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2024年中考二轮复习
专题4 二次函数与几何综合
题型一 二次函数的面积问题
【知识梳理】
二次函数的面积问题是二次函数和几何综合常考题型，有4种常用解法。
方法一：公式法：当三角形某边长在坐标轴上或平行于坐标轴时，直接利用三角形的面积公式：×底×高
方法二：割补法。方法要点是，把所求图像的面积适当的割补，转化成有利于面积表达的常规几何图形。
方法三：铅锤法
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
方法四：切线法，适用于求面积最值问题。
【例题讲解】
1．（2023·湖南）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
（1）解：将点，代入，得
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）∵ ，
顶点坐标为，
当时，
解得：
∴，则
∵，则
∴是等腰直角三角形，
∵
∴到的距离等于到的距离，
∵，，设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作的平行线，交抛物线于点，

设的解析式为，将点代入得，
解得：
∴直线的解析式为，
解得：或
∴，
∵
∴
∴是等腰直角三角形，且，
如图所示，延长至，使得，过点作的平行线，交轴于点，则，则符合题意的点在直线上，
∵是等腰直角三角形，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：或
∴或
综上所述，或或；
2．（2023·辽宁阜新）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与y轴交于点C．

(1)求这个二次函数的表达式．
(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值．
(3)如图2，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）解：由题意得，
；
（2）解：如图1，
作于，作于，交于，
，，
，
，
抛物线的对称轴是直线：，
，
，
，
，
故只需的边上的高最大时，的面积最大，
设过点与平行的直线的解析式为：，
当直线与抛物线相切时，的面积最大，
由得，
，
由△得，
得，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图2，
当点在线段上时，连接，交于，
点和点关于对称，
，
设，
由得，，
，（舍去），
，
∵，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
∴；
如图3，
当点在的延长线上时，由上可知：，
同理可得：，
综上所述：或．
【变式训练】
1．（2023·湖南娄底）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．

(1)求b，c的值．
(2)点是抛物线上的动点
①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）解：将、代入抛物线中，
可得：，解得：，
即：，；
（2）①由（1）可知：，
当时，，即，
设的解析式为：，
将，代入中，
可得，解得：，
∴的解析式为：，
过点P作轴，交于点E，交轴于点，

∵，则，
∴点E的横坐标也为，则纵坐标为，
∴，
的面积
，
∵，
∴当时，的面积有最大值，最大值为；
②存在，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
理由如下：由①可知，
由题意可知抛物线的对称轴为直线，
∵轴，
∴，，则，
当点在对称轴左侧时，即时，

，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时，即点；
当点在对称轴右侧时，即时，

，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时：，即点；
综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
题型二 二次函数的线段最值问题
【知识梳理】
二次函数的线段问题主要包括以下四种类型：
一、直接求解线段长度表达式型：单线段最值问题
1、平面直角坐标系线段长度的公式：
若AB平行y轴，则AB=，纵坐标相减，上减下；
若AB平行x轴，则AB=，横坐标相减，右减左；
若AB不平行于坐标轴，则AB=
2、抛物线中两类线段最值问题
（1）抛物线中竖直线段PQ
解题方法：先求出抛物线与直线AC的解析式，利用点P在抛物线山，点Q在直线AC上，PQ//y轴，设点P、Q的横坐标为m，进而得到P、Q的坐标，两者作差即可得到PQ的长度。
（2）抛物线中斜线段PH
方法一：相似三角形法，利用相似△PQH∽△ACO，等到（常数），PH=kPQ
方法二：锐角三角函数法，sin∠PQH=sin∠ACO=
方法三：等面积法：
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二、将军饮马问题：线段和最小，线段差最大、周长最小等
口诀：异侧和最小，同侧差最大。
线段和最小 如图，在l 上找一点 P ，使 PA PB 最小. 【技巧】做点 B 关于直线l 的对称点 B' ，直线 AB' 与l 的交点即为所求点 P ， PA PB 最小值为AB' .
线段差最大 如同，在直线上找一点P，使最大。 【技巧】作点B关于直线的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。的最大值为AB′
三、胡不归问题与阿氏圆问题
（1）胡不归问题：若点P在某条直线上运动时，求形如“PA+ k·PB”（k≠1且k为正数）的最值问题.
解题思路：构造射线BD，使，即将问题转化为求PA十PH的最小值，过A点作AH⊥BD交MN于点P，交BD于点H，此时PA+PH取到最小值，即PA十k·PB的值最小。
（2）阿氏圆问题：若点P在某圆上一动点时，求形如“PA+ k·PB”（k≠1且k为正数）的最值问题.
解题思路：在线段OB上截取OC使OC=kR，连接PO，PC，则可说明△BPO与△PCO相似，则有kPB=PC.故求PA+kPB的最小值可以转化为求PA+PC的最小值，其中A与C为定点，P为动点，故当A,P,C三点共线时，PA+PC的值最小。
【例题讲解】
1．（2023·宁夏）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．

