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2024年湖北省新中考数学模拟试题（省统考）
一、本试卷满分120分，考试时间120分钟．一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.下列实数：，0，，，其中最小的是（　　）
A. B. 0 C. D.
2. 下列图形是轴对称图形而不是中心对图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.不等式组的解集为（ ）
A. B. C. D. 无解
4．下列说法正确的是（　　）
A．对参加中考进入考场考生的安检用随机抽样抽查
B．某次竞赛6人得100分，2人得98分，这8人的平均成绩是99分
C．某种彩票中奖的概率是1%，那么买100张这种彩票一定中奖
D．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件
5. 某校举行“交通安全”知识竞赛，甲、乙两班的参加人数均为人，平均分均为分（满分分），甲班中位数，乙班中位数，甲班方差，乙班方差，规定成绩大于或等于分为优异．下列说法正确的是（ ）
A. 甲班的成绩比乙班的成绩稳定 B. 甲班的优异成绩与乙班一样多
C. 乙班的成绩比甲班的成绩稳定 D. 小亮得分将排在乙班的前名
6. 分式方程的解是（　　）
A. B. C. D.
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点O是位似中心．若，则点F的坐标是（ ）
A. B. C. D.
8.关于一次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A. 直线不经过第二象限 B. 直线与y轴的交点是
C. 直线经过点 D. 当时，
9.如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（　　）
A． B． C． D．
10. 已知抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不等的实数根；③．其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分）
11. 9的算术平方根是_____．
12. 有3张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4．随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则两次取出的数字之和是奇数的概率为_________．
13.如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，已知点B，C关于原点对称，则的面积为______．
14．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”其意思就是：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．那么大和尚有 　 人，小和尚有 人．
15. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE．下列结论：①△ACE≌△BCD；②若∠BCD=25°，则∠AED=65°；③DE2=2CF CA；④若AB=3，AD=2BD，则AF=．其中正确的结论是______．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题共9个题，满分75分）
16. 先化简，再求值：，其中．
17. 如图，在平行四边形中，、分别是边、上的点，且，．
（1）求证；
（2）求证四边形是矩形．
18．某商场以1200元购进一批商品，很快销售完了，由于商品畅销，商场又用1200元购进第二批这种商品，但第二批商品单价比第一批商品的单价上涨了20%，结果比第一批少购进5件这种商品，求第一批和第二批商品的购进单价分别是多少元．
19. 近来，由于智能聊天机器人ChatGPT的横空出世，大型语言模型成为人工智能领域的热门话题．有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；
抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表
设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
A 88 b 96 45%
B 88 87 c 40%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中　　，　　，　　；
（2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）在此次测验中，有200人对A款AI聊天机器人进行评分、160人对B款AI聊天机器人进行评分，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？
20. 在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．
（1）求函数与函数的表达式；
（2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．
21. “互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同．
（1）求每千克花生、茶叶的售价；
（2）已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克．甲计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍．则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？
22.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD垂直过点C的直线CD，垂足为D点，并且AC平分∠DAB，AD交⊙O于点E．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）连接BE交AC于点F，若sin∠CAD，求的值．
23．李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究．
【问题情境】
