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2024年陕西省初中学业水平考试全真模拟试题数学学科（二）
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）。全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔,分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔涂黑．
5．考试结束，本试卷和答题纸一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了倒数，解题的关键是根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
【详解】解：的倒数是，
故选A．
2. 某种工件是由一个长方体钢块中间钻了一个上下通透的圆孔制作而成，则此工件的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据主视图是从证明看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从正面看看到的图形是一个长方形，靠近中央有两条竖直的虚线，即看到的图形如下：
，
故选：A．
3. 一个古秤在称物时的状态如图所示，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，邻补角的定义．掌握两直线平行，内错角相等是解题关键．根据题意可知，即得出，进而即可求出．
【详解】解：如图，
由题意可知，
∴，
∴．
故选B．
4. 计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式乘以单项式，先计算积的乘方，再计算单项式乘以多项式即可得到答案．
【详解】解：
，
故选：D．
5. 将一次函数的图象向下平移得到直线，若直线经过点，且，则直线的表达式为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象的平移，设直线的解析式为，代入，然后根据求出b的值即可，熟练掌握一次函数图象平移的规律是解题的关键．
【详解】解：依题意可设直线的表达式为，
直线经过点，
，即：，
，
，即：，
直线的表达式为，
故选C．
6. 如图，在矩形中，对角线，交于点O，已知，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．由矩形的性质得出，，再证明是等边三角形，得出，然后根据勾股定理即可求出，进而得出矩形面积即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
7. 如图，内接于，是直径，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，连接，由圆周角定理得到，由平角的定义得到，则由圆周角定理可得．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
8. 如下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … 0 1 3 …
y … 7 …
则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（ ）
A. 图象开口向下 B. 对称轴为直线
C. 图象与x轴的一个交点坐标为 D. 有最小值为
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，先利用待定系数法求出对应的函数解析式，再把解析式化为顶点式即可判断A、B、D，求出函数值为0时自变量的值即可判断C．
【详解】解：设二次函数解析式为，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，最小值为，
当时，解得或，
∴图象与x轴的一个交点坐标为，
∴四个选项中只有C选项正确，符合题意，
故选：C．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 在实数，，，中，无理数是_______．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．
【详解】解：在实数，，，中，无理数有，，
故答案为：，．
10. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2） 180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
【详解】解：设边数为n，由题意得，
180（n－2）=3603，
解得n=8．
所以这个多边形的边数是8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
11. 如图，在中，点D是边的中点，且，若，，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先求出，进而根据比例式求出，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可．
【详解】解：∵点D是边中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴， 即，
∴，
故答案为：．
12. 面积为6的在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，若反比例函数的图象经过点B，C，则k的值为________．
【答案】4
【解析】
【分析】过点A作轴，过点B作轴，过点C作，交于M，交于N，根据平行四边形的性质可得，从而表示出，根据即可求解．
【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，过点C作，交于M，交于N，如图，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴
∴，
∵
∴
∵反比例函数的图象经过点B，，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的面积，表示出的坐标是解题的关键．
13. 如图，在菱形中，，，点F在边上，且，点E是对角线上的一个动点，当的值最小时，的长是________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．连接，，易得，进而得到，得到三点共线时，最小，确定点位置，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可．
