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2024年中考二轮复习
专题3 反比例函数与几何综合
题型一 反比例函数中比较函数值大小问题
【知识梳理】
比较大小一般解题步骤：
①求交点：联立方程求出方程组的解；
②分区间：将一次函数和反比例函数两个交点以及y轴左右两侧分层4个区间；
③比大小：图像谁在上方谁就大；
④：写出对应区间自变量的取值范围。
【例题讲解】
1．（2023 滨州）如图，直线y＝kx+b（k，b为常数）与双曲线（m为常数）相交于A（2，a），B（﹣1，2）两点．
（1）求直线y＝kx+b的解析式；
（2）在双曲线上任取两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜x2，试确定y1和y2的大小关系，并写出判断过程；
（3）请直接写出关于x的不等式的解集．
解：（1）由题意，将B点代入双曲线解析式y＝，
∴2＝．
∴m＝﹣2．
∴双曲线为y＝﹣．
又A（2，a）在双曲线上，
∴a＝﹣1．
∴A（2，﹣1）．
将A、B代入一次函数解析式得，
∴．
∴直线y＝kx+b的解析式为y＝﹣x+1．
（2）由题意，可分成两种情形．
①M、N在双曲线的同一支上，
由双曲线y＝﹣，在同一支上时函数值随x的增大而增大，
∴当x1＜x2时，y1＜y2．
②M、N在双曲线的不同的一支上，
∵x1＜x2，
∴x1＜0＜x2．
∴此时由图象可得y1＞0＞y2，
即此时当x1＜x2时，y1＞y2．
（3）依据图象，即一次函数值大于反比例函数值，
∵A（2，﹣1），B（﹣1，2），
∴不等式的解集为：x＜﹣1或0＜x＜2．
【变式训练】
1．（2023 常德）如图所示，一次函数y1＝﹣x+m图象与反比例函数图象相交于点A和点B（3，﹣1）．
（1）求m的值和反比例函数解析式；
（2）当y1＞y2时，求x的取值范围．
解：（1）∵一次函数y1＝﹣x+m与反比例函数相交于点A和点B（3，﹣1），
∴﹣1＝﹣3+m，﹣1＝，
解得m＝2，k＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为y2＝﹣；
（2）解方程组，得或，
∴A（﹣1，3），
观察图象可得，当y1＞y2时，x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜3．
2．（2023·山东淄博·中考真题）如图，直线与双曲线相交于点，．

(1)求双曲线及直线对应的函数表达式；
(2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积；
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
解：（1）将代入双曲线，
∴,
∴双曲线的解析式为，
将点代入，
∴,
∴,
将代入,
，
解得，
∴直线解析式为；
（2）∵直线向下平移至,

∴,
设直线的解析式为将点代入
∴解得
∴直线的解析式为
∴
过点作交于,
设直线与轴的交点为，与轴的交点为,
∴,
∵,
∴,
∵,
，
，
∵，
，
，
∴的面积
（3）由图可知或时,
题型二 反比例函数的面积问题
【知识梳理】
求三角形面积的一般解题步骤：
类型一：三角形有其中一边与坐标轴平行（垂直）的，以这边为底边，以该边所对的顶点的坐标的绝对值为高。底边平行于y轴，则以所对顶点的横坐标的绝对值为高，反之则以纵坐标的绝对值为高。
类型二：三角形没有其中一边与坐标轴平行（垂直）的，可以用公式S△=水平宽×铅垂高求解。
【例题讲解】
1．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象交于点，，过点A作轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使，连接，．若的面积是6．

(1)求反比例函数的解析式．
(2)点P为第一象限内直线上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标．
（1）解：∵，的面积是6，
∴，
∴，
∵图象在第二象限，
∴，
∴反比例函数解析式为：；
（2）∵点，，在的图象上，
∴，，
∴，，
设直线的解析式为，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵轴交x轴于点C，
∴，
∴，
设直线上在第一象限的点，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式训练】
1．（2023 恩施州）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线y＝x+2交y轴于点A，交x轴于点B，与双曲线y＝（k≠0）在一，三象限分别交于C，D两点，AB＝BC，连接CO，DO．
（1）求k的值；
（2）求△CDO的面积．
解：（1）在y＝x+2中，令x＝0得y＝2，令y＝0得x＝﹣2，
∴A（0，2），B（﹣2，0），
∵AB＝BC，
∴A为BC中点，
∴C（2，4），
把C（2，4）代入y＝得：
4＝，
解得k＝8；
∴k的值为8；
（2）由得：或，
∴D（﹣4，﹣2），
∴S△DOC＝S△DOB+S△COB＝×2×2+×2×4＝2+4＝6，
∴△CDO的面积是6．
2．（2023 湖北）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与函数为（x＞0）的图象交于A（4，1），B（，a）两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足y1﹣y2＞0时x的取值范围；
（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ的面积为3，求点P的坐标．
解：（1）∵反比例函数y2＝（x＞0）的图象经过点A（4，1），
∴1＝．
∴m＝4．
∴反比例函数解析式为y2＝（x＞0）．
把B（，a）代入y2＝（x＞0），得a＝8．
∴点B坐标为（，8），
∵一次函数解析式y1＝kx+b图象经过A（4，1），B（，8），
∴．
∴．
故一次函数解析式为：y1＝﹣2x+9．
（2）由y1﹣y2＞0，
∴y1＞y2，即反比例函数值小于一次函数值．
由图象可得，＜x＜4．
（3）由题意，设P（p，﹣2p+9）且≤p≤4，
∴Q（p，）．
∴PQ＝﹣2p+9﹣．
∴S△POQ＝（﹣2p+9﹣） p＝3．
解得p1＝，p2＝2．
∴P（，4）或（2，5）．
3．（2023·四川乐山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点．

