资源简介

重庆市2024届名校中考百分百（三）
数学试题
注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间120分钟；
2.考生答题前请在规定位置填写姓名、考场号、考号等相关信息，在答题卡上正确填涂准考证号（或粘贴条形码）并仔细核对自己的信息；
3.选择题请用2B铅笔在答题卡对应的位置准确填涂，非选择题请用0.5mm黑色字迹签字笔在答题卡的非选择题区域作答．在本试卷及草稿纸上作答，答案无效；
4.考试结束后，本试题、答题卡、草稿纸一并收回，请勿带出考场．
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 4相反数是（　　）
A. 4 B. ﹣4 C. D. -
2. 如图是由几个相同的小正方体堆砌成的几何体，从上面看到该几何体的形状图是（ ）
A. B. C. D.
3. 反比例函数图象一定经过的点是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，将以点O为位似中心放大后得到，若，且的面积为3，则的面积为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
5. 如图，直线，将三角尺直角顶点放在直线b上，若，则的度数是（ ）．
A. B. C. D.
6. 估计的值应在（ ）
A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间
7. 把正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中正方形的个数是（　　）
A. 24 B. 25 C. 29 D. 30
8. 如图，与相切于点F，与交于C、D两点，，于点E，且经过圆心O，连接，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图以的斜边为边在的同侧作正方形．设正方形的中心为O，连结，如果，则的值为（　　）
A 5 B. 6 C. D. 8
10. 有个依次排列的整式：第项是，用第项乘以，所得之积记为，将第项加上得到第项，再将第项乘以得到，将第项加上得到第项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到个结论：
①第项为
②
③若第项的值为，则
以上结论正确的个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
11. 计算：______．
12. 一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是______．
13. 如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交边BC于点E，AD=5，AB=3，则BE=________.
14. 某商品原价为1000元，连续两次降价后为810元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，请列出方程______．
15. 一个不透明的口袋中有2个红球和1个白球，它们除了颜色其他完全相同．从中随机取出一个小球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机取出一个小球，记下颜色，则两次取出的小球颜色相同的概率为______．
16. 如图，在中，，，，以为直径的半圆交于点D，则图中阴影部分的面积是______．
17. 若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值的和是______．
18. 若一个四位数M的个位数字与十位数字的和与它们的差之积恰好是M去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M称为“和差数”．
①“和差数”M最小值是______；
②令M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，且，当，均为整数时，M的最大值为______．
三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1）；
（2）．
20. 由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形中，平分，珈跏的思路是：过点A作的垂线，垂足为G，交线段于点F，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空．
证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点G，交于点F，连接（只保留作图痕迹）
∵四边形是平行四边形，
∴①______
∴，
∵平分，
∴，
∴②______
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴③______，
∵，，
∴垂直平分，
∴④______，
，
∴四边形是菱形．
21. 今年春节期间人工智能ChatGPT火遍全球，某校数学兴趣小组为了调查七、八年级学生对人工智能ChatGPT的了解程度，设计了一张含10个问题的调查问卷，在该校七、八年级中各随机抽取20名学生进行调查，并将结果整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生答对问题数量的统计表
七年级 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7
8 8 8 8 8 9 9 9 10 10
被抽取的七、八年级学生答对问题数量的平均数、众数、中位数、答对8题及以上人数所占百分比如下：
年级 平均数 众数 中位数 答对8题及以上人数所占百分比
七年级 7.4 a 7.5 50%
八年级 78 8 b c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的a，b，c的值；
（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生更了解ChatGPT人工智能？请说明理由（写出一条即可）；
（3）若答对7题及以上视为比较了解ChatGPT人工智能，该校七年级有600名学生，八年级有500名学生，估计该校七年级和八年级比较了解ChatGPT人工智能的学生总人数．
22. 为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
（1）计划修建灌溉水渠550米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建30米，再施工2天完成任务．甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
