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(共72张PPT)
知识点一 曲线运动
1.速度的方向
质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的_________.
2.运动的性质
做曲线运动的物体，速度的______时刻在改变，所以曲线运动一定是______运动.
切线方向
方向
变速
3.曲线运动的条件
知识点二 运动的合成与分解
1.遵循法则
描述运动的物理量如位移(x)、速度(v)、加速度(a)都是矢量，故它们的合成与分解都遵循矢量运算法则——________________ ___________.
平行四边形定则(或
三角形定则)
相等
独立进行
等效替代
【名师助学】
判断合运动性质的技巧
知识点三 平抛运动
1.定义
以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在______作用下的运动.
2.性质
平抛运动是加速度为g的_______曲线运动，其运动轨迹是_______.
3.平抛运动的条件
①v0≠0，沿_________；②只受______作用.
4.研究方法
平抛运动可以分解为水平方向的____________运动和竖直方向的__________运动.
重力
匀加速
抛物线
水平方向
重力
匀速直线
自由落体
5.基本规律(如图所示)
位移关系
v0t
速度关系
gt
高度
水平初速度
高度
7.几个有用的结论
(1)做平抛运动的物体，在相同时间内速度的变化量都相等，即Δv＝gΔt，方向竖直向下.
【名师助学】
求解平抛运动的两条思路
知识点四 圆周运动
1.描述圆周运动的物理量
快慢
切线
转动快慢
rad/s
一周
圆心方向
方向
大小
圆心
变
3.对向心力的理解
(1)向心力是按效果来命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力.
(2)受力分析中不要加上向心力.
4.匀速圆周运动
(1)定义：线速度__________的圆周运动.
(2)性质：向心加速度大小______，方向总是_________的变加速曲线运动.
(3)质点做匀速圆周运动的条件
合力_____不变，方向始终与速度方向_____且指向圆心.
大小不变
不变
大小
垂直
指向圆心
知识点五 离心运动
1.本质
做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着_____________飞出去的倾向.
圆周切线方向
(1)当F＝_______时，物体做匀速圆周运动；
(2)当F＝0时，物体沿_________飞出；
(3)当F＜______时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力.
(4)当F＞mrω2时，物体逐渐向_____靠近，做_____运动.
2.受力特点(如图所示)
mrω2
切线方向
mrω2
圆心
向心
【易错防范】
(1)匀速圆周运动的线速度恒定不变.(　　)
(2)匀速圆周运动是变加速运动，其向心加速度大小不变，方向总是指向圆心.(　　)
(3)做圆周运动的物体，所受合外力一定指向圆心.(　　)
×
×
√
过河最小位移为xmin＝d.
(2)建模指导
①物体的实际运动一定是合运动.
②求解运动的合成与分解问题，应抓住合运动和分运动具有等时性、独立性、等效性的关系.
③在小船渡河问题中可将小船的运动分解为沿船头指向的方向和沿水流方向 的两个运动.
【典例1】 如图所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行.当绳与河岸的夹角为α时，船的速度大小为(　　)
解析　将人的运动分解为沿绳方向的分运动v1和与绳垂直方向的分运动v2，如图所示.船的速率等于沿绳方向的分速度v1＝vcos α，C正确.
答案　C
【典例2】 (2015·河南中原名校联考)一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，求：
(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
思路点拨　将船实际的速度(合速度)分解为垂直河岸方向和平行河岸方向的两个分速度，垂直分速度影响渡河的时间，而平行分速度只影响船在平行河岸方向的位移.
(2)欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向.船头应朝图乙中的v2方 向.
答案　见解析
要点二　斜面上的平抛运动
[突破指南]
在解答斜面上的平抛问题时，除了要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角、位移偏角和速度偏角三者之间的关系，从而使问题得到顺利解决.
常见的模型如下
【典例3】 (2015·广东实验中学月考)如图所示，足够长的斜面上A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上所用的时间为t1；若将此球改用2v0抛出，落到斜面上所用时间为t2，则t1与t2之比为(　　)
A.1∶1　　B.1∶2　　C.1∶3　　D.1∶4
答案　B
【借题发挥】 求解平抛运动的三种分解方法
【跟踪演练】 如图所示，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则飞行时间t为(重力加速度为g)(　　)
答案　D
要点三　圆周运动中的运动学分析
[突破指南]
1.
2.三种传动方式的特点
方式 情景 特点
皮带传动 vA＝vB
摩擦(或齿轮) 传动 vA＝vB
同轴转动 ωA＝ωB
【典例4】 (2015·山东德州一中月考)(多选)如图所示为皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径是4r，小 轮的半径是2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中皮带不打滑，则(　　)
A.a点和b点的线速度大小相等
B.a点和b点的角速度大小相等
C.a点和c点的线速度大小相等
D.a点和d点的向心加速度大小相等
答案　CD
【借题发挥】
在处理传动装置中各物理量间的关系时，关键是确定其相同的量(线速度或角速度)，再由描述圆周运动的各物理量间的关系，确定其他各量间的关系.
要点四　圆周运动中的动力学分析
[突破指南]
1.向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力.
2.向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置.
(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力.
4.从动力学角度解决圆周运动问题
(1)解题思想：匀速圆周运动中，由合外力来提供向心力.
(2)解题步骤：
【典例5】 如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合.转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°. 重力加速度大小为g.
(1)若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；
(2)若ω＝(1±k)ω0，且0＜k＜1，求小物块受到的摩擦力大小和方向.
【解题探究】 (1)若小物块受到的摩擦力为零，那么小物块受哪些力？合力方向怎样？
(2)若ω＜ω0时，摩擦力的方向为____________；
若ω＞ω0时，摩擦力的方向为____________.
提示　(1)小物块受重力和支持力、合力垂直指向转轴.
(2)沿圆弧切线向上；沿圆弧切线向下.
当ω＝(1－k)ω0时，对物块受力分析如图丙，摩擦力方向沿罐壁切线向上，水平方向：
Nsin θ－fcos θ＝mω2Rsin θ④
要点五　生活中常见的圆周运动
[突破指南]
模型 水平转盘 圆锥筒(摆) 拱(凹)形桥
圆锥筒 圆锥摆 拱形桥 凹形桥
受力示意图
【典例6】 (多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带.如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处(　　)
A.路面外侧高内侧低
B.车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C.车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D.当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
答案　AC
要点六　竖直面内圆周运动的“轻绳、轻杆”模型
[突破指南]
1.模型构建
在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两 类.一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”.
2.模型条件
(1)物体在竖直平面内做变速圆周运动.
(2)“轻绳模型”在轨道最高点无支撑，“轻杆模型”在轨道最高点有支撑.
3.模型特点
该类问题常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，现对两种模型分析比较如下：
轻绳模型 轻杆模型
情景图示
【典例7】 如图，一不可伸长的轻绳上端悬挂于O点，下端系一质量m＝1.0 kg 的小球.现将小球拉到A点(保持绳绷直)由静止释放，当它经过B点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点.地面上的D点与OB在同一竖直线上，已知绳长L＝1.0 m，B点离地高度H＝1.0 m，A、B两点的高度差h＝0.5 m，重力加速度g取10 m/s2，不计空气影响，求：
(1)地面上DC两点间的距离s；
(2)轻绳所受的最大拉力大小.
