资源简介

(共44张PPT)
1．简谐运动
目标体系构建
1．初步形成简谐运动的概念。
2．通过对弹簧振子的分析，理解简谐运动这一理想化模型。
3．通过对弹簧振子的x－t图像的绘制，理解简谐运动的特点。
4．通过研究过程，能分析数据发展特点，形成结论。
课前预习反馈
知识点1
1.机械振动
(1)定义：物体(或物体的一部分)总是在某一位置附近的_______________，叫机械振动，简称振动。
(2)特征：第一，有一个“中心位置”，即_________位置，也是振动物体静止时的位置；第二，运动具有____________。
机械振动与弹簧振子
往复运动
平衡
往复性
2．弹簧振子
(1)弹簧振子：弹簧振子是指_________和_________所组成的系统，是一种____________物理模型。
(2)振子模型：常见的有水平弹簧振子和竖直弹簧振子。如图所示，图甲中球与杆之间的摩擦力及空气阻力可以_________，且弹簧的质量与小球的质量相比可以_________。
小球
弹簧
理想化
忽略
忽略
『判一判』
(1)弹簧振子是一种理想化的物理模型。( 　　)
(2)弹簧振子的平衡位置都在原长处。( 　　)
(3)平衡位置即速度为零时的位置。( 　　)
√
×
×
知识点2
1.建立坐标系
以小球的_______________为坐标原点，沿着_______________方向建立坐标轴。规定小球在平衡位置_________时它对平衡位置的位移为正，在_________时为负(以水平弹簧振子为例)。
2．位移—时间图像
横坐标表示振子振动的_____，纵坐标表示振子相对____________的位移。
3．物理意义
反映了振子的_________随_________的变化规律。
弹簧振子的位移—时间图像
平衡位置
它的振动
右边
左边
左边
平衡位置
位移
时间
『选一选』
(多选)某弹簧振子的位移随时间变化的图像如图所示，则振子( )
A．第1 s末与第3 s末的位移相同
B．第1 s末与第3 s末的速度相同
C．4 s末至 8 s末路程为10 cm
D．3 s末至5 s末速度方向不变
ACD
解析：由图像可以看出，t＝1 s和t＝3 s两时刻位移相同，故A正确；第1 s末和第3 s末的速度方向不同，故B错误；由图像可知，4 s末至8 s末质点运动的路程为s＝2×5 cm＝10 cm，故C正确；3 s末至5 s末速度方向不变，故D正确。
知识点3
1.简谐运动
(1)定义：如果物体的位移与时间的关系遵从_________函数的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条_________曲线，这样的振动叫作简谐运动。
(2)特点：①简谐运动是最_________、最简单的振动。
②简谐运动的位移随时间按正弦规律变化，所以它不是匀变速运动，是变力作用下的____________运动。
简谐运动及其图像
正弦
正弦
基本
变加速
2．简谐运动的图像
(1)形状：正(余)弦曲线，如图所示。
(2)物理意义：表示振动的质点在不同时刻偏离_______________的位移，是位移随时间的变化规律。
(3)获取信息：从图像上可直接看出不同时刻振动质点的_________大小和方向。
平衡位置
位移
『判一判』
(4)振子的位移－5 cm小于1 cm。( 　　)
(5)简谐运动的轨迹是一条正弦(或余弦)曲线。( 　　)
(6)简谐运动是一种匀变速直线运动。( 　　)
×
×
×
『选一选』如图所示，一弹性小球被水平抛出，在两个互相竖直平行的平面间运动，小球落在地面之前的运动( 　　)
A．是机械振动，但不是简谐运动
B．是简谐运动，但不是机械振动
C．是简谐运动，同时也是机械振动
D．不是简谐运动，也不是机械振动
解析：机械振动具有往复的特性，可以重复地进行，小球在运动过程中，没有重复运动的路径，因此不是机械振动，当然也不是简谐运动。
D
『想一想』
如图所示的三个图线分别是用不同的传感器测出的不同物体的振动图线。从三个图线可知，这三个物体的振动有什么共同特点？三个振动物体中，最简单的振动是哪一个？
解析：由图可看出，三个物体振动的共同特点是都具有周期性；弹簧振子的图线是简谐运动的图线，是最简单的振动。
课内互动探究
探究?
理想化模型与质点
要点提炼
1.实际物体看作理想振子的条件
(1)弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子(小球)；
(2)构成弹簧振子的小球体积足够小，可以认为小球是一个质点；
(3)忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力；
(4)小球从平衡位置被拉开的位移在弹性限度内。
2．对简谐运动的位移、速度和加速度的理解
(1)简谐运动的位移
位移的表示方法：以平衡位置为坐标原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，则某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示。
(2)简谐运动的速度
①物理含义：速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量。在所建立的坐标轴(也称“一维坐标系”)上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。
②特点：如图所示为一简谐运动的模型，振子在A、B之间振动，则振子在O点速度最大，在A、B两点速度为零。
(3)简谐运动的加速度
①产生：水平弹簧振子的加速度是由弹簧弹力产生的。
②方向特点：总是指向平衡位置。
③大小变化规律：远离平衡位置运动，振子的加速度增大；向平衡位置运动，振子的加速度减小；平衡位置振子的加速度为零；最大位移处振子的加速度最大。
4．简谐运动的对称性、周期性
(1)简谐运动的对称性
如图所示，振子在C、C′间做简谐运动。
①瞬时量的对称性：各物理量关于平衡位置对称，振子通过关于平衡位置对称的两点时，位移、速度、加速度大小相等，动能、势能、机械能相等。
②过程量的对称性：振子来回通过相同的两点间的时间相等，如tBC＝tCB。
典例剖析
1.(2023·上海市长宁区高三第一学期期末)如图所示，弹簧振子在B、C两点间做无摩擦的往复运动，O是振子的平衡位置。则振子( 　　)
A．从B向O运动过程中位移一直变小
B．从O向C运动过程中加速度一直变小
C．从B经过O向C运动过程中速度一直变小
D．从C经过O向B运动过程中速度一直变小
A
解析：振子从B向O运动时，是向着平衡位置移动，位移变小，故A正确；振子从O向C运动时，是从平衡位置向最大位移运动的过程，所以位移变大，加速度变大，故B错误；从B经过O向C运动过程中速度先增大后变小，故C错误；从C经过O向B运动过程中速度先增大后变小，故D错误。
如图所示为一水平弹簧振子，M、N两点关于平衡位置O点对称，忽略摩擦和空气阻力，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同，那么，下列说法正确的是( 　　)
A．振子在M、N两点所受弹簧弹力相同
B．振子在M、N两点相对平衡位置的位移相同
C．振子在M、N两点加速度大小相等
D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动
对点训练
C
解析：因位移、速度、加速度和弹力都是矢量，它们要相同必须大小相等、方向相同。M、N两点关于O点对称，振子所受弹力应大小相等、方向相反，振子位移也是大小相等、方向相反，由此可知，选项A、B错误；振子在M、N两点的加速度虽然方向相反，但大小相等，故选项C正确；振子由M→O速度越来越大，但加速度越来越小，振子做加速运动，但不是匀加速运动；振子由O→N速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减速运动，但不是匀减速运动，故选项D错误。
探究?