(1)直接写出点的坐标；
(2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．
（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线，
∴点为；
（2）当时，，
∴，
连接，

∵，
∴，
∵点关于对称轴的对称点为点，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，为的长，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
∵点在抛物线的对称轴上，
∴；
∴点，的最小值为；
（3）过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，

∵，
设抛物线的解析式为：，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
由（2）知：直线：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，此时．
【变式训练】
1．（2023·山东枣庄）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．

(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）解：∵抛物线经过两点，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，
∴，
设直线，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴；
作点关于轴的对称点，连接，
则：，，
∴当三点共线时，有最小值为的长，

∵，，
∴，
即：的最小值为：；
（3）解：存在；
∵，
∴对称轴为直线，
设，，
当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时：
①为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
②当为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
③当为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或．
2．（2022·山东东营）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，与y轴交于点C，
∴抛物线对称轴为直线，点C的坐标为（0，-3）
如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），
由轴对称的性质可知CQ=EQ，
∴△ACQ的周长=AC+AQ+CQ，
要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，
∴当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小，
设直线AE的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AE的解析式为，
当时，，
∴点Q的坐标为（1，-2）；
（3）解： 如图1所示，当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点P作轴，过点M作MF⊥EF于F，过点B作BE⊥EF于E，
∵△PBM是以PB为腰的等腰直角三角形，
∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°，
∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°，
∴∠FMP=∠EPB，
∴△FMP≌△EPB（AAS），
∴PE=MF，BE=PF，
设点P的坐标为（1，m），
∴，
∴，，
∴点M的坐标为（1-m，m-2），
∵点M在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点M的坐标为（-1，0）；
同理当当点P在x轴下方，∠BPM=90°时可以求得点M的坐标为（-1，0）；
如图2所示，当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，过点B作轴，过点P作PE⊥EF于E，过点M作MF⊥EF于F，设点P的坐标为（1，m），
同理可证△PEB≌△BFM（AAS），
∴，
∴点M的坐标为（3-m，-2），
∵点M在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点M的坐标为（，-2）；
如图3所示，当点P在x轴下方，∠PBM=90°时，
同理可以求得点M的坐标为（，2）；
综上所述，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，点M的坐标为（-1，0）或（，-2）或（，2）．
3．（2023·四川内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；
（1）解：由题意得
，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为；
设（），
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
当时，的最大值为，
，
．
故的最大值为，．
题型三 二次函数中特殊三角形的存在性问题
【知识梳理】
二次函数中特殊三角形的存在性问题主要包括等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形的存在性问题，具体解题方法如下：
一、等腰三角形存在性问题
解题策略：
（一）构造等腰三角形的一般思路
平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长为半径作圆，再作线段的垂直平分线。
（二）动点产生的等腰三角形的一般解法，以三角形ABC为等腰三角形为例：
1、代数法
（1）分类.；AB=AC，AB=BC，AC=BC；
（2）画图；
①以AB为半径，点A为圆心做圆， 此时，圆上的点与 A、B构成以A为顶点的等腰三角形
②以AB为半径，点B为圆心做圆， 此时，圆上的点与 A、B构成以B为顶点的等腰三角形
③做AB的垂直平分线，此时，直线上的点（除 F 点外）与 A、B 构成以C为顶点的等腰三角形
（3）列方程；利用两点间的距离公式表示出线段AB,BC,AC的长度.根据AB=AC，AB=BC，AC=BC分类列方程
注意：如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来
2、几何法
（1）设未知数，表示出A,B,C三个顶点的坐标.
（2）利用等腰三角形的性质、全等三角形和相似三角形以及三角函数表示出线段AB,BC,AC的长度.
（3）分类列方程：AB=BC,BC=CA,AB=AC.
注意：如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．
用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之
数学思想方法：分类讨论、数形结合、转化化归和方程建模等数学思想. 有时几何法和代数法相结合使用，可以使得解题更快。
问题总结：
（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；
（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；
（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．
二、直角三角形存在性问题
（一）构造直角三角形的一般思路:
构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆.
（二）动点产生的直角三角形的一般解法，以三角形ABC为直角三角形为例
1、代数法
（1）列出A、B、C的坐标，动点用参数表示；
（2）列出线段AB、AC、BC长度的平方；
（3）分类列方程：①，②，③；
2、几何法 （用相似三角形）
当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究：
当动点在直线上运动时，常用的方法是① ，②三角形相似 ③勾股定理；
三、等腰直角三角形的存在性
1、基本题型
一定两动探索等腰直角三角形问题；三动探索等腰直角三角形问题
2、解题思路
（1）分类：不管是哪种类型的等腰直角三角形三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角。
（2）构造K型全等三角形
（3）列方程
【例题讲解】
1．（2023·青海）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．

