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2024年中考二轮复习
专题1 数与式、方程与不等式
题型一 实数的运算
【知识梳理】
1、常见实数的运算：
运算 法则 特殊计算
乘方 ①（-a）n=an n为偶数 ②（-a）n= -an n为奇数 ①（-1）n = 1 n为偶数 ②（-1）n = -1 n为奇数
零次幂 a0=1 （a≠0）
负整数的指数幂 a-n = （a≠0，n为正整数） a-1= （a≠0）
去括号 ① -（a-b）= - a+b 或 b-a ② +（a-b）= a-b
去绝对值符号 ①|a-b|=a-b， a>b ②|a-b|=0， a=b ③|a-b|=b-a， a2、特殊三角函数值：
三角函数 30° 45° 60°
1
3、实数运算的“两个关键”：
①明确运算顺序：要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
②运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
【例题讲解】
1．（2023·云南）计算：．
解：
．
2．（2023·眉山）计算：
解：原式
．
3．（2023·沈阳）计算：．
解：
．
【变式训练】
1．（2023·德阳）计算：
解：．
2．（2023·乌鲁木齐·二模）计算：．
解：
3．（2023·阳江·二模）计算：．
解：原式
．
题型二 整式与分式的运算
【知识梳理】
1、整式的运算
（1）幂的运算：①同底数幂的乘法：am·an=am+n；②幂的乘方：(am)n=amn；
③积的乘方：(ab)n=anbn；④同底数幂的除法：am÷an=am-n。
（2）整式乘法公式：①平方差公式：（a+b）（a-b）=a -b ；
②完全平方公式：（a±b） =a ±2ab+b 。
（3）运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的，先算括号内的，去括号时，先去小括号，再去中大括号。
2、因式分解
概念 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式叫做因式分解.因式分解与整式乘法是互逆变形.
基本
方法 提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c)
公式法 ① 运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
② 运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2
进阶
方法 十字相乘法 a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q) 【口诀】首尾分解，交叉相乘，试验筛选，求和凑中.
分组分解法 ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
换元法 如果多项式中某部分代数式，那么可将这部分代数式用另一个字母代替.
例：因式分解(x2+5x+2)(x2+5x+3)-12，设x2+5x+2=t 则原式=t(t+1)-12=(t-3)(t+4)= (x+2)(x+3)(x2+5x-1)
一般
步骤 1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式； 2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：①为两项时，考虑平方差公式； ②为三项时，考虑完全平方公式； ③为四项时，考虑利用分组的方法进行分解； 3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止． 以上步骤可以概括为“一提二套三检”.
3、分式的运算
分式运算 说明
分式的加减法 1）同分母：分母不变，分子相加减，即： . 2）异分母：先通分，化为同分母的分式，再加减.即： .
分式的乘除法 1）乘法：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.即： 2）除法：把除式的分子、分母颠倒位置，再与被除式相乘.即：
分式的乘方 把分子、分母分别乘方，即：
分式的混合运算 运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减.有括号的，先算括号里的.灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．
【例题讲解】
1．（2023·湖南）先化简，再求值：，其中．
解：
当时，原式．
2．（2023·淄博）先化简，再求值：，其中，．
解：原式,
当 时,
原式 ．
3．（2023·青海）先化简，再求值：，其中．
解：
，
当时，原式．
4．（2023·深圳）先化简，再求值：，其中．
解：
∵
∴原式．
5．（2023·滨州）先化简，再求值：，其中满足．
解：
；
∵，
即，
∴原式．
【变式训练】
1．（2022·南充）先化简，再求值：，其中．
解：原式=
=；
当x=时，
原式=
=3+1-
=-．
2．（2022·广西）先化简，再求值，其中．
解：
=x2-y2+y2-2y
=x2-2y
当x=1，y=时，原式=12-2×=0．
3．（2023·武威）化简：．
解：原式
．
4．（2023·烟台）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数．
解：
，
解不等式得：，
∵a为正整数，
∴，，，
∵要使分式有意义，
∴，
∵当时，，
∴，
∴把代入得：原式．
5．（2023·聊城）先化简，再求值：，其中．
解：
；
当时，
．
6．（2023·通辽）以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 ……
(1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
（1）解：
故第一步错误．
故答案为：一．
（2）解：
．
题型三 解方程与不等式
【知识梳理】
1、解一元一次方程的一般步骤：
（1）去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
（2）去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号
（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边
（4）合并同类项：把方程化成的形式
