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2024年红河哈尼族彝族自治州初中学业水平考试（一模）
数学试题卷
（全卷三个大题，共27个小题，共8页，满分100分，考试用时120分钟）
注意事项：
1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上．在试题卷、草稿纸上作答无效．
2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1. 锂电池是电动汽车的关键部件，我国的锂电池正突破重围，势不可挡．规定充电时长为正，耗电时长为负，若新能源汽车快充充电小时记作小时，那么新能源汽车连续性耗电8小时记作（ ）
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
2. 边境兴则边疆稳，边民富则边防固．在云南省红河哈尼族彝族自治州河口瑶族自治县这座与越南接壤的边境城市里，边民互市贸易一直是中越两国边民日常生活和经济活动的重要形式，对兴边、富民、睦邻有着重要作用．据统计，2023年河口口岸边民互市完成贸易量达350900吨．数据350900用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，已知直线，被直线所截，，平分，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列几何体，主视图、俯视图、左视图都相同的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如果反比例函数y＝的图象在二、四象限，那么k的取值范围是（　　）
A. k＞0 B. k＜0 C. k≥0 D. k≤0
7. 彝族（尼苏）剪纸是云南省非物质文化遗产代表性项目，下列“彝族（尼苏）剪纸”图案中，不属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
8. 经省教育厅同意，关工委科技活动委员会、省教育厅关工委研究，决定于2024年5月中下旬举办第四届（2023-2024学年）全国青少年科技教育成果展示大赛云南省区域赛．今年的线上竞赛项目有五项，分别是：：ICode未来编程赛技，：GOC编程挑战赛，：科技创意动画挑战赛，：AI+程序算法竞赛，：月背行走创意赛．某中学学生会为了考察该校1000名初中学生参加线上竞赛项目的情况，采取抽样调查的方法，随机调查了若干名学生参加线上竞赛项目的情况（每人必须参加且只能参加其中一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，下列判断正确的是（ ）
A. 本次抽样调查的样本容量是100
B. 参加线上竞赛项目对应的扇形圆心角度数为
C. 本次抽样调查中，参加线上竞赛项目的人数是50人
D. 该校1000名初中学生中参加线上竞赛项目人数约为260人
9. 如图，是的直径，是的弦，且．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
10. 按一定规律排列的单项式：，，，，…，则第个单项式为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知两个相似三角形的相似比是，那么它们的面积比是（ ）
A. B. C. D.
12. 函数的自变量的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
13. 随着经济的发展和人们生活水平的提高，春节旅游逐渐成为了人们追求幸福的新方式，越来越多的人选择在春节期间出游，体验不一样的年味．据统计2022年春节假期国内旅游出游人数约2.5亿人次，2024年达到4.7亿人次．设2022年到2024年春节假期国内旅游出游人数的年平均增长率为，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A. B.
C D.
14. “莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形．它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为10，则这个“莱洛三角形”的周长是（ ）