(1)求此二次函数的解析式；
(2)设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图1中探索）；
(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图中探索）．
（1）解：由题意得，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，

∵，
∴，
∴，，
由得，，
∴，
∴；
（3）解：设，，
∵，
∴，
由得，
∴，
∴．
2．（2023·四川内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
（1）解：由题意得
，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：存在，
如图，过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，

∵抛物线的对称轴为直线，
设，
，
，
，
，
，
解得：，
；
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线解析式为，
，且经过，
直线解析式为，
当时，，
；
综上所述：存在，的坐标为或．
3．（2022·山东东营）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解： 如图1所示，当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点P作轴，过点M作MF⊥EF于F，过点B作BE⊥EF于E，
∵△PBM是以PB为腰的等腰直角三角形，
∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°，
∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°，
∴∠FMP=∠EPB，
∴△FMP≌△EPB（AAS），
∴PE=MF，BE=PF，
设点P的坐标为（1，m），
∴，
∴，，
∴点M的坐标为（1-m，m-2），
∵点M在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点M的坐标为（-1，0）；
同理当当点P在x轴下方，∠BPM=90°时可以求得点M的坐标为（-1，0）；
如图2所示，当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，过点B作轴，过点P作PE⊥EF于E，过点M作MF⊥EF于F，设点P的坐标为（1，m），
同理可证△PEB≌△BFM（AAS），
∴，
∴点M的坐标为（3-m，-2），
∵点M在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点M的坐标为（，-2）；
如图3所示，当点P在x轴下方，∠PBM=90°时，
同理可以求得点M的坐标为（，2）；
综上所述，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，点M的坐标为（-1，0）或（，-2）或（，2）．
【变式训练】
1．（2022·贵州黔东南）如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，解得：a=-1，
∵抛物线过点，
∴，解得：c=3，
∴抛物线解析式为；
（2）解：存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．理由如下：
令y=0，则，
解得：，
∴点A的坐标为（-1，0），
∴OA=1，
当x=0时，y=3，
∴点C的坐标为（0，3），即OC=3，
∴，
设直线BC的解析式为，
把点B（3，0），C（0，3）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点N（m，-m+3），
∴MN=-m+3，AM=m+1，
∴，，
当AC=AN时，，
解得：m=2或0（舍去），
∴此时点N（2，1）；
当AC=CN时，，
解得：或（舍去），
∴此时点N；
当AN=CN时，，
解得：，
∴此时点N；
综上所述，存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形；
2．（2023·湖北随州）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点 为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．