（5）系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为
2、解二元一次方程组的方法：加减消元法与整体代入法；
3、解分式方程的步骤
（1）去分母。方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程。
（2）去括号。系数分别乘以括号里的数。
（3）移项。含有未知数的式子移到方程左边，常数移到方程右边。
（4）合并同类项。
（5）系数化为1。
（6）检验。把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；如果最简公分母不等于0，这个根就是原分式方程的根；如果解出的根是增根，那么原方程无解。
4、解一元二次方程的方法：
（1）直接开平方法
（2）配方法
（3）公式法：ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为
（4）因式分解法：十字相乘法
【例题讲解】
1．（2022·黔西）小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
解：方程两边同乘6，得①
∴开始出错的一步是①，
故选：A．
2．解下列方程或不等式
（1）（2023·连云港）解方程组 （2）（2023·常德）解方程组：
（3）（2023·山西）解方程：． （4）（2023·赤峰）方程
（5）（2023·盐城）解不等式：. （6）（2023·徐州）解不等式组
（7）（2023·齐齐哈尔）x2﹣3x+2＝0． （8）（2023·无锡）解方程：
（1）解：
①+②得，
解得，
将代入①得，
解得．
∴原方程组的解为
（2）解：将①得：③
得：
将代入①得：
所以是原方程组的解．
（3）解：原方程可化为．
方程两边同乘，得．
解得．
检验：当时，．
∴原方程的解是．
（4）解：，
方程两边同时乘以得，，
，
，
，
或．
经检验时，，故舍去．
原方程的解为：．
（5）去分母得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为1：．
（6）解：
解不等式①得，，解不等式②得，，
∴不等式组的解集是．
（7）解x2﹣3x+2＝0．
()()=0
，
（8）解：
解：∵，
∴ ，
∴
解得：，；
3．（2023·眉山）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：，
得，
，
代入，可得，
解得，
故选：B．
4．（2023·巴中）关于x的分式方程有增根，则 ．
解：，
解：方程两边同时乘以，得，
∴，
∵原方程有增根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
5．（2023·黑龙江）关于的不等式组有3个整数解，则实数的取值范围是__________．
解：解不等式组得：，
∵关于的不等式组有3个整数解，
∴这3个整数解为，，，
∴，
解得：，
故答案为：．
6．（2023·南充）已知关于x的一元二次方程
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值．
（1）证明：关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵，即，
∴不论为何值，方程总有实数根；
（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，整理，得，解得，，
∴m的值为或．
【变式训练】
1．解下列方程或不等式：
（1）（2023 衢州）解方程： （2）（2022·潍坊）解方程：
（3）（2023·广州）解方程： （4）（2023·无锡）解方程：2x2+x﹣2＝0；
（5）（2023·苏州）解不等式组： （6）（2023·扬州）解不等式组
（7）（2023·广西）解方程：． （8）（2023·河源二模）解方程 ．
（1）解：
7=2（4-1）+6
7=8-2+6
=-4
（2）解：，
①×2+②×3，得13x=26，
解得：x=2，
把x=2代入②，得6-2y=0，
解得y=3，
故方程组的解为．
故答案为：．
（3）解：，
，
或，
，．
（4）解：
解：∵，
∴ ，
∴
解得：，；
（5）解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
（6）解：
解不等式①得·，
解不等式②，得：，
（7）解：
去分母得，
移项，合并得，
检验：当时，，
所以原分式方程的解为．
（8）解：方程可变为，
，
方程两边都乘以最简公分母得，
，
去括号，得，
解得，
检验：当时，，
∴原方程的解是．
2．（2023·南充）关于x，y的方程组的解满足，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
解：法一：，
得，
解得，
将代入，解得，
，
，
得到，
，
法二：
得：，即：，
∵，
∴，
，
故选：D．
3．（2023·眉山）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ．
解：解，可得，
的方程的解为非负数，
，
解得，
，
，
即，
的取值范围是且，
故答案为：且．
4．（2022·绥化）不等式组的解集为，则m的取值范围为 ．
解：，
解①得：，
又因为不等式组的解集为x>2
∵x>m，
∴m≤2，
故答案为：m≤2．
5．（2023·巴中）（1）计算：．
（2）求不等式组的解集．
（3）先化简，再求值，其中x的值是方程的根．
【答案】（1）；（2）；（3），
【分析】（1）先化简绝对值，计算负整数指数幂，特殊角的三角函数，二次根式的化简与乘方运算，再合并即可；
（2）先分别解不等式组中的两个不等式，再确定两个不等式的解集的公共部分即可；
（3）先计算括号内的分式的加减运算，再计算除法运算得到化简的结果，再解一元二次方程结合分式有意义的条件确定的值，再代入计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）由不等式①得：；
由不等式②得： ；
∴原不等式组的解集为：；
（3）原式
；
解方程
得
，；
，
原式
．
6．（2023·荆州）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当时，用配方法解方程．
（1）解：依题意得：，
解得且；
（2）解：当时，原方程变为：，
则有：，
，
，
方程的根为，．
题型四 方程与不等式的实际问题
【知识梳理】
一次方程与分式方程的实际问题 解应用题的步骤：①审清题意;②找等量关系;③设未知数;④列方程;⑤解方程;⑥验根;⑦作答.
