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知识点一 功
1.做功的两个要素
(1)作用在物体上的____.
(2)物体在__________上发生的位移.
力的方向
力
2.公式：W＝________
(1)α是力与_____方向之间的夹角，l为物体对地的位移.
(2)该公式只适用于_____做功.
(3)功是___(标或矢)量.
3.功的正负
(1)α<90°，力对物体做___功.
(2)α>90°，力对物体做___功，或者说物体克服这个力做了功.
(3)α＝90°，力对物体不做功.
Flcos α
位移
恒力
标
正
负
知识点二 功率
1.定义：功与完成这些功所用时间的_______.
物理意义：描述力对物体____________.
比值
做功的快慢
平均功率
平均功率
瞬时功率
【名师助学】
判断正、负功的三种方法
(1)根据力和位移方向之间的夹角判断
(2)根据力和速度方向之间的夹角判断
(3)从能的转化角度来进行判断
知识点三 动能
1.公式：Ek＝_________.(v为物体的对地速度)
2.动能是状态量，动能的变化量是过程量.
3.动能具有相对性，其值与参考系的选取有关，一般取地面为参考系.
知识点四 动能定理
1.表达式：W合＝Δek＝_________.
2.物理意义：动能定理指出了外力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系，即合外力的功是物体_________的量度.
3.动能定理的适用条件
(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动；
(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功；
(3)外力可以是各种性质的力，既可以是同时作用，也可以是不同时作用.
Ek2－Ek1
动能变化
【名师助学】
动能定理公式中“＝”表明的“两种关系，一个相同”，“两种关系”即数量关系：合外力所做的功与物体动能的变化具有等量代换关系；“一个相同”即单位相同：国际单位都是焦耳.
知识点五 重力势能
1.重力做功的特点：重力所做的功只跟初始位置和末位置的竖直高度有关，跟物体的运动路径无关.
2.重力势能
(1)重力做功的特点
①重力做功与______无关，只与始末位置的_______有关.
②重力做功不引起物体_______的变化.
(2)重力势能
①概念：物体由于_______而具有的能.
②表达式：Ep＝_____.
③矢标性：重力势能是_____，正负表示其_____.
路径
高度差
机械能
被举高
mgh
标量
大小
(3)重力做功与重力势能变化的关系
①定性关系：重力对物体做正功，重力势能就______；重力对物体做负功，重力势能就_______.
②定量关系：重力对物体做的功_______物体重力势能的减少量.即WG＝－(Ep2－Ep1)＝_______.
减少
增大
等于
－ΔEp
知识点六 弹性势能
1.概念：物体由于发生__________而具有的能.
2.大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量______，劲度系数_______，弹簧的弹性势能越大.
3.弹力做功与弹性势能变化的关系：类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W＝________.
弹性形变
越大
越大
－ΔEp
【名师助学】
物体弹性形变为零时，对应的弹性势能为零，而重力势能是否为零与所选的参考平面有关，具有任意性.
知识点七 机械能守恒定律
1.动能和势能(重力势能和弹性势能)统称为________：E＝Ek＋Ep.
2.在只有重力或系统内弹力做功的情形下，物体的动能和势能可以相互转化，但机械能的______________，这个结论叫做机械能守恒定律.
机械能
总量保持不变
3.对机械能守恒定律的理解
机械能守恒的对象应该是某个物体系组成的系统，粗略的情况下也可认为是某一物体.
(1)机械能守恒即为物体(系统)在________的总机械能E1等于________的总机械能E2，即E1＝E2.
(2)机械能守恒意味着在此过程中，物体(系统)减少的势能ΔEp等于增加的动能ΔEk，反之亦然.
(3)若系统内只有A、B两个物体，则A减少的________ΔEA等于B增加的_________ΔEB，反之亦然.
初状态
末状态
机械能
机械能
【名师助学】
判断机械能守恒的两种方法
(1)用做功判断：若物体或系统只有重力或弹簧弹力做功，虽受其他力，但其他力不做功，或其他力也做功，但其他力做功之和为零，则机械能守恒.该法常用于单个物体.
(2)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒.该法常用于多个物体组成的系统.
知识点八 功能关系 能量守恒定律
1.常见力做功与能量转化的对应关系
(1)重力做功：________与其他形式的能相互转化.
(2)弹簧弹力做功：_________与其他形式的能相互转化.
(3)滑动摩擦力做功：_______与内能相互转化.
(4)电场力做功：______与其他形式的能相互转化.
(5)安培力做功：_____和机械能相互转化.
重力势能
弹性势能
机械能
电能
电能
2.功和能的关系
(1)功是能量转化的量度，做了多少功，就有多少______发生了转化.
(2)W＝ΔE，该式的物理含义是除_________所有其他外力对物体所做的功等于物体机械能的变化，即功能原理.要注意的是物体的内能(所有分子热运动的动能和分子势能的总和)、电势能不属于机械能.
能量
重力以外
3.能量守恒定律
(1)内容：能量既不会_________，也不会___________，它只能从一种形式转化为另一种形式,或者从一个物体转移到另一个物体，在转化或转移的过程中其总量_________，这就是能量守恒定律.
(2)表达式：ΔE减＝________.
凭空产生
凭空消失
保持不变
ΔE增
【名师助学】
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等.
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等.
要点一　功的计算方法
[突破指南]
1.恒力做功
对恒力作用下物体的运动，力对物体做的功用W＝Flcos α求解.
2.变力做功
(1)用动能定理W＝ΔEk或功能关系W＝ΔE.即用能量的变化量等效代换相应变力所做的功.
(2)当变力的功率P一定时，可用W＝Pt求功，如机车以恒定功率启动时.
(3)将变力做功转化为恒力做功：当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功等于力和路程(不是位移)的乘积，如滑动摩擦力做功、空气阻力做功等.
(4)利用图象求功：作出F－l图象，图象与位移轴所围面积即为力F做的功.如 图所示.
3.总功的求法
(1)总功等于合外力的功
先求出物体所受各力的合力F合，再根据W总＝F合lcos α计算总功，但应注意α应是合力与位移l的夹角.
(2)总功等于各力做功的代数和
分别求出每一个力做的功：W1，W2，W3，…，再把各个外力的功求代数和，即W总＝W1＋W2＋W3＋…
【典例1】 (多选)一质量为1 kg的质点静止于光滑水平面上，从t＝0时起，第1秒内受到2 N的水平外力作用，第2秒内受到同方向的1 N的外力作用.下列判断正确的是(　　)
答案　AD
【解题探究】 (1)卫星变轨后动能减小，轨道半径如何变化？
(2)随着卫星轨道半径增大，卫星运行的快慢如何变化？
提示　(1)轨道半径增大
(2)卫星越高越慢
要点二　机车启动的两种情况分析
[突破指南]
物体在牵引力(受功率和速度制约)作用下，从静止开始克服一定的阻力，最后达到最大速度的整个加速过程，可看作“机车的启动”模型.
【典例2】 (2015·河南洛阳期中)如图所示为修建高层建筑常用的塔式起重机.在起重机将质量m＝5×103 kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a＝0.2 m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vm＝1.02 m/s的匀速运动.取g＝10 m/s2，不计额外功.求：
(1)起重机允许输出的最大功率；
(2)重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2秒末的输出功率.
教你审题
审题→关键点：过程分析：重物由静止开始向上做匀加速直线运动 →起重机达到最大功率时保持功率不变→直到匀速运动
　↓
建模→属于机车匀加速启动模型
　↓
选公式→P＝Fv　F－Ff＝ma　v＝at
　↓
列方程求解→自己试一试！
解析　(1)设起重机允许输出的最大功率为P0，重物达到最大速度时，拉力F0等于重力.
P0＝F0vm①
F0＝mg②
代入数据，有：P0＝5.1×104 W③
(2)匀加速运动结束时，起重机达到允许输出的最大功率，设此时重物受到的拉力为F，速度为v1，匀加速运动经历时间为t1，有：
P0＝Fv1④
F－mg＝ma⑤
v1＝at1⑥
由③④⑤⑥，代入数据，得：t1＝5 s⑦
t＝2 s时，重物处于匀加速运动阶段，设此时速度为v2，输出功率为P，则
v2＝at⑧
P＝Fv2⑨
由⑤⑧⑨，代入数据，得：
P＝2.04×104 W.
答案　(1)5.1×104 W　(2)5 s　2.04×104 W
要点三　动能定理的应用
[突破指南]
1.应用动能定理的解题步骤
2.应用动能定理的技巧
(1)动能定理虽然是在恒力作用、直线运动中推导出来的，但也适用于变力作用、曲线运动的情况.
(2)动能定理是标量式，不涉及方向问题.在不涉及加速度和时间的问题时，可优先考虑动能定理.
(3)对于求解多个过程的问题可全过程考虑，从而避开考虑每个运动过程的具体细节，具有过程简明、运算量小等优点.
【典例3】 (2015·湖南邵阳石齐学校月考)如图所示，竖直面内有一粗糙斜面AB，BCD部分是一个光滑的圆弧面，C为圆弧的最低点，AB正好是圆弧在B点的切线，圆心O与A、D点在同一高度，∠OAB＝37°，圆弧面的半径R＝3.6 m，一滑块质量m＝5 kg，与AB斜面间的动摩擦因数μ＝0.45，将滑块由A点静止释放.求在以后的运动中：(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10 m/s2)
(1)滑块在AB段上运动的总路程；
(2)在滑块运动过程中，C点受到的压力的最大值和最小值.
解析　(1)由于滑块在AB段受摩擦力作用，则滑块做往复运动的高度将越来越低，最终以B点为最高点在光滑的圆弧面往复运动.
设滑块在AB段上运动的总路程为x，滑块在AB段上受摩擦力.
Ff＝μFN＝μmgcos θ①
从A点出发到最终以B点为最高点做往复运动，根据动能定理有：
mgRcos θ－Ffx＝0②
答案　(1)8 m　(2)102 N　70 N
【借题发挥】 应用动能定理的几个特殊情景
(1)动能定理虽然是在恒力作用、直线运动中推导出来的，但也适用于变力作用、曲线运动的情况.
(2)在涉及力、位移(或路程)、速度的关系及分析，而不涉及加速度和时间问题时，可优先考虑动能定理.
(3)对于求解多个过程的问题可全过程考虑，从而避开每个运动过程的具体细节，具有过程简明、运算量小等优点.
(4)变力做功问题.在某些问题中，由于力F大小变化或方向改变，不能直接由W＝Flcosα来求变力F所做的功，此时可由其做功的效果——动能的变化来求变力F所做的功.
要点四　机械能守恒定律的应用
[突破指南]
1.应用机械能守恒定律的基本思路
2.机械能守恒定律的表达形式
(1)守恒观点
①表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2.
②意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能.
③注意问题：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面.
(2)转化观点
①表达式：ΔEk＝－ΔEp.
②意义：系统(或物体)的机械能守恒时，系统增加(或减少)的动能等于系统减少(或增加)的势能.