【规范答题】　第一步：规范审题
关键点 获取信息
①将小球拉到A点(保持绳绷直)由静止释放 小球在竖直面内做圆周运动，机械能守恒(只有重力做功)
②经过B点时绳恰好被拉断 B点为圆周的最低点，向心力由轻绳的拉力和重力的合力提供
③小球平抛后落在水平地面上的C点 小球从B到C做平抛运动
第二步：根据设问寻找解题突破口
答案　(1)1.41 m (2)20 N
曲线运动中求解极值的四种方法
1.临界条件法
假设未知数，对物理情景和物理过程进行分析，利用临界条件和关系建立方程组.
【典例1】 如图所示，在光滑的圆锥体顶端用长为l的细线悬挂一质量为m的小球.圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30°.求小球沿圆锥体表面在水平面内做圆周运动的最大速度.
思路点拨　小球不离开圆锥表面的临界条件为受到的支持力等于零.
解析　如图所示，小球在锥面上运动，当支持力FN＝0时，小球只受重力mg和线的拉力FT的作用，其合力F应沿水平面指向轴线，由几何关系知F＝mgtan 30°①
【典例2】 (2014·杭州二中模拟)在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H的平台上A点由静止出发，沿着动摩擦因数为μ的滑道向下运动到B点后水平滑出，最后落在水池中.设滑道的水平距离为L，B点的高度h可由运动员 自由调节(取g＝10 m/s2).求：
(1)运动员到达B点的速度与离度h的关系；
(2)运动员要在B点滑出后达到最大水平运动距离，B点的高度h应调为多大？对应的最大水平距离为多少？
(3)若圆中H＝4 m，L＝5 m，动摩擦因数μ＝0.2，则水平运动距离要达到7 m，h值应为多少？
3.均值不等式法
任意两个正整数a、b，若a＋b＝恒量，当a＝b时，其乘积a·b最大；若a·b＝恒量，当a＝b时，其和(a＋b)最小.
(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2.
(2)问绳能承受的最大拉力多大？
(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？
答案　见解析
4.判别式法
一元二次方程的判别式Δ＝b2－4ac≥0时有实数根，取等号时为极值，在列出的方程数少于未知量个数时，求解极值问题常用这种方法.
【典例4】 (原创题)如图所示，顶角为2θ的光滑绝缘圆锥，置于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，现有质量为m，带电量为－q的小球，沿圆锥面在水平面内做圆周运动，求小球做圆周运动的最小半径.A组　基础训练
一、选择题
1．(2015·山东青岛期末)在冬奥会短 ( http: / / www.21cnjy.com )道速滑项目中,运动员绕周长仅111米的短道 竞赛．运动员比赛过程中在通过弯道时如果不能很好地控制速度，将发生侧 滑而摔离正常比赛路线．图中圆弧虚线Ob代表弯道，即运动正常运动路线， Oa为运动员在O点时的速度方向(研究时可将运动员看做质点).下列论述正 确的是(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．发生侧滑是因为运动员受到的合力方向背离圆心
B．发生侧滑是因为运动员受到的合力大于所需要的向心力
C．若在O点发生侧滑，则滑动的方向在Oa左侧
D．若在O点发生侧滑，则滑动的方向在Oa右侧与Ob之间
解析　运动员发生侧滑是因为运动员受到的合 ( http: / / www.21cnjy.com )力指向圆心小于所需要的向 心力,A、B错误；若在O点发生侧滑,若向心力突然消失,则沿切线Oa运动， 而现在是由于所提供的向心力小于所需要的向心力，因此滑动的方向在Oa 与Ob之间，D正确．
答案　D
2．(2015·河北保定期末)(多选)如图 ( http: / / www.21cnjy.com )所示,内壁光滑半径大小为R的圆轨道竖直固 定在桌面上，一个质量为m的小球静止在轨道底部A点．现用小锤沿水平方 向快速击打小球，击打后迅速移开，使小球沿轨道在竖直面内运动．当小球 回到A点时，再次用小锤沿运动方向击打小球，通过两次击打，小球才能运 动到圆轨道的最高点．已知小球在运动过程中始终未脱离轨道，在第一次击 打过程中小锤对小球做功W1，第二次击打过程中小锤对小球做功W2.设先后 两次击打过程中小锤对小球做功全部用来增加小球的动能，则的值可能是 (　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A. B. C. D．1
解析　始终未脱离轨道,有 ( http: / / www.21cnjy.com )W1≤mgR，能运动到最高点有W1＋W2＝mg·2R＋ mv2，mg＝m，可得≤，A、B正确，C、D错误．
答案　AB
3．(2015·甘肃天水检测)如图所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的 速度水平抛出,都落在了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打到 斜面上，则v1、v2之比为(　　)
A．1∶1 B．2∶1 C．3∶2 D．2∶3
解析　小球A落在斜面上，竖直方向 ( http: / / www.21cnjy.com )上的位移与水平方向位移的比值tan θ ＝＝＝，解得t＝，v1＝；小球B恰好垂直打到斜面 上，v2＝gttan 30°，同一点C，下落高度相同，时间相等，v1∶v2＝3∶2，C 正确．
答案　C
4．(2015·山东潍坊期末)(多 ( http: / / www.21cnjy.com )选)如图所示,竖直圆盘绕中心O沿顺时针方向匀速转 动，当圆盘边缘上的P点转到与O同一高度时，一小球从O点以初速度v0 水平向P抛出,当P点第一次转到位置Q时，小球也恰好到达位置Q，此时 小球的动能是抛出时动能的10倍．已知重力加速度为g，不计空气阻力．根 据以上数据，可求得的物理量有(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．小球从抛出到与P相遇的时间
B．小球刚抛出时的动能
C．圆盘的半径
D．圆盘转动的角速度
解析　小球到达位置Q时的动能是抛出时动能的 ( http: / / www.21cnjy.com )10倍,设此时小球的竖直速 度为vy：mv2＝10×mv，v＝eq \r(v＋v)＝v0，vy＝3v0.小球抛出后竖直方 向上做自由落体运动，vy＝gt，t＝，A正确；由于小球的质量未知，小球 刚抛出时的动能无法求出，B错误；圆盘的半径R＝， 可求出，C正确；设OQ与OP的夹角为θ,tan θ＝，θ＝ωt，联立可求出 角速度ω，D正确．
答案　ACD
5．(2014·保定调研) ( http: / / www.21cnjy.com )固定在竖直平面内的光滑细圆管，管道半径为R.若沿如图所 示的两条虚线截去轨道的四分之一，管内有一个直径略小于管径的小球在运 动，且恰能从一个截口抛出，从另一个截口无碰撞的进入继续做圆周运动， 那么小球每次飞越无管区域的时间为(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A. B. C. D.