如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．将边AB绕点A逆时针旋转（0°＜θ＜180°）得到线段AE，过点E作EF⊥AE交直线BC于点F．
【猜想证明】
（1）当θ＝90°时，四边形ABFE的形状为 　 　；（直接写出答案）
（2）如图2，当θ＝45°时，连接DE，求此时△ADE的面积；
【能力提升】
（3）在【问题情境】的条件下，是否存在θ，使点F，E，D三点共线．若存在，请求出此时BF的长度；若不存在，请说明理由．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点A，交轴于点和点，连接、、，与轴交于点．
（1）求抛物线表达式；
（2）点，点在轴上，点在平面内，若，且四边形是平行四边形．
①求点的坐标；
②设射线与相交于点，交于点，将绕点旋转一周，旋转后的三角形记为，求的最小值．
2024年湖北省新中考数学模拟试题（省统考）（解析）
本试卷满分120分，考试时间120分钟．
一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.下列实数：，0，，，其中最小的是（　　）
A. B. 0 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据实数大小比较的法则解答．
【详解】解：∵，
∴最小的数是，
故选：A．
【点睛】此题考查了实数的大小比较：正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．
2. 下列图形是轴对称图形而不是中心对图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．既是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度与自身重合．
3.不等式组的解集为（ ）
A. B. C. D. 无解
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解不等式组，先分别解出各个不等式的解，再求出公共部分，即可作答．
【详解】解：∵
∴
即
故选：C
4．下列说法正确的是（　　）
A．对参加中考进入考场考生的安检用随机抽样抽查
B．某次竞赛6人得100分，2人得98分，这8人的平均成绩是99分
C．某种彩票中奖的概率是1%，那么买100张这种彩票一定中奖
D．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件
【分析】分别利用随机事件的定义和加权平均数的计算公式，分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、对参加中考进入考场考生的安检用全面调查，故本选项错误；
B、这8人的平均成绩是：99.5，故本选项错误；
C、某种彩票中奖的概率为1%，那么买100张这种彩票不一定会中奖，故本选项错误；
D、“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，故本选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了随机事件以及确定时间和加权平均数的计算公式等知识，正确把握相关定义是解题关键．
5. 某校举行“交通安全”知识竞赛，甲、乙两班的参加人数均为人，平均分均为分（满分分），甲班中位数，乙班中位数，甲班方差，乙班方差，规定成绩大于或等于分为优异．下列说法正确的是（ ）
A. 甲班的成绩比乙班的成绩稳定 B. 甲班的优异成绩与乙班一样多
C. 乙班的成绩比甲班的成绩稳定 D. 小亮得分将排在乙班的前名
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平均数、中位数、方差的意义，根据平均数、中位数、方差的意义逐项分析判断即可，掌握平均数、中位数、方差的意义是解题的关键．
【详解】解：、甲班方差，乙班方差，故乙班的成绩稳定，故此选项不符合题意；
、成绩大于或等于分为优异，甲班中位数，乙班中位数，则乙班成绩优异的人数比甲班多，故此选项不符合题意；
、甲班方差，乙班方差，故甲班的成绩稳定，故此选项符合题意；
、由乙班中位数，则小亮得分将排在乙班的后名，故此选项不符合题意；
故选：．
6. 分式方程的解是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
详解】由得：
，
，
，
经检验：是原分式方程的解，
故选：．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是解分式方程注意要检验，避免出现增根．
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点O是位似中心．若，则点F的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据位似图形的性质得出求出，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵与位似，
∴，
∴与的位似比为1：3，
∵点，
∴F点的坐标为，
即F点的坐标为（3，9），
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出与的位似比是解题的关键．
8.关于一次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A. 直线不经过第二象限 B. 直线与y轴的交点是
C. 直线经过点 D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，直线与x轴的交点等知识，掌握一次函数的图象与性质是关键．
根据一次函数的图象与性质逐项分析即可．
【详解】解：A．，，
一次函数的图象经过第一、三、四象限，
即一次函数的图象不经过第二象限，选项A不符合题意；
．当时，，
∴直线与y轴的交点是，选项B不符合题意；
．当时，，
直线经过点，选项C符合题意；
．∵
∴y随x的增大而增大，
∵当时，，
∴当时，，选项D不符合题意．
故选：C．
9.如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意连接OA、OC，OC交AB于点E，根据垂径定理推出OC⊥AB，且AE＝BE＝3，再由圆周角定理推出∠AOC＝2∠ADC＝60°，从而根据直角三角形的性质进行求解即可．
【解答】解：如图，
连接OA、OC，OC交AB于点E，
∵点C是弧AB中点，AB＝6，
∴OC⊥AB，且AE＝BE＝3，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，