③注意问题：要明确势能的增加量或减少量，即势能的变化，可以不选取零势能参考平面.
(3)转移观点
①表达式：ΔEA增＝ΔEB减.
②意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量.
③注意问题：A部分机械能的增加量等于A部分末状态的机械能减初状态的机械能，而B部分机械能的减少量等于B部分初状态的机械能减末状态的机械能.
【典例4】 如图所示为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半部AB是一长为2R的竖直细管，上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB管内有一原长为R、下端固定的轻质弹簧.投饵时，每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定，在弹簧上端放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去.设质量为m的鱼饵到达管口C时，对管壁的作用力恰好为零.不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能.已知重力加速度为g.求：
(1)质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小v1；
(2)弹簧压缩到0.5R时的弹性势能Ep；
解题思路
【借题发挥】 机械能守恒定律与其他力学知识的综合应用
机械能守恒定律与平抛运动、圆周运动等知识相结合的多过程、多情景试题在近几年高考中常出现，求解关键是抓好两个分析：
(1)状态分析：找到圆周运动的临界状态及有关向心力问题，如题中C点.
(2)过程分析：利用机械能守恒定律求解几个状态之间的关系，如求解锁到弹到C点，机械能守恒.
要点五　功能关系、能量守恒定律的应用
[突破指南]
【典例5】 (多选)如图所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同，顶角b处安装一定滑轮，质量分别为M、m(M>m)的滑块，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行.两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动.若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中(　　)
A.两滑块组成系统的机械能守恒
B.重力对M做的功等于M动能的增加
C.轻绳对m做的功等于m机械能的增加
D.两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功
【解题探究】 (1)两滑块运动的过程中有哪些力做功？
(2)物体M动能的增加应等于 .
(3)物体m机械能的增加应等于 .
(4)系统机械能的损失应等于 .
提示　(1)有重力、摩擦力做功，绳子拉力对M做负功，对m做正功，合功为零
(2)合外力所做的功，即重力、摩擦力和绳子拉力所做的合功.
(3)m机械能的增加应等于除重力以外的力对m做的功，即应为轻绳对m做的 功.
(4)应等于除了重力以外的力对系统所做的功，即应为M克服摩擦力做的功.
解析　因为M克服摩擦力做功，所以系统机械能不守恒，A错误；由功能关系知系统减少的机械能等于M克服摩擦力做的功，D正确；对M，除重力外还有摩擦力和轻绳拉力对其做功，由动能定理知B错误；对m，有拉力和重 力对其做功，由功能关系知C正确.
答案　CD
要点六　牛顿运动定律与能量的综合问题
[突破指南]
解决力学问题的方法选取
(1)牛顿第二定律揭示了力的瞬时效应，在研究某一物体所受力的瞬时作用与物体运动的关系时，优选运动学公式和牛顿第二定律.
(2)动能定理反映了力对空间的累积效应，对于不涉及物体运动过程中的加速度和时间，优选动能定理.
(3)如果物体只有重力和弹簧弹力做功而又不涉及物体运动过程中的加速度和时间，此类问题优先选用机械能守恒定律求解.
(4)在涉及相对滑动问题时则优先考虑能量守恒定律，即系统的动能转化为系统的内能.
(5)在涉及摩擦力、电场力、磁场力(安培力)做功时优先考虑能量守恒定律.
【典例6】 蹦床比赛分成预备运动和比赛动作两个阶段.最初，运动员静止站在蹦床上；在预备运动阶段，他经过若干次蹦跳，逐渐增加上升高度，最终达到完成比赛动作所需的高度；此后，进入比赛动作阶段.把蹦床简化为一个竖直放置的轻弹簧，弹力大小F＝kx(x为床面下沉的距离，k为常量).质量m＝50 kg的运动员静止站在蹦床上，床面下沉x0＝0.10 m；在预备运动中，假定运动员所做的总功W全部用于增加其机械能；在比赛动作中，把该运动员视作质点，其每次离开床面做竖直上抛运动的腾空时间均为Δt＝2.0 s，设运动员每次落下使床面压缩的最大深度均为x1.取重力加速度g＝10 m/s2，忽略空气阻力的影响.
(1)求常量k，并在图中画出弹力F随x变化的示意图；
(2)求在比赛动作中，运动员离开床面后上升的最大高度hm；
(3)借助Fx图象可以确定弹力做功的规律，在此基础上，求x1和W的值.
解题流程
第一步：规范审题
关键点 获取信息
①运动员静止站在蹦床上 运动员受力平衡，重力和弹簧弹力相等
②运动员所做的总功W全部用于增加其机械能 运动员所做的总功W全部转化为其机械能
③竖直上抛运动的腾空时间均为Δt＝2.0 s 腾空时间为上升和下降时间之和
④使床面压缩的最大深度均为x1 达到最大深度时，运动员增加的机械能全部转化为弹簧的弹性势能
答案　(1)5.0×103 N/m　见解析图 (2)5.0 m　(3)1.1 m　2.5×103 J
功能关系在实际问题中的应用
在高考试题中常常涉及以生产、生活、科技为背景的题目，在实际问题中如何应用功能关系分析做功以及能量的转化，是考生必备的能力.
一、在体育运动中的应用
1.滑板运动
【典例1】 (2015·山东师大附中月考)某滑板爱好者在离地h＝1.8 m高的平台上滑行，如图所示,水平离开A点后落在水平地面的B点，其水平位移x1＝3 m，由于着地时存在能量损失，着地后速度变为v＝4 m/s，并以此为初速度沿水平地面滑行x2＝8 m后停止.已知人与滑板的总质量m＝60 kg，求：
(1)人与滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力大小；
(2)人与滑板离开平台时的水平初速度.(空气阻力忽略不计，g取10 m/s2)
答案　(1)60 N　(2)5 m/s
2.摸高运动
【典例2】 (2015·河南中原名校二联)起跳摸高是学生常进行的一项活动，李刚同学身高1.72 m，质量60 kg，站立时举手摸高能达到2.14 m，在一次摸高测试中，他先弯曲两腿向下蹲，再用力蹬地起跳，从蹬地开始经0.40 s竖直跳离地面，设他蹬地的力大小恒为1 050 N，其重心上升可视为匀变速直线运动，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，求：
(1)李刚同学摸高的最大高度；
(2)李刚同学从蹬地开始到跳离地面的过程中机械能的增加量.
答案　(1)2.59 m　(2)630 J
二、在军事科技中的应用
【典例3】 (2015·北京海淀期中)“辽宁舰”上的舰载机的起飞若仅依靠自身喷气式发动机推力起飞需要较长的跑道，为此一物理兴趣小组设计在航空母舰上安装电磁弹射器以缩短飞机起飞距离：如图所示，航空母舰的水平跑道总长l＝180 m，其中电磁弹射器是一种长度为l1＝120 m的直线电机，这种直线电机从头至尾可以提供一个恒定的牵引力F牵.一架质量为m＝2.0×104 kg的飞机，其喷气式发动机可以提供恒定的推力F推＝1.2×105 N.考虑到飞机在起飞过程中受到的阻力与速度大小有关，假设在电磁弹射阶段的平均阻力为飞机重力的0.05倍，在后一阶段的平均阻力为飞机重力的0.2倍.飞机离舰起飞的速度v＝100 m/s，舰母处于
静止状态，飞机可视为质点.请计算(计算结果均保留两位有效数字)：
(1)飞机在后一阶段的加速度大小；
(2)电磁弹射器的牵引力F牵的大小；
(3)电磁弹射器输出效率可以达到80%，则每弹射这样一架飞机电磁弹射器需要消耗多少能量？
答案　(1)4.0 m/s2　(2)6.8×105 N　(3)1.0×108 J
三、在生产科技中的应用
【典例4】 (2015·四川绵阳一诊)如图甲所示，在圆形水池正上方，有一半径为r的圆形储水桶.水桶底部有多个水平小孔，小孔喷出的水在水池中的落点离水池中心的距离为R，水桶底部与水池水面之间的高度差是h.为了维持水桶水面的高度不变，用水泵通过细水管将洒落的水重新抽回到高度差为H的水 桶上方.水泵由效率为η1的太阳能电池板供电，电池板与水平面之间的夹角为α，太阳光竖直向下照射(如图乙所示)，太阳光垂直照射时单位时间内单位面积的电池板接受的能量为E0.水泵的效率为η2，水泵出水口单位时间流出水的质量为m0，流出水流的速度大小为v0(不计水在细水管和空气中运动时所受的阻力).求：
(1)水从小孔喷出时的速度大小；
(2)水泵的输出功率；
(3)为了使水泵的工作能维持水面的高度不变，太阳能电池板面积的最小值S.