解析　小球在竖直虚线两 ( http: / / www.21cnjy.com )侧运动对称，小球“抛出点”在此竖直线上，进入 截口时速度方向与水平方向成45°角，则此时水平分速度和竖直分速度大小 相等，由数学知识可知平抛的水平位移为R，则竖直位移为R.根据竖直 方向的自由落体运动可知R＝gt，根据对称可知t＝2t1＝，B正 确．
答案　B
6．(2014·四川资阳诊断)(多选) ( http: / / www.21cnjy.com )如图所示，水平放置的两个用相同材料制成的轮P 和Q靠摩擦传动，两轮的半径R∶r＝2∶1.当主动轮Q匀速转动时，在Q轮 边缘上放置的小木块恰能相对静止在Q轮边缘上,此时Q轮转动的角速度为 ω1，木块的向心加速度为a1；若改变转速，把小木块放在P轮边缘也恰能静 止，此时Q轮转动的角速度为ω2，木块的向心加速度为a2，则(　　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析　根据题述，a1＝ω·r,ma1＝μmg；联立解得μg＝ω·r.小木块放在P 轮边缘也恰能静止，μg＝ωR＝2ωr，ωR＝ωr，联立解得＝，选项 B正确、A错误；a2＝μg＝ω2R，选项C正确、D错误．
答案　BC
二、非选择题
7．(2015·南昌月考)某电视台 ( http: / / www.21cnjy.com )“快乐向前冲”节目的场地设施如图所示，AB为水 平直轨道，上面安装有电动悬挂器，可以载人运动，水面上漂浮着一个半径 为R、角速度为ω、铺有海绵垫的转盘，转盘的轴心离平台的水平距离为L， 平台边缘与转盘平面的高度差为H.选手抓住悬挂器可以在电动机的带动下， 从A点下方的平台边缘处沿水平方向做初速度为零、加速度为a的匀加速直 线运动．选手必须作好判断，在合适的位置释放，才能顺利落在转盘上．设 人的质量为m(不计身高),人与转盘间的最大静摩擦力为μmg，重力加速度为 g.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)假设选手落到转盘上瞬间相对转盘速度立即变为零，为保证他落在任何位 置都不会被甩下转盘，转盘的角速度ω应限制在什么位置？
(2)若已知H＝5 m，L＝8 m,a ( http: / / www.21cnjy.com )＝2 m/s2，g＝10 m/s2，且选手从某处C点释放 能恰好落到转盘的圆心上，则他是从平台出发后多长时间释放悬挂器的？
(3)若电动悬挂器开动后，针对不同 ( http: / / www.21cnjy.com )选手的动力与该选手重力关系皆为F＝ 0.6mg，悬挂器在轨道上运动时存在恒定的摩擦阻力，选手在运动到上面(2) 中所述位置C点时，因恐惧没有释放悬挂器，但立即关闭了它的电动机，则 按照(2)中数据计算悬挂器载着选手还能继续向右滑行多远的距离？
解析　(1)设选手落在转盘边缘也不会被甩下，最大静摩擦力提供向心力，则 有μmg≥mω2R，
故转盘转动的角速度应满足ω≤.
(2)设选手水平加速阶段的位移为x1，时间为t1；选手平抛时的水平位移为x2， 时间为t2.则水平加速时有
x1＝at.
v＝at1，平抛运动阶段有x2＝v-t2，H＝gt，
全程水平方向x1＋x2＝L，
联立以上各式代入数据解得t1＝2 s.
(3)由(2)知x1＝4 m，v＝4 m/s,且F＝0.6mg.设阻力为f，选手继续向右滑动的 距离为x3，由动能定理得，加速阶段：
Fx1－fx1＝mv2
减速阶段：－fx3＝0－mv2
联立以上两式解得x3＝2 m.
答案　(1)ω≤　(2)2 s　(3)2 m
8．(2014·甘肃第一次诊考)《愤怒 ( http: / / www.21cnjy.com )的小鸟》是一款时下流行的游戏,故事简单有趣， 如图甲所示，为了报复偷走鸟蛋的猪，鸟儿以自己的身体为武器，如炮弹般 弹射出去攻击猪的堡垒．某班的同学们根据所学的物理知识进行假设：小鸟 自己不会加速，它被弹弓沿水平方向弹出，如图乙所示．请回答下面两位同 学提出的问题(取重力加速度g＝10 m/s2)：
(1)A同学问：如图乙所示， ( http: / / www.21cnjy.com )若h1＝0.8 m，l1＝2 m，h2＝2.4 m，l2＝1 m，小 鸟被弹出后能否直接打中地面上C处猪的堡垒？请用计算结果进行说明．
(2)B同学问：如果小鸟弹出后，先掉 ( http: / / www.21cnjy.com )到台面的草地上，接触草地的瞬间竖直 速度变为零，水平速度不变，小鸟在草地上滑行一段距离后飞出，若要打中 C处猪的堡垒，小鸟和草地间的动摩擦因数μ与小鸟弹出时的初速度v0应满 足什么关系(用题中所给的符号h1、l1、h2、l2、g表示)
( http: / / www.21cnjy.com )
解析　(1)设小鸟以v0弹出能直接击中堡垒，则
h1＋h2＝gt2，得t＝＝ s＝0.8 s
l1＋l2＝v0t，得v0＝＝ m/s＝3.75 m/s
考虑h1高度处的水平射程为x，则
x＝v0t1
h1＝gt
所以x＝v0×＝3.75× m＝1.5 m＜l1
可见小鸟先落在台面的草地上，不能直接击中堡垒．
(2)小鸟先做初速度为v0的平抛运动，后在台面的草地上滑行，再以速度为v 平抛击中堡垒，由动能定理有
－μmg(l1－v0)＝mv2－mv
v＝l2
所以μ＝eq \f(v－\f(gl,2h2),2g（l1－v0\r(\f(2h1,g))）).
答案　见解析
B组　能力提升
一、选择题
1．(2015·哈尔滨一模)如图,可视为质 ( http: / / www.21cnjy.com )点的小球，位于半径为 m半圆柱体左端 点A的正上方某处，以一定的初速度水平抛出小球，其运动轨迹恰好能与半 圆柱体相切于B点.过B点的半圆柱体半径与水平方向的夹角为60°，则初 速度为(不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2)(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A. m/s B．4 m/s
C．3 m/s D. m/s
解析　飞行过程中恰好与半圆 ( http: / / www.21cnjy.com )轨道相切于B点，知速度与水平方向的夹角为 30°，则有：tan 30°＝；水平方向：R＋Rsin 30°＝v0t，联立两式解得： v0＝3 m/s，故选C.