A. 10 B. C. 30 D.
15. 黄金分割被公认为“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，其比值为，通常人们也把这个数叫做黄金分割数．请估计它的分子的值（ ）
A. 在0和1之间 B. 在1和2之间 C. 在2和3之间 D. 在3和4之间
二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分）
16. 分解因式：______．
17. 已知菱形面积为24，一条对角线长为6，则这个菱形的另一条对角线长是____．
18. 某市市场监督管理局对市面上烤红薯的价格进行调查，得到五家店铺的销售单价（单位：元）分别为5，7，5，9，8，这组数据的中位数为______．
19. 圆锥的底面半径为，高为，则圆锥侧面展开图扇形的面积为______．
三、解答题（本大题共8个小题，共62分）
20. 计算：．
21. 如图，，，．求证：．
22. 时令节气，三月是春茶采收的好时节，云南各地春茶也开始抢“鲜”上市．现有某茶商销售两种云南春茶，已知甲种春茶每千克单价比乙种春茶每千克单价少70元，花7000元购进甲种春茶的重量是花4200元购进乙种春茶重量的2倍．求甲、乙两种春茶的单价．
23. 2024年是中华人民共和国成立75周年，是实现“十四五”规划目标任务关键一年，也是全面推进美丽中国建设的重要一年．全国生态环境系统要坚持以习近平新时代中国特色社会主义思想特别是习近平生态文明思想为指导，全面贯彻落实中央经济工作会议和全国生态环境保护大会精神，坚持稳中求进、以进促稳、先立后破，以美丽中国建设为统领，锚定目标、真抓实干，推动生态环境质量持续稳定改善，全面推进人与自然和谐共生的现代化．某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加某市组织的中学生“生态文明，从我做起，建设美丽中国”的主题演讲比赛．
（1）请用列表法或画树状图法中一种方法，列出所有可能出现的结果总数；
（2）已知每名同学被选到的概率是一样的，求恰好选中1男1女参加主题演讲比赛的概率．
24. 如图，在等腰中，，平分，过点A作，使，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的面积．
25. 为响应地摊经济，小宁准备购进和两种唱片进行售卖，其中唱片单价为每张40元，唱片购进费用（元）与唱片购进数量（张）符合如图所示的函数关系．（其中，且为整数）
（1）求出唱片购进费用（元）与唱片购进数量（张）的函数关系式；
（2）若小宁打算购进两种唱片共150张，其中唱片的数量不少于40张，唱片数量不少于唱片数量的一半，设购进，两种唱片的总购进费用为元，则如何设计购进方案，才能使总购进费用元最少？
26. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交点坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当时．若抛物线的最小值为3，求的值．
27. 如图，是的外接圆，是的直径，点在上（点不与点，重合），，连接，过点作延长线的垂线，垂足为点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，．求的长；
（3）在中，若，，试问是否为定值？如果是，请求出这个定值，并用含，的代数式表示；如果不是，请说明理由．2024年红河哈尼族彝族自治州初中学业水平考试（一模）
数学试题卷
（全卷三个大题，共27个小题，共8页，满分100分，考试用时120分钟）
注意事项：
1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上．在试题卷、草稿纸上作答无效．
2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1. 锂电池是电动汽车的关键部件，我国的锂电池正突破重围，势不可挡．规定充电时长为正，耗电时长为负，若新能源汽车快充充电小时记作小时，那么新能源汽车连续性耗电8小时记作（ ）
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，充电用正数表示，那么耗电就用负数表示，据此可得答案．
【详解】解：若新能源汽车快充充电小时记作小时，那么新能源汽车连续性耗电8小时记作小时，
故选：D．
2. 边境兴则边疆稳，边民富则边防固．在云南省红河哈尼族彝族自治州河口瑶族自治县这座与越南接壤的边境城市里，边民互市贸易一直是中越两国边民日常生活和经济活动的重要形式，对兴边、富民、睦邻有着重要作用．据统计，2023年河口口岸边民互市完成贸易量达350900吨．数据350900用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：数据350900用科学记数法表示为；
故选D
3. 如图，已知直线，被直线所截，，平分，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．先求出，再根据平行线的性质求出即可．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∴，
，
∴．
故选：B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
利用合并同类项法则，积的乘方法则，同底数幂乘法法则，完全平方公式逐项判断即可．
【详解】，则A不符合题意；
，则B符合题意；
，则C不符合题意；
，则D不符合题意；
故选：B．
5. 下列几何体，主视图、俯视图、左视图都相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【详解】解： A、圆锥的主视图、俯视图、左视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，不符合题意；
B、三棱柱的主视图、俯视图、左视图分别是长方形，长方形，三角形，不符合题意；
C、正方体的主视图、俯视图、左视图是全等的正方形，符合题意；