答案　见解析A组　基础训练
一、选择题
1．(2015·山东淄博六中期末考试)( ( http: / / www.21cnjy.com )多选)如图所示,一质量为m的小球固定于轻质 弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点处，将小球拉至A处，弹簧恰好无形 变，由静止释放小球，它运动到O点正下方B点间的竖直高度差为h，速度 为v，则(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．由A到B重力做的功等于mgh
B．由A到B重力势能减少mv2
C．由A到B小球克服弹力做功为mgh
D．小球到达位置B时弹簧的弹性势能为mgh－
解析　重力做功W＝mgh，与是否受其它力 ( http: / / www.21cnjy.com )无关，而从A下降到B下降的高 度为h，因此A正确；而从A下降到B的过程中,根据动能定理：mgh－W弹 ＝mv2，重力势能的减小量mgh＝W弹＋mv2,B错误；而在这个过程中，克 服弹力做的功W弹＝mgh－mv2，C错误，D正确．
答案　AD
2．(2015·山东青岛市一模)(多选)如 ( http: / / www.21cnjy.com )图所示，固定在水平面上的光滑斜面倾角为 30°，质量分别为M、m的两个物体通过细绳及轻弹簧连接于光滑轻滑轮两 侧，斜面底端有一与斜面垂直的挡板．开始时用手按住物体M,此时M距离 挡板的距离为s，滑轮两边的细绳恰好伸直，且弹簧处于原长状态．已知M ＝2m，空气阻力不计．松开手后，关于二者的运动下列说法中正确的是(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．M和m组成的系统机械能守恒
B．当M的速度最大时，m与地面间的作用力为零
C．若M恰好能到达挡板处，则此时m的速度为零
D．若M恰好能到达挡板处,则此过程中重力对M做的功等于弹簧弹性势能 的增加量与物体m的机械能增加量之和
解析　M在运动过程中，M ( http: / / www.21cnjy.com )、m与弹簧组成的系统机械能守恒，A错误；当 M速度最大时,弹簧的弹力等于Mgsin 30°＝mg，此时m对地面的压力恰好 为零,B正确；然后M做减速运动，当M恰好到达挡板时，也就是速度刚好 减小到了零，此时m受到的弹簧的弹力大于重力，还在加速上升，C错误； 根据功能关系，M减小的机械能，等于m增加的机械能与弹簧增加弹性势能 之和，而M恰好到达挡板时，动能恰好为零，因此减小的机械能等于减小的 重力势能，即等于重力对M做的功，D正确．
答案　BD
3．(2015·银川宁大附中期末)(多 ( http: / / www.21cnjy.com )选)如图所示，绝缘弹簧的下端固定在光滑斜面底 端，弹簧与斜面平行，带电小球Q(可视为质点)固定在绝缘斜面上的M点， 且在通过弹簧中心的直线ab上.现将与Q大小相同，带电性也相同的小球P， 从直线ab上的N点由静止释放，若两小球可视为点电荷．在小球P与弹簧 接触到速度变为零的过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．小球P的速度一定先增大后减小
B．小球P的机械能一直在减少
C．小球P速度最大时所受弹簧弹力和库仑力的合力为零
D．小球P与弹簧系统的机械能一定增加
解析　小球先沿斜面加速向下运动， ( http: / / www.21cnjy.com )后减速向下运动，当弹簧压缩量最大时， 小球静止，故A正确；根据除了重力和弹力之外的力做功量度机械能的变化 得，小球P除了重力和弹力之外的力做功还有弹簧的弹力和库仑斥力做功， 开始弹簧的弹力和库仑斥力的合力方向可能向上，也就是可能做负功，所以 小球P的机械能可能增大,故B错误；小球P的速度一定先增大后减小，当 P的加速度为零时，速度最大，所以小球P速度最大时所受弹簧弹力、重力 沿斜面向下的分力和库仑力的合力为零，故C错误；根据能量守恒定律知， 小球P的动能、与地球间重力势能、与小球Q间电势能和弹簧弹性势能的总 和不变，因为在小球P与弹簧接触到速度变为零的过程中，Q对P的库仑斥 力做正功，电势能减小，所以小球P与弹簧系统的机械能一定增加，故D正 确．
答案　AD
4．(2015·江苏南通调研测试) ( http: / / www.21cnjy.com )如图所示,AB、AC两光滑细杆组成的直角支架固定 在竖直平面内，AB与水平面的夹角为30°，两细杆上分别套有带孔的a、b 两小球，在细线作用下处于静止状态，细线恰好水平．某时刻剪断细线，在 两球下滑到底端的过程中，下列结论中正确的是(　　)
A．a、b两球到底端时速度相同
B．a、b两球重力做功相同
C．小球a下滑的时间大于小球b下滑的时间
D．小球a受到的弹力小于小球b受到的弹力
解析　细线剪断后，两个小球均沿光滑细杆做匀 ( http: / / www.21cnjy.com )加速直线运动，加速度a＝ gsin θ.从释放点到达底端，重力做功为mgh,高度相等，由于不知道两个小 球的质量关系，无法判断重力做功关系，选项B错；根据动能定理mgh＝mv2， v＝，根据高度相等可判断a、b两球到底端时速度大小相等但方向不同， 选项A错；对小球沿斜面匀加速直线运动有＝gsin θt2，运动时间t ＝，小球a的倾斜角度小，运动时间长，选项C对；垂直细杆的 方向没有运动，受力平衡，所以F＝mgcos θ，不知道质量关系，无法判断 两个小球受到的细杆弹力大小，选项D错．
答案　C
5．(2015·重庆巫山中 ( http: / / www.21cnjy.com )学月考)一质量为m的小球以初动能Ek0从地面竖直向上抛 出,已知上升过程中受到阻力作用，图中两条图线分别表示小球在上升过程中 动能、重力势能中的某一个与其上升高度之间的关系,(以地面为零势能面,h0 表示上升的最大高度，图中坐标数据中的k值为常数且满足0( http: / / www.21cnjy.com )
A．①表示的是动能随上升高度的图象,②表示的是重力势能随上升高度的图 象
B．上升过程中阻力大小恒定且f＝(k＋1)mg
C．上升高度h＝h0时，重力势能和动能不相等
D．上升高度h＝时，动能与重力势能之差为mgh0
解析　根据动能定理可知 ( http: / / www.21cnjy.com )小球上升过程中速度减小(动能减小，对应图象②)， 高度升高(重力势能增大，对应图象①)，故选项A错误；从①和②图象知动 能与重力势能都随着高度的变化成线性关系，故合力恒定，受到的阻力大小 恒定，由功能关系可知从抛出到最高点的过程中机械能的减少量等于阻力功 的大小，由②图象得：fh0＝Ek0－，由①图线结合动能定理得：Ek0＝(mg ＋f)h0，解得f＝kmg，故选项B错误；当高度h＝h0时，动能为Ek＝Ek0 －(mg＋f)h,联立解得，Ek＝mgh0，重力势能为Ep＝mgh＝mgh0，所 以在此高度时，物体的重力势能和动能相等，故C错误；当上升高度h＝时， 动能为Ek＝mgh0，重力势能为Ep＝mgh0，则动能与重力势能之差为mgh0， 故D正确．
答案　D
6．(2014·宁夏银川一中一模,16 ( http: / / www.21cnjy.com ))如图所示为某中学科技小组制作的利用太阳能驱 动小车的装置．当太阳光照射到小车上方的光电板时，光电板中产生的电流 经电动机带动小车前进．若质量为m的小车在平直的水泥路上从静止开始沿 直线加速行驶，经过时间t前进的距离为x，且速度达到最大值vm.设这一过 程中电动机的功率恒为P，小车所受阻力恒为F，那么这段时间内(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．小车做匀加速运动
B．小车受到的牵引力逐渐增大
C．小车受到的合外力所做的功为Pt
D．小车受到的牵引力做的功为Fx＋mv
解析　小车在运动方向上受向前的牵引力 ( http: / / www.21cnjy.com )F1和向后的阻力F，因为v增大， P不变，由P＝F1v，F1－F＝ma，得出F1逐渐减小，a也逐渐减小，当v＝ vm时，a＝0，故A、B项均错；合外力做的功W外＝Pt－Fx，由动能定理得 W牵－Fx＝mv，故C项错，D项对．
答案　D
7．(2014·山西太原一模，18 ( http: / / www.21cnjy.com ))将小球以10 m/s的初速度从地面竖直向上抛出，取 地面为零势能面,小球在上升过程中的动能Ek、重力势能Ep与上升高度h间 的关系分别如图中两直线所示．取g＝10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．小球的质量为0.2 kg
B．小球受到的阻力(不包括重力)大小为0.20 N
C．小球动能与重力势能相等时的高度为 m
D．小球上升到2 m时，动能与重力势能之差为0.5 J
解析　在最高点,Ep＝mgh得m＝0. ( http: / / www.21cnjy.com )1 kg，A项错误；由除重力以外其他力做 功W其＝ΔE可知：－fh＝E高－E低，E为机械能，解得f＝0.25 N，B项错误； 设小球动能和重力势能相等时的高度为H，此时有mgH＝mv2，由动能定理： －fH－mgH＝mv2－mv得H＝ m，故C项错；当上升h′＝2 m时，由 动能定理，－fh′－mgh′＝Ek2－mv得Ek2＝2.5 J，Ep2＝mgh′＝2 J，所以动能 与重力势能之差为0.5 J，故D项正确．
答案　D
二、非选择题
8．(2015·成都模拟)如图所示， ( http: / / www.21cnjy.com )滑雪坡道由斜面AB和圆弧面BO组成，BO与斜 面相切于B、与水平面相切于O，以O为原点在竖直面内建立直角坐标系xOy. 现有一质量m＝60 kg的运动员从斜面顶点A无初速滑下，运动员从O点飞 出后落到斜坡CD上的E点.已知A点的纵坐标为yA＝6 m，E点的横、纵坐 标分别为xE＝10 m，yE＝－5 m，不计空气阻力，g＝10 m/s2.求：
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)运动员在滑雪坡道ABO段损失的机械能；
(2)落到E点前瞬间，运动员的重力功率大小．
解析　(1)运动员从O点飞出后做平抛运动，则
xE＝vx-t
－yE＝gt2
解得，t＝1 s，vx＝10 m/s
在滑雪坡道ABO段，由能量守恒定律有：
损失的机械能为ΔE＝mgyA－mv
代入数据解得，ΔE＝600 J
(2)落到E点前瞬间，运动员在竖直方向上的分速度为vy＝gt
运动员的重力功率大小为P＝mgvy；
代入数据解得P＝6×103 W
答案　(1)600 J　(2)6×103 W
9．(2014·南昌调研)如图所示,在 ( http: / / www.21cnjy.com )粗糙水平面上竖直固定半径为R＝6 cm的光滑圆 轨道，质量为m＝4 kg的物块静止放在粗糙水平面上的A处，物块与水平面 间的动摩擦因数μ＝0.75，A与B的间距L＝0.5 m，现对物块施加大小恒定 的拉力F使其沿粗糙水平面做直线运动，到达B处将拉力F撤去，物块沿竖 直光滑圆轨道运动．若拉力F与水平面的夹角为θ时，物块恰好沿竖直光滑 圆轨道通过最高点，重力加速度g取10 m/s2，物块可视为质点．求：
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)物块到达B处时的动能；
(2)拉力F的最小值及此时拉力方向与水平方向的夹角θ.