答案　C
2．(2015·山东泰安市期末)(多选 ( http: / / www.21cnjy.com ))如图，AB为竖直面内半圆的水平直径．从A点 水平抛出两个小球，小球1的抛出速度为v1、小球2的抛出速度为v2.小球1 落在C点、小球2落在D点，C、D两点距水平直径分别为圆半径的0.8倍 和1倍．小球1的飞行时间为t1，小球2的飞行时间为t2.则(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．t1＝t2 B．t1C．v1∶v2＝4∶ D．v1∶v2＝3∶
解析　根据平抛运动的规律h＝gt2知，下落高度越高，时间越长，故t1答案　BC
3．(2015·北京西城区期末)(多选) ( http: / / www.21cnjy.com )如图甲所示,物体A以速度v0做平抛运动，落地 时水平方向的位移和竖直方向的位移均为L，图甲中的虚线是A做平抛运动 的轨迹．图乙中的曲线是一光滑轨道，轨道的形状与图甲中的虚线相同．让 物体B从轨道顶端无初速下滑,B下滑过程中没有脱离轨道．物体A、B都可 以看作质点．重力加速度为g.则下列说法正确的是(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．A、B两物体落地时的速度方向相同
B．A、B两物体落地时的速度大小相等
C．物体B落地时水平方向的速度大小为
D．物体B落地时重力的瞬时功率为mg·
解析　运动速度的方向沿着运动轨迹的切线方向 ( http: / / www.21cnjy.com )，由于两个运动轨迹相同， 因此落地时速度方向相同，A正确；开始运动时，A有初速度，而B从静止 开始运动，在下落的过程中机械能守恒，因此落地时A的速度大于B的速度， B错误；A物体下落过程中,L＝v0t，L＝gt2，vy＝gt，可得vy＝2v0速度与水 平方向夹角为θ，则cos θ＝eq \f(v0,\r(v＋v))＝，而sin θ＝eq \f(vy,\r(v＋v))＝；而B 下落时，根据机械能守恒定律，mgL＝mv2，因此落地时的水平速度大小为 vcos θ＝，C正确；B落地时重力的瞬时功率P＝mgvsin θ＝ 2mg，D错误．
答案　AC
4．(2015·湖南岳阳县一中、湘阴 ( http: / / www.21cnjy.com )县一中高三月考联考)(多选)在一次探究活动中， 某同学设计了如图所示的实验装置,将半径R＝1 m的光滑半圆弧轨道固定在 质量M＝0.5 kg、长L＝4 m的小车的上表面中点位置，半圆弧轨道下端与小 车的上表面水平相切,现让位于轨道最低点的质量m＝0.1 kg的光滑小球随同 小车一起沿光滑水平面向右做匀速直线运动，某时刻小车碰到障碍物而瞬时 处于静止状态(小车不反弹),之后小球离开圆弧轨道最高点并恰好落在小车 的左端边沿处，该同学通过这次实验得到了如下结论，其中正确的是(g取
10 m/s2)(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．小球到达最高点的速度为 m/s
B．小车与障碍物碰撞时损失的机械能为12.5 J
C．小车瞬时静止前、后，小球在轨道最低点对轨道的压力由1 N瞬时变为 6.5 N
D．小车向右做匀速直线运动的速度约为6.5 m/s
解析　如图所示，小球从B落到小车的左 ( http: / / www.21cnjy.com )端边沿处所用时间t＝＝ s＝ s．最高点的速度vB＝＝ m/s＝ m/s，故A正确； 小球从A到B只有重力做功，机械能守恒，有mv＝mg·2R＋mv，代入数 据解得vA＝ m/s≈7.1 m/s，这个速度等于小车匀速运动的速度，故D错 误；小车与障碍物碰撞时损失的机械能E＝Mv＝12.5 J,B正确；小车瞬时 静止前、后，小球在轨道最低点的速度不变，故对轨道的压力不变，C错误．
( http: / / www.21cnjy.com )
答案　AB
5．(2014·昆明三中、玉溪一中统考) ( http: / / www.21cnjy.com )(多选)一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于 水平面，圆锥筒固定，有质量相同的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内做 匀速圆周运动，如图所示，A球的轨道半径较大，则(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．A球的角速度必小于B球的角速度
B．A球的线速度必大于B球的线速度
C．A球的运动周期必大于B球的运动周期
D．A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力
解析　本题考查匀速圆周运动问题， ( http: / / www.21cnjy.com )意在考查考生的综合分析能力，两球受 重力、支持力作用，合力指向圆周运动的圆心，如图所示，由牛顿第二定律 有mgtan θ＝m＝mω2R，F＝，可见,运动半径较大的A球线速度较 大、角速度较小，两球所受支持力相等,A、B正确，D错误；由圆周运动的 角速度与周期的关系可知，A球的运动周期大于B球的运动周期，C正确．
( http: / / www.21cnjy.com )
答案　ABC
6．(2014·浙江杭州一模)(多选 ( http: / / www.21cnjy.com ))2013年7月7日，温网女双决赛开打，“海峡组合” 彭帅、谢淑薇击败澳大利亚组合夺得职业生涯首个大满贯冠军．如图所示是 比赛场地，已知底线到网的距离为L，彭帅在网前截击，若她在球网正上方 距地面H处，将球以水平速度沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上．将 球的运动视作平抛运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．根据题目条件能求出球的水平速度v
B．根据题目条件能求出球从击出至落地所用时间t
C．球从击球点至落地点的位移等于L
D．球从击球点至落地点的位移与球的质量无关
解析　球的运动为平抛运动，竖直方向为 ( http: / / www.21cnjy.com )自由落体运动，H＝gt2，水平方向 为匀速直线运动，L＝v0t，可求出时间t＝，v0＝＝L，A、B正 确；击球点至落地点的位移为，C错误；水平位移L＝v0t＝v0， D正确．
答案　ABD
7．(2013·北京四中摸底 ( http: / / www.21cnjy.com ))(多选)如图,两个半径均为R的1/4光滑圆弧对接于O点， 有物体从上面圆弧的某点C以上任意位置由静止下滑(C点未标出),都能从O 点平抛出去，则(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．∠CO1O＝60°
B．∠CO1O＝45°
C．落地点距O2最远为2R
D．落地点距O2最近为R
解析　要使物体从O点平抛 ( http: / / www.21cnjy.com )出去,在O点有mg＝mv2/R，解得物体从O点平 抛出去的最小速度v＝.设∠CO1O＝θ,由机械能守恒定律,mgR(1－cosθ) ＝mv2,解得θ＝∠CO1O＝60°，选项A正确,B错误;由平抛运动规律，x ＝v-t，R＝gt2，解得落地点距O2最近为R.若物体从A点下滑，到达O点 时速度为v＝.由平抛运动规律,x＝v-t，R＝gt2，解得落地点距O2最远 为2R，选项C正确、D错误．
答案　AC
二、非选择题