工程问题：工作量=工作效率×工作时间
利息问题：利息=本金×利率×期数;本息和=本金+利息
行程问题：路程=速度×时间;其中,相遇问题:s甲+s乙=s总; 追及问题：(同地异时)前者走的路程=追者走的路程; (异地同时)前者走的路程+两地间的距离=追者走的路程 水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． 飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度．
利润问题：利润=售-进价；利润率=×100%.售价=标价×折扣；销售额=售价×数量
数字问题：两位数=10×十位数字+个位数字；三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字
一元二次方程的实际问题 （1）平均增长/下降率问题： 设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则；当m为平均下降率时，则有．
（2）利润问题：总利润＝ 单件利润×销售数量 =（售价-进价）×销售数量
（3）面积问题 类型1：如图1所示的矩形长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为． 类型2：如图2所示的矩形长为a，宽为b，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为． 类型3：如图3所示的矩形长为a，宽为b，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为． 图1 图2 图3
（4）相互问题：握手问题： 礼物问题：x(x－1)
（5）传染问题：第二轮总数：(1+x)2 第n轮总数：(1+x)n
（6）分支问题和转发问题：x2+x+1=总数
【例题讲解】
1．（2023·衢州）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ）
A． B．
C． D．
解：由题意得：，
故选：C．
2．（2023·湖州）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ）
A． B．
C． D．
解：设年平均增长率为x，由题意得
，
故选：D．
3．（2023·辽宁）某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度，设慢车的速度是，所列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
解：设慢车的速度是，则快车的速度为，
依题意得，
故选：B．
4．（2023·扬州）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
（1）解:设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得
解得，，
，
答：甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
（2）解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,
则，解得，故最小整数解为，
，
∵，则w随m的增大而增大，
∴时，w取最小值，最小值．
答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
5．（2023·泸州）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
（1）解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据题意得：
，
解得：，，
经检验，都是原方程的解，但不符合实际舍去，
答：节后每千克A粽子的进价为10元．
（2）解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据题意得：
，
∵，
∴，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取最大值，且最大值为：，
答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元．
6．（2023·河南）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）
(1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由．
(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价．
(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围．
（1）解：购买一件原价为450元的健身器材时，
活动一需付款：元，活动二需付款：元，
∴活动一更合算；
（2）设这种健身器材的原价是元，
则，
解得，
答：这种健身器材的原价是400元，
（3）这种健身器材的原价为a元，
则活动一所需付款为：元，
活动二当时，所需付款为：元，
当时，所需付款为：元，
当时，所需付款为：元，
①当时，，此时无论为何值，都是活动一更合算，不符合题意，
②当时，，解得，
即：当时，活动二更合算，
③当时，，解得，
即：当时，活动二更合算，
综上：当或时，活动二更合算．
7．（2023·金华）如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．

（1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是 ．
（2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是 ．
（1）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为，
∵，边减少，得到的矩形面积不变，
∴，
解得，
故答案为：6．
（2）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵有且只有一个的值，
∴，
∴，
解得（舍去），
故答案为：．
【变式训练】
1．（2023·贵州）《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：x户人家，每户分一头鹿需x头鹿，每3户共分一头需头鹿，
由此可知，
故选C．
2．（2023·甘孜）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
解：设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，根据题意得，，
故选：A．
3．（2023·山东）《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组： ．
解：设有人，物品价值为元，
由题意得：．故答案为：．
4．（2023·辽宁）某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元
(1)求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元；
(2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？
（1）解：设A礼品盒的单价是a元，B礼品盒的单价是b元，
根据题意得：，解得：，
答：A礼品盒的单价是100元，B礼品盒的单价是120元；
（2）解：设购进A礼品盒x盒，则购进B礼品盒盒，
根据题意得：，
解得：，
∵x为整数，
∴x的最小整数解为15，
∴至少购进A种礼品盒15盒．
5．（2023·宿迁）某商场销售两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元．
(1)求两种商品的销售单价．
(2)经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价．设种商品降价元，如果两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