解析　(1)设物块恰好到达竖直光滑轨道最高点时的速度为v，则有mg＝m
物块从B处沿光滑圆轨道运动到最高点，由机械能守恒定律得
EkB＝2mgR＋mv2
联立解得EkB＝mgR＝6 J
所以物块到达B处时的动能EkB＝6 J
(2)物块从A运动到B
因为W合＝ΔEk
所以FLcos θ－μ(mg－Fsin θ)L＝EkB
EkB＝FL(cos θ＋μsin θ)－μmgL
解得F＝＝ N
由数学知识可知，当θ＝37°时，F的最小值为33.6 N
答案　(1)6 J　(2)37°　33.6 N
B组　能力提升
一、选择题
1．(2015·江苏省苏锡常镇 ( http: / / www.21cnjy.com )四市调研)(多选)如图所示，轻质弹簧上端固定，下端系 一物体．物体在A处时，弹簧处于原长状态．现用手托住物体使它从A处缓 慢下降，到达B处时，手和物体自然分开．此过程中，物体克服手的支持力 所做的功为W.不考虑空气阻力．关于此过程，下列说法正确的有(　　)
A．物体重力势能减小量一定大于W
B．弹簧弹性势能增加量一定小于W
C．物体与弹簧组成的系统机械能增加量为W
D．若将物体从A处由静止释放，则物体到达B处时的动能为W
解析　根据能量守恒定律可知，在此过程 ( http: / / www.21cnjy.com )中减少的重力势能mgh＝ΔEp＋W， 所以物体重力势能减小量一定大于W,不能确定弹簧弹性势能增加量与W的 大小关系，故A正确；B错误；支持力对物体做负功，所以物体与弹簧组成 的系统机械能减少量为W，所以C错误；若将物体从A处由静止释放，从A 到B的过程，根据动能定理：Ek＝mgh－W弹＝mgh－ΔEp＝W，所以D正确．
答案　AD
2．(2015·河南陕州中学月考)(多选) ( http: / / www.21cnjy.com )一质量为2 kg的物体,在水平恒定拉力的作用 下以一定的初速度在粗糙的水平面上做匀速运动，当运动一段时间后，拉力 逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动，图中给出了拉力随位 移变化的关系图象．已知重力加速度g＝10 m/s2，由此可知(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．物体与水平面间的动摩擦因数约为0.35
B．减速过程中拉力对物体所做的功约为13 J
C．匀速运动时的速度约为6 m/s
D．减速运动的时间约为1.7 s
解析　物体匀速运动时，受力 ( http: / / www.21cnjy.com )平衡，则F＝μmg，μ＝＝＝0.35，选 项A正确；因为W＝Fs，故拉力的功等于Fs图线包含的“面积”，由图线 可知小格数为13，则功为13×1 J＝13 J，选项B正确；由动能定理可知：0 －mv＝WF－μmgs，其中s＝7 m，则解得v0＝6 m/s；由于不知道具体的运 动情况，无法求出减速运动的时间，故D错误．
答案　ABC
3．(2015·江苏扬州期末)(多选) ( http: / / www.21cnjy.com )如图所示，足够长的传送带与水平方向的倾角为θ， 物块a通过平行于传送带的轻绳跨过光滑轻滑轮与物块b相连，b的质量为 m.开始时，a、b及传送带均静止，且a不受传送带摩擦力作用，现让传送带 逆时针匀速转动，则在b上升h高度(未与滑轮相碰)过程中(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．物块a的重力势能减少mgh
B．摩擦力对a做的功等于a机械能的增量
C．摩擦力对a做的功等于物块a、b动能增量之和
D．任意时刻，重力对a、b做功的瞬时功率大小相等
解析　因为开始时，a、b及传送带均静 ( http: / / www.21cnjy.com )止，且a不受传送带摩擦力作用，说 明b的重力等于a沿斜面方向的分量，即mg＝magsin θ；当物块b上升h 后，物块a沿斜面下滑的距离为h，故a下降的高度为hsin θ，所以物块a 的重力势能减少量为maghsin θ＝mgh，选项A正确；根据功能关系，摩擦 力对a做的功等于a、b机械能的增量，所以选项B错误,C正确；在任意时 刻，设b的速度为v，则a的速度大小也是v,该速度沿竖直方向的分量为
vsin θ，故重力对b做功的瞬时 ( http: / / www.21cnjy.com )功率为Pb＝mgv，重力对a做功的瞬时功率 为Pa ＝magvsin θ＝mgv，故Pa＝Pb，所以选项D正确．
答案　ACD
4．(2015·江苏南京市、盐城市模拟)一滑 ( http: / / www.21cnjy.com )块以一定的初速度从一固定斜面的底端 向上冲,到斜面上某一点后返回底端，斜面粗糙．滑块运动过程中加速度与时 间关系图象如图所示.下列四幅图象分别表示滑块运动过程中位移x、速度v、 动能Ek和重力势能Ep(以斜面底端为参考平面)随时间变化的关系图象，其中 正确的是(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
解析　滑块冲上斜面到沿斜面下滑底端 ( http: / / www.21cnjy.com )的过程，先匀减速后匀加速，上滑过 程x＝v0t－a1t2,下滑过程x＝－a2(t－t1)2，所以两段均为开口向下的抛物线 (或者从x-t图线的斜率，由过程可知：速度先减小后增大，所以斜率先减小 后增大).所以A错误；因为有摩擦，所以机械能有损失，回到底端的速度必 小于v0，所以B错误；因为动能Ek＝mv2，即有上滑过程Ek＝m(v0－a1t)2， 下滑过程有Ek＝m[a2(t－t1)]2,上滑到最高点的动能为0，所以C错误；重力 势能Ep＝mgh，所以重力势能先增加后减小，即D正确．
答案　D
5．(2015·山东省新泰市模拟)如图 ( http: / / www.21cnjy.com )甲所示,为测定物体冲上粗糙斜面能达到的最大 位移x与斜面倾角θ的关系，将某一物体每次以不变的初速率v0沿足够长的 斜面向上推出，调节斜面与水平方向的夹角θ，实验测得x与斜面倾角θ的 关系如图乙所示，g取10 m/s2，根据图象可求出(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．物体的初速率v0＝3 m/s
B．物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.75
C．取不同的倾角θ，物体在斜面上能达到的位移x的最小值xmin＝1.44 m
D．当某次θ＝30°时，物体达到最大位移后将沿斜面下滑
解析　由图可知，当夹角θ＝0时，位移为 ( http: / / www.21cnjy.com )2.40 m；而当夹角为90°时，位 移为1.80 m；则由竖直上抛运动规律可知：v＝2gh，解得v0＝＝ ＝6 m/s，故A错误；当夹角为0度时，由动能定理可得：μmgx ＝mv；解得：μ＝＝0.75,故B正确；－mgxsin θ－μmgcos θx ＝0－mv
解得：x＝eq \f(v,2g（sin θ＋μcos θ）)＝＝ ；当θ＋α＝90°时,sin(θ＋α)＝1；此时位移最小，x＝
1.44 m；故C正确；若θ ( http: / / www.21cnjy.com )＝30°时，物体受到的重力的分力为mgsin 30°＝mg； 摩擦力f＝μmgcos 30°＝0.75×mg×＝mg；一般认为最大静摩擦力等 于滑动摩擦力；故小球达到最高点后，不会下滑；故D错误．
答案　BC
二、非选择题
6．(2015·江苏省泰州市联考)如 ( http: / / www.21cnjy.com )图甲所示是一打桩机的简易模型．质量m＝1 kg 的物体在恒定拉力F作用下从与钉子接触处由静止开始运动，上升一段高度 后撤去F，到最高点后自由下落，撞击钉子，将钉子打入一定深度．物体上 升过程中，机械能E与上升高度h的关系图象如图乙所示.不计所有摩擦，g 取10 m/s2.求：
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)物体上升到1 m高度处的速度；
(2)物体上升1 m后再经多长时间才撞击钉子(结果可保留根号)；
(3)物体上升到0.25 m高度处拉力F的瞬时功率．
解析　(1)设物体上升到h1＝1 m处的速度为v1，由图乙知
mgh1＋mv＝12
v1＝2 m/s
(2)由图乙知，物体上升到h1＝1 ( http: / / www.21cnjy.com )m后机械能守恒，即撤去拉力F，物体仅在 重力作用下先匀减速上升，至最高点后再自由下落．设向上减速时间为t1， 自由下落时间为t2
对减速上升阶段0－v1＝－gt1，t1＝0.2 s
减速上升距离Δh＝t1＝0.2 m
自由下落阶段有h1＋Δh＝gt，t2＝ s
即有t＝t1＋t2＝ s
(3)对F作用下物体的运动过程F·Δh＝ΔE
由图象可得，物体上升h1＝1 m的过程中所受拉力F＝12 N
物体向上做匀加速直线运动,设上升至h2＝0.25 m时的速度为v2,加速度为a
由牛顿第二定律有F－mg＝ma
由运动学公式有v＝2ah2
瞬时功率P＝Fv2
解得P＝12 W
答案　(1)2 m/s　(2) s　(3)12 W
7.(2015·重庆市月考) ( http: / / www.21cnjy.com )如图所示，在光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A、 B.它们的质量均为2m，弹簧的劲度系数为k，C为一固定挡板，物块A通过 一根轻绳跨过光滑的定滑轮与物块D相连，物块D的质量也为2m，用手托 住物块D，使轻绳拉直但没有作用力．从静止释放物块D，当物块D达到最 大速度时，物块B恰好离开挡板C.求：
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)斜面的倾角θ；
(2)物块D的最大速度vm；
(3)在其他条件不变的情 ( http: / / www.21cnjy.com )况下，将物块D的质量改为，若物块D的最大速 度为v，求物块D从开始运动到达到最大速度的过程中弹簧的弹性势能的变 化量ΔEp.
解析　(1)物块D达到最大速度时，A、B、D系统平衡，则
4mgsin θ＝2mg①
解得θ＝30°
(2)释放物块D前，对物块A有：2mgsin θ＝kx1②
物块D达到最大速度时，对物块B有：2mgsin θ＝kx2③
由②③得x2＝x1＝
即释放物块D时和物块D达到最大速度时，弹簧的弹性势能不变．
则由机械能守恒得：
2mg(x1＋x2)－2mg(x1＋x2)sin 30°＝(4m)v④
联立得：vm＝g⑤
(3)物块D达到最大速度时，B未离开挡板C，A、D系统平衡，则
mg＝kx3＋2mgsin θ⑥
所以x3＝mg(x3＋x1)－2mg(x3＋x1)sin θ＝×(m＋2m)v2＋ΔEp⑦
联立解得ΔEp＝－mv2⑧
答案　(1)30°　(2)g　(3)－mv2
8．(2014·广东深圳一模)如图甲所示， ( http: / / www.21cnjy.com )在倾角为37°的粗糙斜面的底端，一质量 m＝1 kg可视为质点的滑块压缩一轻弹簧并锁定，滑块与弹簧不相连．t＝0 时解除锁定，计算机通过传感器描绘出滑块的速度—时间图象如图乙所示， 其中Oab段为曲线,bc段为直线，在t1＝0.1 s时滑块已上滑s＝0.2 m的距离， g取10 m/s2.求：
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)物体离开弹簧后在图中bc段对应的加速度a及动摩擦因数μ的大小；
(2)t2＝0.3 s和t3＝0.4 s时滑块的速度v1、v2的大小；
(3)锁定时弹簧具有的弹性势能Ep.
解析　(1)由题中图象可知0.1 s物体离开弹簧向上做匀减速运动,加速度的大 小
a＝ m/s2＝10 m/s2
根据牛顿第二定律，有
a＝＝10 m/s2
解得μ＝0.5.
(2)根据速度时间公式，得t2＝0.3 s时的速度大小
v1＝v0－at＝1 m/s－10×0.1 m/s＝0
0．3 s后滑块开始下滑，下滑的加速度
a′＝＝2 m/s2
t2＝0.4 s时的速度大小v2＝a′t′＝2×0.1 m/s＝0.2 m/s.
(3)由功能关系可得：
Ep＝mv2＋mgssin 37°＋μmgscos 37°＝4 J.