【详解】解：连接，，
∵菱形中，，，
∴互相垂直平分，，，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴三点共线时，最小，如图：
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
三、解答题
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，负整数指数幂，先计算二次根式乘法，负整数指数幂，再去绝对值，最后计算加减法即可．
【详解】解；
．
15. 求不等式的最小整数解．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了求不等式的整数解，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后求出其最小整数解即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∴不等式组的最小整数解为2．
16. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是对运算法则熟练掌握．根据分式的混合运算的法则计算即可．
【详解】原式
17. 如图，在等腰中，，．请用尺规作图法，在边上求作一点D．使得点D到边的距离等于的长．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，作的角平分线交与，根据角平分线的性质得点D到边的距离等于的长，进而可求解，熟练掌握角平分线的作法是解题的关键．
【详解】解：作的角平分线交与，
，
点D到边的距离等于的长，
如图所示，点D即为所求：
18. 如图，在中，是边上的中线，延长到点E，使得，连接．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，只需要证明即可证明．
【详解】证明：∵是边上的中线，
∴，
又∵，
∴，
∴．
19. 如图，的顶点坐标分别为，，，将绕点C逆时针旋转得到．
（1）请在图中画出；
（2）若点与点关于原点对称，则线段的长为_______．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】本题考查作图-旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）根据中心对称的性质求解即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
如图，点与点关于原点对称，
，
，
故答案为：4
20. 春节来临之际，佳乐超市开展“翻牌抽奖”活动．如图是四张除正面图案不同外，其余都相同的卡片，且正面分别对应着“龙，花，竹，鸟”的剪纸照片．卡片背面朝上洗匀，放置在桌面上．
（1）若顾客小辰随机翻开一张，翻到“A．龙”的概率是______；
（2）这四张卡片分别对应价值为30元，25元，20元，15元的4件奖品，若顾客小欣先随机翻开一张卡片，然后从剩下的三张中再随机翻开一张，请用列表或画树状图的方法，求小欣两次所获奖品总值不低于45元的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两次所获奖品总值不低于45元的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵一共有四张卡片，每张卡片被翻开的概率相同，
∴顾客小辰随机翻开一张，翻到“A．龙”的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小欣两次所获奖品总值不低于45元的结果数有8种，
∴小欣两次所获奖品总值不低于45元的概率为．
21. 如图，一座古塔坐落在小山上，小宇站在附近的水平地面上的C处，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，方法如下：他先控制无人机从脚底（点C）出发向右上方（与地面成）的方向匀速飞行5秒到达空中点D处，再调整飞行方向，继续匀速飞行10秒到达塔顶点A处．已知无人机的速度为每秒5米，，且点A，B，C，D在同一平面上，请你帮小宇求出他到古塔的水平距离（即）．（结果精确到米；参考数据：，）
【答案】米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，根据题意可得：米，米，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，
由题意得：（米，（米，，，
，
，
，
在中，（米，
在中，（米，
（米，
（米，
小李到古塔的水平距离即的长约为米．
22. 洛川苹果产于陕西延安市洛川县，人称“苹果之乡”．这里出产的苹果，素以色、香、味俱佳著称．小雅爷爷家有个小果园，爷爷将收获的该种苹果进行售卖，每千克10元，如果一次性购买10千克以上，则超过10千克部分的苹果价格打折．如图，是顾客购买苹果所需的付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数关系图象．
（1）求出付款金额y（元）与购买量x（千克）之间函数表达式；
（2）当顾客付款金额为142元时，求此顾客购买了多少千克苹果？
【答案】（1）
（2）顾客购买了16千克苹果
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出顾客购买的数量超过10千克，再把代入中求出x的值即可得到答案．
小问1详解】
解：当时，设，
把代入中得：，解得，
∴；
当时，设，
把，代入中得：，
∴，
∴，
综上所述，；
【小问2详解】
解：∵，
∴顾客购买的数量超过10千克，
∴，
解得，
答：顾客购买了16千克苹果．
23. 为弘扬航天精神，普及航天知识，阳光中学开展以“筑梦天宫探秘苍穹”为主题的航天知识竞赛．成绩分别为A，B，C，D四个等级，四个等级对应的分数依次为100分，90分，80分，70分，现将九（1）班竞赛成绩进行整理，并绘制如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；扇形图中“D级”所对应的圆心角度数为______；
（2）求出该班竞赛成绩的中位数及平均数；
（3）若成绩90分及以上为优秀，试估计该校500名九年级学生中，成绩优秀的总人数．
【答案】（1）“D级”所对应的圆心角度数为，见解析；