8．(2013·山西四校联考，10)如图所 ( http: / / www.21cnjy.com )示，一小球从A点以某一水平向右的初速度 出发,沿水平直线轨道运动到B点后，进入半径R＝10 cm的光滑竖直圆形轨 道，圆形轨道间不相互重叠，即小球离开圆形轨道后可继续向C点运动，C 点右侧有一壕沟,C、D两点的竖直高度h＝0.8 m，水平距离s＝1.2 m，水平 轨道AB长为L1＝1 m，BC长为L2＝3 m，小球与水平轨道间的动摩擦因数μ ＝0.2，重力加速度g＝10 m/s2，则：
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)若小球恰能通过圆形轨道的最高点，求小球在A点的初速度？
(2)若小球既能通过圆形轨道的最高点，又不掉进壕沟，求小球在A点的初速 度的范围是多少？
解析　(1)小球恰能通过最高点有mg＝m
由B点到最高点有mv＝mv2＋mg·2R
由A→B有－μmgL1＝mv－mv
解得在A点的初速度vA＝3 m/s
(2)若小球刚好停在C点，则有：
－μmg(L1＋L2)＝0－mv′
解得在A点的初速度v′A＝4 m/s
若小球停在BC段，则有3 m/s≤vA≤4 m/s
若小球能通过C点，并刚好越过壕沟，则有：
h＝gt2
s＝vCt
－μmg(L1＋L2)＝mv－mv′
解得vA″＝5 m/s
初速度的范围是：3 m/s≤vA≤4 m/s或vA≥5 m/s
答案　(1)3 m/s　(2)3 m/s≤vA≤4 m/s或vA≥5 m/s
考向一　圆周运动规律与“人造重力”的综合应用
1．(圆周运动与“人造重力”的应用)(多选) ( http: / / www.21cnjy.com )人类向宇宙空间发展最具可能的是在 太阳系内地球附近建立“太空城”．设想中的一个圆柱形太空城，其外壳为 金属材料，长1 600 m，直径200 m，内壁沿纵向分隔成6个部分，窗口和人 造陆地交错分布，陆地上覆盖1.5 m厚的土壤，窗口外有巨大的铝制反射镜， 可调节阳光的射入，城内部充满空气、太空城内的空气、水和土壤最初可从 地球和月球运送，以后则在太空城内形成与地球相同的生态环境．为了使太 空城内的居民能如地球上一样具有“重力”，以适应人类在地球上的行为习 惯，太空城将在电力的驱动下，绕自己的中心轴以一定的角速度转动．如图 为太空城垂直中心轴的截面，以下说法正确的有(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．太空城内物体所受的“重力”一定通过垂直中心轴截面的圆心
B．人随太空城自转所需的向心力由人造陆地对人的支持力提供
C．太空城内的居民不能运用天平准确测出质量
D．太空城绕自己的中心轴转动的角速度越大，太空城的居民受到的“重力” 越大
解析　太空城内物体做匀速圆周运动,向心力 ( http: / / www.21cnjy.com )指向圆心，故其所受的“重力” 一定通过垂直中心轴截面的圆心且向外，故A正确；太空城内物体做匀速圆 周运动，人随太空城自转所需的向心力由人造陆地对人的支持力提供，故B 正确；天平的测量原理是等臂杠杆，故太空城内的居民可以运用天平准确测 出质量，故C错误；等效重力等于向心力，故：G′＝mrω2，故太空城绕自己 的中心轴转动的角速度越大，太空城的居民受到的“重力”越大，故D正确．
答案　ABD
考向二　圆周运动与动能定理的综合应用
2．(圆周运动和动能定理的应 ( http: / / www.21cnjy.com )用)如图所示为“割绳子”游戏中的一幅截图,游戏 中割断左侧绳子糖果就会通过正下方第一颗星星…….糖果一定能经过星星 处吗？现将其中的物理问题抽象出来进行研究：三根不可伸长的轻绳共同系 住一颗质量为m的糖果(可视为质点)，设从左到右三根轻绳的长度分别为l1 、 l2 和l3，其中最左侧的绳子处于竖直且张紧的状态，另两根绳均处于松弛状 态,三根绳的上端分别固定在同一水平线上，且相邻两悬点间距离均为d，糖 果正下方的第一颗星星与糖果距离为h.已知绳子由松弛到张紧时沿绳方向 的速度分量即刻减为零，现将最左侧的绳子割断，以下选项正确的是(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．只要满足l2≥，糖果就能经过正下方第一颗星星处
B．只要满足l3≥，糖果就能经过正下方第一颗星星处
C．糖果可能以eq \f(mgl,d2)(eq \r(l－d2)－l1)的初动能开始绕中间悬点做圆运动
D．糖果到达最低点的动能可能等于mg[l2－eq \f(（l－d2）\f(3,2),l)－eq \f(l1d2,l)]
解析　糖果在绳拉直前做自由落体 ( http: / / www.21cnjy.com )运动，绳2和绳3不能绷紧，后绕绳做圆 周运动，则绕l2运动而l3未伸直，或绕l3运动而l2未伸直，则需同时满足l2 ≥和l3≥,故选项A、B均错误；从小球自 由下落到l2刚刚伸直，由动能定理得mg(eq \r(l－d2)－l1)＝mv2，在绳2绷紧后， 沿绳方向速度会损失掉，剩余速度为vy＝v·;解得mv＝eq \f(mgd2,l)(eq \r(l－d2)－l1)， 故C错误；以C选项末态为初态，以糖果刚刚到达最低点为末态，由动能定 理得mg(l3－eq \r(l－d2))＝Ek－mv，解得Ek＝mg[l3－eq \f(（l－d2）\f(3,2),l)－eq \f(l1d2,l)]，由于 绳子绷紧过程可能有两次速度损失而产生能量损失,故绷紧后动能会少于Ek， 故D正确．
答案　D
考向三　对平抛运动规律的考查
3．(平抛运动规律的应用)(多选)飞镖运动 ( http: / / www.21cnjy.com )于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初， 成为人们日常休闲的必备活动．一般打飞镖的靶上共标有10环，第10环的 半径最小．现有一靶的第10环的半径为1 cm，第9环的半径为2 cm……以 此类推，若靶的半径为10 cm，在进行飞镖训练时，当人离靶的距离为5 m， 将飞镖对准第10环中心以水平速度v投出，g＝10 m/s2.则下列说法中正确的 是(　　)
A．当v≥50 m/s时，飞镖将射中第8环线以内
B．当v＝50 m/s时，飞镖将射中第6环线
C．若要击中第10环的线内，飞镖的速度v至少为50 m/s
D．若要击中靶子，飞镖的速度v至少为25 m/s
解析　根据平抛运动规律可得，飞镖在空 ( http: / / www.21cnjy.com )中飞行有：x＝v-t，h＝gt2,将第8 环半径为3 cm、第6环半径为5 cm、第10环半径为1 cm、靶的半径为10 cm 代入两式可知正确选项为B、D.
答案　BD
考向四　对平抛运动与圆周运动的综合考查
4．(平抛运动与圆周运动规律的综合 ( http: / / www.21cnjy.com )应用问题)如图所示,M是水平放置的半径足 够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴OO′匀速转动，规定经过圆心O水平向右 为x轴的正方向．在圆心O正上方距盘面高为h处有一个正在间断滴水的容 器，从t＝0时刻开始随传送带沿与x轴平行的方向做匀速直线运动，速度大 小为v.已知容器在t＝0时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面 上时再滴一滴水．求：
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上,圆盘转动的角速度ω应 为多大？
(2)第二滴水与第三滴水在盘面上落点间的最大距离x.
解析　(1)设水滴落到圆盘上的时间为t，则h＝gt2.圆盘转动时间也为t，所 以kπ＝ωt.联立解得ω＝kπ(k＝1、2、3…)．
(2)第二滴水落在圆盘上的水平 ( http: / / www.21cnjy.com )位移x2＝2v-t＝2v；第三滴水落在圆盘上 的水平位移x3＝3v-t＝3v.当第二滴水与第三滴水在盘面上的落点位于 同一直径上圆心两侧时，两点间的距离最大，x＝x2＋x3＝5v.
