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第01讲锐角三角函数和特殊角的三角函数
1．理解锐角正弦、余弦和正切概念的意义，并会求锐角的正弦值、余弦值和正切值；
2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；
3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”．
知识点1锐角三角函数的概念
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即．
同理；；．
注意：
（1）正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
（2）sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角（如∠ABC），其正切应写成“tan∠ABC”，不能写成“tanABC”；另外，、、常写成、、．
（3）任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
（4）由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA>0
知识点2锐角三角函数的增减性
（1）在0°-90°之间，锐角的正弦值随角度的增大而增大；
（2）在0°-90°之间，锐角的余弦值随角度的增大而减小；
（3）在0°-90°之间，锐角的正切值随角度的增大而增大．
知识点2特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：
锐角
30°
45° 1
60°
注意：
（1）通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．
（2）仔细研究表中数值的规律会发现：
、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：
①正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随锐角度数的增大（或减小）而减小（或增大）．
知识点3锐角三角函数之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）互余关系：，；
（2）平方关系：；
（3）倒数关系：或；
（4）商数关系：．
注意：
锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
【题型1锐角三角函数的概念】
【典例1】（2022秋 西岗区校级期末）
1．在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2022秋 金山区校级期末）
2．在中，，，，下列各式中，正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022秋 晋江市期末）
3．在中，，，，则（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
【变式1-3】（2022秋 贵池区期末）
4．如图，在中，，，，下列三角函数正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型2锐角三角函数的增减性】
【典例2】（2022秋 兴隆县期中）
5．如果∠为锐角，且sin＝0.6，那么的取值范围是（ ）
A．0°＜≤30° B．30°＜＜45° C．45°＜＜60° D．60°＜≤90°
【变式2-1】（2021秋 周村区期末）
6．已知，则锐角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2022 五通桥区模拟）
7．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是(　　)
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°
C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
【变式2-3】（2022春 洪泽区校级月考）
8．比较大小：sin80° sin50°（填“＞”或“＜”）．
【题型3特殊角三角函数值】
【典例3】（2023 红桥区二模）
9．的值等于（ ）
A． B． C．1 D．
【变式3-1】（2022秋 云州区期末）
10．已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【变式3-2】（2023秋 莘县校级月考）
11．在中，若，，这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【变式3-3】（2023 江都区模拟）
12．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2=0，则∠C的度数是（　　）
A．45° B．75° C．105° D．120°
【题型4同角三角函数的关系】
【典例4】（2023秋 沙坪坝区校级月考）
13．在中，， ，则的值为（　　）
A． B． C． D．8
【变式4-1】（2023 泉州一模）
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosA的值等于（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2022秋 渌口区期末）
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosA=，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2022秋 石景山区校级期末）
16．在中，，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【题型5互余两角三角函数的关系】
【典例5】（2023秋 南岗区校级月考）
17．在中，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2022秋 磴口县校级期末）
18．在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023春 普陀区期中）
19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin∠A＝，则cosB＝（　　）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2022秋 太康县期末）
20．在三角形ABC中，∠C为直角，sinA= ， 则tanB的值为（　　）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2022秋 池州期末）
21．在中，∠C=90°，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型6三角函数的计算】
【典例6】（2023秋 聊城月考）
22．（1）计算：．
（2）计算：．
【变式6-1】（2022秋 浦东新区期末）
23．计算：
【变式6-2】（2022秋 济南期末）
24．计算：．
【变式6-3】（2023 虹口区一模）
25．计算：cos245°＋cot230°.
（2021 云南）
26．在中，，若，则的长是（ ）
A． B． C．60 D．80
（2021 天津）
27．的值等于（ ）
A． B． C．1 D．2
（2019 怀化）
28．已知为锐角，且，则 （　　）
A． B． C． D．
（2022 滨州）
29．在中，若，，，则的值为 ．
（2022 广东）
30．计算： ．
（2022 荆门）
31．计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝ ．
（2022 金华）
32．计算：．
（2022秋 大名县校级期末）
33．在中，，，，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
（2022秋 泰兴市期末）
34．在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值（　　）
A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．不能确定
（2023 西陵区模拟）
35．由小正方形组成的网格如图，，，三点都在格点上，则的正切值为（ ）．

A． B． C． D．
（2023 南岗区校级模拟）
36．在中，，则的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
（2022秋 阜平县期末）
37．计算：（ ）
A． B． C． D．
（2023 偃师市模拟）
38．计算的值等于（ ）
A． B． C． D．
（2023 西湖区模拟）
39．如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（　　）

A． B．
C． D．
（2022秋 清水县校级期末）
40．在Rt中，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（2022秋 蚌埠月考）
41．在中，，，等于　　
A． B． C． D．无法确定
（2022 滨州）
42．下列计算结果，正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2022秋 路北区校级期末）
43．已知，且是锐角，则（ ）
A． B． C． D．
（2022秋 内乡县期末）
44．在△ABC中，若，则的度数是 ．
（2023 新邵县二模）
45．在中，，若，则 ．
（2022秋 离石区期末）
46．在中，若，，都是锐角，则是 三角形．
（2022秋 新城区期末）
47．计算：sin45° cos45°-tan60°÷cos30°
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据勾股定理求出的值，再根据正切定义解答即可．
本题主要考查了解直角三角形．熟练掌握勾股定理，正切定义，是解决问题的关键．
【详解】∵在中，，，，
∴，
∴．
故选：A．
2．A
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义以及勾股定理分别求解，再进行判断即可．
【详解】解，，，
.