答案　(1)10 m/s2　0.5　(2)0　0.2 m/s　(3)4 J
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考向一　考查功能关系与图象的综合应用
1．(功、机械能、图象问题)(多选)运动员从 ( http: / / www.21cnjy.com )悬停在空中的直升机上跳伞，伞打开 前可看做是自由落体运动，打开伞后减速下降，最后匀速下落．如果用h表 示下落高度，t表示下落的时间，F合表示人受到的合力，E表示人的机械能， Ep表示人的重力势能，v表示人下落的速度，在整个过程中，如果打开伞后 空气阻力与速度平方成正比，则下列图象可能符合事实的是(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
解析　运动员从直升机上跳伞，重力势能逐渐减 ( http: / / www.21cnjy.com )小，规定初位置重力势能为 零，则Ep＝mg(－h)，即重力势能与高度是线性关系，故A正确；机械能的 变化等于除重力外其余力做的功，故自由落体运动过程机械能守恒，故B错 误；运动员从直升机上跳伞，伞打开前看做自由落体运动；打开伞后减速下 降，空气阻力大于重力，合力向上，当阻力减小到等于重力时，合力为零， 做匀速直线运动；即合力先等于重力，竖直向下，然后突然竖直向上，再逐 渐减小到零，故C正确；运动员从直升机上跳伞，伞打开前可看做是自由落 体运动，打开伞后减速下降，最后匀速下落；减速过程中加速度a＝， 因v是变化的，故a是变化的，而D图中a是恒定的，故D错误．
答案　AC
考向二　考查力学知识的综合应用
2．(牛顿运动定律、运动学、 ( http: / / www.21cnjy.com )机械能守恒问题)(多选)倾角为37°的光滑斜面上固 定一个槽，劲度系数k＝20 N/m、原长l0＝0.6 m的轻弹簧下端与轻杆相连， 开始时杆在槽外的长度l＝0.3 m，且杆可在槽内移动，杆与槽间的滑动摩擦 力大小Ff＝6 N，杆与槽之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．质量m＝1 kg 的小车从距弹簧上端L＝0.6 m处由静止释放沿斜面向下运动．已知弹性势能 Ep＝kx2，式中x为弹簧的形变量．g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6.关于小车和杆 的运动情况，下列说法中正确的是(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．小车先做匀加速运动，然后做加速度逐渐减小的变加速运动
B.小车先做匀加速运动，然后做加速度逐渐减小的变加速运动，最后做匀速 直线运动
C．杆刚要滑动时小车已通过的位移为0.9 m
D．杆从开始运动到完全进入槽内所用时间为0.1 s
解析　小车从开始下滑至位移为L ( http: / / www.21cnjy.com )的过程中，小车只受重力和支持力，支持 力不做功,只有重力做功，加速度a＝gsin 37°＝6 m/s2不变，所以小车先做 匀加速运动，从刚接触弹簧，直至将弹簧压缩至弹力等于杆与槽的摩擦力， 即弹力由0逐渐增大至6 N,小车受到的合力逐渐减小到零，所以小车接着做 加速度逐渐减小的加速运动，最后匀速运动，B正确，A错误；当弹力为6 N 时，弹簧的形变量为Δx＝＝0.3 m，所以小车通过的位移为x＝L＋Δx＝
0.9 m，C正确；杆开始运动时，根据机械能守恒定律可知mgxsin 37°＝
k(Δx)2 ＋mv2，解得杆和小车的速度v＝3 m/s，杆从开始运动到完全进入
槽内的时间为t＝＝0.1 s，D正确．
答案　BCD
考向三　考查动能定理与数学知识的综合应用
3．(动能定理、平衡、极值问题)(多选)如 ( http: / / www.21cnjy.com )图所示，固定于竖直面内的粗糙斜杆， 与水平方向夹角为30°.质量为m的小球套在杆上，在拉力F的作用下，小 球沿杆由底端匀速运动至顶端．已知小球与斜杆之间的动摩擦因数为μ＝， 则关于拉力F的大小及其做功情况，下列说法正确的是(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．当α＝30°时，拉力F最小
B．当α＝60°时，拉力F做功最少
C．当α＝60°时，拉力F最小
D．当α＝90°时，拉力F做功最少
解析　对小球,沿杆方向Fcos α＝ ( http: / / www.21cnjy.com )mgsin 30°＋μ(mgcos 30°－Fsin α)，解 得F＝＝＝,故当α ＝30°时，拉力F最小，选项A正确，C错误；小球匀速运动，由动能定理 得；WF－Wf－WG＝0，要使拉力做功最小则Wf＝0，即摩擦力为0,则支持力 为0.分析小球受的各力然后正交分解列方程：
垂直斜面方向：Fsin α＝mgcos 30°
沿斜面方向：Fcos α＝mgsin 30°
解以上两方程得：α＝60°，F＝mg，故B正确，D错误．
答案　AB
考向四　考查牛顿运动定律与动能定理的综合应用
4．(牛顿第二定律、图象、功能关系 ( http: / / www.21cnjy.com )问题)某舰载机降落到静止的航母上,图甲为 航母甲板上拦阻索阻拦舰载机过程的俯视示意图，图乙为舰载机尾钩钩住拦 阻索正中位置、随即关闭发动机后加速度a随时间t变化的图象．已知舰载 机的质量M＝2.0×104 kg，尾钩刚钩住拦阻索时的初速度v0＝75 m/s，t1＝
0.3 s时拦阻索与尾钩刚钩住时拦阻索的初始位置的夹角θ＝45°,此时舰载
机所受空气阻力与甲板摩擦阻力 ( http: / / www.21cnjy.com )大小之和为f＝2.0×105 N，舰载机钩住拦阻索 至 停止的全过程中，克服空气阻力与甲板摩擦阻力做的总功Wf＝2.0×107 J．求：
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)t1＝0.3 s时拦阻索的拉力大小T；
(2)舰载机钩住拦阻索至停止的全过程中，克服拦阻索拉力做的功W.
解析　(1)由图乙可知t1＝0.3 s时加速度大小a＝30 m/s2①
由牛顿第二定律有2Tsinθ＋f＝Ma②
由①②式解得T＝2×105 N＝2.8×105 N③
(2)以舰载机为研究对象，由动能定理有
－W－Wf＝0－Mv④
W＝3.6×107 J⑤
答案　(1)2.8×105 N　(2)3.6×107 J考点一　功和功率
1．(2015·海南单科，3，3分) ( http: / / www.21cnjy.com )(难度★★)假设摩托艇受到的阻力的大小正比于它 的速率．如果摩托艇发动机的输出功率变为原来的2倍，则摩托艇的最大速 率变为原来的(　　)
A．4倍 B．2倍 C.倍 D.倍
解析　设f＝kv，当阻力等于牵引力时 ( http: / / www.21cnjy.com )，速度最大，输出功率变化前，有P ＝Fv＝fv＝kv·v＝kv2，变化后有2P＝F′v′＝kv′·v′＝kv′2，联立解得v′＝
v， D正确．
答案　D
2．(2015·新课标全国Ⅱ，17，6分 ( http: / / www.21cnjy.com ))(难度★★★)一汽车在平直公路上行驶．从某 时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示．假定汽车所受阻 力的大小f恒定不变．下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中，可 能正确的是(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
解析　当汽车的功率为P1时,汽车在运 ( http: / / www.21cnjy.com )动过程中满足P1＝F1v，因为P1不变， v逐渐增大，所以牵引力F1逐渐减小,由牛顿第二定律得F1－f＝ma1，f不变， 所以汽车做加速度减小的加速运动,当F1＝f时速度最大，且vm＝＝.当 汽车的功率突变为P2时，汽车的牵引力突增为F2，汽车继续加速，由P2＝ F2v可知F2减小，又因F2－f＝ma2，所以加速度逐渐减小，直到F2＝f时， 速度最大vm′＝，以后匀速运动．综合以上分析可知选项A正确．
答案　A
3．(2014·重庆理综，2,6分)(难度★ ( http: / / www.21cnjy.com )★)某车以相同的功率在两种不同的水平路面 上行驶,受到的阻力分别为车重的k1和k2倍,最大速率分别为v1和v2，则(　　)
A．v2＝k1v1 B．v2＝v1 C．v2＝v1 D．v2＝k2v1
解析　汽车以最大速率行驶时，牵引力F等于阻力f，即F＝f＝kmg.由P＝ k1mgv1及P＝k2mgv2，得v2＝v1，故B正确．
答案　B
4．(2014·新课标全国Ⅱ， ( http: / / www.21cnjy.com )16，6分)(难度★★★)一物体静止在粗糙水平地面上．现 用一大小为F1的水平拉力拉动物体,经过一段时间后其速度变为v.若将水平 拉力的大小改为F2,物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v.对于上述 两个过程,用WF1、WF2分别表示拉力F1、F2所做的功，Wf1、Wf2分别表示前 后两次克服摩擦力所做的功，则(　　)
A．WF2＞4WF1，Wf2＞2Wf1 　B．WF2＞4WF1，Wf2＝2Wf1
C．WF2＜4WF1，Wf2＝2Wf1 　D．WF2＜4WF1，Wf2＜2Wf1
解析　WF1＝mv2＋μmg· ( http: / / www.21cnjy.com )t,WF2＝m·4v2＋μmgt，故WF2＜4WF1；Wf1＝ μmg·t，Wf2＝μmg·t，故Wf2＝2Wf1，C正确．
答案　C
5．(2012·江苏，3分) ( http: / / www.21cnjy.com )(难度★★)如图所示，细线的一端固定于O点，另一端系一 小球.在水平拉力作用下,小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点．在 此过程中拉力的瞬时功率变化情况是(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大，后减小 D．先减小，后增大
解析　因小球速率不变，所以小球以O点为圆心 ( http: / / www.21cnjy.com )做匀速圆周运动．受力如图 所示,因此在切线方向上应有：mgsin θ＝Fcos θ，得F＝mgtan θ.则拉力 F的瞬时功率P＝F·vcos θ＝mgv·sin θ.从A运动到B的过程中，拉力的 瞬时功率随θ的增大而增大．A项正确．
( http: / / www.21cnjy.com )
答案　A
6．(2012·上海物理，15，3分)(难 ( http: / / www.21cnjy.com )度★★★)质量相等的匀质柔软细绳A、B平放 于水平地面，绳A较长．分别捏住两绳中点缓慢提起，直至全部离开地面， 两绳中点被提升的高度分别为hA、hB，上述过程中克服重力做功分别为WA、 WB.若(　　)
A．hA＝hB，则一定有WA＝WB
B．hA>hB，则可能有WAC．hAD．hA>hB，则一定有WA>WB
解析　两绳子中点被提升从而使绳子全部离开地 ( http: / / www.21cnjy.com )面，考虑此时绳子重心上升 的高度，绳子的重心距离绳子中点1/4总长处．若绳子总长分别为lA和lB， 则细绳A重心上升的高度hA′＝hA－,细绳B重心上升的高度hB′＝hB－. 根据W＝mgh可得：WA－WB＝mg(hA′－hB′)＝mg[(hA－hB)－(lA－lB)]．由 题意lA＞lB，故A、C、D错误，B正确．
