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第9章 分式 全章热门考点专练（5个知识方法专题个3思想方法专题）
【知识导图】
【知识清单】
知识方法专题
分式的相关概念
【例题1】（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）要使分式有意义，则的取值应满足（ ）
A．或 B．且 C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：由题意，得
故选D．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为0是解题的关键
【变式1】（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）若分式的值为负数，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】根据分式的分母不能为0得出，再根据分式的值为负数得出，进行计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：，
，
分式的值为负数，
，
，
的取值范围是且，
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件、分式值为负数时未知数的取值范围，熟练掌握以上知识点，准确进行计算是解题的关键
【变式2】（2023七年级下·浙江·专题练习）（1）取何值时，分式的值为零？无意义？
（2）当等于什么时，分式的值为零．
【答案】（1）、3，（2）3
【分析】（1）根据分式的值为零的条件，分式无意义的条件，进行计算即可得到答案；
（2）根据分式的值为零的条件，进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）要使分式的值为0，则
，
解得：，
要使分式无意义，则，
解得：；
（2）要使分式的值为0，则
，
解得：．
【点睛】此题考查了分式值为0的条件和分式无意义的条件，特别分式的值为0时，注意分子为0，分母不为0
【变式3】（2023七年级下·全国·专题练习）已知无论x取何实数，分式总有意义，求m的取值范围．
小明对此题刚写了如下的部分过程，便有事离开．
解：
(1)请将小明对此题的解题过程补充完整；
(2)利用小明的思路，解决下列问题：无论x取何实数，分式都有意义，求m的取值范围．
【答案】(1)补全过程见分析
(2)
【分析】（1）根据分式有意义的条件可知，分式总有意义，就是分母不为零，即只需要即可，根据求解即可得到结论；
（2）根据（1）的解题过程即可同理求解得到无论x取何实数，分式都有意义时m的取值范围．
【详解】（1）解：
根据无论x取何实数，分式总有意义，
∴只要当，即可满足题意
∴
（2）解：由（1）可知
，
根据无论x取何实数，分式总有意义
∴只要当，即可满足题意
∴．
【点睛】本题考查分式有意义条件的综合应用，涉及到完全平方公式及不等式的性质，熟练掌握相关知识是解决问题的关键
分式的运算
【例题2】（22-23七年级下·安徽滁州·阶段练习）下列分式计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的乘法和分式的乘方计算法则求解即可．
【详解】解：A．，故选项错误；
B．，故选项正确；
C．，故选项错误；
D．，故选项错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查了分式的有关计算，根据相关运算法则进行计算即可
【变式1】（2023七年级下·江苏·专题练习）括号内应填 ．
【答案】
【分析】直接将原式转化为分式，用因式分解将分式化简求解即可．
【详解】解：因为
故答案为：
【点睛】此题考查分式的混合运算，解题关键是将分式因式分解后化简
【变式2】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）已知非零有理数x、y满足．
(1)若x是方程的解，求y的值；
(2)求的值．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】本题考查了解绝对值方程，解一元一次方程，分式的加减：
（1）解一元一次方程求得x的值，根据绝对值的性质，分和两种情况，得到关于y的方程，求解即可；
（2）根据绝对值的性质，分和两种情况，再将所得方程代入分式化简即可．
【详解】（1）解：x是方程的解，
，
解得：，
当时，，即，
当时，，解得，
当时，，即，解得，
综上，或；
（2）解：非零有理数x、y满足，
当时，即，
；
当时，即，
；
的值为或
【变式3】（2023七年级下·浙江·专题练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）互为相反数，第二项的分母提取负号，化为同分母，直接根据同分母的分式加减法法则进行计算：分母不变，分子相加减；
（2）最简公分母为，通分，按同分母的分式加减法法则进行计算即可；
（3）把看成是一项，为，再通分，按同分母的分式加减法法则进行计算即可；
（4）最简公分母为，通分，按同分母的分式加减法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，因式分解，分式的加减混合运算，熟练掌握分式的加减混合运算法则及因式分解是解题的关键
解分式方程
【例题3】（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）若，则（ ）
A． B．或0 C．或0 D．
【答案】B
【分析】将分式方程去分母，化为整式方程，分别讨论当和两种情况，求出x的值，检验即可．
【详解】解：去分母得：，
当时，满足题意；
当时，，即或，