(1)直接写出抛物线和直线的解析式；
(2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；
(3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）解：抛物线过点，，
抛物线的表达式为，
将点代入上式，得，
．
抛物线的表达式为，即．
设直线的表达式为，
将点，代入上式，
得，
解得．
直线的表达式为．
（2）解：点在直线上，且，
点的坐标为．
，，．
当为等腰三角形时，
①若，则，
即，
解得．
②若，则，
即，
解得或（舍去）．
③若，则，
即，
解得（舍去）或．
综上，或或．
（3）解：点与点相对应，
或．
①若点在点左侧，
则，，．
当，即时，
直线的表达式为，
，解得或（舍去）．
，即．
，即，
解得．
，．
当，即时，
，，
，即，
解得（舍去）或（舍去）．
②若点在点右侧，
则，．
当，即时，
直线的表达式为，
，解得或（舍去），
，
，即，
解得．
，．
当，即时，
，．
，即，
解得或（舍去）．
，．
综上，，或，或，．
题型四 二次函数中特殊四边形的存在性问题
【知识梳理】
1、平行四边形的存在性问题
平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题，若四边形ABCD是平行四边形，则平行四边形的坐标满足以下等式:
2、菱形的存在性问题
若四边形ABCD是菱形，则菱形的坐标满足以下等式：
3、矩形的存在性问题
若四边形ABCD是矩形，则矩形的坐标满足以下等式：
【例题讲解】
1．（2022·四川攀枝花）如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
（1）解：二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，
二次函数顶点为，
设二次函数解析式为，
将点代入得，，
，
；
（2）如图，连接，

当时，，
或2，，
点P在抛物线上，
点P的纵坐标为，
；
（3）设，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，
综上：或或．
2．（2023·海南）如图1，抛物线交x轴于A，两点，交y轴于点．点P是抛物线上一动点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；
(3)当动点P在直线上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（1）解：由题意可得，，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：连接，过点P作于点E，如图，
∵点P的坐标为，
∴，，
令，则，
解得或，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
；
（3）解：在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，理由如下：
如图，当为边时，四边形为符合条件的矩形，交y轴于点E，交x轴于点F，连接，过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N，
∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴和为等腰直角三角形，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴和为全等的等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立方程组得，
解得或，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当为对角线时，四边形为矩形，过点Q作轴于点D，轴于点E，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设点P的坐标为：，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，，，
∴，
整理得：，
分解因式得：，
解得：（舍去），（舍去），，
∴此时点Q的坐标为：．
综上所述，在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，此时点Q的坐标为或；
3．（2023·西藏）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)或或或；
(3)存在，，或，或，或或
【分析】（1）将，代入，求出,即可得出答案；
（2）分别以点为顶点、以点为顶点、当以点为顶点，计算即可；
（3）抛物线的对称轴为直线，设，，求出，，，分三种情况：以为对角线或以为对角线或以为对角线．
【详解】（1）解：（1）∵，两点在抛物线上，
∴
解得，，
∴抛物线的解析式为：；
（2）令，
∴，
由为等腰三角形，如图甲，

当以点为顶点时，，点与原点重合，
∴；
当以点为顶点时，，是等腰中线，
∴，
∴；
当以点为顶点时，
∴点D的纵坐标为或，
∴综上所述，点D的坐标为或或或．
（3）存在，理由如下：
抛物线的对称轴为：直线，
设，，
∵，
则，
，
，
∵以为顶点的四边形是菱形，
∴分三种情况：以为对角线或以为对角线或以为对角线，
当以为对角线时，则，如图1，