简谐振动位移—时间图像
要点提炼
1．图像形状：正(余)弦曲线。
2．物理意义：表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律。
3．从图像可获取的信息
(1)任意时刻质点的位移的大小和方向。如图1所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。
图1
图2
(2)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图2中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a此刻向x轴正向振动。
(3)任意时刻质点的速度、加速度、位移的变化情况及大小比较：看下一时刻质点的位置，判断是远离还是衡位置，若远离平衡位置，则速度越来越小，加速度、位移越来越大，若衡位置，则速度越来越大，加速度、位移越来越小，如图2中b，从正位移向着平衡位置运动，则速度为负且增大，位移、加速度正在减小，c从负位移远离平衡位置运动，则速度为负且减小，位移、加速度正在增大。
典例剖析
2.如图所示是某质点做简谐运动的振动图像。根据图像中的信息，回答下列问题。
(1)质点离开平衡位置的最大距离有多大？
(2)质点在10 s末和20 s末的位移各是多少？
(3)质点在15 s和25 s时各向什么方向运动？
(4)质点在前30 s内运动的路程是多少？
(5)试画出质点的v－t图像。
解析：(1)质点离开平衡位置的最大距离等于质点的最大位移的大小，由图知，此距离为20 cm。
(2)质点在10 s末的位移x1＝20 cm,20 s末的位移x2＝0。
(3)15 s末质点位移为正，15 s后的一段时间，位移逐渐减小，故质点在15 s末向负方向运动，同理可知，25 s末质点也向负方向运动。
(4)前30 s质点先是由平衡位置沿正方向振动了20 cm，又返回平衡位置，最后又到达负方向20 cm处，故30 s内运动的总路程为60 cm。
(5)v－t图像如图所示。
答案：(1)20 cm　(2)20 cm,0　(3)15 s末向负方向运动，25 s末向负方向运动　(4)60 cm　(5)见解析
(多选)(2023·江苏省启东市高二下学期调研)如图甲所示的弹簧振子在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，图乙为此弹簧振子的振动图像，则( )
A．t＝0.6 s时，弹簧振子的速度最大
B．从t＝0到t＝0.2 s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动
C．在t＝0.5 s和t＝0.7 s两个时刻，弹簧振子在同一位置
D．t＝0.2 s时，弹簧振子的位移为负向最大
对点训练
BC
解析：由图可知，t＝0.6 s时，弹簧振子的位移为负向最大值，速度为零，故A错误；从t＝0到t＝0.2 s时间内，弹簧振子的位移增大，加速度增大，速度减小，所以弹簧振子做加速度增大的减速运动，故B正确；在t＝0.5 s和t＝0.7 s两个时刻，弹簧振子的位移相同，说明弹簧振子在同一位置，故C正确；t＝0.2 s时，弹簧振子的位移为正向最大，故D错误。
课堂达标检测
一、弹簧振子及弹簧振子x－t图像
1．(2024·北京四中顺义分校高二下学期期中)如图所示，一弹簧振子做等幅振动，取向右为正，A、B两处为最大位移处，O为平衡位置，C为AO间某一位置，则振子( 　　)
A．从B→O时，位移是正值，加速度为正值
B．从O→B时，位移是正值，速度为正值
C．运动至C处时，位移为负值，加速度为负值
D．运动至C处时，位移为正值，加速度为负值
B
解析：B→O时，位移是正值，加速度为负值，故A错误；从O→B时，位移是正值，速度为正值，故B正确；运动至C处时，位移为负值，加速度为正值，故C、D错误。
2．(多选)一弹簧振子运动，其x－t图像如图所示，由图可知，t＝2.5 s时，质点的( )
A．速度沿负方向
B．速度沿正方向
C．质点正向平衡位置运动
D．质点正远离平衡位置向最大位移处运动
BC
解析：根据振动的x－t图像可知，t＝2.5 s时位移x<0，且正在减小，对应振动情景如图所示。振子从负位移处向平衡位置运动，所以速度沿正方向且正在增大，位移沿负方向且正在减小，故B、C正确。
二、简谐运动及图像
3．(多选)一质点在平衡位置O附近做简谐运动，从它经过平衡位置向右运动开始计时，经0.13 s质点第一次通过M点，再经0.1 s第二次通过M点，则质点振动周期的可能值为( )
A．0.72 s B．0.24 s
C．0.36 s D．0.12 s
AB
解析：质点的振动情形有两种可能性。(1)如图甲所示，则O→M→A历时t＝0.13 s＋0.05 s＝0.18 s，所以周期为T1＝4t＝4×0.18 s＝0.72 s；
(2)如图乙所示，由O→A→M历时t1＝0.13 s，由M→A′→M历时t2＝0.1 s，设由O→M历时为t′，则0.13 s－t′＝2t′＋0.1 s，解得t′＝0.01 s，所以周期为T＝t1＋t2＋t′＝0.13 s＋0.1 s＋0.01 s＝0.24 s。选项A、B正确。
4．(多选)如图所示是一水平弹簧振子做简谐运动的振动图像(x－t图像)。由图可推断，振子( )
A．在t1和t3时刻具有相同的速度
B．在t3和t4时刻具有相同的速度
C．在t4和t6时刻具有相同的位移
D．在t2和t5时刻具有相同的加速度
解析：t1与t3两时刻振子经同一位置向相反方向运动，速度不相同，故A错误；t3与t4两时刻振子经过关于平衡位置的对称点，速度大小相等、方向相同，故B正确；t4与t6两时刻振子的位移都是－2 cm，故C正确；在t2和t5时刻振子的加速度大小相等，方向相反，故D错误。
BC
5．(多选)劲度系数为20 N/m的水平弹簧振子，它的振动图像如图所示，则图线上的P点反映出此时刻( )
A．弹簧振子的运动方向沿x轴正向
B．振子所受弹力为0.5 N，方向沿x轴负向
C．由t＝0到图线上P点时刻振子所经过的
路程为37.5 cm
D．由t＝0到图线上P点所示时刻的这段时间内，振子运动的位移为2.5 cm
ABC
解析：P点稍后的时刻，质点的正向位移变大，所以运动方向沿x轴正向，A项正确；由胡克定律F＝kx知tp时刻弹簧弹力大小为0.5 N，方向为x轴负向，B项正确；t＝0时刻至t＝tp时刻振子走过的路程为5 cm×7＋2.5 cm＝37.5 cm，C项正确；t＝0到图线上所示时刻的时间段内振子运动的位移为－2.5 cm，故D错误，选ABC。(共41张PPT)
2．简谐运动的描述
目标体系构建
1．初步形成全振动概念，知道振幅、周期、频率等概念及其相互关系，知道全振动和圆频率的含义。
2．了解相位、初相位和相位差的概念、相互关系及相位的物理意义。
3．通过有关简谐运动描述的学习，培养学生的物理素养和科学精神。
课前预习反馈
知识点1
1.振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的_______________，用A表示，国际单位：m。
(2)振动范围：振动物体运动范围为_________的两倍。
2．全振动：类似于O→B→O→C→O的一个_________的振动过程。
描述简谐运动的物理量
最大距离
振幅
完整
3．周期和频率
(1)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的_________，用T表示，国际单位： s。
(2)频率：单位时间内完成全振动的_________，用f表示，国际单位：_________。
(3)周期T与频率f的关系：T＝______。
(4)物理意义：周期和频率都是描述物体_______________的物理量，周期越小，频率_________，表示物体振动的越快。
4．相位
用来描述周期性运动在各个时刻所处的_______________。
时间
次数
Hz
振动快慢
越大
不同状态
『判一判』
(1)周期、频率是表征物体做简谐运动振动快慢的物理量。( 　　)
(2)振幅就是指振子的位移。( 　　)
(3)振幅就是指振子的路程。( 　　)
(4)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程不一定是一次全振动过程。( 　　)
(5)两个振动物体相位相同，则其振动步调相反。( 　　)
√
×
×
√
×
×
『选一选』
(2023·山东滨州高二检测)某简谐运动的位移—时间图像如图所示，下列说法正确的是( 　　)
A．简谐运动的振幅为4 cm
B．简谐运动的周期为0.4 s
C．位移—时间图像是振动质点的运动轨迹
D．振动质点经过图像中A点时速度方向沿x轴负方向
解析：由题图像可得，简谐运动的振幅为2 cm，故A错误；简谐运动的周期为0.4 s，故B正确；该图像表示质点的位移随时间变化的规律，不是质点的运动轨迹，故C错误；由题图像可知，质点经过A点向x轴正方向运动，即A点速度方向沿x轴正方向，故D错误。
『想一想』
振子完成一次全运动时走过的路程与振幅是什么关系？与起始位置有关系吗？
解析：完成一次全运动，路程为振幅的4倍，即s＝4A，与起始位置无关。
知识点2
简谐运动的函数表达式为x＝________________________。
1．A：表示简谐运动的_________。
2．ω：是一个与频率成正比的量，叫作简谐运动的__________，表
示简谐运动的快慢，ω＝___________＝____________。
3．ωt＋φ：代表简谐运动的_________。
4．φ：表示t＝0时的相位，叫作____________，简称_________。
简谐运动的表达式
Asin(ωt＋φ)
振幅
“圆频率”
2πf
相位
初相位
初相
课内互动探究
探究?
描述简谐运动的物理量
要点提炼
1.对全振动的理解
正确理解全振动的概念，应注意把握振动的五个特征。
(1)振动特征：一个完整的振动过程。
(2)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
(3)时间特征：历时一个周期。
(4)路程特征：振幅的4倍。
(5)相位特征：增加2π。
2．振幅、位移和路程的关系
振幅 位移 路程
定义 振动物体离开平衡位置的最大距离 从平衡位置指向振子所在位置的有向线段 运动轨迹的长度
矢、标性 标量 矢量 标量
变化 在稳定的振动系统中不发生变化 大小和方向随时间做周期性变化 随时间增加
联系 (1)振幅等于位移最大值的数值；(2)振子在一个周期内的路程等于4个振幅；而振子在一个周期内的位移等于零。 典例剖析
1．如图甲是演示简谐运动图像的装置，当盛沙漏斗下面的薄木板N被匀速地拉出时，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系。板上的直线OO′代表时间轴。如图乙是两个摆中的沙在各自木板上形成的曲线。若板N1和板N2的速度v1和v2的关系为v2＝2v1。当两板匀速拉出的距离相同时，则板N1、N2上曲线所代表的振动的周期T1和T2的关系为( 　　)
D
一质点做简谐运动，其相对平衡位置的位移x与时间t的关系如图所示，由图可知( 　　)
A．质点振动的频率为1.6 Hz
B．质点振动的振幅为4.0 cm
C．在0.3 s和0.5 s两时刻，质点的速度方向相同
D．在0.3 s和0.5 s两时刻，质点的加速度方向相同
对点训练
C
探究?