当时，，此时分式方程无解，
综上所述，或．
故选：B．
【点睛】本题考查解分式方程，利用了分类讨论的思想，主要最后要验根
【变式1】（22-23七年级下·广西百色·期末）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是 ．
【答案】
【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
【详解】解：根据题意得：，
∵，
∴，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴方程的解是．
故答案为：
【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键
【变式2】（22-23七年级上·上海杨浦·期末）解方程：．
【答案】
【分析】本题考查解分式方程．将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可．
【详解】解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：；
经检验，是原方程的解．
∴方程的解为：
【变式3】（22-23七年级下·黑龙江七台河·期末）（1）解方程：；
（2）因式分解：．
【答案】（1）；（2））
【分析】本题考查了综合提公因式和用平方差公式分解因式，解分式方程．
（1）两边都乘以把分式方程化为整式方程，解得，检验后即可得到答案，去分母把分式方程化为整式方程是解题的关键；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【详解】（1）
两边都乘以得，，
解得，
当时，，
∴是分式方程的解．
（2）
分式方程的增根
【例题4】（22-23七年级下·青海西宁·期末）若解关于x的方程时产生增根，那么常数m的值为( )
A．4 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了解分式方程、增根的定义，先通过去分母，将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得出的值，然后将其代入整式方程即可求的m．
【详解】解：方程两边都乘以，得：
，
，
∵方程有增根，
∴，
∴，
故选：D
【变式1】（22-23七年级下·浙江温州·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据增根的定义求出x，去分母后把求得的x代入即可求出a的值．
【详解】解：∵分式方程有增根，
∴，
∴，
原分式方程去分母得，
把代入得，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于的值，不是原分式方程的解
【变式2】（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知
(1)若该方程有增根，求a的取值
(2)若该方程的解为正数，求a的取值
【答案】(1)或6
(2)且
【分析】（1）先把a当做已知数，求分式方程的解，再根据增根的定义，即可解答；
（2）根据（1）中求的x的解，以及该方程的解为正数，列出不等式，再根据分式有意义的条件，即可解答．
【详解】（1）解：
去分母，得，
去括号，得，
移项合并，得，
化系数为为1，得，
∵该方程有增根，
∴或，
即 或，
解得：或6；
（2）解：∵方程的解为正数，
∴，
解得：，
∵当或6时，方程有增根，
∴且．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，以及使分式方程分母为0的未知数的值，是分式方程的增根
【变式3】（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的方程，其中，均为整数且．
(1)若方程有增根，则，满足怎样的数量关系？
(2)若是方程的解，求的值．
【答案】(1)
(2)或或8
【分析】（1）由分式方程有增根，得到，求出的值即为增根；
（2）将代入求得，根据题意可得或或，分别带入求得的值即可．
【详解】（1）解：由分式方程有增根，得到，
解得：，
将分式方程化为整式方程：，
整理得：，
将代入得：，
即若方程有增根，则．
（2）解：∵是方程的解，
将代入得：，
整理得：，
∴，
∴，且
∵，均为整数且，
∴或2或（舍去）或，
当时，即，；
当时，即，；
当时，即
当时，即，；
当时，即，；
综上，的值为或或8．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，求分式方程中字母的值，解题的关键是①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值
分式方程的应用
【例题5】（22-23七年级上·河南安阳·期末）某口罩厂共有45名员工，每名员工每天可以生产200个面罩或800个耳绳．已知一个面罩需要配两个耳绳，每天生产的面罩和耳绳需刚好配套，设安排名员工生产耳绳，则下面所列方程正确的是（ ）
B．
C． D．
【答案】A
【分析】设安排名员工生产耳绳，则每天可生产个耳绳，生产罩面为，则每天可生产罩面，即可得出关于x的分式方程即可解答．
【详解】设安排名员工生产耳绳，则每天可生产个耳绳，
生产罩面为，则每天可生产罩面，
由题可得：，
即：．
故选：A．
【点睛】本题考查了列分式方程，解题的关键是根据题意列出方程
【变式1】（23-24七年级上·广东江门·开学考试）汽车从甲地到乙地，先上坡后下坡共用了3小时．当汽车从乙地返回甲地，上坡速度和下坡速度都不变时，要用3.5小时．如果此汽车从乙地返回甲地时，用上坡速度驶完全程，则需要4小时．那么当汽车以下坡速度驶完从乙地返回甲地的全程，需要 小时．
【答案】//