∴，
解得：，
∴或
∵四边形是菱形，
∴与互相垂直平分，即与的中点重合，
当时，
∴，
解得：，
∴
当时，
∴，
解得：，
∴
以为对角线时，则，如图2，

∴，
解得：，
∴，
∵四边形是菱形，
∴与互相垂直平分，即与中点重合，
∴，
解得：，
∴；
当以为对角线时，则，如图3，

∴，
解得：，
∴，
∵四边形是菱形，
∴与互相垂直平分，即与的中点重合，
∴，
解得：
∴，
综上所述，符合条件的点P、Q的坐标为： ，或，或，或或
【变式训练】
1．（2023·内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点作轴平行线交于点，过点作轴平行线交轴于点，求的最大值及点的坐标；
(3)如图2，设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上确定点，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点的坐标．
（1）解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点
解得
抛物线的解析式为：；
（2）解：当时，，
解得，，
∴，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得
∴直线的解析式为，
设，
∵轴，
∴点的纵坐标为，
又∵点在直线上，
∴，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为，
当时，，
∴点的坐标为；
答：的最大值为，点的坐标为；
（3）解：，
则抛物线的顶点，对称轴为，
情况一：当点在轴上时，为抛物线的顶点，
∵四边形为矩形，
∴与纵坐标相同，
∴；
情况二：当点在轴负半轴上时，四边形为矩形，
过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，
设，则，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵抛物线对称轴为，点在对称轴上，，
∴，，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得，（舍去），
∴，
综上所述：符合条件的点坐标为：或．
2．（2023·四川广安）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．

(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标．
(3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数经过点，
∴，即，
∴，
∴二次函数解析式为；
（2）解：∵二次函数经过点，且对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数与y轴交于点C，
∴，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴；
∵，
∴
，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
∴此时点P的坐标为；
（3）解：设，则，，
∵轴，
∴轴，即，
∴是以、为顶点的菱形的边；
如图3-1所示，当为对角线时，

∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴轴，
∴轴，即轴，
∴点C与点N关于抛物线对称轴对称，
∴点N的坐标为，
∴，
∴；
如图3-2所示，当为边时，则，

∵，，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如图3-3所示，当为边时，则，

同理可得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如图3-4所示，当为边时，则，

同理可得，
解得（舍去）或（舍去）；
如图3-5所示，当为对角线时，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴轴，
∴轴，这与题意相矛盾，
∴此种情形不存在
如图3-6所示，当为对角线时，设交于S，

∵轴，
∴，
∵，
∴，这与三角形内角和为180度矛盾，
∴此种情况不存在；
综上所述，或或．
题型五 二次函数中角的存在性问题
【知识梳理】
二次函数与角综合问题，常见的主要有两种类型：
1、特殊角问题：
（1）利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系
（2）遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形
2、角的数量关系问题
（1）等角问题：借助特殊图形的性质、全等和相似的性质来解决；构造圆，利用圆周角的性质来解决
（2）二倍角问题：利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答
（3）角的和差问题
【例题讲解】
1．（2023·湖南常德）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．

(1)求二次函数的表达式；
(2)求四边形的面积；
(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，求P点的坐标．
（1）∵二次函数的图象与轴交于两点．
∴设二次函数的表达式为
∵，
∴，即的坐标为
则，得
∴二次函数的表达式为；
（2）
∴顶点的坐标为
过作于，作于，
四边形的面积
；

（3）如图，是抛物线上的一点，且在第一象限，当时，
连接，过作交于，过作于，

∵，则为等腰直角三角形，．
由勾股定理得：，
∵，
∴，
即，
∴
由，得，
∴．
∴是等腰直角三角形
∴
∴的坐标为
所以过的直线的解析式为
令
解得，或
所以直线与抛物线的两个交点为
即所求的坐标为
2．（2023·四川自贡）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求抛物线解析式及，两点坐标；
(2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）解：∵抛物线与x轴交于，
∴
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，
当时，
解得：，
∴
（2）∵，，，
设，
∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形
当为对角线时，
解得：，
∴；
当为对角线时，
解得：
∴
当为对角线时，
解得：
∴
综上所述，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，或或
（3）解：如图所示，作交于点，为的中点，连接，

∵
∴是等腰直角三角形，
∴在上，
∵，，
∴，，
∵，
∴在上，
设，则
解得：（舍去）
∴点
设直线的解析式为
∴
解得：.
∴直线的解析式
∵，，
∴抛物线对称轴为直线，
当时，，
∴．
【变式训练】
1．（2022·四川达州）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
（1）解：∵由二次函数，令，则，
，
过点，，
设二次函数的表达式为 ，
将点代入得，
，
解得，
，
（2）二次函数的图象经过点，，
抛物线的对称轴为，
①如图，过点作关于的对称点，
，
，
，
，
②轴上取一点，使得，则，设，
则，
，
解得，
即，
设直线CD的解析式为，
，
解得，
直线CD的解析式为，
联立，
解得或，
，
综上所述，或，
2．（2024·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，点的坐标是，点的坐标是，与轴交于点，是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点.