对简谐运动表达式的理解
典例剖析
2．一水平弹簧振子做简谐运动，其位移和时间的关系如图所示。
(1)写出这个简谐运动的位移随时间变化的关系式(用正弦函数表示)。
(2)从t＝0到t＝6.5×10－2 s的时间内，振子通过的路程为多大？
对点训练
(3)由图像可知，振子的位移与时间的函数关系式为x＝10sin(10πt＋π)cm。
答案：(1)10 cm　0.2 s　(2)见解析　(3)x＝10sin(10πt＋π)cm
核心素养提升
一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则( 　　)
A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
案例
C
解析：弹簧振子做简谐运动的图像如图所示，图中A点与B、E、F、I点的振动位移大小相等，方向相同。由图可知，A点与E、I点对应的时间差为T或T的整数倍，A点与B、F点对应的时间差不为T或T的整数倍，因此A选项不正确；
如果t时刻和(t＋Δt)时刻相差一个周期T，则这两个时刻的振动情况完全相同，加速度一定相等，选项C正确；如果t时刻和(t＋Δt)时刻相差半个周期，则这两个时刻振动的位移大小相等，方向相反，弹簧的长度显然是不相等的，选项D也不正确。
课堂达标检测
一、描述简谐运动的物理量
1．(2023·福建省厦门外国语学校高二下学期期中)如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子从a第一次到b历时0.2 s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b再回到a的最短时间为0.4 s，则该振子的振动频率为( 　　)
A．1 Hz B．1.25 Hz
C．2 Hz D．2.5 Hz
B
2．有一个在光滑水平面上的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后由静止释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后由静止释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为( 　　)
A．1∶1,1∶1 B．1∶1,1∶2
C．1∶4,1∶4 D．1∶2,1∶2
解析：弹簧的压缩量是振子离开平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2，又因为周期与振幅无关，故周期之比为1∶1，B正确。
B
3．(2023·北京清华附中高一期末)劲度系数为20 N/cm的水平弹簧振子，它的振动图像如图所示，在图中A点对应的时刻，下列说法不正确的是( 　　)
A．振子所受的弹力大小为5 N，方向
指向x轴的负方向
B．振子的速度方向指向x轴的正方向
C．在0～4 s内振子做了1.75次全振动
D．在0～4 s内振子通过的路程为4 cm
C
解析：在题图中的A点，其位移为x＝0.25 cm，故此时弹力F＝kx＝20×0.25 N＝5 N，其位置在x轴的正半轴，故受力方向指向x轴负方向，故A正确；A点在向x轴正方向运动，故B正确；由题图可知周期T＝2 s，故振子在4 s内做了2次全振动，故C错误；由于在0～4 s内，振子经过了2个周期，而每个周期振子的路程是4个振幅，故振子通过的路程为s＝2×4×0.5 cm＝4 cm，故D正确。
二、简谐运动表达式
4．一质点做简谐运动，质点的位移随时间变化的规律如图所示，则从图中可以看出( 　　)
A．质点做简谐运动的周期为5 s
B．质点做简谐运动的振幅为4 cm
C．t＝3 s时，质点的加速度为零
C
5.如图所示，一位游客在湖边欲乘坐游船，当日风浪很大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。则在一个周期内，游客能舒服地登船的时间是多少？
答案：1.0 s(共46张PPT)
3．简谐运动的回复力和能量
目标体系构建
1．初步形成回复力的概念，理解简谐运动的能量。
2．利用能量守恒研究弹簧振子，探究弹簧振子系统的机械能守恒。
3．养成观察、分析、比较、归纳的良好习惯，激发学生学习物理的积极性。
课前预习反馈
知识点1
1.简谐运动的动力学定义
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成_________，并且总是指向_______________，质点的运动就是简谐运动。
简谐运动的回复力
正比
平衡位置
2．回复力
项目 内容
定义 振动质点受到的总能使其回到_______________的力
方向 总是指向_______________
表达式 F＝_________
效果 总是要把物体拉回到_______________
平衡位置
平衡位置
－kx
平衡位置
『判一判』
(1)简谐运动的回复力可以是恒力。( 　　)
(2)简谐运动平衡位置就是质点所受合力为零的位置。( 　　)
(3)回复力的方向总是跟位移的方向相反。( 　　)
×
×
√
『想一想』弹簧下面挂一小钢球如图所示，它所受的力与位移的关系也满足F＝－kx吗？x为弹簧的形变量吗？它振动的回复力由哪些力提供？是简谐运动吗？
答案：满足；不是；由弹簧弹力和重力的合力提供；是
解析：设振子的平衡位置为O，向下为正方向，此
时弹簧已伸长了x0，
设弹簧的劲度系数为k，由平衡条件得kx0＝mg，①
当振子偏离平衡位置距离为x时
F回＝mg－k(x＋x0)，②
由①②得F回＝－kx，
所以该振动是简谐运动。
知识点2
1.振动系统的状态与能量的关系
(1)振子的速度与动能：速度不断_________，动能也在不断_________。
(2)弹簧形变量与势能：弹簧形变量在不断_________，因而势能也在不断_________。
简谐运动的能量
变化
变化
变化
变化
2．简谐振动的能量
振动系统的能量一般指振动系统的____________。振动的过程就是_________和_________互相转化的过程。
(1)在最大位移处，_________最大，_________为零；
(2)在平衡位置处，_________最大，_________最小；
(3)在简谐运动中，振动系统的机械能_________(选填“守恒”或“减小”)，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种____________的模型。
机械能
动能
势能
势能
动能
动能
势能
守恒
理想化
3．决定能量大小的因素
振动系统的机械能跟_________有关，_________越大，机械能就越大，振动越强。
『判一判』
(4)做简谐运动的质点，振幅越大其振动的能量就越大。( 　　)
(5)弹簧振子在运动过程中机械能守恒。( 　　)
(6)通过速度的增减变化情况，能判断回复力大小的变化情况。( 　　)
振幅
振幅
√
√
√
『选一选』
把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是( 　　)
A．小球在O位置时，动能最小，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功
D．小球从B到O的过程中，振动的能量不断减小
C
解析：振子经过平衡位置时，速度最大，位移为零，所以经过平衡位置动能最大，回复力为零，加速度为零，故A错误；在A、B位置时，速度为零，位移最大，回复力最大，加速度最大，故B错误；由于回复力指向平衡位置，所以振子从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功，故C正确；振子的动能和弹簧的势能相互转化，且总量保持不变，即振动的能量保持不变，故D错误。
课内互动探究
探究?
简谐运动的回复力和加速度
要点提炼
1.对回复力的理解
(1)回复力是指将振动物体拉回到平衡位置的力，它可以是物体所受的合外力，也可以是一个力或某一个力的分力，而不是一种新的性质力。
(2)简谐运动的回复力：F＝－kx。
①k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中k等于弹簧的劲度系数)，其值由振动系统决定，与振幅无关。
②“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反。
③x是指物体对平衡位置的位移，不一定是弹簧的伸长量或压缩量。
④回复力的作用总是把物体拉回平衡位置。
典例剖析
1.(多选)如图所示，物体系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然状态。现在向右拉动物体，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置(不计阻力)，设向右为正方向，物体相对O点的位移为x，则下列判断正确的是( )
A．物体做简谐运动，OC＝OB
B．物体做简谐运动，OC≠OB
C．物体所受合力F＝－kx
D．物体所受合力F＝－3kx
AD
解析：设物体的位移为x，则物体所受的合力F＝－k1x－k2x＝－(k2＋k1)x＝－3kx，故C错误，D正确；由受力特点知物体做简谐运动，由简谐运动的对称性可得OC＝OB，故A正确，B错误。
规律方法
判断一个振动为简谐运动的方法
(1)通过对位移的分析，列出位移—时间表达式，利用位移—时间图像是否满足正弦规律来判断。
(2)对物体进行受力分析，求解物体所受力在振动方向上的合力，利用物体所受到的回复力是否满足F＝－kx进行判断。
(2023·山东省聊城高二检测)做简谐运动的物体，其加速度a随位移x的变化规律应是图中的哪一个( 　　)
对点训练
B
探究?
