓越创造，19世纪时极为流行.如图，在由七巧板(图1)拼成的图形(图2)中，互相平行的直线的对数是( ).
A.5 B.6
C.7 D.8
2.将一副三角尺中的两个直角顶点C叠放在一起(如图)，其中 60°,∠D=∠E=45°.
(1)若∠BCD=150°,求∠ACE的度数.
(2)试猜想∠BCD与∠ACE之间的数量关系，并说明理由.
(3)若按住三角尺ABC不动，绕顶点C转动三角尺DCE，试探究 等于多少度时，CD∥AB，并简要说明理由.
3.在同一平面内有6条直线，共有12个不同的交点，请画出它们可能的位置关系(画三种图形).
拓展训练
A组
1. D 2. D 3. A 4. C
5.同旁内角互补，两直线平行
6.∠CDA =∠DAB( 或∠FCD = ∠FAB 或∠BAC+∠ACD=180°)
7.(1)l⊥b (2)a∥b (3)l∥b
8.∵BE平分∠ABD,∴∠DBE=∠ABE.
∵∠ABE=∠C,∴∠DBE=∠C.∴BE∥AC.
9.(1)∵∠1=∠2,∠BAC=20°,∠1+∠2 +∠BAC=180°,∴∠2=80°.
(2)FC∥AD.理由如下:∵∠2=∠ACF=80°,∴FC∥AD(内错角相等,两直线平行).
B组
10. C 11. B 12. CD∥MN,GH∥PN
13. a ∥a 024
14.(1)∵BD⊥AC,EF⊥AC,∴BD∥EF.
∴∠EFG=∠1=35°.
∴∠GFC=∠EFC+∠EFG=90°+35°=125°.
(2)∵BD∥EF,∴∠2=∠CBD.
又∵∠1=∠2,∴∠1=∠CBD.
∴GF∥BC(内错角相等,两直线平行).
∵∠AMD=∠AGF,
∴DM∥GF(同位角相等,两直线平行).
∴DM∥BC(平行的传递性).
15.(1)∵EG平分∠BEF,FH平分∠DFE,
当∠1+∠2=90°时,∠BEF+∠DFE=180°,∴AB∥CD.
故答案为:∠1+∠2=90°.
(2)∵EG平分∠MEB,FH平分∠DFE,
当∠1=∠2时,∠MEB=∠DFE,∴AB∥CD.
故答案为:∠1=∠2.
(3)当∠1=∠2时,AB∥CD.理由如下:
∵EG平分∠AEF,FH平分∠DFE,
∴∠AEF=2∠1,∠DFE=2∠2.
∵∠1=∠2,∴∠AEF=∠DFE.
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
走进重高
1. C 2. A 3.108° 4.①②③⑤
5. OA∥BC,OB∥AC.理由如下:
∵∠1=50°,∠2=50°,∴∠1=∠2.
∴OB∥AC(同位角相等,两直线平行).
∵∠2=50°,∠3=130°,∴∠2+∠3=180°.
∴OA∥BC(同旁内角互补，两直线平行).高分夺冠
1. C
2.(1)∵∠BCA=∠ECD=90°,∠BCD=150°,
∴∠DCA=∠BCD-∠BCA=150°-90°=60°.
∴∠ACE=∠ECD-∠DCA=90°-60°=30°.
(2)∠BCD+∠ACE=180°.理由如下:
如图1,当△ABC与△CDE有重叠部分时,
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD,
∠ACE=∠DCE-∠ACD=90°-∠ACD,
∴∠BCD+∠ACE=180°.
如图2,当△ABC与△CDE无重叠部分(点C除外 ) 时 , ∠BCD + ∠ACE = 360°- ∠ACB -
(3)如图1，根据同旁内角互补，两直线平行，当∠B+∠BCD=180°时,CD∥AB,此时 如图2，根据内错角相等，两直线平行，当∠B=∠BCD=60°时,CD∥AB.
∴当∠BCD=120°或60°时,CD∥AB.
3.如图(答案不唯一).

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