【分析】根据行程问题中的数量关系，将题意中的等量关系用等式表示，根据等式性质，利用已知的等式变形处理求解．
【详解】解：设从甲地到乙地上坡距离为，下坡距离为，上坡速度为，下坡速度为，由题意知，
，，
，
，．
故需要小时．
故答案为：．
【点睛】本题考查行程问题，列代数式，等式的性质；利用等式的性质对已知等式变形是解题的关键
【变式2】（2024七年级下·浙江·专题练习）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
【答案】B型机器人每小时搬运化工原料，则A型机器人每小时搬运化工原料．
【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题关键是根据数量关系列方程，注意得到方程的解需要检验．设B型机器人每小时搬运化工原料，则A型机器人每小时搬运化工原料．根据“A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，”列方程求解即可．
【详解】解：设B型机器人每小时搬运化工原料，则A型机器人每小时搬运化工原料．
依题意可得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
则（）．
答：B型机器人每小时搬运化工原料，则A型机器人每小时搬运化工原料
【变式3】（2023七年级下·浙江·专题练习）宁波杨梅季，本地慈溪杨梅在宁波人的心中是一种家乡的味道．今年是杨梅大年，某杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对1000斤的杨梅进行打包方式优惠出售，打包方式及售价如下：圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤杨梅．
(1)若销售a篮圆篮和a篮方篮共收入8600元，求a的值；
(2)当销售总收入为16760元时，
①若这批杨梅全部售完，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮？
②若杨梅大户留下b（b＞0）篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，求b的值；
(3)为了让更多的人及时吃到杨梅，几家种植大户联合，一起拼车用大、中两种快递送货车运送方形篮杨梅720篮，大车每车比中车每车多送30篮，若一半杨梅用大车送货，一半杨梅用中车装．运送完这批杨梅大中货车运送车次比为，求每辆大、中货车各运送方形杨梅几篮？
【答案】(1)a的值为20
(2)①圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36 篮；②b的值为9或18
(3)每辆大货车运送方形杨梅120篮，每辆中货车运送方形杨梅90篮
【分析】（1）根据收入共8600元，可得出一元一次方程，解出即可；
（2）①设圆篮共包装了x篮，则方篮共包装y 篮，根据等量关系可得出方程组，解出即可；②设此时出售了m篮圆篮，n篮方篮杨梅，根据等量关系可得出关于m和n的方程组，根据n为正整数，可以求出b的大致范围以及b为9的倍数，从而得到b的值；
（3）每辆大货车运送方形杨梅p篮，则每辆中货车运送方形杨梅篮，再根据运送完这批杨梅大中货车运送车次比为列方程组求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得，
解得：，
答：a的值为20．
（2）解：①设圆篮共包装了x篮，方篮共包装y 篮，
由题意，得，
解得：，
答：圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36 篮．
②设此时出售了m篮圆篮，n篮方篮杨梅，
由题意得，
解这个关于m和n的方程组，可得：，
∵n为正整数，
∴，且b应为9的倍数，
解得：，
∴b的值为9或18．
（3）解：设设每辆大货车运送方形杨梅p篮，则每辆中货车运送方形杨梅篮，
由题意得， ，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴
答：每辆大货车运送方形杨梅120篮，每辆中货车运送方形杨梅90篮．
【点睛】本题主要考查了本二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，一元一次不等式和分式方程的实际应用，解答本题的关键是仔细审题，理解题目所述的意思，转化为方程思想求解，难度一般．
思想方法专题
整体思想
【例题6】（22-23七年级下·浙江·期中）设满足且，则的值为（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】由可得：， ，然后对分式进行变形，先利用平方差公式的逆用，再根据需要代入，变形，利用分数的性质化简即可求值．
【详解】解：
，，，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的基本性质，分数的性质，平方差公式的逆用以及整体代入的相关知识，能灵活运用相关知识对分式进行变形是解题的关键，也是解题的难点．其中，平方差公式为：．
【变式1】（22-23七年级下·安徽池州·期末）若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题知，，由变形得，所以．
【详解】解：由题知，，
∵
∴
∴
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查分式的基本性质，完全平方公式；运用完全平方公式对等式变形是解题的关键
【变式2】（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，求分式的值为 ．
【答案】
【分析】根据分式的基本性质可知原式可化为 然后将 代入原式即可求出答案.