对简谐运动能量的认识
要点提炼
1.决定因素
对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由振幅决定，振幅越大，系统的能量越大。
2．能量获得
开始振动系统的能量是通过外力做功由其他形式的能转化来的。
3．能量转化
当振动系统自由振动后，如果不考虑阻力作用，系统只发生动能和势能的相互转化，系统能量不变。
4．理想化模型
a．从力的角度分析，简谐运动没考虑摩擦阻力。
b．从能量转化角度分析，简谐运动没考虑因阻力做功的能量损耗。
因为动能和势能是标量，所以：
(1)在振动的一个周期内，动能和势能间完成两次周期性变化，经过平衡位置时动能最大，势能最小；经过最大位移处时，势能最大，动能最小；
(2)振子运动经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能。
典例剖析
2.如图所示，弹簧上面固定一质量为m的小球，小球在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当小球振动到最高点时弹簧正好为原长，则小球在振动过程中( 　　)
A．小球的最大动能应等于mgA
B．弹簧的弹性势能和小球动能总和保持不变
C．弹簧的最大弹性势能等于2mgA
D．小球在最低点时的弹力大于2mg
C
如图甲所示，金属小球用轻弹簧连接在固定的光滑斜面顶端。小球在斜面上做简谐运动，到达最高点时，弹簧处于原长。取沿斜面向上为正方向，小球的振动图像如图乙所示。则( 　　)
对点训练
C
A．弹簧的最大伸长量为4 m
B．t＝0.2 s时，弹簧的弹性势能最大
C．t＝0.2 s到t＝0.6 s时间内，小球的重力势能逐渐减小
D．t＝0到t＝0.4 s时间内，回复力的冲量为零
解析：小球的振幅等于振子位移的最大值，由题图乙知，振幅为A＝2 cm，由于当振子到达最高点时，弹簧处于原长，所以弹簧的最大伸长量为2A＝4 cm，故A错误；由题图乙可知t＝0.2 s时，弹簧处于原长，弹簧的弹性势能最小，为零，故B错误；t＝0.2 s到t＝0.6 s时间内，小球沿斜面向下运动，小球的重力势能逐渐减小，故C正确；t＝0时小球经过平衡位置沿斜面向上运动，t＝0.4 s时小球经过平衡位置沿斜面向下运动，根据动量定理可知回复力的冲量不为零，故D错误。
核心素养提升
判断振动是否为简谐运动的方法
1．以平衡位置为原点，沿运动方向建立直线坐标系。
2．在振动过程中任选一个位置(平衡位置除外)，对振动物体进行受力分析。
3．将力在振动方向上分解，求出振动方向上的合力。
一个质量为m，侧面积为S的正方体木块放在水面上静止(平衡)，如图所示。现用力向下将其压入水中一小距离后撤掉外力，木块在水面上下振动，试判断木块的振动是否为简谐运动。
案例
解析：以木块为研究对象，设静止时木块浸入水中Δx深，有mg＝ρgSΔx，当木块再被压入水中x后所受力如图所示，
则F回＝mg－F浮，又F浮＝ρgS(Δx＋x)。
由以上两式，得F回＝－ρgSx。即F回＝－kx，(k＝ρgS)。即木块做简谐运动。
答案：是简谐运动
课堂达标检测
一、简谐运动的回复力
1．如图所示，对做简谐运动的弹簧振子m的受力分析，正确的是( 　　)
A．重力、支持力、弹簧的弹力
B．重力、支持力、弹簧的弹力、回复力
C．重力、支持力、回复力、摩擦力
D．重力、支持力、摩擦力
解析：对弹簧振子，分析受力时，只分析实际存在的力，例如重力、支持力，弹簧的弹力；回复力是效果力，是指向平衡位置的合外力，实际不存在。
A
2.如图所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是( 　　)
A．物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力
B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力
C．物块A受重力、支持力及B对它的回复力
D．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力
A
解析：物块A受重力、支持力和摩擦力的作用。重力和支持力二力平衡，摩擦力提供A做简谐运动所需的回复力，由F＝－kx知，摩擦力的大小和方向都随时间变化，故A正确。
3．如图所示的简谐运动图像中，在t1和t2时刻，运动质点相同的量为( 　　)
A．加速度 B．位移
C．速度 D．回复力
C
二、简谐运动的能量
4.(多选)(2023·山东省昌乐二中高二下学期月考)如图所示，当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法中正确的是( )
CD
A．振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等，弹性势能相等
B．振子从最低点向最高点运动的过程中，弹簧弹力始终做正功
C．振子在运动过程中的回复力由弹簧弹力和振子重力的合力提供
D．振子在运动过程中，系统的机械能守恒
解析：振子在平衡位置两侧往复运动，速度相同的位置可能出现在关于平衡位置对称的两点，这时弹簧长度明显不等，A错误；振子由最低点向最高点运动过程中，弹力一定是先做正功，但过了平衡位置后，弹簧可能是压缩状态下的弹力做负功，也可能一直是拉伸状态下的弹力做正功，所以B错误；振子运动过程中的回复力由振子所受合力提供且运动过程中系统的机械能守恒，故C、D正确。
5.(多选)光滑斜面上物块A被平行斜面的轻质弹簧拉住静止于O点，如图所示，现将A沿斜面拉到B点无初速度释放，物块A在BC范围内做简谐运动，则下列说法正确的是( )
A．OB越长，振动能量越大
B．在振动过程中，物块A的机械能守恒
C．在C点时，物块A与弹簧构成的系统势
能最大，在O点时系统势能最小
D．物块A在B点时的机械能最小
ACD
解析：振动的能量与振幅有关，故A正确；系统的机械能守恒，物块A的机械能不守恒，故B错误；系统的机械能守恒，动能和势能的总和不变；在B、C点时，物块A的动能最小，所以系统势能最大，在O点时物块A的动能最大，所以系统势能最小，故C正确；在B点时，物块A的动能为零，重力势能最小，所以物块A的机械能最小，故D正确。(共49张PPT)
4．单摆
目标体系构建
1．知道什么是单摆，初步形成单摆的回复力及周期的概念。
2．理解单摆振动的特点及其做简谐运动的条件；知道单摆周期的决定因素，掌握其周期公式。
3．能用实验探究影响单摆周期的因素，能定量探究单摆周期与摆长的关系。
4．学会观察、实验、分析及归纳判断的方法和能力。
课前预习反馈
知识点1
1.单摆模型
(1)由细线和_________组成。
(2)细线的质量和小球相比_______________。
(3)小球的直径与线的长度相比_______________。
2．摆动特点：在摆角很小时，位移—时间图线是一条正弦曲线，说明单摆的运动是_______________。
单摆
小球
可以忽略
可以忽略
简谐运动
『判一判』
(1)制作单摆的细线不能太长也不能太短，1 m左右为宜。( 　　)
(2)制作单摆的摆球越大越好。( 　　)
(3)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。( 　　)
√
×
×
知识点2
1.回复力的来源
摆球的重力沿_______________方向的分力。
2．回复力的特点
在偏角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成
_________，方向总指向_______________，即F＝_________。
『判一判』
(4)单摆的回复力是重力沿圆弧切向的分力。( 　　)
(5)单摆的回复力是小球的合外力。( 　　)
(6)在平衡位置时，单摆的合外力为零。( 　　)
单摆的回复力
圆弧切线
正比
平衡位置
√
×
×
知识点3
1.探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响
(1)探究方法：_______________法。
(2)实验结论：
①单摆振动的周期与摆球质量_________。
②振幅较小时周期与振幅_________。
③摆长越长，周期_________；摆长越短，周期_________。
单摆的周期
控制变量
无关
无关
越大
越小
2．定量探究单摆的周期与摆长的关系
(1)周期的测量：用停表测出单摆N(30～50)次全振动的时间t，利用
T＝_______计算它的周期。
(2)摆长的测量：用_________测出细线长度l0，用_______________
测出小球直径D，利用l＝__________求出摆长。
刻度尺
游标卡尺
摆长
摆长
3．周期公式
(1)公式的提出：周期公式是荷兰物理学家____________首先提出的。
(2)公式：T＝__________，即T与摆长l的二次方根成_________，与重力加速度g的二次方根成_________。
『判一判』
(7)单摆的周期与摆球的质量无关。( 　　)
(8)单摆的振幅越小，周期越小。( 　　)
惠更斯
正比_
反比
√
×
『选一选』
单摆的振动周期在发生下述哪些情况时会增大( 　　)
A．摆球质量增大
B．摆长减小
C．单摆由赤道移到北极
D．单摆由海平面移到高山顶上
D
『想一想』如果把在北京调准的摆钟如图所示，由北京移到赤道，则摆钟变快了？还是变慢了？要使他恢复准确，可将螺母适当向哪移动？
课内互动探究
探究?