A.，故此选项正确；
B. ，故此选项错误；
C. ，故此选项错误；
D. ，故此选项错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
3．B
【分析】根据锐角三角函数和勾股定理进行计算即可．
【详解】解：如图，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查锐角三角函数，勾股定理，掌握锐角三角函数和勾股定理是正确解答的前提．
4．C
【分析】根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数求出答案．
【详解】解：在中，，，，由勾股定理得，
，
所以，，，，
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和勾股定理．
5．B
【分析】由sin30°==0.5，sin45°=≈0.707，sinα=0.6，且sinα随α的增大而增大，即可求得答案．
【详解】∵sin30°==0.5，sin45°=≈0.707，sinα=0.6，且sinα随α的增大而增大，
∴30°＜α＜45°．
故选B．
【点睛】此题考查了正弦函数的增减性与特殊角的三角函数值．此题难度不大，注意掌握sinα随α的增大而增大．
6．B
【分析】根据锐角余弦函数值在0°到90°中，随角度的增大而减小进行对比即可；
【详解】锐角余弦函数值随角度的增大而减小，
∵cos30°=，cos45°=，
∴若锐角的余弦值为，且
则30°＜α ＜45°；
故选B．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的增减性是解题的关键.
7．B
【详解】∵α是锐角，
∴cosα>0，
∵cosα<，
∴0又∵cos90°=0,cos45°=，
∴45°<α<90°；
∵α是锐角，
∴tanα>0，
∵tanα<，
∴0又∵tan0°=0,tan60°=，
0<α<60°；
故45°<α<60°.
故选B.
【点睛】本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键
8．＞
【分析】根据锐角三角函数的性质可知，锐角的角度越大，它的正弦值越大即可判断．
【详解】解：∵0°＜50°＜80°＜90°，
∴
故答案为：＞．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的性质：锐角的角度越大，它的正弦和正切值越大，余弦值越小．熟记相关性质是解题关键．
9．A
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可得解.
【详解】.
故选：A.
【点睛】此题属于容易题，主要考查特殊角的三角函数值.失分的原因是没有掌握特殊角的三角函数值.
10．C
【分析】根据特殊角的三角函数值求解．
【详解】解：∵sinα＝，
∴∠α=60°．
故选：C．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
11．B
【分析】根据特殊角的三角函数值求解．
【详解】解：在中，
，，
，，
，
故为直角三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
12．C
【分析】根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】由题意得，sinA-=0，-cosB=0，
即sinA=，=cosB，
解得，∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=105°，
故选C．
【点睛】本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
13．A
【分析】本题考查了解直角三角形，涉及余弦和正切的概念，根据画出图形，将三角函数的值转化为直角三角形的边长之比，结合正切定义即可求得答案．
【详解】解：由题意，
则，得
，
．
故选：A．
14．B
【分析】由三角函数的定义可得到sinA＝，可设a＝3k，c＝5k，根据勾股定理和余弦的定义计算即可；
【详解】∵sinA＝，∴可设a＝3k，c＝5k，由勾股定理可求得b＝4k，∴cosA＝＝，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，准确分析计算是解题的关键．
15．D
【详解】解：∵，
∴设b＝5k，c＝13k，根据勾股定理得a＝12k，
所以．
故选D．
16．C
【分析】由解直角三角形和勾股定理，设，则，然后求出，即可求出答案．
【详解】解：∵在中，，，
设，则，
∴，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，解题的关键是掌握解直角三角形，正确的求出的长度．
17．C
【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义是正确解答的前提．
根据，设，则，利用勾股定理求出，由即可求解．
【详解】解：如图，在中，，
∵，
设，则，
，
∴．
故选：C．
18．C
【分析】根据互余两角的三角函数的关系即可以求解．
【详解】解：在中，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了互为余角的两角的三角函数的关系，一个角的正弦等于它余角的余弦．
19．A
【分析】根据正弦和余弦的定义解答即可.
【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵sinA＝，cosB＝，∴cosB＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，属于应知应会题型，熟练掌握锐角三角函数的概念是解题关键.
20．A
【分析】根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为2x，斜边AB为5x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tanB．
【详解】解：∵sinA=，
∴设BC=2x，AB=5x，
则AC===x，
故tanB===.
故选A.
【点睛】本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．
21．A
【分析】作出图形，设，，利用勾股定理列式求出，再根据锐角的正弦定义求解即可．
【详解】解：如图，
，设，，
由勾股定理得，，
．
故选A．
【点睛】本题考查了互余两角三角函数的关系，利用“设法”表示出三角形的三边求解更加简便．
22．（1）；（2）
【分析】根据特殊角的三角函数值的混合运算法则即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的计算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
23．
【详解】试题分析：将特殊三角函数的值代入，利用实数的混合运算计算即可.