D、圆柱的主视图、俯视图、左视图分别是长方形，长方形，圆，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握简单几何体的三视图是解题的关键．
6. 如果反比例函数y＝的图象在二、四象限，那么k的取值范围是（　　）
A. k＞0 B. k＜0 C. k≥0 D. k≤0
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数图象的性质：当k＜0时，反比例函数图象位于第二、四象限．
【详解】解：∵图象在二、四象限，
∴k＜0．
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图像性质，掌握反比例函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．
7. 彝族（尼苏）剪纸是云南省非物质文化遗产代表性项目，下列“彝族（尼苏）剪纸”图案中，不属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，熟练掌握知识点是解题的关键，根据概念即可完成判断．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
8. 经省教育厅同意，关工委科技活动委员会、省教育厅关工委研究，决定于2024年5月中下旬举办第四届（2023-2024学年）全国青少年科技教育成果展示大赛云南省区域赛．今年的线上竞赛项目有五项，分别是：：ICode未来编程赛技，：GOC编程挑战赛，：科技创意动画挑战赛，：AI+程序算法竞赛，：月背行走创意赛．某中学学生会为了考察该校1000名初中学生参加线上竞赛项目的情况，采取抽样调查的方法，随机调查了若干名学生参加线上竞赛项目的情况（每人必须参加且只能参加其中一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，下列判断正确的是（ ）
A. 本次抽样调查的样本容量是100
B. 参加线上竞赛项目对应的扇形圆心角度数为
C. 本次抽样调查中，参加线上竞赛项目的人数是50人
D. 该校1000名初中学生中参加线上竞赛项目的人数约为260人
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了从关联的条形统计图和扇形统计图中获取信息求相关的量；
A.由从条形统计图中可得参加项目人数，从扇形统计图中可得参加项目的百分比，即可求出抽样调查的人数，即可判断；
B. 从扇形统计图中可得参加线上竞赛项目的百分比，即可求出圆心角，进行判断；
C. 从扇形统计图中可得参加线上竞赛项目的所占百分比，结合选项A即可求解，进行判断；
D.结合选项B得参加线上竞赛项目的所占百分比即可求解，进行判断；
能从关联的条形统计图和扇形统计图中正确获取信息是解题的关键．
【详解】解：A.，本次抽样调查的样本容量是，结论错误，故不符合题意；
B.参加线上竞赛项目的百分比：，，结论错误，故不符合题意；
C.由选项A得人，结论错误，故不符合题意；
D.由选项B得，结论正确，符合题意；
故选：D．
9. 如图，是的直径，是的弦，且．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理．根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得，再根据垂径定理得出，进而可得．
【详解】解：如图，连接，
，
，
是的直径，是的弦，且，
，
，
故选B．
10. 按一定规律排列的单项式：，，，，…，则第个单项式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查单项式规律题，观察前几个单项式的系数和字母的指数的变化规律即可求解．
【详解】解：，，，，…，
观察规律可知，第个单项式的系数为，字母a的指数为n，
∴第个单项式为：，
故选：A．
11. 已知两个相似三角形的相似比是，那么它们的面积比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是，
∴它们的面积比为：．
故选：B．
12. 函数的自变量的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围并在数轴上表示出来即可．
【详解】∵，
∴x 2≥0，解得x≥2，
在数轴上表示为：
故选：B．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知二次根式有意义的条件是解答此题的关键．
13. 随着经济的发展和人们生活水平的提高，春节旅游逐渐成为了人们追求幸福的新方式，越来越多的人选择在春节期间出游，体验不一样的年味．据统计2022年春节假期国内旅游出游人数约2.5亿人次，2024年达到4.7亿人次．设2022年到2024年春节假期国内旅游出游人数的年平均增长率为，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意找到等量关系是解决问题的关键．
根据2022年春节假期国内旅游出游人数约2.5亿人次，2024年达到4.7亿人次即可得到结论．
【详解】解：根据题意，得．
故选：A．
14. “莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形．它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为10，则这个“莱洛三角形”的周长是（ ）
A. 10 B. C. 30 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的性质、弧长公式，根据等边三角形的性质得到，利用弧、弦的关系和弧长公式求得的长，进而可求解．
【详解】解：如图，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴该“莱洛三角形”的周长是．
故选：D．
15. 黄金分割被公认为“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，其比值为，通常人们也把这个数叫做黄金分割数．请估计它的分子的值（ ）
A. 在0和1之间 B. 在1和2之间 C. 在2和3之间 D. 在3和4之间