答案　B
7．(2011·新课标全国卷， ( http: / / www.21cnjy.com )15,6分)(难度★★)(多选)一质点开始时做匀速直线运动， 从某时刻起受到一恒力作用．此后，该质点的动能可能(　　)
A．一直增大
B．先逐渐减小至零，再逐渐增大
C．先逐渐增大至某一最大值，再逐渐减小
D．先逐渐减小至某一非零的最小值，再逐渐增大
解析　质点的动能变化由合力做功情况决定，当 ( http: / / www.21cnjy.com )恒力方向与质点原来的速度 方向相同时，合力始终做正功，质点的动能一直增大，A正确；当恒力方向 与质点原来的速度方向相反时，合力先做负功后做正功，速度先减小到零再 逐渐增大，质点的动能也先逐渐减小至零再逐渐增大，B正确；如图甲所示， 当恒力方向与质点原来的速度方向夹角为锐角时，合力始终做正功，质点的 动能一直增大；如图乙所示，当恒力方向与质点原来的速度方向夹角为钝角 时，合力先做负功后做正功，动能先减小至某一非零的最小值，再逐渐增大， D正确．
答案　ABD
8. (2015·四川理综 ( http: / / www.21cnjy.com )，9,15分)(难度★★★)严重的雾霾天气，对国计民生已造成了 严重的影响,汽车尾气是形成雾霾的重要污染源，“铁腕治污”已成为国家的 工作重点．地铁列车可实现零排放，大力发展地铁，可以大大减少燃油公交 车的使用，减少汽车尾气排放．
( http: / / www.21cnjy.com )
若一地铁列车从甲站由静止 ( http: / / www.21cnjy.com )启动后做直线运动，先匀加速运动20 s达最高速 度72 km/h,再匀速运动80 s，接着匀减速运动15 s到达乙站停住．设列车在 匀加速运动阶段牵引力为1×106 N,匀速运动阶段牵引力的功率为6×103 kW， 忽略匀减速运动阶段牵引力所做的功．
(1)求甲站到乙站的距离；
(2)如果燃油公交车运行中做的功与 ( http: / / www.21cnjy.com )该列车从甲站到乙站牵引力做的功相同， 求公交车排放气态污染物的质量．(燃油公交车每做1焦耳功排放气态污染物 3×10－6克)
解析　(1)设列车匀加速直线运动阶段所 ( http: / / www.21cnjy.com )用的时间为t1；距离为s1；在匀速直 线运动阶段所用的时间为t2,距离为s2，速度为v；在匀减速直线运动阶段所 用的时间为t3，距离为s3；甲站到乙站的距离为s.则s1＝v-t1 ①
s2＝v-t2 ②
s3＝v-t3 ③
s＝s1＋s2＋s3 ④
联立①②③④式并代入数据得s＝1 950 m ⑤
(2)设列车在匀加速直线运动阶段 ( http: / / www.21cnjy.com )的牵引力为F,所做的功为W1；在匀速直线 运动阶段的牵引力的功率为P,所做的功为W2.设燃油公交车做与该列车从甲 站到乙站相同的功W，将排放气态污染物质量为M.则W1＝Fs1 ⑥
W2＝Pt2 ⑦
W＝W1＋W2 ⑧
M＝(3×10－9 kg·J－1)·W ⑨
联立①⑥⑦⑧⑨式并代入数据得M＝2.04 kg ⑩
答案　(1)1 950 m　(2)2.04 kg
考点二　动能定理及其应用
1. (2015·新课标全国Ⅰ，1 ( http: / / www.21cnjy.com )7,6分)(难度★★★)如图，一半径为R、粗糙程度处处 相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平．一质量为m的质点自P 点上方高度R处由静止开始下落，恰好从P点进入轨道．质点滑到轨道最低 点N时，对轨道的压力为4mg，g为重力加速度的大小．用W表示质点从P 点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功．则(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．W＝mgR，质点恰好可以到达Q点
B．W＞mgR，质点不能到达Q点
C．W＝mgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离
D．W＜mgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离
解析　根据动能定理得P点动 ( http: / / www.21cnjy.com )能EkP＝mgR,经过N点时，由牛顿第二定律和 向心力公式可得4mg－mg＝m，所以N点动能为EkN＝，从P点到N 点根据动能定理可得mgR－W＝－mgR,即克服摩擦力做功W＝.质 点运动过程，半径方向的合力提供向心力即FN－mgcos θ＝ma＝m，根据 左右对称，在同一高度处，由于摩擦力做功导致在右边圆形轨道中的速度变 小，轨道弹力变小，滑动摩擦力Ff＝μFN变小，所以摩擦力做功变小，那么 从N到Q，根据动能定理,Q点动能EkQ＝－mgR－W′＝mgR－W′，由 于W′＜，所以Q点速度仍然没有减小到0，会继续向上运动一段距离， 对照选项，C正确．
答案　C
2．(2015·浙江理综，18, ( http: / / www.21cnjy.com )6分)(难度★★★)(多选)我国科学家正在研制航母舰载机 使用的电磁弹射器．舰载机总质量为3.0×104 kg，设起飞过程中发动机的推 力恒为1.0×105 N；弹射器有效作用长度为100 m,推力恒定．要求舰载机在 水平弹射结束时速度大小达到80 m/s.弹射过程中舰载机所受总推力为弹射 器和发动机推力之和，假设所受阻力为总推力的20%，则(　　)
A．弹射器的推力大小为1.1×106 N
B．弹射器对舰载机所做的功为1.1×108 J
C．弹射器对舰载机做功的平均功率为8.8×107 W
D．舰载机在弹射过程中的加速度大小为32 m/s2
解析　设总推力为F,位移x，阻力F ( http: / / www.21cnjy.com )阻＝20%F，对舰载机加速过程由动能定 理得Fx－20%Fx＝mv2，解得F＝1.2×106 N，弹射器推力F弹＝F－F发＝ 1.2×106 N－1.0×105 N＝1.1×106 N,A正确；弹射器对舰载机所做的功为W ＝F弹x＝1.1×106×100 J＝1.1×108 J，B正确；弹射器对舰载机做功的平均 功率P＝F弹·＝4.4×107 W,C错误；根据运动学公式v2＝2ax，得a＝ ＝32 m/s2，D正确．
答案　ABD
3. (2015·海南单科，4，3分 ( http: / / www.21cnjy.com ))(难度★★★)如图，一半径为R的半圆形轨道竖直固 定放置，轨道两端等高，质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑 到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g.质点自P滑到 Q的过程中，克服摩擦力所做的功为(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A.mgR B.mgR
C.mgR D.mgR
解析　在Q点质点受到竖直向下的重 ( http: / / www.21cnjy.com )力和竖直向上的支持力，两力的合力充 当向心力，所以有FN－mg＝m,FN＝2mg，联立解得v＝，下滑过程中， 根据动能定理可得mgR－Wf＝mv2，解得Wf＝mgR，所以克服摩擦力做功
mgR，C正确．
答案　C
4．(2014·大纲全国，19，6分 ( http: / / www.21cnjy.com ))(难度★★★)一物块沿倾角为θ的斜坡向上滑动．当 物块的初速度为v时,上升的最大高度为H，如图所示；当物块的初速度为 时，上升的最大高度记为h.重力加速度大小为g.物块与斜坡间的动摩擦因数 和h分别为(　　)
A．tan θ和 B．(－1)tan θ和
C．tan θ和 D．(－1)tan θ和
解析　由动能定理有
－mgH－μmgcos θ＝0－mv2
－mgh－μmgcos θ＝0－m()2
解得μ＝(－1)tan θ，h＝，故D正确．
答案　D
5．(2015·浙江理综，23，1 ( http: / / www.21cnjy.com )6分)(难度★★★)如图所示，用一块长L1＝1.0 m的木 板在墙和桌面间架设斜面,桌子高H＝0.8 m，长L2＝1.5 m．斜面与水平桌面 的倾角θ可在0～60°间调节后固定.将质量m＝0.2 kg的小物块从斜面顶端 静止释放，物块与斜面间的动摩擦因数μ1＝0.05，物块与桌面间的动摩擦因 数为μ2，忽略物块在斜面与桌面交接处的能量损失(重力加速度取g＝10 m/s2； 最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)求θ角增大到多少时，物块能从斜面开始下滑；(用正切值表示)
(2)当θ角增大到37 ( http: / / www.21cnjy.com )°时,物块恰能停在桌面边缘，求物块与桌面间的动摩擦 因数μ2；(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(3)继续增大θ角，发现θ＝53°时物块落地点与墙面的距离最大，求此最大 距离xm.
解析　(1)要使小物块能够下滑必须满足
mgsin θ＞μ1mgcos θ①
解得tan θ＞0.05②
(2)物块从斜面顶端下滑到停在桌面边缘过程中物块克服摩擦力做功Wf＝ μ1mgL1cos θ＋μ2mg(L2－L1cos θ)③
全过程由动能定理得：mgL1sin θ－Wf＝0④
代入数据解得μ2＝0.8⑤
(3)当θ＝53°时物块能够滑离桌面，做平抛运动落到地面上，物块从斜面顶 端由静止滑到桌面边缘，由动能定理得：
mgL1sin θ－Wf＝mv2⑥
由③⑥解得v＝1 m/s⑦
对于平抛过程列方程有：H＝gt2，解得t＝0.4 s⑧
x1＝v-t，解得x1＝0.4 m⑨
则xm＝x1＋L2＝1.9 m⑩
答案　(1)tan θ＞0.05　(2)0.8　(3)1.9 m
6. (2015·海南单科 ( http: / / www.21cnjy.com )，14，13分)(难度★★★★)如图，位于竖直平面内的光滑轨道 由四分之一圆弧ab和抛物线bc组成,圆弧半径Oa水平，b点为抛物线顶点．已 知h＝2 m，s＝ m．取重力加速度大小g＝10 m/s2.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)一小环套在轨道上从a点由静止滑下,当其在bc段轨道运动时，与轨道之 间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；
(2)若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c点时速度的水平分 量的大小．
解析　(1)一小环在bc段轨道 ( http: / / www.21cnjy.com )运动时,与轨道之间无相互作用力，则说明下落 到b点时的速度水平,小环做平抛运动的轨迹与轨道bc重合，故有s＝v0t①
h＝gt2 ②
在ab滑落过程中，根据动能定理可得mgR＝mv③
联立三式可得R＝＝0.25 m
(2)下滑过程中,初速度为零，只有重力做功，根据动能定理可得mgh＝mv④
因为物体滑到c点时与竖直方向的夹 ( http: / / www.21cnjy.com )角等于(1)问中做平抛运动过程中经过c 点时速度与竖直方向的夹角相等,设为θ，则根据平抛运动规律可知sinθ＝ eq \f(vb,\r(v＋2gh))⑤
根据运动的合成与分解可得sin θ＝⑥
联立①②④⑤⑥可得v水平＝ m/s.