∴OEAE，
故圆心O到弦AB的距离为．
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理及垂径定理，解题的关键是根据题意作出辅助线OA，OC，从而根据垂径定理和圆周角定理进行求解，注意数形结合思想方法的运用．
10. 已知抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不等的实数根；③．其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可
【详解】∵抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．
∴c=1＞0，a-b+c= -1,4a-2b+c＞1，
∴a-b= -2,2a-b＞0，
∴2a-a-2＞0，
∴a＞2＞0，
∴b=a+2＞0，
∴abc＞0，
∵,
∴△==＞0,
∴有两个不等的实数根；
∵b=a+2，a＞2，c=1，
∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，
∵a＞2，
∴2a＞4，
∴2a+3＞4+3＞7，
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分）
11. 9的算术平方根是_____．
【答案】3
【解析】
【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出．
【详解】∵，
∴9算术平方根为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．
12. 有3张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4．随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则两次取出的数字之和是奇数的概率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出表格，找出所有可能结果和满足条件的结果即可求出．
【详解】依题意列的表格如下：
由表格看出共有9种结果，奇数的结果是4种．
故答案是．
【点睛】本次主要考查了概率知识点，准确的找出所有结果和满足条件的结果是解题关键．
13.如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，已知点B，C关于原点对称，则的面积为______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意先求出，再根据点，关于原点对称得到计算即可．本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握值几何意义是关键．
【详解】解：点在反比例函数的图象上，轴于点，
，
点，关于原点对称，
，
．
故答案为：3．
14．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”其意思就是：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．那么大和尚有 　 人，小和尚有 人．
【分析】设小和尚有x人，大和尚有y人，由题意：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设小和尚有x人，大和尚有y人，
由题意得：，
解得：，
即大和尚有25人，小和尚有75人，
故答案为：25，75．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE．下列结论：①△ACE≌△BCD；②若∠BCD=25°，则∠AED=65°；③DE2=2CF CA；④若AB=3，AD=2BD，则AF=．其中正确的结论是______．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】先判断出∠BCD=∠ACE，即可判断出①正确；
先求出∠BDC=110°，进而得出∠AEC=110°，即可判断出②正确；
先判断出∠CAE=∠CEF，进而得出△CEF∽△CAE，即可得出CE2=CF AC，最后用勾股定理即可得出③正确；
先求出BC=AC=3，再求出BD=，进而求出CE=CD=，求出CF=，即可判断出④错误．
【详解】∵∠ACB=90°，
由旋转知，CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE，故①正确；
∵∠ACB=90°，BC=AC，
∴∠B=45°
∵∠BCD=25°，
∴∠BDC=180°-45°-25°=110°，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠AEC=∠BDC=110°，
∵∠DCE=90°，CD=CE，
∴∠CED=45°，
则∠AED=∠AEC-∠CED=65°，故②正确；
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CAE=∠CBD=45°=∠CEF，
∵∠ECF=∠ACE，
∴△CEF∽△CAE，
∴ ，
∴CE2=CF AC，
在等腰直角三角形CDE中，DE2=2CE2=2CF AC，故③正确；
如图，过点D作DG⊥BC于G，
∵AB=3，
∴AC=BC=3，
∵AD=2BD，
∴BD=AB=，
∴DG=BG=1，
∴CG=BC-BG=3-1=2，
在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CD=，
∵△BCD≌△ACE，
∴CE=，
∵CE2=CF AC，
∴CF=，
∴AF=AC-CF=3-=，故④错误，
故答案为①②③．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△BCD≌△ACE是解本题的关键．
三、解答题（本大题共9个题，满分75分）
16. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先对分式进行化简，然后再代入进行求解即可．
【详解】解：原式=；
把代入得：原式=．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算及分式的化简求值，熟练掌握分式的运算及二次根式的运算是解题的关键．
17. 如图，在平行四边形中，、分别是边、上的点，且，．
（1）求证；
（2）求证四边形是矩形．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得，，再由证即可；