(1)求m的值和一次函数的表达式；
(2)已知P为反比例函数图象上的一点，，求点P的坐标．
（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
，
，
又点，都在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的解析式为．
（2）解：对于，当时，，
∴，
，
∵，

过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示．

，
．
，
解得．
点P的纵坐标为2或．
将代入得，
将代入得，
∴点或．
题型三 反比例函数中线段和差问题
【知识梳理】
将军饮马模型：同侧差最大，异侧和最小。
解题步骤：先作对称，然后连定点，最后求交点或最小值。
【例题讲解】
1．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．

(1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
（1）解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，
则，

∵点，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A的坐标是，
∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．
∴，
解得，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
∴，
∴反比例函数的解析式是，
设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得，
，解得,
∴直线所对应的一次函数的表达式为，
（2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，

∴点A与点关于x轴对称，
∴，，
∵，
∴的最小值是的长度，
∵，即是定值，
∴此时的周长为最小，
设直线的解析式是，
则，
解得，
∴直线的解析式是，
当时，，解得，
即点P的坐标是，
此时，
综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是．
【变式训练】
1．（2023·广东云浮·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在坐标轴上，且，，连接．反比例函数的图象经过线段的中点，并与、分别交于点、．一次函数的图象经过、两点．
(1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式．
(2)点P是x轴上一动点，当的值最小时，求点P的坐标．
（1）解： 四边形为矩形，，，
．由中点坐标公式可得点坐标为，
反比例函数的图象经过线段的中点，，
故反比例函数表达式为．令，则；令，则．故点坐标为，．
设直线的解析式为，代入、坐标得：，解得：，
故一次函数的解析式为．
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时最小．如图．
由坐标可得对称点，
设直线的解析式为，代入点、坐标，得：，解得：．
则直线的解析式为，令，则．点坐标为，．故答案为：，．
2．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点．
(1)点是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；
(2)连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．

（1）解：点在这个反比例函数的图像上．
理由如下：
一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，
设点的坐标为，
点关于直线的对称点为点，
，平分，
连接交于，如图所示：

，
轴于，
轴，，
，
，
，
在Rt中，，
，
为边上的中线，即，
，
，
，
点在这个反比例函数的图像上；
（2）解：①四边形为正方形，
，垂直平分，
，
设点的坐标为，
，，
，
（负值舍去），
，，
把，代入得，
；
②延长交轴于，如图所示：