答案　(1)ω＝kπ(k＝1、2、3…)　(2)5v考点一　曲线运动　运动的合成与分解
1．(2015·安徽理综，14，6分 ( http: / / www.21cnjy.com ))图示是α粒子(氦原子核)被重金属原子核散射的运动轨迹，M、N、P、Q是轨迹上的四点，在散射过程中可以认为重金属原子核静止不动．图中所标出的α粒子在各点处的加速度方向正确的是(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
解析　α粒子在散射过程中受到重金属原子 ( http: / / www.21cnjy.com )核的库仑斥力作用，方向总是沿着二者连线且指向粒子轨迹弯曲的凹侧，其加速度方向与库仑力方向一致，故C项正确．
答案　C
2．(2014·四川理综，4，6分)(难 ( http: / / www.21cnjy.com )度★★)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为(　　)
A. B. C. D.
解析　去程时船头垂直河岸如图所示，由合 ( http: / / www.21cnjy.com )运动与分运动具有等时性并设河宽为d，则去程时间t1＝；回程时行驶路线垂直河岸，故回程时间t2＝eq \f(d,\r(v－v2))，由题意有＝k，则k＝eq \f(\r(v－v2),v1)，得v1＝＝，选项B正确．
( http: / / www.21cnjy.com )
答案　B
3．(2013·安徽理综，18，6分)(难度 ( http: / / www.21cnjy.com )★★★)由消防水龙带的喷嘴喷出水的流量是0.28 m3/min，水离开喷口时的速度大小为16 m/s，方向与水平面夹角为60°，在最高处正好到达着火位置，忽略空气阻力，则空中水柱的高度和水量分别是(重力加速度g取10 m/s2)(　　)
A．28.8 m，1.12×10－2 m3
B．28.8 m，0.672 m3
C．38.4 m，1.29×10－2 m3
D．38.4 m，0.776 m3
解析　由题意可知，水柱做斜抛运 ( http: / / www.21cnjy.com )动，竖直方向初速度vy＝vsin 60°＝24 m/s，到达着火点位置时竖直速度变为0，由v2－v＝2gh，得h＝eq \f(v,2g)＝28.8 m；由v＝gt，得t＝＝2.4 s，则空中水量V＝ m3＝1.12×10－2 m3，故A正确．
答案　A
4．(2011·江苏单科，3，3分 ( http: / / www.21cnjy.com ))(难度★★)如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA＝OB.若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．t甲t乙 D．无法确定
解析　设水流的速度为v水，学 ( http: / / www.21cnjy.com )生在静水中的速度为v人，从题意可知v人＞ v水，OA＝OB＝L，对甲同学t甲＝＋，对乙同学来说，要想垂直 到达B点，其速度方向要指向上游，并且来回时间相等，即t乙＝eq \f(2L,\r(v－v))，则t－t＝(－)2＞0，即t甲＞t乙，C正确．
答案　C
考点二　抛体运动
1．(2015·新课标全国Ⅰ，18，6分)( ( http: / / www.21cnjy.com )难度★★★)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A.＜v＜L1
B.＜v＜eq \r(\f(（4L＋L）g,6h))
C.＜v＜eq \r(\f(（4L＋L）g,6h))
D.＜v＜eq \r(\f(（4L＋L）g,6h))
解析　发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动．当速度v最小时，球沿中线恰好过网，有：
3h－h＝eq \f(gt,2) ①
＝v1t1 ②
联立①②得v1＝
当速度最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有
eq \r(4L＋L)＝v2t2 ③
3h＝gt ④
联立③④得v2＝eq \r(\f(（4L＋L）g,6h))
所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v的最大取值范围为＜v＜ eq \r(\f(（4L＋L）g,6h))，选项D正确．
答案　D
2．(2015·浙江理综，17，6分)(难 ( http: / / www.21cnjy.com )度★★★)如图所示为足球球门，球门宽为L.一个球员在球门中心正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P点)．球员顶球点的高度为h，足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．足球位移的大小x＝
B．足球初速度的大小v0＝
C．足球末速度的大小v＝
D．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tanθ＝
解析　足球位移大小为x＝＝，A错误；根据 ( http: / / www.21cnjy.com )平抛运动规律有：h＝gt2，＝v0t，解得v0＝，B正确；根据动能定理mgh＝mv2－mv可得v＝eq \r(v＋2gh)＝，C错误；足球初速度方向与球门线夹角正切值tan θ＝＝，D错误．
答案　B
3．(2014·新课标全国Ⅱ， ( http: / / www.21cnjy.com )15，6分)(难度★★★)取水平地面为重力势能零点．一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等．不计空气阻力．该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为(　　)
A. B. C. D.
解析　设物块在抛出点的速度为v0，落地时速度 ( http: / / www.21cnjy.com )为v，抛出时重力势能为Ep，由题意知Ep＝mv；由机械能守恒定律，得mv2＝Ep＋mv，解得v＝v0，设落地时速度方向与水平方向的夹角为θ，则cos θ＝＝，解得θ＝，B正确．
答案　B
4．(2013·江苏物理， ( http: / / www.21cnjy.com )7，4分)(难度★★)(多选)如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同．空气阻力不计，则(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的长
C．B在最高点的速度比A在最高点的大
D．B在落地时的速度比A在落地时的大
解析　A、B两球均受重力， ( http: / / www.21cnjy.com )根据牛顿运动定律，知两球加速度均为重力加速度，A错误；由最大高度相同，知两球运动时间相等，B错误；因为B球的射程较远．所以B的水平分速度较大，在最高点，两球只有水平分速度，所以C正确；由落地时的速度为水平分速度与竖直分速度的合速度，可知D正确．