（2）中位数为90分；平均数为85.75分；
（3）该校500名九年级学生中，成绩优秀的总人数有275人；
【解析】
【分析】本题考查数据与统计，涉及到平均数、中位数等，正确理解题意是关键．
（1）先求出九（1）班总人数，即可求出C级人数，用360×D级所占的比例即可求出圆心角度数；
（2）根据平均数、中位数的定义解答即可；
（3）用500×A级+B级占该班比例即可．
【小问1详解】
解：九（1）班总人数为：（人），
C级人数为：（人），
“D级”所对应的圆心角度数为
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
解：因为该班共有40人，（人），
∴该班成绩中位数为第20和第21人的平均数，
A级+B级人数为：（人），
∴该班成绩中位数为B级，即90分，
平均数（分）；
【小问3详解】
解：90分及以上为A级+B级，
A级+B级占该班比例为：
∴（人），
∴该校500名九年级学生中，成绩优秀的总人数有275人；
24. 如图，为的直径，点C，D在上，过点D作，交的延长线于点E，连接，，交于点F，且平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定及性质、相似三角形的判定及性质、等边对等角性质：
（1）连接，交于，利用等边对等角的性质得，进而可得，根据切线的判定即可求证结论；
（2）由（1）得，可得，进而可得，，根据相似三角形的判定及性质可求得，，进而可求得，进而可求解；
熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明：连接，交于，如图：
平分，
，
，
，
，
，
，
，即：，
，
是的半径，
是的切线．
【小问2详解】
由（1）得：，
，
，，
，，点是的中点，
，即：，即：，
，即：，
，
为的直径，
．
25. 某公园的人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出的水柱形状可看作是抛物线的一部分，如图所示，为湖面，为水管（露出湖面的部分），以点O为坐标原点，以所在直线为x轴，以所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．当水柱离水管的水平距离为2米时，此时水柱达到最高点，离湖面的距离为1.5米．已知米．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）公园管理员准备调节水管露出湖面的高度，使游船能从抛物线形水柱下方通过，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为2米，顶棚到湖面的高度为1.8米，请通过计算说明水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？
【答案】（1）
（2）公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到约1.55米才能符合要求
【解析】
【分析】本题考查二次函数实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）根据题意，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据二次函数图象解析式设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，得：抛物线的顶点为，经过点，
设二次函数的解析式为：，
将代入，
解得，
抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：，
由题意可知，当横坐标为时时，纵坐标的值不小于，
，
解得，
水管高度至少向上调节1.05米，
（米，
公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到约1.55米才能符合要求．
26. （1）如图1，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，于点D，且，，求的最小值；
（2）如图2，某公园有一块四边形空地，园区管理人员计划将该空地进行划分，种植不同的花卉，点E，F分别为，上的点，，将其分为三个区域．已知，，，若保持，试求四边形面积的最大值．
【答案】（1）的最小值为；（2）
【解析】
【分析】（1）的外接圆，连接，过点O作，先由圆周角定理和垂径定理得，，则，，设，则，再由即可求解；
（2）长交于点M，如图所示：则均为等腰直角三角形，将绕点C顺时针旋转得到，则三点共线 由，因为为定值，取得最小值时，取得最大值．
【详解】（1）解：如图，作的外接圆，连接，过点O作，则，
∵
∴，
设，
则，
∵
∴，解得：，
∴，
∴的最小值为；
（2）解：分别延长交于点M，如图所示：则均为等腰直角三角形
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴将绕点C顺时针旋转得到，则三点共线
∴
∵为定值
∴当取得最小值时，取得最大值，
∵
∴以为斜边作等腰，则的外接圆是以点O为圆心，长为半径的圆，过点O作于点J，设的外接圆半径为，则，
∵
∴
∴
当点O在上时，最短，此时
∴
∴
【点睛】本题属于四边形综合题，三角形的外接圆，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型．2024年陕西省初中学业水平考试全真模拟试题数学学科（二）
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）。全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔,分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔涂黑．
5．考试结束，本试卷和答题纸一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
2. 某种工件是由一个长方体钢块中间钻了一个上下通透的圆孔制作而成，则此工件的主视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 一个古秤在称物时的状态如图所示，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
4. 计算：（ ）
A. B. C. D.
5. 将一次函数图象向下平移得到直线，若直线经过点，且，则直线的表达式为（ ）
A B. C. D.