，，点与点关于轴对称，
，则点即为符合条件的点，
由①知，，，，，
设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，
当时，，即，故当最大时，点的坐标为．
题型四 反比例函数的存在性问题
【例题讲解】
1．（2023 广安）如图，一次函数y＝kx+（k为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝（m为常数，m≠0）的图象在第一象限交于点A（1，n），与x轴交于点B（﹣3，0）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
解：（1）将A（1，n）、B（﹣3，0）分别代入一次函数y＝kx+，得
．
解得．
故A（1，3）．
将其代入反比例函数y＝，得
＝3．
解得m＝3．
故一次函数的解析式为y＝x+，反比例函数的解析式为y＝；
（2）由（1）知，A（1，3）、B（﹣3，0），则AB＝5．
设P（a，0），
当AB＝AP时，5＝．
解得a＝5或a＝﹣3（舍去）．
故P（5，0）；
当AB＝PB时，5＝|﹣3﹣a|．
解得a＝﹣8或a＝2．
故P（﹣8，0）或（2，0）．
综上所述，符合条件的点P的坐标为：（5，0）或（﹣8，0）或（2，0）．
【变式训练】
1．（2023 绵阳）如图，过原点O的直线与反比例函数y1＝（k≠0）的图象交于A（1，2），B两点，一次函数y2＝mx+b（m≠0）的图象过点A与反比例函数交于另一点C（2，n）．
（1）求反比例函数的解析式；当y1＞y2时，根据图象直接写出x的取值范围；
（2）在y轴上是否存在点M，使得△COM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题知，
将A点坐标代入反比例函数解析式得，
k＝1×2＝2，
所以反比例函数的解析式为．
由函数图象可知，
在直线x＝0和x＝1之间的部分及直线x＝2右侧的部分，
反比例函数y1的图象在一次函数y2的图象的上方，
即y1＞y2．
所以x的取值范围是：0＜x＜1或x＞2．
（2）将x＝2代入反比例函数解析式得，
y＝1，
所以点C的坐标为（2，1）．
则OC＝．
当OC＝OM时，
OM＝，
所以点M坐标为（0，）或（0，﹣）．
当CM＝CO时，
点C在OM的垂直平分线上，
又因为点C坐标为（2，1），
所以点M坐标为（0，2）．
当MO＝MC时，
点M在OC的垂直平分线上，
过点C作CN⊥y轴于点N，
令MO＝m，则MC＝m，MN＝m﹣1，
在Rt△CMN中，
CN2+MN2＝MC2，
即22+（m﹣1）2＝m2，
解得m＝．
所以点M的坐标为（0，）．
综上所述：点M的坐标为（0，）或（0，）或（0，2）或（0，）．
2．（2023·广东云浮·校考一模）如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为C，连接．
(1)求m的值；
(2)求证：；
(3)点D在反比例函数的图象上，点E在平面内，当以点B，C，D，E为顶点的四边形是以为边的正方形时，求点D的坐标．
（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，且，
∴，
解得：；
（2）证明：过B作于点M，
∵，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，
∴点B纵的坐标为6，即，
∵A的纵坐标为12，即，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴；
（3）解：存在．
如图，过D作于点N，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
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专题3 反比例函数与几何综合
题型一 反比例函数中比较函数值大小问题
【知识梳理】
比较大小一般解题步骤：
①求交点：联立方程求出方程组的解；
②分区间：将一次函数和反比例函数两个交点以及y轴左右两侧分层4个区间；
③比大小：图像谁在上方谁就大；
④：写出对应区间自变量的取值范围。
【例题讲解】
1．（2023 滨州）如图，直线y＝kx+b（k，b为常数）与双曲线（m为常数）相交于A（2，a），B（﹣1，2）两点．
（1）求直线y＝kx+b的解析式；
（2）在双曲线上任取两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜x2，试确定y1和y2的大小关系，并写出判断过程；
（3）请直接写出关于x的不等式的解集．
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【变式训练】
1．（2023 常德）如图所示，一次函数y1＝﹣x+m图象与反比例函数图象相交于点A和点B（3，﹣1）．
（1）求m的值和反比例函数解析式；
（2）当y1＞y2时，求x的取值范围．
2．（2023·山东淄博·中考真题）如图，直线与双曲线相交于点，．

(1)求双曲线及直线对应的函数表达式；
(2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积；
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
题型二 反比例函数的面积问题
【知识梳理】
求三角形面积的一般解题步骤：
类型一：三角形有一边与坐标轴平行（垂直）的，以这边为底边，以该边所对的顶点的坐标的绝对值为高。底边平行于y轴，则以所对顶点的横坐标的绝对值为高，反之则以纵坐标的绝对值为高。
类型二：三角形没有其中一边与坐标轴平行（垂直）的，可以用公式S△=水平宽×铅垂高求解。
【例题讲解】
1．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象交于点，，过点A作轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使，连接，．若的面积是6．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)点P为第一象限内直线上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标．
【变式训练】
1．（2023 恩施州）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线y＝x+2交y轴于点A，交x轴于点B，与双曲线y＝（k≠0）在一，三象限分别交于C，D两点，AB＝BC，连接CO，DO．
（1）求k的值；
（2）求△CDO的面积．
2．（2023 湖北）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与函数为（x＞0）的图象交于A（4，1），B（，a）两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足y1﹣y2＞0时x的取值范围；
（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ的面积为3，求点P的坐标．
3．（2023·四川乐山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点．

(1)求m的值和一次函数的表达式；
(2)已知P为反比例函数图象上的一点，，求点P的坐标．
题型三 反比例函数中线段和差问题
【知识梳理】
将军饮马模型：同侧差最大，异侧和最小。
解题步骤：先作对称，然后连定点，最后求交点或最小值。
【例题讲解】
1．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．

(1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【变式训练】
1．（2023·广东云浮·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在坐标轴上，且，，连接．反比例函数的图象经过线段的中点，并与、分别交于点、．一次函数的图象经过、两点．
(1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式．
(2)点P是x轴上一动点，当的值最小时，求点P的坐标．
2．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点．
(1)点是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；
(2)连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．

题型四 反比例函数的存在性问题
【例题讲解】
1．（2023 广安）如图，一次函数y＝kx+（k为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝（m为常数，m≠0）的图象在第一象限交于点A（1，n），与x轴交于点B（﹣3，0）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【变式训练】
1．（2023 绵阳）如图，过原点O的直线与反比例函数y1＝（k≠0）的图象交于A（1，2），B两点，一次函数y2＝mx+b（m≠0）的图象过点A与反比例函数交于另一点C（2，n）．
（1）求反比例函数的解析式；当y1＞y2时，根据图象直接写出x的取值范围；
（2）在y轴上是否存在点M，使得△COM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023·广东云浮·校考一模）如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为C，连接．
(1)求m的值；
(2)求证：；
(3)点D在反比例函数的图象上，点E在平面内，当以点B，C，D，E为顶点的四边形是以为边的正方形时，求点D的坐标．

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