（1）解：设的销售单价为元、的销售单价为元，则
，解得，
答：的销售单价为元、的销售单价为元；
（2）解： 种商品售价不低于种商品售价，
，解得，即，
设利润为，则
，
，
在时能取到最大值，最大值为，
当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元．
6．（2023·恩施）为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．
(1)男装、女装的单价各是多少？
(2)如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
（1）解：设男装单价为x元，女装单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：男装单价为100元，女装单价为120元．
（2）解：设参加活动的女生有a人，则男生有人，
根据题意可得，
解得：，
∵a为整数，
∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数，
故一共有11种方案，
设总费用为w元，则，
∵，
∴当时，w有最小值，最小值为（元）．
此时，（套）．
答：当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元．
7．（2023·东营）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．

(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
（1）解：设矩形的边，则边 ．
根据题意，得．
化简，得．
解得，．
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为 的羊圈．
（2）解：不能，理由如下：
由题意，得．
化简，得．
∵，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到 ．
8．（2023·德阳）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
(1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？
(2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
（1）解：设乙单独完成需要个月，则
，
解得：，
经检验是原方程的解且符合题意；
答：乙队单独完工需要27个月才能完成任务．
（2）由题意可得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∵都为正整数，
∴为3的倍数，
∴或或，
∴甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，
方案①：安排甲工作6个月，乙工作18个月，费用为：（万元），
方案②：安排甲工作4个月，乙工作21个月，费用为：（万元），
方案③：安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用为：（万元），
∴安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元．
9．（2023·怀化）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客人的种客车若干辆，则有人没有座位；若租用可坐乘客人的种客车，则可少租辆，且恰好坐满．
(1)求原计划租用种客车多少辆？这次研学去了多少人？
(2)若该校计划租用、两种客车共辆，要求种客车不超过辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
(3)在（2）的条件下，若种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，应该怎样租车才最合算？
【答案】(1)原计划租用种客车辆，这次研学去了人
(2)共有种租车方案，方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆；方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆；方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆，
(3)租用种客车辆，则租用种客车辆才最合算
【分析】（1）设原计划租用种客车辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；
（2）设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；
（3）分别求得三种方案的费用，进而即可求解．
【详解】（1）解：设原计划租用种客车辆，根据题意得，
，
解得：
所以（人）
答：原计划租用种客车辆，这次研学去了人；
（2）解：设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据题意，得
解得：，
∵为正整数，则，
∴共有种租车方案，
方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆，
方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆，
方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆，
（3）∵种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，
∴种客车越少，费用越低，
方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元，
方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元，
方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元，
∴租用种客车辆，则租用种客车辆才最合算．
10．（2023·内江）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：
水果种类 进价（元千克） 售价（元）千克）
甲 a 20
乙 b 23
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元．
(1)求a，b的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（）不低于，求m的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)1.2
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为千克，根据题意分两种情况：和，然后分别表示出总利润即可；
（3）首先根据题意求出y的最大值，然后根据保证利润率（）不低于列出不等式求解即可．
【详解】（1）由题意列方程组为：，
解得；
（2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为千克，
∴当时，
；
当时，
；
综上所述，；
（3）当时，，
∴当时，y取最大值，此时（元），
当时，，
∴（元），
∴由上可得：当时，y取最大值520（元），
∴由题意可得，，
∴解得．
∴m的最大值为1.2．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2024年中考二轮复习
专题1 数与式、方程与不等式
题型一 实数的运算
【知识梳理】
1、常见实数的运算：
运算 法则 特殊计算
乘方 ①（-a）n=an n为偶数 ②（-a）n= -an n为奇数 ①（-1）n = 1 n为偶数 ②（-1）n = -1 n为奇数