6. 如图，在矩形中，对角线，交于点O，已知，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，内接于，是直径，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
8. 如下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … 0 1 3 …
y … 7 …
则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（ ）
A. 图象开口向下 B. 对称轴为直线
C. 图象与x轴的一个交点坐标为 D. 有最小值为
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 在实数，，，中，无理数是_______．
10. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
11. 如图，在中，点D是边的中点，且，若，，则_______．
12. 面积为6的在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，若反比例函数的图象经过点B，C，则k的值为________．
13. 如图，在菱形中，，，点F在边上，且，点E是对角线上的一个动点，当的值最小时，的长是________．
三、解答题
14. 计算：．
15. 求不等式的最小整数解．
16. 化简：．
17. 如图，在等腰中，，．请用尺规作图法，在边上求作一点D．使得点D到边的距离等于的长．（保留作图痕迹，不写作法）
18. 如图，在中，是边上中线，延长到点E，使得，连接．求证：．
19. 如图，的顶点坐标分别为，，，将绕点C逆时针旋转得到．
（1）请在图中画出；
（2）若点与点关于原点对称，则线段的长为_______．
20. 春节来临之际，佳乐超市开展“翻牌抽奖”活动．如图是四张除正面图案不同外，其余都相同的卡片，且正面分别对应着“龙，花，竹，鸟”的剪纸照片．卡片背面朝上洗匀，放置在桌面上．
（1）若顾客小辰随机翻开一张，翻到“A．龙”的概率是______；
（2）这四张卡片分别对应价值为30元，25元，20元，15元的4件奖品，若顾客小欣先随机翻开一张卡片，然后从剩下的三张中再随机翻开一张，请用列表或画树状图的方法，求小欣两次所获奖品总值不低于45元的概率．
21. 如图，一座古塔坐落在小山上，小宇站在附近的水平地面上的C处，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，方法如下：他先控制无人机从脚底（点C）出发向右上方（与地面成）的方向匀速飞行5秒到达空中点D处，再调整飞行方向，继续匀速飞行10秒到达塔顶点A处．已知无人机的速度为每秒5米，，且点A，B，C，D在同一平面上，请你帮小宇求出他到古塔的水平距离（即）．（结果精确到米；参考数据：，）
22. 洛川苹果产于陕西延安市洛川县，人称“苹果之乡”．这里出产的苹果，素以色、香、味俱佳著称．小雅爷爷家有个小果园，爷爷将收获的该种苹果进行售卖，每千克10元，如果一次性购买10千克以上，则超过10千克部分的苹果价格打折．如图，是顾客购买苹果所需的付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数关系图象．
（1）求出付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数表达式；
（2）当顾客付款金额为142元时，求此顾客购买了多少千克苹果？
23. 为弘扬航天精神，普及航天知识，阳光中学开展以“筑梦天宫探秘苍穹”为主题的航天知识竞赛．成绩分别为A，B，C，D四个等级，四个等级对应的分数依次为100分，90分，80分，70分，现将九（1）班竞赛成绩进行整理，并绘制如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；扇形图中“D级”所对应的圆心角度数为______；
（2）求出该班竞赛成绩的中位数及平均数；
（3）若成绩90分及以上为优秀，试估计该校500名九年级学生中，成绩优秀总人数．
24. 如图，为的直径，点C，D在上，过点D作，交的延长线于点E，连接，，交于点F，且平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求长．
25. 某公园的人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出的水柱形状可看作是抛物线的一部分，如图所示，为湖面，为水管（露出湖面的部分），以点O为坐标原点，以所在直线为x轴，以所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．当水柱离水管的水平距离为2米时，此时水柱达到最高点，离湖面的距离为1.5米．已知米．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）公园管理员准备调节水管露出湖面的高度，使游船能从抛物线形水柱下方通过，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为2米，顶棚到湖面的高度为1.8米，请通过计算说明水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？
26. （1）如图1，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，于点D，且，，求的最小值；
（2）如图2，某公园有一块四边形空地，园区管理人员计划将该空地进行划分，种植不同的花卉，点E，F分别为，上的点，，将其分为三个区域．已知，，，若保持，试求四边形面积的最大值．

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