对单摆的回复力及运动特点的理解
要点提炼
1.回复力来源
单摆的回复力是重力沿圆弧切向的分力F＝mgsin θ提供的。
(1)单摆振动的回复力为摆球重力沿圆弧切线方向的分力，回复力不是摆球所受的合外力。
(2)单摆的摆动不一定都是简谐运动，只有单摆做小角度(摆角小于5°)摆动时才认为是简谐运动。
典例剖析
1.如图所示，O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中( 　　)
A．摆球在A点和C点处，速度为零，合力也为零
B．摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零
C．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大
D．摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大
D
解析：摆球在重力和细线拉力作用下沿圆弧AC做圆周运动，在最高点A、C处速度为零，所受合力不为零，在最低点B处，速度最大，细线上拉力最大。A错，D对；摆球的回复力F＝mgsin θ中，θ为摆线偏离竖直方向的角度，所以摆球在摆动过程中，在最高点A、C处回复力最大，在最低点B处回复力为零。B、C错。
将一个摆长为l的单摆放在一个光滑的、倾角为α的斜面上，其摆角为θ，如图所示，下列说法正确的是( 　　)
A．摆球做简谐运动的回复力为F＝mgsin θsin α
B．摆球做简谐运动的回复力为F＝mgsin θ
C．摆球经过平衡位置时合力为零
D．摆球在运动过程中，经过平衡位置时，线的拉力为F′＝mgsin α
对点训练
A
探究?
对单摆周期公式的理解及应用
4．定量探究：单摆周期与摆长的关系
(1)实验要点
(2)注意事项
①要保证单摆在同一竖直平面内摆动。
②摆动偏角尽量不要大于5°。
③悬线上端不要随摆球摆动，一定要使之固定。
④测量线长时要将其挂好后再测量。
⑤开始计时的位置选在摆球经过平衡位置时。
⑥测量周期时，一般测单摆振动30～50次全振动的时间，再求周期。
⑦处理数据时，一般作出L－T2的关系图像，找出周期与摆长的关系。
典例剖析
2.正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图所示，从小球第1次通过图中的B点开始计时，第21次通过B点用时30 s；球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为1 m，当地重力加速度g取π2 m/s2；根据以上数据，求：
(1)小球运动的周期T。
(2)房顶到窗上沿的高度h。
答案：(1)3 s　(2)3 m
如图所示，曲面AO是一段半径为2 m的光滑圆弧面，圆弧与水平面相切于O点，AO弧长为10 cm，现将一小球先后从曲面的顶端A和AO弧的中点B由静止释放，到达底端的速度分别为v1和v2，经历的时间分别为t1和t2，那么( 　　)
A．v1B．v1>v2，t1＝t2
C．v1＝v2，t1＝t2
D．以上三项都有可能
对点训练
B
核心素养提升
　如图所示的几个相同单摆在不同条件下，关于它们的周期关系，其中判断正确的是( 　　)
A．T1>T2>T3>T4　　　 B．T1C．T1>T2＝T3>T4 D．T1案例
C
课堂达标检测
一、单摆
1．在如图所示的装置中，可视为单摆的是( 　　)
解析：单摆的悬线要求无弹性，直径小且质量可忽略，故A对，B、C错；悬点必须固定，故D错。
A
二、单摆的回复力
2．(2023·河南安阳林州一中月考)关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列说法中正确的是( 　　)
A．摆球受到重力、摆线的拉力、回复力、向心力作用
B．摆球受到的回复力为零时，向心力最大；回复力最大时，向心力为零
C．摆球受到的回复力最大时，摆线中的拉力大小比摆球的重力大
D．摆球受到的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球运动方向
B
解析：摆球只受重力和摆线的拉力的作用，回复力和向心力均为效果力，故A错误；摆球受到的回复力最大时，处于最高点，故向心力为零；当处于平衡位置，回复力为零时，向心力最大，故B正确；回复力最大时，摆球处于最高点，此时摆线的拉力与重力的分力相等，拉力小于重力，故C错误；向心力最大时，摆球处于平衡位置，此时回复力为零，合力沿竖直方向，故加速度也沿竖直方向，故D错误。故选B。
三、单摆周期
3．(2023·四川广元高二期末)如图甲所示，一单摆悬挂在拉力传感器上。让单摆在竖直面内做小角度摆动，拉力传感器显示绳子拉力F的大小随时间t的变化图像如图乙所示，已知当地的重力加速度为g，则根据图乙中的数据可知( 　　)
C
C
5．如图是单摆振动时摆球位移随时间变化的图像(取重力加速度g＝π2 m/s2)。
(1)求单摆的摆长l；
(2)估算单摆偏离竖直方向的最大角度(单位用弧度表示)。
答案：(1)1 m　(2)0.05 rad(共45张PPT)
5．实验：用单摆测量重力加速度
目标体系构建
1．明确用单摆测定重力加速度的原理和方法。
2．知道如何选择实验器材，能熟练地使用停表。
3．会用游标卡尺测量摆球的直径，会测量实际单摆的摆长。
4．会测量单摆的振动时间，用平均值法求周期。
5．会用平均值法、图像法求重力加速度。
6．通过实验培养学生的动手操作能力，数据处理能力及实事求是的科学思想。
课前预习反馈
知识点1
通过测量摆长、周期，利用公式g＝_________测出当地的重力加速度。
实验目的
知识点2
铁架台及铁夹、金属小球(上面有一个通过球心的小孔)、_______、细线(长1 m左右)、刻度尺(最小刻度为1 mm)、_______________。
实验器材
秒表
游标卡尺
知识点3
1.实验的基本思想——理想化模型：单摆在偏角很小(不大于5°)时的运动，可以看成_________运动。
实验原理与设计
简谐
3．实验设计——两个物理量的测量方法。
(1)单摆长度的测量。
用____________测量单摆的线长，用_______________测量摆球的直径。摆长即摆线静止时从悬点到球心间的距离。
(2)单摆周期的测量。
测出单摆n次全振动的总时间t，单摆周期为T＝______。
刻度尺
游标卡尺
课内互动探究
探究?
实验原理及操作
典例剖析
1．实验小组的同学们用如图所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。
(1)用l表示单摆的摆长，用T表示单摆的周期，重力加速度g＝
_________。
(2)(多选)实验时除用到停表、刻度尺外，还应该用到下列器材中的_________(选填选项前的字母)。
A．长约1 m的细线
B．长约1 m的橡皮绳
C．直径约1 cm的均匀铁球
D．直径约10 cm的均匀木球
AC
(3)选择好器材，将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，应采用图中______中所示的固定方式。
乙
(4)(多选)将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是______(选填选项前的字母)。
A．测出摆线长作为单摆的摆长
B．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动
C．在摆球经过平衡位置时开始计时
D．用停表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期
BC
(5)乙同学测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值，造成这一情况的原因可能是______(选填选项前的字母)。
A．开始摆动时振幅较小
B．开始计时时，过早按下停表
C．测量周期时，误将摆球(n－1)次全振动的时间记为n次全振动的时间
C
在“用单摆测量重力加速度”的实验中：
(1)小球摆动时偏角α应满足的条件是______________。为了减小测量周期的误差，计时开始时，摆球应是经过最______(选填“高”或“低”)点。
(2)图甲中停表示数为一单摆全振动50次所经过的时间，则单摆振动周期为_________s。
对点训练
α≤5°
低
2.05
(3)用刻度尺测量摆长，测量情况如图乙所示。O为悬挂点，则单摆的摆长为___________cm。
(4)若用l表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝
_______。
99.70
探究?