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了估算无理数的大小，是解题关键．根据算术平方根运算得出，可得答案．
【详解】解：，
，
，
，
故选：B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分）
16. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解；
先提取公因式，再利用平方差公式继续分解．
【详解】解：，
故答案为：．
17. 已知菱形的面积为24，一条对角线长为6，则这个菱形的另一条对角线长是____．
【答案】8
【解析】
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求出另一条对角线的长度．
【详解】解：如图所示：
∵S菱形ABCD＝24，
∴BD·AC＝24，
∵AC＝6，
∴BD·6＝24，
∴BD＝8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了菱形的性质，属于基础题，解答本题用到的知识点为：菱形的面积等于对角线乘积的一半．
18. 某市市场监督管理局对市面上烤红薯的价格进行调查，得到五家店铺的销售单价（单位：元）分别为5，7，5，9，8，这组数据的中位数为______．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了求一组数据的中位数，先从小到大排序，然后求得中间的数即可，总个数如果为奇数个，则中位数为中间的数，如果总个数为偶数个，则中位数为中间两个数的平均数，从小到大排好顺序是解题的关键．
【详解】解：由题可得，该数据从小到大排列为：5，5，7，8，9，
总个数为五个，即为奇数个，
∴中位数为中间的数7，
故答案为：7．
19. 圆锥的底面半径为，高为，则圆锥侧面展开图扇形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键；由题意易得圆锥的母线长，然后问题可求解．
【详解】解：由题意可知：圆锥的母线长为，
∴圆锥的侧面展开图扇形的面积为；
故答案为．
三、解答题（本大题共8个小题，共62分）
20. 计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此类题的关键，根据负整数指数幂、特殊角三角函数值、绝对值以及零次幂的意义将各项进行化简，然后合并即可．
【详解】解：原式．
21. 如图，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．直接证明根据性质可证明结论．
【详解】证明：在与中，
，
，
．
22. 时令节气，三月是春茶采收的好时节，云南各地春茶也开始抢“鲜”上市．现有某茶商销售两种云南春茶，已知甲种春茶每千克单价比乙种春茶每千克单价少70元，花7000元购进甲种春茶的重量是花4200元购进乙种春茶重量的2倍．求甲、乙两种春茶的单价．
【答案】甲种春茶的单价为350元，乙种春茶的单价为420元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程是解题的关键．设甲种春茶的单价为元，乙种春茶的单价为元，根据“花7000元购进甲种春茶的重量是花4200元购进乙种春茶重量的2倍”列分式方程解题即可．
【详解】解：设甲种春茶的单价为元，则乙种春茶的单价为元，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
乙种春茶单价：（元）.
答：甲种春茶的单价为350元，乙种春茶的单价为420元.
23. 2024年是中华人民共和国成立75周年，是实现“十四五”规划目标任务的关键一年，也是全面推进美丽中国建设的重要一年．全国生态环境系统要坚持以习近平新时代中国特色社会主义思想特别是习近平生态文明思想为指导，全面贯彻落实中央经济工作会议和全国生态环境保护大会精神，坚持稳中求进、以进促稳、先立后破，以美丽中国建设为统领，锚定目标、真抓实干，推动生态环境质量持续稳定改善，全面推进人与自然和谐共生的现代化．某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加某市组织的中学生“生态文明，从我做起，建设美丽中国”的主题演讲比赛．
（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，列出所有可能出现的结果总数；
（2）已知每名同学被选到的概率是一样的，求恰好选中1男1女参加主题演讲比赛的概率．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了用列举法求等可能事件的概率，根据题意利用列表法或画树状图法列出所有可能出现的结果总数是解题的关键．
（1）利用列表法或画树状图法依次列出所有可能的结果即可；
（2）根据第一问求出的所有可能出现的结果总数，在其中找到恰好选中1男1女的情况有种，利用概率公式，即可求解；
【小问1详解】
解：根据题意得，可以列表如下：
第一次 第二次 甲 乙 丙 丁
甲
（乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）
乙 （甲，乙）
（丙，乙） （丁，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙）
（丁，丙）
丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁）
共有（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，甲）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，甲）、（丙，乙）、（丙，丁）、（丁，甲）、（丁，乙）、（丁，丙）12种等可能结果；
【小问2详解】
共有12种等可能的结果，其中恰好选中1男1女的情况有8种，
分别是（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，甲）、（丙，乙）、（丁，甲）、（丁，乙）.