由平行四边形的性质得，，再证，则四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
；
∴；
【小问2详解】
四边形是平行四边形，
，，
∴，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
18．某商场以1200元购进一批商品，很快销售完了，由于商品畅销，商场又用1200元购进第二批这种商品，但第二批商品单价比第一批商品的单价上涨了20%，结果比第一批少购进5件这种商品，求第一批和第二批商品的购进单价分别是多少元．
【分析】设第一批商品的单价为x元，根据结果比第一批少购进5件这种商品得：5，解方程并检验可得答案．
【解答】解：设第一批商品的单价为x元，则第二批商品的单价为（1+20%）x元；
根据题意得：5，
解得x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，也符合题意，
∴（1+20%）x＝1.2×40＝48，
∴第一批商品的单价为40元，第二批商品的单价为48元．
【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
19. 近来，由于智能聊天机器人ChatGPT的横空出世，大型语言模型成为人工智能领域的热门话题．有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；
抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表
设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
A 88 b 96 45%
B 88 87 c 40%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中　　，　　，　　；
（2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）在此次测验中，有200人对A款AI聊天机器人进行评分、160人对B款AI聊天机器人进行评分，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？
【答案】（1）15，88.5，98
（2）A款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由见解析
（3）44人
【解析】
【分析】（1）由A款AI评分数据中可知等级“满意”的有6份，则“满意”所占的百分比为，由评分统计表中可知，A款的“非常满意”所占百分比为，最后由扇形统计图可得出a的数据；把A款的评分数据从小到大排列找到中间两个数据求其平均值；B款数据中出现次数最多的就是众数．
（2）比较两款的平均数、中位数或者众数，然后依据一定的标准进行判断．
（3）由抽取的样本中“不满意”所占的百分比来估计200人不满意的人数．
本题考查了平均数、众数、中位数、统计图、样本与总体等，解题的关键是熟知以上概念并能灵活进行分析和计算．
【小问1详解】
由题意得，，即，
把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88，89，故中位数，
在B款的评分数据中，98出现的次数最多，故众数；
故答案为：；
【小问2详解】
A款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
因为两款的评分数据的平均数相同，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款AI聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）．
【小问3详解】
（名），
答：估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有44人．
20. 在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．
（1）求函数与函数的表达式；
（2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．
【答案】（1），
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）根据函数与函数的图象交于点和点．将点的横坐标代入中，求出其纵坐标，利用点的坐标求出，利用反比例函数得到点的坐标，进而得到即可解题；
（2）首先根据题意画出图形，得到、坐标，设所在直线的表达式为，利用待定系数法求出直线表达式，再利用解析式判断即可解题．
【小问1详解】
解：点的横坐标是2，
将代入．
．
将代入得：．
．
点的纵坐标是，
将代入，得．
．
将代入得：．
解得：．
．
【小问2详解】
证明：如图所示，
由题意可得：，．
设所在直线的表达式为，
．
解得：．
所在直线的表达式为．
当时，．
直线经过原点．
21. “互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同．
（1）求每千克花生、茶叶的售价；
（2）已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克．甲计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍．则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）每千克花生的售价为10元，每千克的茶叶售价为50元；（2）花生销售30千克，茶叶也销售30千克时可获得最大利润，最大利润为540元．
【解析】
【分析】（1）设每千克花生的售价为（x-40）元，每千克的茶叶售价为x元，然后根据题意可列出方程进行求解；
（2）设茶叶销售了m千克，则花生销售了（60-m）千克，所获得利润为w元，由题意可得，，然后求出不等式组解集，进而根据一次函数的性质可求解．
【详解】解：（1）设每千克花生的售价为（x-40）元，每千克的茶叶售价为x元，由题意得：
，
解得：，
∴花生每千克的售价为50-40=10元；
答：每千克花生的售价为10元，每千克的茶叶售价为50元
（2）设茶叶销售了m千克，则花生销售了（60-m）千克，所获得利润为w元，由题意得：
，
解得：，
∴，
∵10＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=30时，w有最大值，最大值为；