(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接，是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
（1）解：设抛物线的表达式为：，
则，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：设存在点，使得，理由如下：
延长到，设，连接，如图：

，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
解得（舍去）或（舍去）或，
点的横坐标为．2024年中考二轮复习
专题4 二次函数与几何综合
题型一 二次函数的面积问题
【知识梳理】
二次函数的面积问题是二次函数和几何综合常考题型，有4种常用解法。
方法一：公式法：当三角形某边长在坐标轴上或平行于坐标轴时，直接利用三角形的面积公式：×底×高
方法二：割补法。方法要点是，把所求图像的面积适当的割补，转化成有利于面积表达的常规几何图形。
方法三：铅锤法
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
方法四：切线法，适用于求面积最值问题。
【例题讲解】
1．（2023·湖南）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
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2．（2023·辽宁阜新）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与y轴交于点C．

(1)求这个二次函数的表达式．
(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值．
(3)如图2，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练】
1．（2023·湖南娄底）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．

(1)求b，c的值．
(2)点是抛物线上的动点
①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
题型二 二次函数的线段最值问题
【知识梳理】
二次函数的线段问题主要包括以下四种类型：
一、直接求解线段长度表达式型：单线段最值问题
1、平面直角坐标系线段长度的公式：
若AB平行y轴，则AB=，纵坐标相减，上减下；
若AB平行x轴，则AB=，横坐标相减，右减左；
若AB不平行于坐标轴，则AB=
2、抛物线中两类线段最值问题
（1）抛物线中竖直线段PQ
解题方法：先求出抛物线与直线AC的解析式，利用点P在抛物线山，点Q在直线AC上，PQ//y轴，设点P、Q的横坐标为m，进而得到P、Q的坐标，两者作差即可得到PQ的长度。
（2）抛物线中斜线段PH
方法一：相似三角形法，利用相似△PQH∽△ACO，等到（常数），PH=kPQ
方法二：锐角三角函数法，sin∠PQH=sin∠ACO=
方法三：等面积法：
二、将军饮马问题：线段和最小，线段差最大、周长最小等
口诀：异侧和最小，同侧差最大。
线段和最小 如图，在l 上找一点 P ，使 PA PB 最小. 【技巧】做点 B 关于直线l 的对称点 B' ，直线 AB' 与l 的交点即为所求点 P ， PA PB 最小值为AB' .
线段差最大 如同，在直线上找一点P，使最大。 【技巧】作点B关于直线的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。的最大值为AB′
三、胡不归问题与阿氏圆问题
（1）胡不归问题：若点P在某条直线上运动时，求形如“PA+ k·PB”（k≠1且k为正数）的最值问题.
解题思路：构造射线BD，使，即将问题转化为求PA十PH的最小值，过A点作AH⊥BD交MN于点P，交BD于点H，此时PA+PH取到最小值，即PA十k·PB的值最小。
（2）阿氏圆问题：若点P在某圆上一动点时，求形如“PA+ k·PB”（k≠1且k为正数）的最值问题.
解题思路：在线段OB上截取OC使OC=kR，连接PO，PC，则可说明△BPO与△PCO相似，则有kPB=PC.故求PA+kPB的最小值可以转化为求PA+PC的最小值，其中A与C为定点，P为动点，故当A,P,C三点共线时，PA+PC的值最小。
【例题讲解】
1．（2023·宁夏）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．

(1)直接写出点的坐标；
(2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．
【变式训练】
1．（2023·山东枣庄）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．