【详解】由分式的基本性质可知：原式
∴当 时,原式 ，
故答案为：
【点睛】本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型
【变式3】（2023七年级下·浙江·专题练习）已知：．
(1)，求代数式，的值．
(2)若，判断代数式的值与0的大小关系并说明理由．
【答案】(1)37
(2)代数式的值小于0，理由见解析
【分析】本题综合考查了分式的化简求值及配方法在化简求值中的应用，题目计算难度较大，综合性较强．
（1）由化简出的值，可求，再配方即可求得的值；
（2）由，可得小于0及大于0，将要求得式子通分，配方化简，利用完全平方式可得结论．
【详解】（1）解：，
，
，
∴的值为49，的值为37；
（2）解：代数式，
理由如下：
，
，
，
故代数式的值小于0
倒数法
【例题7】（21-22七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用倒数关系求出的值，进而得出答案．
【详解】解：
，
的值为，
故选：C．
【点睛】本题考查分式的值，掌握是解决问题的关键
【变式1】（20-21七年级下·浙江金华·期末）已知，则 ．
【答案】
【分析】先将已知的式子化为倒数形式 ，化简后两边平方，再把所要求的式子的倒数化简求值，可得到最终结果．
【详解】，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】考查分式值的计算，有一定灵活性，解题的关键是先求倒数
【变式2】（22-23七年级上·上海松江·阶段练习）阅读材料：已知，求的值．
解：由得，，则有，
由此可得，；所以
请理解上述材料后求：已知，用的代数式表示的值．
【答案】
【分析】先根据求出的值，然后求出的倒数的值，进而可得答案．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴．
【点睛】本题考查了分式的求值，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键
【变式3】完成下列各题．
（1）不改变分式的值，把下列分子和分母的最高次的系数都化为正数________．
（2）不改变分式的值，把下列分子和分母的中各项系数都化为整数________．
（3）若分式的值是整数，求整数的值．
（4）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）或0或2或6；（4）
【分析】（1）利用分式的基本性质，分子、分母都乘以即可；
（2）利用分式的基本性质，分子、分母都乘以10 即可，
（3）将分式变形得，要使结果是整数，，或，进而求出的整数值即可，
（4）先求出要求的代数式的倒数，利用整体代入的方法进行计算即可．
【详解】解：（1）根据分式基本性质，分子、分母都乘以得，
；
（2）根据分式基本性质，分子、分母都乘以10得，
，
（3），
要使分式的值为整数，
，或，
解得，，，，，
∴整数的值为0，2，6，；
（4），两边平方得：
，
，
．
故答案为：（1）；（2）；（3）x=-4或0或2或6；（4）.
【点睛】本题考查分式的基本性质、分式的加减运算，掌握分式的基本性质和计算法则是正确解答的前提
3.裂项相消法
【例题8】（22-23七年级下·安徽滁州·阶段练习）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平方差公式、提公因式的方法因式分解化简即可．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查分式约分，掌握公式法、提取公因式是关键
【变式1】（21-22七年级下·浙江宁波·期末）若，，，则 ．
【答案】
【分析】首先求出，将原代数式的分母变形为，将该式进一步化简变形，借助已知条件即可解决问题．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，，
原式
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是根据已知条件的结构特点，灵活运用有关公式将所给的代数式恒等变形，准确化简，对综合的分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求
【变式2】（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）先化简代数式，再从的范围内选取一个合适的整数x代入求值．
【答案】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算分式的减法，再计算分式的除法得到化简的结果，再根据分式有意义的条件选取代入求解即可.