数据分析与处理
要点提炼
1.公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式中求出g值，最后求出g的平均值。
设计如下所示实验表格
典例剖析
2．将一单摆装置竖直挂于某一深度h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆振动过程中悬线不会碰到筒壁。如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离为l，并通过改变l而测出对应的周期T，再以T2为纵轴、l为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像得出小筒的深度h和当地的重力加速度。
(1)利用单摆测重力加速度时，为了减小误差，我们利用停表来测量单摆多次全振动的时间，从而求出振动周期。除了停表之外，还需要的测量工具为______。
A．天平　 B．毫米刻度尺　
C．弹簧测力计
B
(2)如果实验中所得到的T2－l关系图像如图乙所示，那么真正的图像应是a、b、c中的______。
(3)由图像可知，小筒的深度h＝___________ m，当地的重力加速度g＝_________ m/s2。
解析：(1)本实验除测量时间外，还要测量筒的下端口到摆球球心的距离l，则所需的测量工具是毫米刻度尺，故选B。
a
0.30
9.86
(2023·北京师大附中高二检测)小雷在做“利用单摆测重力加速度”实验中，先测得摆线长为97.20 cm；用20分度的游标卡尺测得小球直径如图所示，然后用秒表记录了单摆全振动50次所用的时间。则：
(1)小球直径为_________cm。
(2)如果他在实验中误将49次全振动数为50次，测得的g值_________(选填“偏大”“偏小”或“准确”)。
对点训练
2.980
偏大
(3)他以摆长(L)为横坐标、周期的二次方(T2)为纵坐标作出了T2－L图线，由图像测得的图线的斜率为k，则测得的重力加速度g＝
__________。(用题目中给定的字母表示)
(4)小雷根据实验数据作出的图像如图所示，造成图像不过坐标原点的原因可能是_________________________________。
测量摆长时未计入摆球的半径
课堂达标检测
1．置于水平面的支架上吊着一只装满细沙的小漏斗，让漏斗左右摆动，于是桌面上漏下许多沙子，一段时间后桌面上形成一沙堆，沙堆的纵剖面最接近的形状是( 　　)
解析：单摆在平衡位置的速度大，漏下的沙子少，越接近两端点速度越小，漏下的沙子越多。
C
BC
3．在做用单摆测定重力加速度的实验时，用摆长l和周期T计算重
力加速度的公式是g＝_______。若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是______ cm。若测定了40次全振动的时间如图乙中的停表所示，则停表读数是________ s，单摆摆动的周期是________ s。测得重力加速度g＝_______ m/s2。
87.40
75.20
1.88
9.75
4．某同学利用图甲所示装置进行“用单摆测量重力加速度”的实验。
(1)该同学用游标卡尺测量摆球直径时的示数如图乙所示，其示数为________cm；
(2)下列关于本实验的操作说法中，错误的是______；
A．摆线要选择细些且伸缩性小些的
B．摆球尽量选择质量大些且体积小些的
C．应控制摆球在竖直面内摆动
D．应从摆球经过最高点开始计时
0.75
D
(3)下列情形中，会使重力加速度的测量值比当地的实际值偏小的是_________；
A．摆球质量过大
B．摆动中，摆线上端松动
C．计时开始时，未及时按下秒表
D．误将50次全振动记录为49次
(4)该同学改变摆长L，测出周期T，得到多组数据后，作出的L－T2图线如图丙所示，按π2取9.86计算，则根据图线可求得当地的重力加速度g＝___________m/s2；
BD
9.86
(5)另一同学作出的L－T2图线如图丁所示，据此判断该同学在实验中可能出现的一处失误是______________________________。
解析：(1)根据游标卡尺的读数规则，可知小球的直径为d＝7 mm＋0.1×5 mm＝7.5 mm＝0.75 cm。
(2)为了减小实验误差，摆线要选择细些且伸缩性小些的，A不符合题意；为了减小实验误差，摆球尽量选择质量大些且体积小些的，B不符合题意；为了减小实验误差，应控制摆球在竖直面内摆动，C不符合题意；为了减小实验误差，应从摆球经过最低点开始计时，D符合题意。
摆长少加了球的半径(共48张PPT)
6．受迫振动　共振
目标体系构建
1．知道什么是固有振动和固有频率，知道什么是阻尼振动，什么是驱动力，什么是受迫振动，初步形成共振的概念。
2．了解阻尼振动中的能量转化，知道受迫振动的频率等于驱动力的频率，能根据共振曲线研究共振。
3．通过实验研究受迫振动的频率，通过实验探究共振现象的产生条件及其特点。
4．通过实验探究受迫振动及共振，培养学生的团队协作意识及实事求是的科学精神，通过理解共振的应用与防止，培养学生学以致用的意识与能力。
课前预习反馈
知识点1
1.固有振动
振动系统___________________________的振动。
2．固有频率
_________振动的频率。
3．阻尼振动
振幅随时间_______________的振动。
固有振动、阻尼振动
在不受外力作用下
固有
逐渐减小
『判一判』
(1)固有频率由系统本身决定。( 　　)
(2)阻尼振动的频率不断减小。( 　　)
(3)阻尼振动的振幅不断减小。( 　　)
√
×
√
知识点2
1.驱动力
作用于振动系统的____________外力。
2．受迫振动
系统在____________作用下的振动叫受迫振动。
3．受迫振动的频率
做受迫振动的系统振动稳定后，其振动频率等于____________的频率，与系统的_______________无关。
受迫振动
周期性
驱动力
驱动力
固有频率
『判一判』
(4)受迫振动的频率等于振动系统的固有频率。( 　　)
(5)生活中应尽量使驱动力的频率接近振动系统的固有频率。( 　　)
(6)驱动力的频率等于系统的固有频率时，发生共振现象。( 　　)
×
×
√
知识点3
1.条件
驱动力频率_________系统的固有频率。
2．特征
共振时受迫振动的物体_________最大。
共振
等于
振幅
3．共振的应用与防止
(1)共振的应用
采用方法：在应用共振时，驱动力频率接近或等于振动系统的_______________。
(2)共振的防止
采用方法：在防止共振时，驱动力频率与系统的_______________相差越大越好。
固有频率
固有频率
『选一选』
(多选)据古书记载，古时京城有户人家挂着的铜盘每天早晚轻轻自鸣两次，人们十分惊恐。一学者判断，这是铜盘与皇宫早晚的钟声共鸣所致。后来把铜盘磨薄一些，它就不再自鸣了。关于这个现象，下列说法中正确的是( )
A．共鸣是一种共振
B．铜盘共鸣时的振动频率等于皇宫钟声的频率
C．把铜盘磨薄改变了驱动力的频率
D．把铜盘磨薄使铜盘的固有频率不等于驱动力的频率
ABD
解析：共鸣是可发声的物体之间的共振，故A正确；发生共鸣的条件是频率相等，故B正确；把铜盘磨薄改变了铜盘的固有频率，故C错误；把铜盘磨薄使铜盘的固有频率不等于驱动力的频率，这样就不会发生共鸣了，故D正确。
『想一想』
洗衣机在衣服脱水完毕关闭电源后，脱水桶还要转动一会才能停下来。在关闭电源后，发现洗衣机先振动得比较弱，有一阵子振动得很剧烈，然后振动慢慢减弱直至停下来。
(1)开始时，洗衣机为什么振动比较弱？
(2)期间剧烈振动的原因是什么？
解析：(1)开始时，脱水桶转动的频率远高于洗衣机的固有频率，振幅较小，振动比较弱。
(2)当洗衣机脱水桶转动的频率等于洗衣机的固有频率时发生共振，振动剧烈。
课内互动探究
探究?
简谐运动、阻尼振动与受迫振动
要点提炼
1.认识三种振动
(1)简谐运动是一种理想化的模型，物体运动过程中的一切阻力都不考虑。
(2)阻尼振动考虑阻力的影响，是更实际的一种运动。
(3)受迫振动是物体做阻尼振动时受到周期性驱动力作用下的振动。
2．简谐运动、阻尼振动与受迫振动的比较
振动 　类型 比较 项目　　 简谐运动 阻尼振动 受迫振动
产生条件 不受阻力作用 受阻力作用 受阻力和驱动力作用
频率 固有频率 固有频率 驱动力频率
振幅 不变 减小 大小变化不确定
振动 　类型 比较 项目　　 简谐运动 阻尼振动 受迫振动
振动图像 形状不确定
实例 弹簧振子振动，单摆做小角度摆动 敲锣打鼓发出的声音越来越弱，是因振幅越来越小 扬声器纸盆振动发声，钟摆的摆动
(1)阻尼振动的频率：阻尼振动中振幅虽逐渐减小，但振动频率不会变化，此频率称为固有频率，由振动系统决定。
(2)阻尼振动与简谐运动的关系：实际的振动都会受到阻力的作用，是阻尼振动。当阻力很小时，可认为是简谐运动。
典例剖析
1．(2023·武汉高二期末)很多高层建筑都会安装减震耗能阻尼器，用来控制强风或地震导致的振动。台北101大楼使用的阻尼器是重达660吨的调谐质量阻尼器，阻尼器相当于一个巨型质量块。简单说就是将阻尼器悬挂在大楼上方，它的摆动会产生一个反作用力，在建筑物摇晃时往反方向摆动，会使大楼摆动的幅度减小。关于调谐质量阻尼器下列说法正确的是( 　　)
C
A．阻尼器做的是阻尼振动，其振动频率大于大楼的振动频率
B．阻尼器的振动频率取决于自身的固有频率
C．阻尼器摆动后，摆动方向始终与大楼的振动方向相反
D．阻尼器摆动幅度不受风力大小影响
解析：由题意可知阻尼器做受迫振动，振动频率与大楼的振动频率相同，故A错误；阻尼器的振动频率取决于大楼的振动频率，与自身的固有频率无关，故B错误；由题意可知，大楼对阻力器的力与阻尼器对大楼的力为一对相互作用力，根据回复力F＝－kx，可知阻尼器摆动后，摆动方向始终与大楼的振动方向相反，故C正确；阻尼器的摆动幅度会受到风力的影响，故D错误。
(2023·常州高二阶段练习)如图所示是用来测量各种发动机转速的转速计原理图。在同一铁支架MN上焊有固有频率依次为100 Hz、90 Hz、80 Hz、70 Hz的四个钢片a、b、c、d，将M端与正在转动的电动机接触，发现b钢片振幅很大，其余钢片振幅很小。则( 　　)
A．钢片a的振动频率约为100 Hz
B．电动机的转速约为90 r/s
C．钢片c的振动频率约为80 Hz
D．钢片d的振动频率约为70 Hz
对点训练
B
解析：b钢片振幅很大，说明b钢片的固有频率与电动机振动频率相等或最为接近，故电动机频率约为90 Hz，其他钢片都做受迫振动，振动频率等于电动机的振动频率，都约为90 Hz，故A、C、D错误；电动机的转速和频率相同，约为n＝f＝90 r/s，故B正确。
探究?