(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2022·山东东营）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
3．（2023·四川内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；
题型三 二次函数中特殊三角形的存在性问题
【知识梳理】
二次函数中特殊三角形的存在性问题主要包括等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形的存在性问题，具体解题方法如下：
一、等腰三角形存在性问题
解题策略：
（一）构造等腰三角形的一般思路
平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长为半径作圆，再作线段的垂直平分线。
（二）动点产生的等腰三角形的一般解法，以三角形ABC为等腰三角形为例：
1、代数法
（1）分类.；AB=AC，AB=BC，AC=BC；
（2）画图；
①以AB为半径，点A为圆心做圆， 此时，圆上的点与 A、B构成以A为顶点的等腰三角形
②以AB为半径，点B为圆心做圆， 此时，圆上的点与 A、B构成以B为顶点的等腰三角形
③做AB的垂直平分线，此时，直线上的点（除 F 点外）与 A、B 构成以C为顶点的等腰三角形
（3）列方程；利用两点间的距离公式表示出线段AB,BC,AC的长度.根据AB=AC，AB=BC，AC=BC分类列方程
注意：如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来
2、几何法
（1）设未知数，表示出A,B,C三个顶点的坐标.
（2）利用等腰三角形的性质、全等三角形和相似三角形以及三角函数表示出线段AB,BC,AC的长度.
（3）分类列方程：AB=BC,BC=CA,AB=AC.
注意：如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．
用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之
数学思想方法：分类讨论、数形结合、转化化归和方程建模等数学思想. 有时几何法和代数法相结合使用，可以使得解题更快。
问题总结：
（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；
（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；
（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．
二、直角三角形存在性问题
（一）构造直角三角形的一般思路:
构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆.
（二）动点产生的直角三角形的一般解法，以三角形ABC为直角三角形为例
1、代数法
（1）列出A、B、C的坐标，动点用参数表示；
（2）列出线段AB、AC、BC长度的平方；
（3）分类列方程：①，②，③；
2、几何法 （用相似三角形）
当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究：
当动点在直线上运动时，常用的方法是① ，②三角形相似 ③勾股定理；
三、等腰直角三角形的存在性
1、基本题型
一定两动探索等腰直角三角形问题；三动探索等腰直角三角形问题
2、解题思路
（1）分类：不管是哪种类型的等腰直角三角形三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角。
（2）构造K型全等三角形
（3）列方程
【例题讲解】
1．（2023·青海）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．

(1)求此二次函数的解析式；
(2)设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图1中探索）；
(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图中探索）．
2．（2023·四川内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
3．（2022·山东东营）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
【变式训练】
1．（2022·贵州黔东南）如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
2．（2023·湖北随州）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点 为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．

(1)直接写出抛物线和直线的解析式；
(2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；
(3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型四 二次函数中特殊四边形的存在性问题
【知识梳理】
1、平行四边形的存在性问题
平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题，若四边形ABCD是平行四边形，则平行四边形的坐标满足以下等式:
2、菱形的存在性问题
若四边形ABCD是菱形，则菱形的坐标满足以下等式：
3、矩形的存在性问题
若四边形ABCD是矩形，则矩形的坐标满足以下等式：
【例题讲解】
1．（2022·四川攀枝花）如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
2．（2023·海南）如图1，抛物线交x轴于A，两点，交y轴于点．点P是抛物线上一动点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；
(3)当动点P在直线上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
3．（2023·西藏）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式训练】
1．（2023·内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点作轴平行线交于点，过点作轴平行线交轴于点，求的最大值及点的坐标；
(3)如图2，设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上确定点，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点的坐标．
2．（2023·四川广安）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．

(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标．
(3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型五 二次函数中角的存在性问题
【知识梳理】
二次函数与角综合问题，常见的主要有两种类型：
1、特殊角问题：
（1）利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系
（2）遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形
2、角的数量关系问题
（1）等角问题：借助特殊图形的性质、全等和相似的性质来解决；构造圆，利用圆周角的性质来解决
（2）二倍角问题：利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答
（3）角的和差问题
【例题讲解】
1．（2023·湖南常德）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．

(1)求二次函数的表达式；
(2)求四边形的面积；
(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，求P点的坐标．
2．（2023·四川自贡）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求抛物线解析式及，两点坐标；
(2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练】
1．（2022·四川达州）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
2．（2024·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，点的坐标是，点的坐标是，与轴交于点，是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点.

(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接，是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．

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