答案　(1)0.25 m　(2) m/s
7．(2015·山东理综，23，18 ( http: / / www.21cnjy.com )分)(难度★★★)如图甲所示，物块与质量为m的小 球通过不可伸长的轻质细绳跨过两等高定滑轮连接．物块置于左侧滑轮正下 方的表面水平的压力传感装置上，小球与右侧滑轮的距离为l.开始时物块和 小球均静止，将此时传感装置的示数记为初始值．现给小球施加一始终垂直 于l段细绳的力、将小球缓慢拉起至细绳与竖直方向成60°角，如图乙所示， 此时传感装置的示数为初始值的1.25倍；再将小球由静止释放，当运动至最 低位置时,传感装置的示数为初始值的0.6倍．不计滑轮的大小和摩擦，重力 加速度的大小为g.求：
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
(1)物块的质量；
(2)从释放到运动至最低位置的过程中，小球克服空气阻力所做的功．
解析　(1)设开始时细绳的拉力大小为T1,传感装置的初始值为F1，物块质量 为M，由平衡条件得
对小球，T1＝mg①
对物块，F1＋T1＝Mg②
当细绳与竖直方向的夹角为60°时,设细绳的拉力大小为T2，传感装置的示 数为F2，据题意可知，F2＝1.25F1，由平衡条件得
对小球，T2＝mgcos 60°③
对物块，F2＋T2＝Mg④
联立①②③④式，代入数据得
M＝3m⑤
(2)设小球运动至最低位置时速度的大小为v，从释放到运动至最低位置的过 程中，小球克服阻力所做的功为Wf，由动能定理得
mgl(1－cos 60°)－Wf＝mv2⑥
在最低位置，设细绳的拉力大小为T3，传感装置的示数为F3，据题意可知，
F3＝0.6F1，对小球，由牛顿第二定律得
T3－mg＝m⑦
对物块，由平衡条件得
F3＋T3＝Mg⑧
联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得
Wf＝0.1mgl⑨
答案　(1)3m　(2)0.1mgl
8．(2015·重庆理综，8，16 ( http: / / www.21cnjy.com )分)(难度★★★★)同学们参照伽利略时期演示平抛运 动的方法制作了如图所示的实验装置，图中水平放置的底板上竖直地固定有 M板和N板.M板上部有一半径为R的圆弧形的粗糙轨道，P为最高点，Q 为最低点，Q点处的切线水平，距底板高为H.N板上固定有三个圆环．将质 量为m的小球从P处静止释放,小球运动至Q飞出后无阻碍地通过各圆环中 心,落到底板上距Q水平距离为L处，不考虑空气阻力，重力加速度为g.求：
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)距Q水平距离为的圆环中心到底板的高度；
(2)小球运动到Q点时速度的大小以及对轨道压力的大小和方向；
(3)摩擦力对小球做的功．
解析　(1)小球在Q点处的速度为v0 ( http: / / www.21cnjy.com ),从Q到距Q水平距离为的圆环中心处 的时间为t1，落到底板上的时间为t，距Q水平距离为的圆环中心到底板的 高度为h，由平抛运动规律得
L＝v0t①
＝v0t1②
H＝gt2③
H－h＝gt④
联立①②③④式解得h＝H⑤
(2)联立①③式解得v0＝L⑥
在Q点处对球由牛顿第二定律得FN－mg＝eq \f(mv,R)⑦
联立⑥⑦式解得FN＝mg(1＋)⑧
由牛顿第三定律得小球对轨道的压力大小为
FN′＝FN＝mg(1＋)⑨
方向竖直向下
(3)从P到Q对小球由动能定理得
mgR＋Wf＝mv⑩
联立⑥⑩式解得Wf＝mg(－R)
答案　(1)H　(2)L　mg(1＋)，方向竖直向下　(3)mg(－R)
9．(2014·福建理综，21, ( http: / / www.21cnjy.com )19分)(难度★★★★)下图为某游乐场内水上滑梯轨道示 意图,整个轨道在同一竖直平面内，表面粗糙的AB段轨道与四分之一光滑圆 弧轨道BC在B点水平相切.点A距水面的高度为H，圆弧轨道BC的半径为 R，圆心O恰在水面.一质量为m的游客(视为质点)可从轨道AB的任意位置 滑下，不计空气阻力．
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)若游客从A点由静 ( http: / / www.21cnjy.com )止开始滑下，到B点时沿切线方向滑离轨道落在水面D 点，OD＝2R，求游客滑到B点时的速度vB大小及运动过程轨道摩擦力对其 所做的功Wf；
(2)若游客从AB段某处滑下，恰好停在 ( http: / / www.21cnjy.com )B点，又因受到微小扰动，继续沿圆 弧轨道滑到P点后滑离轨道,求P点离水面的高度h.(提示：在圆周运动过程 中任一点，质点所受的向心力与其速率的关系为F向＝m)
解析　(1)游客从B点做平抛运动，有
2R＝vBt①
R＝gt2②
由①②式得
vB＝③
从A到B，根据动能定理，有
mg(H－R)＋Wf＝mv－0④
由③④式得
Wf＝－(mgH－2mgR)⑤
(2)设OP与OB间夹角为θ，游客在P点时的速度为vP，受到的支持力为N， 从B到P由机械能守恒定律，有
mg(R－Rcos θ)＝mv－0⑥
过P点时，根据向心力公式，有
mgcos θ－N＝meq \f(v,R)⑦
N＝0⑧
cos θ＝⑨
由⑥⑦⑧⑨式解得
h＝R⑩
答案　(1)　－(mgH－2mgR)　(2)R
10．(2012·北京理综，22 ( http: / / www.21cnjy.com )，16分)(难度★★★★)如图所示，质量为m的小物块在 粗糙水平桌面上做直线运动，经距离l后以速度v飞离桌面，最终落在水平 地面上．已知l＝1.4 m,v＝3.0 m/s, m＝0.10 kg，物块与桌面间的动摩擦因数 μ＝0.25，桌面高h＝0.45 m．不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.求：
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)小物块落地点距飞出点的水平距离s；
(2)小物块落地时的动能Ek；
(3)小物块的初速度大小v0.
解析　(1)由平抛运动规律，有
竖直方向：h＝gt2
水平方向：s＝v-t
得s＝v＝0.90 m
(2)由机械能守恒定律，得小物块落地时的动能
Ek＝mv2＋mgh＝0.90 J
(3)由动能定理，有－μmg·l＝mv2－mv
得初速度大小v0＝＝4.0 m/s
答案　(1)0.90 m　(2)0.90 J　(3)4.0 m/s
考点三　机械能守恒定律及其应用
1．(2015·四川理综，1,6 ( http: / / www.21cnjy.com )分)(难度★★)在同一位置以相同的速率把三个小球分别 沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时 的速度大小(　　)
A．一样大 B．水平抛的最大
C．斜向上抛的最大 D．斜向下抛的最大
解析　由机械能守恒定律mgh＋mv＝mv知，落地时速度v2的大小相等， 故A正确．
答案　A
2．(2015·新课标全 ( http: / / www.21cnjy.com )国Ⅱ，21，6分)(难度★★★)(多选)如图，滑块a、b的质量均 为m，a套在固定竖直杆上,与光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通 过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动，不计摩擦，a、b可视为质点，重 力加速度大小为g.则(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
解析　滑块b的初速度为零，末 ( http: / / www.21cnjy.com )速度也为零，所以轻杆对b先做正功，后做 负功，选项A错误；以滑块a、b及轻杆为研究对象,系统的机械能守恒，当 a刚落地时，b的速度为零，则mgh＝mv＋0，即va＝，选项B正确； a、b的先后受力如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com )
由a的受力图可知，a下落过程 ( http: / / www.21cnjy.com )中，其加速度大小先小于g后大于g,选项C 错误；当a落地前b的加速度为零(即轻杆对b的作用力为零)时,b的机械能 最大，a的机械能最小，这时b受重力、支持力,且FNb＝mg，由牛顿第三定 律可知，b对地面的压力大小为mg，选项D正确．
答案　BD
3．(2014·安徽理综，15，6 ( http: / / www.21cnjy.com )分)(难度★★)如图所示，有一内壁光滑的闭合椭圆形 管道，置于竖直平面内，MN是通过椭圆中心O点的水平线．已知一小球从 M点出发，初速率为v0，沿管道MPN运动，到N点的速率为v1，所需时间 为t1；若该小球仍由M点以初速率v0出发，而沿管道MQN运动，到N点的 速率为v2，所需时间为t2.则(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．v1＝v2，t1＞t2 B．v1t2
C．v1＝v2，t1解析　管道内壁光滑,只有重力做功，机械能守恒，故v1＝v2＝v0；由v-t图 象定性分析如图，得t1>t2.