零次幂 a0=1 （a≠0）
负整数的指数幂 a-n = （a≠0，n为正整数） a-1= （a≠0）
去括号 ① -（a-b）= - a+b 或 b-a ② +（a-b）= a-b
去绝对值符号 ①|a-b|=a-b， a>b ②|a-b|=0， a=b ③|a-b|=b-a， a2、特殊三角函数值：
三角函数 30° 45° 60°
1
3、实数运算的“两个关键”：
①明确运算顺序：要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
②运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
【例题讲解】
1．（2023·云南）计算：．
2．（2023·眉山）计算：
3．（2023·沈阳）计算：．
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【变式训练】
1．（2023·德阳）计算：
2．（2023·乌鲁木齐·二模）计算：．
3．（2023·阳江·二模）计算：．
题型二 整式与分式的运算
【知识梳理】
1、整式的运算
（1）幂的运算：①同底数幂的乘法：am·an=am+n；②幂的乘方：(am)n=amn；
③积的乘方：(ab)n=anbn；④同底数幂的除法：am÷an=am-n。
（2）整式乘法公式：①平方差公式：（a+b）（a-b）=a -b ；
②完全平方公式：（a±b） =a ±2ab+b 。
（3）运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的，先算括号内的，去括号时，先去小括号，再去中大括号。
2、因式分解
概念 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式叫做因式分解.因式分解与整式乘法是互逆变形.
基本
方法 提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c)
公式法 ① 运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
② 运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2
进阶
方法 十字相乘法 a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q) 【口诀】首尾分解，交叉相乘，试验筛选，求和凑中.
分组分解法 ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
换元法 如果多项式中某部分代数式，那么可将这部分代数式用另一个字母代替.
例：因式分解(x2+5x+2)(x2+5x+3)-12，设x2+5x+2=t 则原式=t(t+1)-12=(t-3)(t+4)= (x+2)(x+3)(x2+5x-1)
一般
步骤 1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式； 2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：①为两项时，考虑平方差公式； ②为三项时，考虑完全平方公式； ③为四项时，考虑利用分组的方法进行分解； 3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止． 以上步骤可以概括为“一提二套三检”.
3、分式的运算
分式运算 说明
分式的加减法 1）同分母：分母不变，分子相加减，即： . 2）异分母：先通分，化为同分母的分式，再加减.即： .
分式的乘除法 1）乘法：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.即： 2）除法：把除式的分子、分母颠倒位置，再与被除式相乘.即：
分式的乘方 把分子、分母分别乘方，即：
分式的混合运算 运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减.有括号的，先算括号里的.灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．
【例题讲解】
1．（2023·湖南）先化简，再求值：，其中．
2．（2023·淄博）先化简，再求值：，其中，．
3．（2023·青海）先化简，再求值：，其中．
4．（2023·深圳）先化简，再求值：，其中．
5．（2023·山东滨州）先化简，再求值：，其中满足．
【变式训练】
1．（2022·南充）先化简，再求值：，其中．
2．（2022·广西）先化简，再求值，其中．
3．（2023·武威）化简：．
4．（2023·烟台）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数．
5．（2023·聊城）先化简，再求值：，其中．
6．（2023·通辽）以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 ……
(1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
题型三 解方程与不等式
【知识梳理】
1、解一元一次方程的一般步骤：
（1）去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
（2）去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号
（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边
（4）合并同类项：把方程化成的形式
（5）系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为
2、解二元一次方程组的方法：加减消元法与整体代入法；
3、解分式方程的步骤
（1）去分母。方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程。
（2）去括号。系数分别乘以括号里的数。
（3）移项。含有未知数的式子移到方程左边，常数移到方程右边。
（4）合并同类项。
（5）系数化为1。
（6）检验。把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；如果最简公分母不等于0，这个根就是原分式方程的根；如果解出的根是增根，那么原方程无解。
4、解一元二次方程的方法：
（1）直接开平方法
（2）配方法
（3）公式法：ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为
（4）因式分解法：十字相乘法
【例题讲解】
1．（2022·黔西）小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．解下列方程或不等式
（1）（2023·连云港）解方程组 （2）（2023·常德）解方程组：
（3）（2023·山西）解方程：． （4）（2023·赤峰）方程
（5）（2023·盐城）解不等式：. （6）（2023·徐州）解不等式组
（7）（2023·齐齐哈尔）x2﹣3x+2＝0． （8）（2023·无锡）解方程：
3．（2023·眉山）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2023·巴中）关于x的分式方程有增根，则 ．
5．（2023·黑龙江）关于的不等式组有3个整数解，则实数的取值范围是__________．
6．（2023·南充）已知关于x的一元二次方程
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值．
【变式训练】
1．解下列方程或不等式：
（1）（2023 衢州）解方程： （2）（2022·潍坊）解方程：
（3）（2023·广州）解方程： （4）（2023·无锡）解方程：2x2+x﹣2＝0；
（5）（2023·苏州）解不等式组： （6）（2023·扬州）解不等式组
（7）（2023·广西）解方程：． （8）（2023·河源二模）解方程 ．