对共振的理解
要点提炼
1.共振的定义
物体做受迫振动时，当驱动力的频率等于系统的固有频率时，振动的振幅最大，这种现象叫共振。
2．发生共振的条件
f驱＝f固，即驱动力的频率等于振动系统的固有频率。
3．共振曲线
如图所示，共振曲线直观地反映出驱动力的频率对受迫振动物体振幅的影响。由共振曲线可知，当驱动力的频率与物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大。
4．从功能关系理解
当驱动力的频率等于固有频率时，驱动力整个周期都与物体运动方向一致，从而任何时间都做正功，振动能量不断增加，直到增加的能量等于克服阻力消耗的能量时，振幅达到最大值。
(1)受迫振动的振幅与驱动力频率有关。
(2)受迫振动的振幅可以不变，但受迫振动的机械能是不守恒的。
(3)共振是物体做受迫振动时的一种特殊现象。 共振有利时尽量让f接近f0，有害时尽量让f远离f0。
典例剖析
2．在飞机的发展史中有一个阶段，飞机上天后不久，飞机的机翼(翅膀)很快就抖动起来，而且越抖越厉害。后来人们经过了艰苦的探索，利用在飞机机翼前缘处装置一个配重杆的方法，解决了这一问题。在飞机机翼前缘处装置配重杆的目的主要是( 　　)
A．加大飞机的惯性
B．使机体更加平衡
C．使机翼更加牢固
D．改变机翼的固有频率
D
解析：飞机抖动得厉害是因为发生了共振现象，驱动力可能来源于内部的发动机，也可能来源于气流，想要解决共振问题，需要使系统的固有频率与驱动力的频率差别增大，在飞机机翼前缘处装置一个配重杆，改变的是机翼的固有频率，故选项D正确。
(多选)如图所示为一个单摆在地面上做受迫振动的共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)，则下列说法正确的是( )
A．此单摆的固有周期约为2 s
B．此单摆的摆长约为2 m
C．若摆长变小，共振曲线的峰将右移
D．若摆长增大，单摆的固有频率增大
对点训练
AC
核心素养提升
共振的利用与防止
(1)利用：由共振的条件知，要利用共振，就应尽量使驱动力的频率与物体的固有频率一致。
(2)防止：由共振曲线可知，在需要防止共振危害时，要尽量使驱动力的频率和固有频率不相等，而且相差越大越好。
(多选)把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这样就做成了一个共振筛(如图所示)，筛子做自由振动时，完成10次全振动用时15 s，在某电压下，电动偏心轮转速是36r/min。已知增大电压可使偏心轮转速提高；增加筛子的质量，可以增大筛子的固有周期，那么要使筛子的振幅增大，下列哪些做法是正确的( )
A．提高输入电压　　　
B．降低输入电压　　　
C．增加筛子质量　　　
D．减小筛子质量
案例
AC
方法提升：
共振筛的工作原理是利用共振现象，当电动机偏心轮的转动周期跟筛子的固有周期相等时，就会发生共振。
课堂达标检测
一、固有振动，受迫振动
1．(多选)下列说法中正确的是( )
A．实际的自由振动必然是阻尼振动
B．在外力作用下的振动是受迫振动
C．阻尼振动的振幅越来越小
D．受迫振动稳定后的频率与自身的物理条件无关
解析：物体的实际自由振动都要受到阻力，所以振动能量会减少，所以是阻尼振动，A、C对；受迫振动是在周期外力作用下的振动，所以B错；受迫振动的频率与固有频率无关，所以D对。
ACD
2．(多选)一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是( )
A．振动能量逐渐转化为其他形式的能
B．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能
D．后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能
解析：阻尼振动的能量逐渐减小，振幅在不断减小，振动系统的机械能。逐渐转化为其他形式的能，所以机械能在不断减小；若单摆是从平衡位置摆动时，动能在减小，重力势能在增大。
AD
3．下列振动属于受迫振动的是( 　　)
A．用重锤敲击一下悬吊着的钟后钟的摆动
B．打点计时器接通电源后，振针的振动
C．小孩睡在自由摆动的吊床上，小孩随着吊床一起摆动
D．弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动
解析：受迫振动是振动系统在驱动力作用下的振动，故只有B是受迫振动，A、C是阻尼振动。D是简谐运动。
B
二、共振
4.如图所示是物体做受迫振动的共振曲线，其纵坐标表示了物体( 　　)
A．在不同时刻的振幅
B．在不同时刻的位移
C．在不同驱动力下的振幅
D．在不同驱动力下的位移
解析：此图符合物体受迫振动的A－f曲线，故纵坐标为物体在不同驱动力下的振幅，故选C。
C
5．(多选)(2023·佛山高二期中)我国古代有一种利用共振原理的古琴调弦技术，将一小纸人放在需要调整音准的弦上，然后拨动另一个音调准确的古琴上对应的琴弦，小纸人跳动越明显代表音调越准确，调准音调后，下列说法正确的是( )
ABC
A．拨动其他音调的琴弦，小纸人跳动不明显
B．敲击对应音调的音叉，也可以让小纸人跳动明显
C．拨动对应音调的琴弦力量越大，小纸人跳动幅度越大
D．调弦过程中琴弦的机械能将全部转化为纸人的机械能
解析：小纸人跳动明显，表明小纸人所在弦发生了共振，振幅最大，古琴上对应的琴弦与小纸人所在弦的固有频率相等，而拨动其他音调的琴弦，由于频率与小纸人所在弦的固有频率不相等，没有发生共振，小纸人跳动不明显，A正确；敲击对应音调的音叉，其振动频率等于小纸人所在弦的固有频率，小纸人所在的弦发生共振，纸人跳动明显，B正确；拨动对应音调的琴弦力量越大，对应的能量越大，小纸人跳动幅度越大，C正确；调弦过程中琴弦的振动导致其他弦也发生受迫振动，因此调弦过程中琴弦的机械能只有部分转化为纸人的机械能，D错误。
D
答案：5(人)(共65张PPT)
章 末 小 结
知识网络构建
方法归纳提炼
一、简谐运动的两个模型——弹簧振子和单摆
1．弹簧振子
弹簧振子是一种忽略摩擦、忽略弹簧质量的理想化模型。对于弹簧振子来讲，弹簧的劲度系数确定了，振子的质量确定了，其振动的周期和频率也就确定了。无论是水平放置还是竖直悬挂，T和f均不变，即其周期T和频率f由振动系统本身的性质决定。
振动的回复力可能是弹力或重力与弹力的合力，视具体情况而定。
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．在同一地点，单摆做简谐振动的周期的平方与其摆长成正比
B．弹簧振子做简谐振动时，振动系统的势能与动能之和保持不变
C．在同一地点，当摆长不变时，摆球质量越大，单摆做简谐振动的周期越小
D．系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率
ABD
二、简谐运动的往复性、对称性和周期性
1．变化特点：抓住两条线
第一，从中间到两边(平衡位置到最大位移)：x↑，F↑，a↑，v↓，动能Ek↓，势能Ep↑，机械能E不变。
第二，从两边到中间(最大位移到平衡位置)：x↓，F↓，a↓，v↑，动能Ek↑，势能Ep↓，机械能E不变。
2．运动规律
(1)周期性——简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后，能回到原来的状态。
(2)对称性——简谐运动的物体具有相对平衡位置的对称性。
①速率的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率。
②加速度(或回复力)的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力。
③时间的对称性：系统通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等。振动过程中通过任意两点A、B的时间与逆向通过的时间相等。
2．一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，它离开O点后经过3 s
第一次经过M点，再经过2 s第二次经过M点，该质点再经过_________ s第三次经过M点。若该质点由O点出发在20 s内经过的路程是20 cm，则
质点振动的振幅为_________ cm。
解析：作出该质点振动的图像如图所示，则M点的位置可能有两个，即如图所示的M1或M2。
三、振动图像的应用
1．确定振动的振幅
如图所示的振幅是10 cm。
4．确定各时刻质点的振动方向
如图中的t1时刻，质点正远离平衡位置向位移的正方向运动；在t3时刻，质点正沿正方向向着平衡位置运动。
5．比较各时刻质点加速度的大小和方向
如图中t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负；t2时刻质点位移x2为负，则加速度a2为正，又因为|x1|>|x2|，所以|a1|>|a2|。
3．将一力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力。图甲表示小滑块(可视为质点)沿固定的光滑半球形容器内壁在竖直平面的A、A′之间来回滑动。A、A′两点与O点连线与竖直方向之间的夹角θ相等且很小，图乙表示小滑块对器壁的压力F随时间t变化的曲线，图中t＝0时刻为小滑块从A点开始运动的时刻。试根据力学规律和题中(包括图中)所给的信息，g取10 m/s2。求：