解：原式=4×-2××+
=2-1+2
=2
24．0
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知30度，45度，60度的三角函数值是解题的关键．
25．.
【分析】把各特殊角度的三角函数值代入进行计算即可．
【详解】原式＝2＋()2
＝＋3
＝.
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题关键是熟记各特殊角度的三角函数值．
26．D
【分析】根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A==，AC=100，
∴BC=100×3÷5=60，
∴AB==80，
故选D．
【点睛】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键．
27．A
【分析】根据30°的正切值直接求解即可．
【详解】解：由题意可知，，
故选：A．
【点睛】本题考查30°的三角函数，属于基础题，熟记其正切值即可．
28．A
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
【详解】∵为锐角，且，
∴．
故选A．
【点睛】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．
29．
【分析】本题主要考查了锐角三角函数、勾股定理，应先根据勾股定理求出的长度，然后根据正弦的定义列式计算即可求解，解题的关键是明确题意，求出相应的锐角三角函数的值．
【详解】解：如图，
∵，，，
由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
30．##0.5
【分析】
根据直接解答即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查特殊角锐角三角函数值．熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．
31．﹣1
【分析】先计算立方根、特殊角的三角函数值、零指数幂，再进行计算即可解答．
【详解】解：+cos60°﹣（﹣2022）0
＝﹣+﹣1
＝0﹣1
＝﹣1
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了立方根、特殊角的三角函数值、零指数幂等知识点，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
32．4
【分析】根据零指数幂，正切三角函数值，绝对值的化简，算术平方根的定义计算求值即可；
【详解】解：原式
；
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题关键．
33．D
【分析】直接利用正切的定义求解．
【详解】解：，
．
故选D．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义．熟练掌握正切等于对边比邻边是解题的关键．
34．A
【分析】本题考查锐角三角函数的意义，在中，各边都扩大倍，其相应边长的比值不变，因此锐角的正切函数值也不会改变，理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键．
【详解】解：锐角三角函数值随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系，
因此锐角的正切函数值不会随着边长的扩大而变化，
故选：．
35．C
【分析】取格点D，连接，利用勾股定理计算出、和，从而根据勾股定理逆定理可判断，然后根据正切的定义求解即可．
【详解】解：如图，取格点D，连接，

由勾股定理可知，，，
∴，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，求角的正切值．利用数形结合的思想是解题关键．
36．C
【分析】根据三角函数值确定BC和AB的关系，再利用勾股定理求解即可．
【详解】∵，
∴，即，
∵
∴，，
解得，（负值舍去），
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解题关键是明确三角函数的意义，准确得出直角三角形边之间的关系．
37．B
【分析】将sin60°= ，tan30°= 代入运算即可．
【详解】解：，
故选B.
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值是需要同学们熟练记忆的内容．
38．C
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值即可求出答案．
【详解】解：
故选：C．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，本题属于基础题型．
39．C
【分析】本题主要考查了锐角三角函数，定义新运算，根据定义逐项判断即可．
【详解】根据题意，得，，，
则，可知A，B不符合题意；
则，可知C符合题意；
则，可知D不符合题意．
故选：C．
40．C
【分析】设AC为12k，AB为13k，然后利用勾股定理求出BC的长，然后运用正切的定义即可解答．
【详解】解：∵在Rt中，，，
∴设AC=12k，AB=13k，
∴BC==5k，
∴=．
故答案为C．
【点睛】本题考查三角函数、勾股定理等知识点，根据题意设出AC为12k、AB为13k，然后利用勾股定理求出BC是解答本题的关键．
41．B
【分析】本题考查了解直角三角形，根据得出，进而根据直角三角形两个锐角互余即可求解．
【详解】解：中，
，，
，
．
故选：B．
42．C
【分析】根据幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值逐一进行计算即可．
【详解】解：A、，该选项错误；
B、，该选项错误；
C、，该选项正确；
D、，该选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
43．D
【分析】由可得，然后再根据特殊角的三角函数值求角度即可．
【详解】解：∵
∴
∴=．
故选D．
【点睛】本题主要考查了利用特殊角的三角函数值求角度、一元一次方程等知识点，将整体当做未知数成为解答本题的关键．
44．##105度
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．也考查了非负数的性质．
先利用非负数的性质得到，即，则根据特殊角的三角函数值得到的度数，然后根据三角形内角和定理计算出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
45．##0.75
【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．
【详解】解：如图，，．
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角函数的定义．由定义推出互余两角的三角函数的关系：若，则是解题关键．
46．等边
【分析】根据非负数的性质分别求出∠A和∠B，继而可判断的形状．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴是等边三角形．
故答案为：等边．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，非负数的性质，等边三角形的判断，解题关键是熟记特殊角的三角函数值．
47．
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【详解】解：sin45° cos45°-tan60°÷cos30°
=×-
=
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键．
答案第1页，共2页
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