2．（2023·南充）关于x，y的方程组的解满足，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．（2023·眉山）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ．
4．（2022·绥化）不等式组的解集为，则m的取值范围为 ．
5．（2023·巴中）（1）计算：．
（2）求不等式组的解集．
（3）先化简，再求值，其中x的值是方程的根．
6．（2023·荆州）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当时，用配方法解方程．
题型四 方程与不等式的实际问题
【知识梳理】
一次方程与分式方程的实际问题 解应用题的步骤：①审清题意;②找等量关系;③设未知数;④列方程;⑤解方程;⑥验根;⑦作答.
工程问题：工作量=工作效率×工作时间
利息问题：利息=本金×利率×期数;本息和=本金+利息
行程问题：路程=速度×时间;其中,相遇问题:s甲+s乙=s总; 追及问题：(同地异时)前者走的路程=追者走的路程; (异地同时)前者走的路程+两地间的距离=追者走的路程 水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． 飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度．
利润问题：利润=售-进价；利润率=×100%.售价=标价×折扣；销售额=售价×数量
数字问题：两位数=10×十位数字+个位数字；三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字
一元二次方程的实际问题 （1）平均增长/下降率问题： 设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则；当m为平均下降率时，则有．
（2）利润问题：总利润＝ 单件利润×销售数量 =（售价-进价）×销售数量
（3）面积问题 类型1：如图1所示的矩形长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为． 类型2：如图2所示的矩形长为a，宽为b，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为． 类型3：如图3所示的矩形长为a，宽为b，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为． 图1 图2 图3
（4）相互问题：握手问题： 礼物问题：x(x－1)
（5）传染问题：第二轮总数：(1+x)2 第n轮总数：(1+x)n
（6）分支问题和转发问题：x2+x+1=总数
【例题讲解】
1．（2023·衢州）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·湖州）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·辽宁）某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度，设慢车的速度是，所列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·扬州）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
5．（2023·泸州）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
6．（2023·河南）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）
(1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由．
(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价．
(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围．
7．（2023·金华）如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．

（1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是 ．
（2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是 ．
【变式训练】
1．（2023·贵州）《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·甘孜）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东）《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组： ．
4．（2023·辽宁）某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元
(1)求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元；
(2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？
5．（2023·宿迁）某商场销售两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元．
(1)求两种商品的销售单价．
(2)经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价．设种商品降价元，如果两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
6．（2023·恩施）为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．
(1)男装、女装的单价各是多少？
(2)如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
7．（2023·东营）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．

(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
8．（2023·德阳）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
(1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？
(2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
9．（2023·怀化）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客人的种客车若干辆，则有人没有座位；若租用可坐乘客人的种客车，则可少租辆，且恰好坐满．
(1)求原计划租用种客车多少辆？这次研学去了多少人？
(2)若该校计划租用、两种客车共辆，要求种客车不超过辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
(3)在（2）的条件下，若种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，应该怎样租车才最合算？
10．（2023·内江）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：
水果种类 进价（元千克） 售价（元）千克）
甲 a 20
乙 b 23
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元．
(1)求a，b的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（）不低于，求m的最大值．

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