(1)容器的半径；
(2)小滑块的质量。
答案：(1)0.1 m　(2)0.05 kg
方法二：图像法
4．(2023·运城高三期中)某学生小组利用图1所示的装置做“用单摆测重力加速度的大小”实验。
(1)小球摆动的过程中，充当回复力的是______
A．重力
B．重力和拉力的合力
C．拉力沿着水平方向的分力
D．重力沿着圆弧切线方向的分力
(2)为了使测量的误差尽量小，下列说法正确的是______
A．组装单摆需选用密度和直径都较小的摆球
B．组装单摆需选用轻且不易伸长的细线
C．摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大些以便于观察
D．为了测量方便，计时的起止位置应选在摆球到达最高点的位置
D
B
(3)在本实验中，由于刻度尺的量程不够，他们在细线上标注M点，使OM小于刻度尺量程，如图1所示，保持M点到球心的距离不变，通过改变OM的长度，可以改变摆线的长度。实验中，多次改变OM的长度，分别记为l1、l2、l3…，测出对应小球完成n次全振动的时间分别为t1、t2、t3，…，算出多次实验周期关系T－T，并以T－T作为纵轴，ln－l1作为横轴，作出的图像如图2所示，设其斜率为k，则可求重力加速度的大
小为_______；
(4)该组同学测出重力加速度的大小后，想利用该值估测一圆弧面的半径。如图3所示，同学找出圆弧面的最低点O，然后把一光滑的小球从P点静止释放(OP远小于圆弧半径)，从小球第一次经过O点开始计时，到
小球第N次经过O点计时结束，总时间为t0，则可利用公式__________
(用k、N、t0表示)估算圆弧面的半径。
解析：(1)回复力是指向平衡位置的合力，所以小球摆动的过程中，充当回复力的是重力沿着圆弧切线方向的分力。故选D。
(2)为了减小空气阻力，组装单摆应选用密度大，直径小的摆球，故A错误；组装单摆须选用轻且不易伸长的细线，确保摆球在摆动过程中摆长保持不变，故B正确；摆长一定的情况下，摆球的振幅不能太大，否则摆球的摆动不能视为是简谐振动，故C错误；为了测量方便，计时的起止位置应选在摆球到达最低点的位置，故D错误。
进考场练真题
典例
A
二、临场真题练兵
1．(2022·湖南卷，16(1))下端附着重物的粗细均匀木棒，竖直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿竖直方向做频率为1 Hz的简谐运动；与此同时，木棒在水平方向上随河水做匀速直线运动，如图(a)所示。以木棒所受浮力F为纵轴，木棒水平位移x为横轴建立直角坐标系，浮力F随水平位移x的变化如图(b)所示。已知河水密度为ρ，木棒横截面积为S，重力加速度大小为g。下列说法正确的是( )
ABD
解析：木棒在竖直方向做简谐运动，浮力恰好等于重力时木棒速度最大，动能最大。根据浮力等于排开液体的重力、浮力随水平位移x变化的图像可知，x从0.05 m到0.15 m的过程中，木棒的速度先增大后减小，木棒的动能先增大后减小，选项A正确。x从0.21 m到0.25 m的过程中，木棒从平衡位置上方靠近最大位移处向下运动(未到平衡位置)，加速度竖直向下，大小减小，选项B正确。
B
3．(2023·浙江卷)如图甲所示，一导体杆用两条等长细导线悬挂于水平轴OO′，接入电阻R构成回路。导体杆处于竖直向上的匀强磁场中，将导体杆从竖直位置拉开小角度由静止释放，导体杆开始下摆。当R＝R0时，导体杆振动图像如图乙所示。若横纵坐标皆采用图乙标度，则当R＝2R0时，导体杆振动图像是( 　　)
B
A B
C D
解析：导体杆切割磁感线时，回路中产生感应电流，由楞次定律可得，导体杆受到的安培力总是阻碍导体棒的运动。当R从R0变为2R0时，回路中的电阻增大，则电流减小，导体杆所受安培力减小，即导体杆在摆动时所受的阻力减弱，所以杆从开始摆动到停止，运动的路程和经历的时间变长。
4．(2021·江苏卷)如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。t＝0时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为ω，则P做简谐运动的表达式为( 　　)
B
5．(2023·重庆卷)某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、50分度的游标卡尺、摄像装置等。
(1)用游标卡尺测量摆球直径d。当量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球后游标卡尺示数如图甲所示，则摆球的直径d为_______ mm。
(2)用摆线和摆球组成单摆，如图乙所示。当摆线长度l＝990.1 mm时，记录并分析单摆的振动视频，得到单摆的振动周期T＝2.00 s，由此算得重力加速度g为___________ m/s2(保留3位有效数字)。
19.20
9.86
随着摆线长度l
的增加，Δg逐渐减小
越接近于l，此时计算得到的g的差值越小
解析：(1)用游标卡尺测量摆球直径d＝19 mm＋0.02 mm×10＝19.20 mm。
6．(2023·山西卷)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图(a)所示，该示数为________________mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为
__________________________________mm，则摆球的直径为
_________________________mm。
0.006/0.007/0.008
20.034/20.033/20.035/20.032
20.027/20.028/20.029
(2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角_________5°(填“大于”或“小于”)。
(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为___________ cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为__________ s，该小组测得的重力加速度大小为__________ m/s2。(结果均保留3位有效数字，π2取9.870)
大于
82.5
1.82
9.83
解析：(1)测量前测微螺杆与和测砧相触时，图(a)的示数为d0＝0 mm＋0.7×0.01 mm＝0.007 mm，螺旋测微器读数是固定刻度读数(0.5 mm的整数倍)加可动刻度(0.5 mm以下的小数)读数，图中读数为d1＝20 mm＋3.4×0.01 mm＝20.034 mm，
则摆球的直径为d＝d1－d0＝20.027 mm。
(2)角度盘的大小一定，即在规定的位置安装角度盘，测量的摆角准确，但将角度盘固定在规定位置上方，即角度盘到悬挂点的距离变短，同样的角度，摆线在刻度盘上扫过的弧长变短，故摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角大于5°。
7．(2023·湖南卷)某同学探究弹簧振子振动周期与质量的关系，实验装置如图(a)所示，轻质弹簧上端悬挂在铁架台上，下端挂有钩码，钩码下表面吸附一个小磁铁，其正下方放置智能手机，手机中的磁传感器可以采集磁感应强度实时变化的数据并输出图像，实验步骤如下：
(1)测出钩码和小磁铁的总质量m；
(2)在弹簧下端挂上该钩码和小磁铁，使弹簧振子在竖直方向做简谐运动，打开手机的磁传感器软件，此时磁传感器记录的磁感应强度变化周期等于弹簧振子振动周期；
(3)某次采集到的磁感应强度B的大小随时间t变化的图像如图(b)所
示，从图中可以算出弹簧振子振动周期T＝_________(用“t0”表示)；
(4)改变钩码质量，重复上述步骤；
(5)实验测得数据如下表所示，分析数据可知，弹簧振子振动周期的平方与质量的关系是____________(填“线性的”或“非线性的”)；
m/kg 10T/s T/s T2/s2
0.015 2.43 0.243 0.059
0.025 3.14 0.314 0.099
0.035 3.72 0.372 0.138
0.045 4.22 0.422 0.178
0.055 4.66 0.466 0.217
线性的
A
空气阻力
8．(2021·河北卷，17)如图，一弹簧振子沿x轴做简谐运动，振子零时刻向右经过A点，2 s后第一次到达B点，已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，2 s内经过的路程为0.4 m。该弹簧振子的周期为______s，振幅为________ m。
4
0.2
解析：根据简谐运动对称性可知，振子零时刻向右经过A点，2 s后第一次到达B点，已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，则A、B两点关于平衡位置对称，而振动经过了半个周期的运动，则周期为T＝2t＝4 s，从A到B经过了半个周期的振动，路程为s＝0.4 m，而一个完整的周期路程为0.8 m，为4个振幅的路程，有4A＝0.8 m，解得振幅为A＝0.2 m。
小于
最大

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