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迭代
网上有一个比较火的存钱法: 第一天存一块，第二天存两块，第三天存三块……这样一年你能存多少钱？
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n 结果a 关于a的迭代
1
2
3
4
…… …… ……
n
a1=1
a2=1+2
a3=1+2+3
a4=1+2+3+4
……
第n天的时候一共能攒多少钱？
01
a1=1
从1累加至n的和
02
a2=a1+2
1
03
a3=a2+3
1+2
04
1+2+3
a4=a3+4
05
an=an-1+n
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06
单击此处添加文本具体内容
an=1+2+3+……+n-1+n
计算1累加至整数n的结果（n≥1）。
迭代，就是重复反馈过程的活动，目的通常是为了逼近所需达到的目标或结果。
每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值。
#每一次循环，a的值由旧的值变成新的值
迭代
迭代，最初是一个科学概念，通常应用于数学和计算机领域。但生活中有很多地方用到迭代思想。
雪花图案
反复练习投篮
产品开发、更新
思考：你的身边还有哪些事物运用了迭代？
计算机解决问题时，也会经常采用迭代的方式，称为迭代算法。
迭代算法
它利用了计算机 运算快 、 适合做重复性操作 的特点，让计算机重复执行一组指令（或一些步骤），这组指令（或这些步骤）每执行一次，都会将变量从原值递推出一个新值。
教材119页
1.确定迭代变量。
迭代算法三要素
2.建立迭代关系式。
3.控制迭代过程。
至少具有一个（可以多个）不断由旧值递推出新值得变量。
迭代变量如何从前一个值推出其下一个值的公式。
递推过程在经过若干次重复执行后要能结束，因此
要设定迭代结束的条件。
1.确定迭代变量。
2.建立迭代关系式。
3.控制迭代过程。
设定迭代变量a
加至n，迭代结束
a=a+i
例1：采用迭代算法求a的平方根。
以a=2为例。
可估测一个近似值（如x0=1）作为初值，
设定前后两次求出的x的值绝对值小于10-5。
1.确定迭代变量。
2.建立迭代关系式。
3.控制迭代过程。
设定迭代变量x的初值，如x0=1
迭代算法应用
xn+1=(xn-a/xn)/2 公式的由来
xn
xn+1
f（xn）
x2=a
f（x）=x2-a=0
0=x02-2x0(x-x0)
x1=x0-(x02-a)/2x0
x1=(x0-a/x0)/2
xn+1=(xn-a/xn)/2
例1：采用迭代算法求a的平方根。
以a=2为例。
可估测一个近似值（如x0=1）作为初值，
设定前后两次求出的x的值绝对值小于10-5。
1.确定迭代变量。
2.建立迭代关系式。
3.控制迭代过程。
设定迭代变量x的初值，如x0=1
迭代结束
迭代算法应用
例1：采用迭代算法求a的平方根。
迭代次数
1 1 1.5 0.5
2 1.5 1.416667 0.083333
3 1.416667 1.414216 0.002451
4 1.414216 1.414214 0.000002
迭代过程：
迭代算法应用
例1：采用迭代算法求a的平方根。
程序
测试结果
迭代算法应用
例1：采用迭代算法求a的平方根。
修改预估的初始值，是否会影响输出结果和迭代次数？
校验输出结果：
修改预估的初值即可，可以尝试输入 a=2的情况下，修改x的初 值为1、5、10等等即可验证是否会影响输出结果。
扩展思考
例1：采用迭代算法求a的平方根。
修改预估的初始值，是否会影响输出结果和迭代次数？
校验迭代次数：
1.引入变量s，计算迭代次数的代码。
2.尝试输入 a=2的情况下，修改x的为不同初值进行调试。
扩展思考
例2：欧几里得算法，又称辗转相除法，用于计算两个整数a，b的最大公约数。
较大的数 ÷ 较小的数 =商……余数
……
被除数 ÷ 除数 =商……0
较小的数 ÷ 第一次的余数 =商……第二次的余数
第一次的余数 ÷ 第二次的余数 =商……第三次的余数
迭代算法应用
例2：欧几里得算法，又称辗转相除法，用于计算两个整数a，b的最大公约数。
a b a%b
91 49
42
49 42
7
42 7
0
迭代算法应用
辗转相处法为什么可以求出最大公约数
假设a>b （a、b都非零）
a=mb+r（其中a、b、m、r都为整数，且r得到
等式1：r=mb-a
设a和b的最大公约数为x，得到
r/x=mb/x-a/x
因为a、b都能被x整除，故mb/x是整数，a/x也是整数，所以r/x也是整数。
r=a%b,
即(a%b)/x也是整数，
所以a、b、(a%b)三数同余
进行迭代，第一个非零共同余数即为最大公约数
迭代算法应用
例2：欧几里得算法，又称辗转相除法，用于计算两个整数a，b的最大公约数。
a b a%b
91 49
42
49 42
7
42 7
0
a b a%b
49 91 49
91 49 42
49 42 7
42 7 0
迭代算法应用
例2：欧几里得算法，又称辗转相除法，用于计算两个整数a，b的最大公约数。
1.确定迭代变量。
2.建立迭代关系式。
3.控制迭代过程。
直到余数为0，迭代结束
设定迭代变量为a，b
a=b b=a%b
代码实现，见教材120页
迭代算法应用
1.迭代：重复反馈过程的活动，目的通常是为了
使结果符合目标的需求。
2.迭代算法:利用了计算机 运算快 、适合做重复性
操作的特点，会将变量从原值递推出一个
新值，逼近所需要的结果。
3.迭代三要素：
课后小结
①确定迭代变量
②建立迭代关系式
③控制迭代过程
成功不能一蹴而就，它需要持续不断地努力。
——《人民日报》
完成学习清单中的作业。
课后练习

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