答案　CD
5．(2013·北京理综，19，6分 ( http: / / www.21cnjy.com ))(难度★★★)在实验操作前应该对实验进行适当的分析．研究平抛运动的实验装置示意如图．小球每次都从斜槽的同一位置无初速释放，并从斜槽末端水平飞出．改变水平板的高度，就改变了小球在板上落点的位置，从而可描绘出小球的运动轨迹．某同学设想小球先后三次做平抛，将水平板依次放在如图1、2、3的位置，且1与2的间距等于2与3的间距．若三次实验中，小球从抛出点到落点的水平位移依次为x1、x2、x3，机械能的变化量依次为ΔE1、ΔE2、ΔE3，忽略空气阻力的影响，下面分析正确的是(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．x2－x1＝x3－x2，ΔE1＝ΔE2＝ΔE3
B．x2－x1＞x3－x2，ΔE1＝ΔE2＝ΔE3
C．x2－x1＞x3－x2，ΔE1＜ΔE2＜ΔE3
D．x2－x1＜x3－x2，ΔE1＜ΔE2＜ΔE3
解析　小球水平释放后，做平抛运动．竖直方 ( http: / / www.21cnjy.com )向做自由落体运动，速度均匀增加，因h12＝h23，所以t12＞t23；水平方向做匀速运动，x＝v-t，所以x2－x1＞x3－x2.因忽略空气阻力的影响，故小球机械能守恒，机械能变化量ΔE＝0，即ΔE1＝ΔE2＝ΔE3.综上所述，B正确．
答案　B
6．(2013·上海单科，19，4 ( http: / / www.21cnjy.com )分)(难度★★★)(多选)如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A.已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．轰炸机的飞行高度 B．轰炸机的飞行速度
C．炸弹的飞行时间 D．炸弹投出时的动能
解析　设轰炸机投弹位置高度为H，炸弹水平位移为s，
则H－h＝vy·t，s＝v0t，二式相除＝·，
因为＝，s＝，所以H＝h＋，A正确；根据H－h＝gt2可求出飞行时间，再由s＝v0t可求出飞行速度，故B、C正确；不知道炸弹质量，不能求出炸弹的动能，D错误．
答案　ABC
7．(2012·新课标全国卷 ( http: / / www.21cnjy.com )，15，6分)(难度★★★)(多选)如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向．图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的，不计空气阻力，则(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．a的飞行时间比b的长
B．b和c的飞行时间相同
C．a的水平速度比b的小
D．b的初速度比c的大
解析　根据平抛运动规律h＝gt2，得t＝，可知平抛物体在空中飞行的时间仅由高度决定，又ha＜hb＝hc，故ta＜tb＝tc，A错误，B正确；由x＝v-t，xa＞xb＞xc得va＞vb＞vc，C错误，D正确．
答案　BD
8．(2012·江苏物理，6，4分) ( http: / / www.21cnjy.com )(难度★★★)(多选)如图所示，相距l的两小球A、B位于同一高度h(l、h均为定值)．将A向B水平抛出的同时，B自由下落．A、B与地面碰撞前后，水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间，则(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．A、B在第一次落地前能否相碰，取决于A的初速度
B．A、B在第一次落地前若不碰，此后就不会相碰
C．A、B不可能运动到最高处相碰
D．A、B一定能相碰
解析　A的竖直分运动是自由落体运动， ( http: / / www.21cnjy.com )故与B的高度始终相同．A、B若能在第一次落地前相碰，必须满足vAt＞l，又t＝，即A、B第一次落地前能否相碰取决于A的初速度，故A正确；若A、B在第一次落地前未碰，则由于A、B反弹后的竖直分运动仍然相同，且A的水平分速度不变，所以A、B一定能相碰，而且在B运动的任意位置均可能相碰，故B、C均错，D正确．
答案　AD
9．(2014·浙江理综，23，1 ( http: / / www.21cnjy.com )6分)(难度★★★★)如图所示，装甲车在水平地面上以速度v0＝20 m/s沿直线前进，车上机枪的枪管水平，距地面高为h＝
1.8 m．在车正前方竖直立一块高 ( http: / / www.21cnjy.com )为两米的长方形靶，其底边与地面接触．枪口与靶距离为L时，机枪手正对靶射出第一发子弹，子弹相对于枪口的初速度为v＝800 m/s.在子弹射出的同时，装甲车开始匀减速运动，行进s＝90 m后停下．装甲车停下后，机枪手以相同方式射出第二发子弹．(不计空气阻力，子弹看成质点，重力加速度g＝10 m/s2)
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)求装甲车匀减速运动时的加速度大小；
(2)当L＝410 m时，求第一发子弹的弹孔离地的高度，并计算靶上两个弹孔之间的距离；
(3)若靶上只有一个弹孔，求L的范围．
解析　(1)装甲车匀减速运动时的加速度大小a＝eq \f(v,2s)＝ m/s2　
(2)第一发子弹飞行时间t1＝＝0.5 s
弹孔离地高度h1＝h－gt＝0.55 m
第二发子弹的弹孔离地的高度h2＝h－g()2＝1.0 m
两弹孔之间的距离Δh＝h2－h1＝0.45 m.
(3)第一发子弹打到靶的下沿时，装甲车离靶的距离为L1
L1＝(v0＋v)＝492 m
第二发子弹打到靶的下沿时，装甲车离靶的距离为L2
L2＝v＋s＝570 m
L的范围492 m＜L≤570 m
答案　(1) m/s2　(2)0.55 m　0.45 m　(3)492 m＜L≤570 m
10．(2011·江苏物理，14， ( http: / / www.21cnjy.com )16分)(难度★★★★)如图所示，长为L、内壁光滑的 直管与水平地面成30°角固定放置．将一质量为m的小球固定在管底，用 一轻质光滑细线将小球与质量为M＝km的小物块相连，小物块悬挂于管 口．现将小球释放，一段时间后，小物块落地静止不动，小球继续向上运动， 通过管口的转向装置后做平抛运动，小球在转向过程中速率不变．(重力加速 度为g)
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)求小物块下落过程中的加速度大小；
(2)求小球从管口抛出时的速度大小；
(3)试证明小球平抛运动的水平位移总小于L.
解析　(1)设细线中的张力为FT，根据牛顿第二定律，
对M有：Mg－FT＝Ma
对m有：FT－mgsin 30°＝ma
且M＝km
联立解得a＝g
(2)设小物块落地时的速度大小为v，小球从管口抛出时的速度大小为v0，小物块落地后小球的加速度为a0.