【详解】解：
．
∵要使分式有意义，则不能取，1，2．
∴在中任取一个合适整数，
当时，原式
【变式3】（22-23七年级上·上海杨浦·期末）先化简，再求值：，满足．
【答案】，5
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再化简得整体代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式中小学教育资源及组卷应用平台
第9章 分式 全章热门考点专练（5个知识方法专题个3思想方法专题）
【知识导图】
【知识清单】
知识方法专题
分式的相关概念
【例题1】（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）要使分式有意义，则的取值应满足（ ）
A．或 B．且 C． D．
【变式1】（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）若分式的值为负数，则的取值范围是 ．
【变式2】（2023七年级下·浙江·专题练习）（1）取何值时，分式的值为零？无意义？
（2）当等于什么时，分式的值为零．
【变式3】（2023七年级下·全国·专题练习）已知无论x取何实数，分式总有意义，求m的取值范围．
小明对此题刚写了如下的部分过程，便有事离开．
解：
(1)请将小明对此题的解题过程补充完整；
(2)利用小明的思路，解决下列问题：无论x取何实数，分式都有意义，求m的取值范围．
分式的运算
【例题2】（22-23七年级下·安徽滁州·阶段练习）下列分式计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023七年级下·江苏·专题练习）括号内应填 ．
【变式2】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）已知非零有理数x、y满足．
(1)若x是方程的解，求y的值；
(2)求的值．
【变式3】（2023七年级下·浙江·专题练习）计算：
(1) (2)
(4)
解分式方程
【例题3】（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）若，则（ ）
A． B．或0 C．或0 D．
【变式1】（22-23七年级下·广西百色·期末）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是 ．
【变式2】（22-23七年级上·上海杨浦·期末）解方程：．
【变式3】（22-23七年级下·黑龙江七台河·期末）（1）解方程：；
因式分解：．
分式方程的增根
【例题4】（22-23七年级下·青海西宁·期末）若解关于x的方程时产生增根，那么常数m的值为( )
A．4 B．3 C． D．
【变式1】（22-23七年级下·浙江温州·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为 ．
【变式2】（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知
(1)若该方程有增根，求a的取值
(2)若该方程的解为正数，求a的取值
【变式3】（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的方程，其中，均为整数且．
(1)若方程有增根，则，满足怎样的数量关系？
(2)若是方程的解，求的值．
分式方程的应用
【例题5】（22-23七年级上·河南安阳·期末）某口罩厂共有45名员工，每名员工每天可以生产200个面罩或800个耳绳．已知一个面罩需要配两个耳绳，每天生产的面罩和耳绳需刚好配套，设安排名员工生产耳绳，则下面所列方程正确的是（ ）
B．
C． D．
【变式1】（23-24七年级上·广东江门·开学考试）汽车从甲地到乙地，先上坡后下坡共用了3小时．当汽车从乙地返回甲地，上坡速度和下坡速度都不变时，要用3.5小时．如果此汽车从乙地返回甲地时，用上坡速度驶完全程，则需要4小时．那么当汽车以下坡速度驶完从乙地返回甲地的全程，需要 小时．
【变式2】（2024七年级下·浙江·专题练习）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
【变式3】（2023七年级下·浙江·专题练习）宁波杨梅季，本地慈溪杨梅在宁波人的心中是一种家乡的味道．今年是杨梅大年，某杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对1000斤的杨梅进行打包方式优惠出售，打包方式及售价如下：圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤杨梅．
(1)若销售a篮圆篮和a篮方篮共收入8600元，求a的值；
(2)当销售总收入为16760元时，
①若这批杨梅全部售完，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮？
②若杨梅大户留下b（b＞0）篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，求b的值；
(3)为了让更多的人及时吃到杨梅，几家种植大户联合，一起拼车用大、中两种快递送货车运送方形篮杨梅720篮，大车每车比中车每车多送30篮，若一半杨梅用大车送货，一半杨梅用中车装．运送完这批杨梅大中货车运送车次比为，求每辆大、中货车各运送方形杨梅几篮？
思想方法专题
整体思想
【例题6】（22-23七年级下·浙江·期中）设满足且，则的值为（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【变式1】（22-23七年级下·安徽池州·期末）若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，求分式的值为 ．
【变式3】（2023七年级下·浙江·专题练习）已知：．
(1)，求代数式，的值．
(2)若，判断代数式的值与0的大小关系并说明理由．
倒数法
【例题7】（21-22七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（20-21七年级下·浙江金华·期末）已知，则 ．
【变式2】（22-23七年级上·上海松江·阶段练习）阅读材料：已知，求的值．
解：由得，，则有，
由此可得，；所以
请理解上述材料后求：已知，用的代数式表示的值．
【变式3】完成下列各题．
（1）不改变分式的值，把下列分子和分母的最高次的系数都化为正数________．
（2）不改变分式的值，把下列分子和分母的中各项系数都化为整数________．
（3）若分式的值是整数，求整数的值．
（4）已知，求的值．
3.裂项相消法
【例题8】（22-23七年级下·安徽滁州·阶段练习）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（21-22七年级下·浙江宁波·期末）若，，，则 ．
【变式2】（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）先化简代数式，再从的范围内选取一个合适的整数x代入求值．
【变式3】（22-23七年级上·上海杨浦·期末）先化简，再求值：，满足．

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