恰好选中1男1女参加主题演讲比赛的概率为，
即（恰好选中1男1女参加主题演讲比赛）．
24. 如图，在等腰中，，平分，过点A作，使，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）72
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定定理、勾股定理的应用．掌握相关结论进行几何推导是解题关键．
（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可求证 ；
（2）利用三角函数先求，进而求出，即可求解．
【小问1详解】
解： 在等腰中，，平分，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形.
，
.
四边形是矩形；
【小问2详解】
，
，
在中，，，
，即
，
，
，，
，
，
．
25. 为响应地摊经济，小宁准备购进和两种唱片进行售卖，其中唱片单价为每张40元，唱片购进费用（元）与唱片购进数量（张）符合如图所示的函数关系．（其中，且为整数）
（1）求出唱片购进费用（元）与唱片购进数量（张）的函数关系式；
（2）若小宁打算购进两种唱片共150张，其中唱片的数量不少于40张，唱片数量不少于唱片数量的一半，设购进，两种唱片的总购进费用为元，则如何设计购进方案，才能使总购进费用元最少？
【答案】（1）
（2）购进唱片的数量为50张，唱片的数量为100张时，总购进费用最少
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
（1）分和两种情况，利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意求出，可以求得自变量的取值范围，再根据一次函数的性质即可得到最小值．
【小问1详解】
解：当时，设与的函数关系式为，
将代入，得，解得.
当时，与的函数关系式为，
当时，设与的函数关系式为，
将，代入，得
，解得.
当时，与的函数关系式为．
综上所述，与函数关系式为．
【小问2详解】
设购进唱片的数量为张，则购进唱片的数量为张，根据题意，得
，解得，且为整数.
.
，
随的增大而减小，
当时，有最小值，
（元）.
购进唱片的数量为：（张），
答：购进唱片的数量为50张，唱片的数量为100张时，总购进费用最少．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交点坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当时．若抛物线的最小值为3，求的值．
【答案】（1）
（2）4或
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数，二次函数的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
（1）将代入抛物线，解出m的值，即可；
（2）分两种情况讨论: 当时；当时；当时分情况根据增减性讨论即可．
【小问1详解】
解：把，代入.
得，
解得，
抛物线对应的函数表达式为；
【小问2详解】
根据（1），，
抛物线的对称轴为直线，
当时，抛物线在图象是随着的增大而增大，
当时，，
解得（舍去）或；
当时，即，此时，抛物线在的图象是随着的增大而减小，
当时，，即，
解得（舍去）或；
当时，即，结合函数的图象，抛物线在的最小值是，
此时，不合题意，
综上所述，当时，若抛物线的最小值为，的值是4或．
27. 如图，是的外接圆，是的直径，点在上（点不与点，重合），，连接，过点作延长线的垂线，垂足为点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，．求的长；
（3）在中，若，，试问是否为定值？如果是，请求出这个定值，并用含，的代数式表示；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）是定值，
【解析】
【分析】（1）如图中，连接，利用圆的性质证得，，进而证出，由平行线的性质可得，由此即可解决问题；
（2）由勾股定理得出，由已知和圆周角定理证出，由相似比即可得出的长；
（3）结论：的值是定值，如图2，在直径上截取，连接，得出，进而证出，由相似比即可解决问题．
【小问1详解】
如图，连接，
，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
是的直径，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
；
【小问3详解】
是定值，理由如下：
如图，在直径上截取，连接，
，
，
在和中，
，
，
，.
，
，即，
，
，
，
，
，
，，，
，即．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定定理、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

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