根据牛顿第二定律得－mgsin 30°＝ma0
由匀变速直线运动公式得
v2＝2aLsin 30°，v－v2＝2a0L(1－sin 30°)
联立解得v0＝(k＞2)
(3)水平方向上x＝v0t，竖直方向上Lsin 30°＝gt2
解得x＝L(k＞2)
所以x＜L
答案　(1)g　(2)(k＞2)　(3)见解析
考点三　圆周运动
1．(2015·天津理综 ( http: / / www.21cnjy.com )，4，6分)(难度★★)未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示．当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力．为达到上述目的，下列说法正确的是(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大
B．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小
C．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大
D．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小
解析　由题意知有mg＝F＝mω2r，即g＝ω2r，因此r越大，ω越小，且与m无关，B正确．
答案　B
2. (2015·福建理综 ( http: / / www.21cnjy.com )，17，6分)(难度★★★)如图，在竖直平面内，滑道ABC关于B点对称，且A、B、C三点在同一水平线上．若小滑块第一次由A滑到C，所用的时间为t1，第二次由C滑到A，所用的时间为t2，小滑块两次的初速度大小相同且运动过程始终沿着滑道滑行，小滑块与滑道的动摩擦因数恒定，则(　　)
A．t1＜t2 B．t1＝t2
C．t1＞t2 D．无法比较t1、t2的大小
解析　在AB段，由于是凸形滑道， ( http: / / www.21cnjy.com )根据牛顿第二定律知，速度越大，滑块对滑道的压力越小，摩擦力就越小，克服摩擦力做功越少；在BC段，根据牛顿第二定律知，速度越大，滑块对滑道的压力越大，摩擦力就越大，克服摩擦力做功越多．滑块从A运动到C与从C到A相比，从A到C运动过程，克服摩擦力做功较少，又由于两次的初速度大小相同，故到达C点的速率较大，平均速率也较大，故用时较短，所以A正确．
答案　A
3. (2015·浙江理综，19， ( http: / / www.21cnjy.com )6分)(难度★★★)(多选)如图所示为赛车场的一个水平“U”形弯道，转弯处为圆心在O点的半圆，内外半径分别为r和2r.一辆质量为m的赛车通过AB线经弯道到达A′B′线，有如图所示的①、②、③三条路线，其中路线③是以O′为圆心的半圆，OO′＝r.赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为Fmax.选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道(所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大)，则(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．选择路线①，赛车经过的路程最短
B．选择路线②，赛车的速率最小
C．选择路线③，赛车所用时间最短
D．①、②、③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等
解析　赛车经过路线①的路程s1＝πr＋2r＝(π＋2)r，路线②的路程s2＝
2πr＋2r＝(2π＋2)r，路线③ ( http: / / www.21cnjy.com )的路程s3＝2πr，A正确；根据Fmax＝，可知R越小，其不打滑的最大速率越小，所以路线①的最大速率最小，B错误；三种路线对应的最大速率v2＝v3＝v1，则选择路线①所用时间t1＝，路线②所用时间t2＝，路线③所用时间t3＝，t3最小，C正确；由Fmax＝ma，可知三条路线对应的a相等，D正确．
答案　ACD
4．(2014·新课标全国Ⅱ，17 ( http: / / www.21cnjy.com )，6分)(难度★★★)如图，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环(可视为质点)，从大环的最高处由静止滑下．重力加速度大小为g.当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．Mg－5mg B．Mg＋mg
C．Mg＋5mg D．Mg＋10mg
解析　解法一　以小环为研究对象，设大环 ( http: / / www.21cnjy.com )半径为R，根据机械能守恒定律，得mg·2R＝mv2，在大环最低点有FN－mg＝m，得FN＝5mg，此时再以大环为研究对象，受力分析如图，由牛顿第三定律知，小环对大环的压力为FN′＝FN，方向竖直向下，故F＝Mg＋5mg，由牛顿第三定律知C正确．
解法二　设小环滑到大环最低点时速 ( http: / / www.21cnjy.com )度为v，加速度为a，根据机械能守恒定律mv2＝mg·2R，且a＝，所以a＝4g，以整体为研究对象，受力情况如图所示．
F－Mg－mg＝ma＋M·0
所以F＝Mg＋5mg，C正确．
答案　C
5．(2014·安徽理综 ( http: / / www.21cnjy.com )，19，6分)(难度★★)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2.则ω的最大值是(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A. rad/s　B. rad/s　C．1.0 rad/s　　D．0.5 rad/s
解析　当物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时，转盘的角速度最大，
( http: / / www.21cnjy.com )
其受力如图所示(其中O为对称轴位置)
由沿斜面的合力提供向心力，有
μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2R
得ω＝＝1.0 rad/s，选项C正确．
答案　C
6．(2013·江苏物理，2，3分)(难 ( http: / / www.21cnjy.com )度★★)如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．A的速度比B的大
B．A与B的向心加速度大小相等
C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
解析　由图知两根缆绳等长，B的半 ( http: / / www.21cnjy.com )径较大，而转动的角速度相同，由v＝rω，a＝ω2r知A、B错误；由牛顿第二定律得，向心加速度a＝gtan θ，aA＜aB，所以θA＜θB，C错误；由FT＝，得出FTA＜FTB，D正确．
答案　D
7．(2013·北京理综，18， ( http: / / www.21cnjy.com )6分)(难度★★)某原子电离后其核外只有一个电子，若该电子在核的静电力作用下绕核做匀速圆周运动，那么电子运动(　　)
A．半径越大，加速度越大 B．半径越小，周期越大
C．半径越大，角速度越小 D．半径越小，线速度越小
解析　电子在库仑力的作用 ( http: / / www.21cnjy.com )下做圆周运动，库仑力提供向心力，＝ma，r越大，a越小，A错误；＝mr，r越小，T越小，B错误；＝mrω2，r越大，ω越小，C正确；＝m，r越小，v越大，D错误．
答案　C
8．(2012·广东理综，17 ( http: / / www.21cnjy.com )，6分)(难度★★★)(多选)如图是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部B处安装一个压力传感器，其示数N表示该处所受压力的大小，某滑块从斜面上不同高度h处由静止下滑，通过B时，下列表述正确的有(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．N小于滑块重力 B．N大于滑块重力
C．N越大表明h越大 D．N越大表明h越小
解析　滑块在B点时，由牛顿第二 ( http: / / www.21cnjy.com )定律得FN－mg＝m，所以FN＝mg＋m＞mg，A错误，B正确；物块从斜面上滑下的过程，由动能定理得mgh＝mv2，联立解得FN＝mg＋m，即FN越大表明h越大，C正确，D错误．
答案　BC
9. (2013·浙江理综，23， ( http: / / www.21cnjy.com )16分)(难度★★★★)山谷中有三块石头和一根不可伸长的轻质青藤，其示意图如图所示．图中A、B、C、D均为石头的边缘点，O为青藤的固定点，h1＝1.8 m，h2＝4.0 m，x1＝4.8 m，x2＝8.0 m．开始时，质量分别为M＝10 kg和m＝2 kg的大、小两只滇金丝猴分别位于左边和中间的石头上，当大猴发现小猴将受到伤害时，迅速从左边石头的A点水平跳至中间石头．大猴抱起小猴跑到C点，抓住青藤下端，荡到右边石头上的D点，此时速度恰好为零．运动过程中猴子均可看成质点，空气阻力不计，重力加速度g＝10 m/s2.求：
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)大猴从A点水平跳离时速度的最小值；
(2)猴子抓住青藤荡起时的速度大小；
(3)猴子荡起时，青藤对猴子的拉力大小．
解析　(1)设猴子从A点水平跳离时速度的最小值为vmin，根据平抛运动规律，有h1＝gt2①
x1＝vmint②
联立①②式，得vmin＝8 m/s③
(2)猴子抓住青藤后的运动过程中机械能守恒，设荡起时速度为vC，有(M＋m)gh2＝(M＋m)v④
得vC＝＝ m/s≈9 m/s⑤
(3)设拉力为FT，青藤的长度为L，对最低点，由牛顿第二定律得
FT－(M＋m)g＝(M＋m)eq \f(v,L)⑥
由几何关系(L－h2)2＋x＝L2⑦
得L＝10 m⑧
综合⑤⑥⑧式并代入数据解得
FT＝(M＋m)g＋(M＋m)eq \f(v,L)＝216 N
答案　(1)8 m/s　(2)9 m/s　(3)216 N
10．(2012·福建理综，20，15分 ( http: / / www.21cnjy.com ))(难度★★★)如图所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动．现测得转台半径R＝0.5 m，离水平地面的高度H＝0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.4 m．设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2.求：　
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)物块做平抛运动的初速度大小v0；
(2)物块与转台间的动摩擦因数μ.
解析　(1)物块做平抛运动，
在竖直方向上有H＝gt2 ①
在水平方向上有s＝v0t ②
由①②式解得v0＝s ＝1 m/s. ③
(2)物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有
Fmax＝meq \f(v,R) ④
Fmax＝μFN＝μmg ⑤
由③④⑤式解得μ＝eq \f(v,gR)＝0.2
答案　(1)1 m/s　(2)0.2

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