( http: / / www.21cnjy.com )
答案　A
4．(2014·上海单科，11，3分)( ( http: / / www.21cnjy.com )难度★★★)静止在地面上的物体在竖直向上的恒 力作用下上升，在某一高度撤去恒力．不计空气阻力，在整个上升过程中， 物体机械能随时间变化关系是(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
解析　以地面为零势能面，以竖直 ( http: / / www.21cnjy.com )向上为正方向，则对物体，在撤去外力前， 有F－mg＝ma，h＝at2，某一时刻的机械能E＝ΔE＝F·h，解以上各式得E ＝·ΔE∝t2，撤去外力后，物体机械能守恒，故只有C正确．
答案　C
5．(2012·海南物理，7，4分)(难度★★)(多选)下列关于功和机械能的说法，正确 的是(　　)
A．在有阻力作用的情况下,物体重力势能的减少不等于重力对物体所做的功
B．合力对物体所做的功等于物体动能的改变量
C．物体的重力势能是物体与地球之间的相互作用能,其大小与势能零点的选 取有关
D．运动物体动能的减少量一定等于其重力势能的增加量
解析　重力做功伴随着重力势能的变化， ( http: / / www.21cnjy.com )重力做了多少正功，物体的重力势 能就减少多少，A错误；由动能定理知，合外力对物体做的功等于物体动能 的改变量，B正确；物体的重力势能是由于地球与物体的相互作用而产生的， 势能的大小与零势能面的选取有关，C正确；物体的机械能是否守恒未知， 无法确定物体动能的减少量与重力势能的增加量的关系，D错误．
答案　BC
6．(2012·浙江理综，18,6分)( ( http: / / www.21cnjy.com )难度★★★)(多选)由光滑细管组成的轨道如图所示， 其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内．一 质量为m的小球,从距离水平地面高为H的管口D处静止释放，最后能够从 A端水平抛出落到地面上．下列说法正确的是(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2
B．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2
C．小球能从细管A端水平抛出的条件是H>2R
D．小球能从细管A端水平抛出的最小高度Hmin＝R
解析　设小球从A端水平抛出 ( http: / / www.21cnjy.com )的速度为vA，由机械能守恒，得mgH＝mg·2R ＋mv,得vA＝，设空中运动的时间为t，由2R＝gt2，得t＝2， 水平位移x水＝vAt＝2,故B正确．小球能从细管A端水平抛出的 条件是D点应比A点高，即H>2R，C正确．
答案　BC
7．(2012·上海单科 ( http: / / www.21cnjy.com )，16，3分)(难度★★★)如图，可视为质点的小球A、B用不 可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量 为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B 上升的最大高度是(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2R B．5R/3 C．4R/3 D．2R/3
解析　如图所示，以A、B为系统，以地面 ( http: / / www.21cnjy.com )为零势能面，设A质量为2m，B 质量为m，根据机械能守恒定律有：2mgR＝mgR＋×3mv2,A落地后B将以 v做竖直上抛运动，即有mv2＝mgh，解得h＝R.则B上升的高度为R＋R ＝R，故选项C正确．
( http: / / www.21cnjy.com )
答案　C
8．(2012·全国卷，26，20分) ( http: / / www.21cnjy.com )(难度★★★★)一探险队员在探险时遇一山沟,山沟 的一侧竖直，另一侧的坡面呈现抛物线形状．此队员从山沟的竖直一侧，以 速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面．如图所示,以沟底的O点为原点建立坐 标系Oxy.已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y＝x2， 探险队员的质量为m.人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)求此人落到坡面的动能；
(2)此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值 为多少？
解析　(1)设该队员在空中运动的时间为t,在坡面上落点的横坐标为x，纵坐 标为y.由运动学公式和已知条件得
x＝v0t①
2h－y＝gt2②
根据题意有y＝③
由机械能守恒，落到坡面时的动能
mv2＝mv＋mg(2h－y)④
联立①②③④式得mv2＝m(v＋eq \f(4g2h2,v＋gh))⑤
(2)⑤式可改写为v2＝v＋eq \f(4g2h2,v＋gh)＝[(v＋gh)＋eq \f(4g2h2,v＋gh)]－gh≥4gh－gh＝3gh
即当v0＝时，v2取最小值
最小动能为mv2＝mgh
答案　(1)m(v＋eq \f(4g2h2,v＋gh))　(2)　mgh
考点四　功能关系　能量守恒
1. (2015·江苏单科,9，4分) ( http: / / www.21cnjy.com )(难度★★★)(多选)如图所示，轻质弹簧一端固定，另 一端与一质量为m、套在粗糙竖直固定杆A处的圆环相连，弹簧水平且处于 原长．圆环从A处由静止开始下滑,经过B处的速度最大，到达C处的速度 为零，AC＝h.圆环在C处获得一竖直向上的速度v，恰好能回到A.弹簧始终 在弹性限度内，重力加速度为g.则圆环(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．下滑过程中，加速度一直减小
B．下滑过程中，克服摩擦力做的功为mv2
C．在C处，弹簧的弹性势能为mv2－mgh
D．上滑经过B的速度大于下滑经过B的速度
解析　由题意知，圆环从A到C先 ( http: / / www.21cnjy.com )加速后减速,到达B处的加速度减小为零， 故加速度先减小后增大，故A错误；根据能量守恒，从A到C有mgh＝Wf ＋Ep,从C到A有mv2＋Ep＝mgh＋Wf，联立解得：Wf＝mv2，Ep＝mgh－mv2， 所以B正确,C错误；根据能量守恒，从A到B有mgh1＝mv＋ΔEp1＋Wf1， 从C到B有mv2＋ΔEp2＝mv＋Wf2＋mgh2，又有mv2＋Ep＝mgh＋Wf，联 立可得vB2＞vB1，所以D正确．
答案　BD
2．(2014·山东理综， ( http: / / www.21cnjy.com )20，6分)(难度★★★)2013年我国相继完成“神十”与“天 宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程．某航天爱好者提出“玉 兔”回家的设想：如图，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h高 度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉 兔”返回地球．设“玉兔”质量为m，月球半径为R，月面的重力加速度为 g月．以月面为零势能面，“玉兔”在h高度的引力势能可表示为Ep＝ , 其中G为引力常量，M为月球质量．若忽略月球的自转，从开 始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A.(h＋2R) B.(h＋R)
C.(h＋R) D.(h＋R)
解析　对“玉兔”，由G＝m得v＝，动能Ek＝mv2， 势能Ep＝且GM＝R2g月，由功能关系知对“玉兔”做的功W＝Ek ＋Ep＝(h＋)，故D项正确．
答案　D
3．(2014·广东理综，1 ( http: / / www.21cnjy.com )6，4分)(难度★★)如图是安装在列车车厢之间的摩擦缓冲 器结构图，图中①和②为楔块，③和④为垫板，楔块与弹簧盒、垫板间均有 摩擦，在车厢相互撞击使弹簧压缩的过程中(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．缓冲器的机械能守恒
B．摩擦力做功消耗机械能
C．垫板的动能全部转化为内能
D．弹簧的弹性势能全部转化为动能
解析　在弹簧压缩过程中，由于摩擦力做功消耗机械能，因此机械能不守恒， 选项A错B对；垫板的动能转化为弹性势能和内能，选项C、D均错误．
答案　B
4．(2014·福建理综，18，6分) ( http: / / www.21cnjy.com )(难度★★★)如图，两根相同的轻质弹簧，沿足够 长的光滑斜面放置，下端固定在斜面底部挡板上，斜面固定不动．质量不同、 形状相同的两物块分别置于两弹簧上端．现用外力作用在物块上，使两弹簧 具有相同的压缩量；若撤去外力后，两物块由静止沿斜面向上弹出并离开弹 簧，则从撤去外力到物块速度第一次减为零的过程，两物块(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．最大速度相同 B．最大加速度相同
C．上升的最大高度不同 D．重力势能的变化量不同
解析　下图为物块能向上弹出且离开弹簧，则 ( http: / / www.21cnjy.com )物块在刚撤去外力时加速度最 大，由牛顿第二定律得：kx－mgsin θ＝ma，即a＝－gsin θ，由于两物 块k、x、θ均相同，m不同，则a 不同，B错误；当mgsin θ＝kx0即x0＝ 时，速度最大,如图，设两物块质量m1＜m2，其平衡位置分别为O1、O2，初 始位置为O，则从O至O2的过程中，由W弹－WG＝Ek及题意知，W弹相同， WG1＜WG2，故Ek1＞Ek2，即v1＞v2，而此时m2的速度v2已达最大，此后， m1的速度将继续增大直至最大,而m2的速度将减小，故一定是质量小的最大 速度大，A错误；从开始运动至最高点，由Ep＝mgh及题意知重力势能的变 化量ΔEp＝mgh相同，m不同，h也不同，故C正确，D错误．
答案　C
5．(2013·江苏物理 ( http: / / www.21cnjy.com )，9，4分)(难度★★★)(多选)如图所示，水平桌面上的轻质弹 簧一端固定，另一端与小物块相连.弹簧处于自然长度时物块位于O点(图中 未标出)．物块的质量为m，AB＝a，物块与桌面间的动摩擦因数为μ.现用水 平向右的力将物块从O点拉至A点,拉力做的功为W.撤去拉力后物块由静止 向左运动，经O点到达B点时速度为零．重力加速度为g.则上述过程中(　　)
A．物块在A点时，弹簧的弹性势能等于W－μmga
B．物块在B点时，弹簧的弹性势能小于W－μmga
C．经O点时，物块的动能小于W－μmga
D．物块动能最大时弹簧的弹性势能小于物块在B点时弹簧的弹性势能
解析　在物块从A向B的运动过程中,由于摩擦 ( http: / / www.21cnjy.com )力作用，a<2OA，故EpA＝W －μmgOA答案　BC
6．(2015·福建理综，21 ( http: / / www.21cnjy.com )，19分)(难度★★★★)如图，质量为M的小车静止在光 滑水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一圆弧光滑轨道,BC段是长为 L的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B点．一质量为m的滑块在小车上从A 点由静止开始沿轨道滑下，重力加速度为g.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力；
(2)若不固定小车，滑块仍从A点由静止 ( http: / / www.21cnjy.com )下滑，然后滑入BC轨道，最后从C 点滑出小车．已知滑块质量m＝，在任一时刻滑块相对地面速度的水平分 量是小车速度大小的2倍，滑块与轨道BC间的动摩擦因数为μ，求：
①滑块运动过程中，小车的最大速度大小vm；
②滑块从B到C运动过程中，小车的位移大小s.
解析　(1)滑块滑到B点时对小车压力最大，从A到B机械能守恒
mgR＝mv①
滑块在B点处，由牛顿第二定律知
N－mg＝meq \f(v,R)②
解得N＝3mg③
由牛顿第三定律知
N′＝3mg④
(2)①滑块下滑到达B点时，小车速度最大．由机械能守恒
mgR＝Mv＋m(2vm)2⑤
解得vm＝⑥
②设滑块运动到C点时，小车速度大小为vC，由功能关系
mgR－μmgL＝Mv＋m(2vC)2⑦
设滑块从B到C过程中，小车运动加速度大小为a，由牛顿第二定律
μmg＝Ma⑧
由运动学规律
v－v＝－2as⑨
解得s＝L⑩
答案　(1)3mg　(2)①　②L
7．(2015·北京理综，23， ( http: / / www.21cnjy.com )18分)(难度★★★★)如图所示,弹簧的一端固定，另一 端连接一个物块,弹簧质量不计．物块(可视为质点)的质量为m，在水平桌面 上沿x轴运动，与桌面间的动摩擦因数为μ.以弹簧原长时物块的位置为坐标 原点O,当弹簧的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力大小为F＝kx，k为常量．
(1)请画出F随x变化的示意图；并根据F-x图象求物块沿x轴从O点运动到 位置x的过程中弹力所做的功；
(2)物块由x1向右运动到x3，然后由x3返回到x2，在这个过程中，
a．求弹力所做的功，并据此求弹性势能的变化量；
b．求滑动摩擦力所做的功；并与弹力做功比较,说明为什么不存在与摩擦力 对应的“摩擦力势能”的概念．
解析　 (1)F-x图象如图所示①
( http: / / www.21cnjy.com )
物块沿x轴从O点运动到位置x的过程中，弹力做负功，大小等于图线与x 轴所围成的图形的面积，所以有
WT＝－kx·x＝－kx2②
(2)a.物块由x1向右运动到x3的过程中，弹力做负功
WT1＝－(kx1＋kx3)(x3－x1)＝kx－kx③
物块由x3向左运动到x2的过程中，弹力做正功
WT2＝(kx2＋kx3)(x3－x2)＝kx－kx④
整个过程中弹力做功
WT＝WT1＋WT2＝kx－kx⑤
弹性势能的变化量
ΔEp＝－WT＝kx－kx⑥
b．整个过程中，摩擦力做功
Wf＝－μmg(2x3－x1－x2)⑦
弹力做功WT＝kx－kx只与初、末状态的位置有关，与移动路径无关，所 以我们可以定义一个由物块之间的相互作用力(弹力)和相对位置决定的能量 ——弹性势能．而摩擦力做功与x1、x2、x3有关，即与实际路径有关，所以 不可以定义与摩擦力对应的“摩擦力势能”．
答案　见解析

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