答：当花生销售30千克，茶叶也销售30千克时可获得最大利润，最大利润为540元．
【点睛】本题主要考查一次函数及一元一次不等式组的实际应用，熟练掌握一次函数及一元一次不等式组的实际应用是解题的关键．
22.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD垂直过点C的直线CD，垂足为D点，并且AC平分∠DAB，AD交⊙O于点E．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）连接BE交AC于点F，若sin∠CAD，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）=．
【解析】
【分析】（1）连接OC，证∠OCA=∠DAC，AD∥OC，由AD⊥CD，可证CD⊥OC，可得结论；
（2）连接CE，由CD是⊙O的切线可知∠OCA=∠CAD，证△ACD∽△CED，根据相似三角形性质得CD2=DE AD，设CD=3x，AC=5x，则则AD=4x，推出DE=x，AE=x，证BE∥CD，可得==x：4x，求x可得．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC=∠DAC，
∴∠OCA=∠DAC，
∴AD∥OC
又∵AD⊥CD，
∴CD⊥OC，
∴直线CD是⊙O的切线
（2）连接CE，由CD是⊙O的切线可知∠OCA=∠CAD．
∵∠D=∠D，
∴△ACD∽△CED，
∴CD：DE=AD：CD，
∴CD2=DE AD
∵sin∠CAD=
∴设CD=3x，AC=5x，则AD=4x，
∴DE=x，∴AE=AD-DE=x
∵AB为直径∴∠AEB=∠ADC=900，
∴BE∥CD，
∴==x：4x
∴=
【点睛】考核知识点：相似三角形判定和性质，切线判定，三角函数．运用相似三角形性质得出等式，借助三角函数关系设好未知数是关键．
23．李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究．
【问题情境】
如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．将边AB绕点A逆时针旋转（0°＜θ＜180°）得到线段AE，过点E作EF⊥AE交直线BC于点F．
【猜想证明】
（1）当θ＝90°时，四边形ABFE的形状为 　 　；（直接写出答案）
（2）如图2，当θ＝45°时，连接DE，求此时△ADE的面积；
【能力提升】
（3）在【问题情境】的条件下，是否存在θ，使点F，E，D三点共线．若存在，请求出此时BF的长度；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据矩形的性质和旋转的性质可得∠B＝∠EAB＝∠AEF＝90°，AE＝AB，即可；
（2）作EG⊥AD于G，可得∠AEG＝∠EAG，从而得到AG＝EG，再根据勾股定理可得EG＝2，即可；
（3）分两种情况讨论：当点E在DF上时；当点E在DF的延长线上时，根据三角形全等可得BF＝EF，然后根据勾股定理列出方程即可求解．
【解答】解：（1）如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵将边AB绕点A逆时针旋转（0°＜θ＜180°）得到线段AE，
∴AE＝AB，∠EAB＝90°，∠AEF＝90°，
∴∠B＝∠EAB＝∠AEF＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∵AE＝AB，
∴四边形ABFE是正方形；
故答案为：正方形；
（2）如图2，作EG⊥AD于G，
∵∠BAD＝90°，∠BAE＝45°，
∴∠EAG＝45°，
∴∠AEG＝90°﹣∠EAG＝45°，
∴∠AEG＝∠EAG，
∴AG＝EG，
∵EG2+AG2＝AE2，
∴2EG2＝42，
∴EG＝2，
∴S△ADEAD EG6×26；
（3）如图3，当点E在DF上时，连接AF，
∵∠AEF＝∠B＝90°，AE＝AB，AF＝AF，
∴Rt△ABF≌Rt△AEF（HL），
∴BF＝EF，
设BF＝EF＝x，则CF＝6﹣x，
根据旋转的性质得：AE＝AB＝4，
∵EF⊥AE，
∴∠AED＝∠AEF＝90°，
∵AD＝6，
∴DE2，
在Rt△DCF中，由勾股定理得：CF2+CD2＝DF2，
（6﹣x）2+42＝（x+2）2，
解得：x＝6﹣2；
如图4，当点E在DF的延长线上时，
同理EF＝BF，DE＝2，
设EF＝BF＝a，则DF＝a﹣2，CF＝a﹣6，
∴（a﹣6）2+42＝（a﹣2）2，
解得：a＝6+2，
综上所述，BF＝6﹣2或6+2．
【点评】本题考查了矩形、正方形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点A，交轴于点和点，连接、、，与轴交于点．
（1）求抛物线表达式；
（2）点，点在轴上，点在平面内，若，且四边形是平行四边形．
①求点的坐标；
②设射线与相交于点，交于点，将绕点旋转一周，旋转后的三角形记为，求的最小值．
【答案】（1）
（2）；
【解析】
【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线，利用待定系数法求得解析式；
（2）①由坐标求出解析式，然后根据四边形是平行四边形和得出，再分类讨论求得和的坐标；
②求出解析式，交点为，再求出坐标，然后由两点间距离公式求出和长度，因为旋转不改变长度，所以长度不变，当旋转到轴上时，此时最短，所以此时等于，然后代入计算即可．
【小问1详解】
解：抛物线交轴于点，交轴于点和点，
，
解得：
；
【小问2详解】
如图
，
设直线的解析式为，
，
，
解得，
直线的解析式为，
为与轴交点，
，
，
四边形是平行四边形，
且，且点在点下方，
点在轴上，点在平面内，，
，
，
或，
若为，
，
故，
若为，
，此时，矛盾，舍去，
综上，点的坐标为；
②如图，设的解析式为
抛物线交轴于点，
点的坐标为，，
将点、的坐标代入得：
，
解得，
的解析式为，
与相交于点，
，
解得，
所以点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点、的坐标代入直线的解析式得：
，
解得，
所以直线的解析式为，
与相交于点，
，
解得，
点的坐标为，
当旋转到轴上时，此时最短，如图
的最小值为．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质、用待定系数法求函数表达式、二次根式的化简、用解方程组的方法求函数图象的交点坐标等知识和方法，计算较为烦琐，难度较大，属于考试压轴题．

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