（2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建450米后，通过技术更新，每天比原来多修建25%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
23. 如图，是三角形湖，湖边建有健身跑道，B在A的正东方向上，M在A的东北方向与B的北偏西的交点处，在上距离A处300米的地方有公厕C，且M在公厕C的北偏东．
（参考数据：，，）
（1）求的距离（结果精确到1米）；
（2）兴华和旺旺练习跑步，他们分别从C出发，兴华以6米/秒的速度沿到达M，旺旺以米/秒的速度沿到达M，请问谁先到达，请说明理由．
24. 如图，是边长为的菱形，且．动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为秒，点，的距离为．
（1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，写出点，相距个单位长度时的值．
25. 如图1，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为直线上方抛物线上的动点，连接，，求四边形面积的的最大值及此时P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将原抛物线沿射线方向平移个单位，点M是新抛物线与原抛物线的交点，N是平面内任意一点，若以P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．
26. 如图，在中，，，点D为一点，连接．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，过点A作于点E，交于点M，于点G，交于点N，求证：；
（3）如图3，将沿翻折至处，在上取点，连接，过点作交于点，交于点，连接，若，，求最小值．重庆市2024届名校中考百分百（三）
数学试题
注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间120分钟；
2.考生答题前请在规定位置填写姓名、考场号、考号等相关信息，在答题卡上正确填涂准考证号（或粘贴条形码）并仔细核对自己的信息；
3.选择题请用2B铅笔在答题卡对应的位置准确填涂，非选择题请用0.5mm黑色字迹签字笔在答题卡的非选择题区域作答．在本试卷及草稿纸上作答，答案无效；
4.考试结束后，本试题、答题卡、草稿纸一并收回，请勿带出考场．
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 4的相反数是（　　）
A. 4 B. ﹣4 C. D. -
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
所以4的相反数-4．
故选B．
考点：相反数．
2. 如图是由几个相同小正方体堆砌成的几何体，从上面看到该几何体的形状图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从上面看得到的图形可得答案．
【详解】解：从上面看第一层三个小正方形，第一层两个小正方形，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了从不同方向观察立体图形的方法，解题的关键是熟练掌握三视图的定义．
3. 反比例函数图象一定经过的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，将各选项中的横坐标代入，判断y值是否等于纵坐标即可．
【详解】解：A，当时，，在反比例函数图象上，符合题意；
B，当时，，不在反比例函数图象上，不合题意；
C，当时，，不在反比例函数图象上，不合题意；
D，当时，，不在反比例函数图象上，不合题意；
故选A．
4. 如图，将以点O为位似中心放大后得到，若，且的面积为3，则的面积为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵与位似，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为3，
∴的面积为，
故选：D．
5. 如图，直线，将三角尺直角顶点放在直线b上，若，则的度数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等，结合平角的定义，进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴；
故选B．
6. 估计的值应在（ ）
A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行二次根式的运算是解题关键．直接利用二次根式乘法运算法则化简，进而估算无理数的大小即可．
【详解】解：
∵
∴
∴
∴的值应在4和5之间．
故选：C．
7. 把正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中正方形的个数是（　　）
A. 24 B. 25 C. 29 D. 30
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知图形得出第n个图形中正方形的个数为1+4n，据此求解可得答案．
【详解】解：图①中正方形的个数为5＝1+4×1，
图②中正方形的个数为9＝1+4×2，
图③中正方形的个数为13＝1+4×3，
……
则图⑥中正方形的个数为1+4×6＝25（个），
故选：B．
【点睛】本题考查规律的探究，用到了特殊思想与一般思想．特殊思想与一般思想是解决规律探究问题的指导性数学思想，一般来讲，这类问题都需要从简单的情形入手，由浅入深、由简单到复杂、由特殊到一般，逐步分析探索，发现变化规律，最后再根据变化规律归纳出最后结果．
8. 如图，与相切于点F，与交于C、D两点，，于点E，且经过圆心O，连接，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接，根据切线的性质得到，推出是等腰直角三角形，得到，推出是等腰直角三角形，得到，根据勾股定理求得，即可得到结论．
【详解】解：如下图，连接，
∵与相切于点，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、等腰直角三角形的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
9. 如图以的斜边为边在的同侧作正方形．设正方形的中心为O，连结，如果，则的值为（　　）
A. 5 B. 6 C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】在上截取，连接，根据三角形内角和定理，推出，证，推出，，得出等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．本题主要考查对勾股定理，正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．
【详解】解：，，，
，
在上截取，连接，
四边形是正方形，，
，，
，
，
在和中
，
，
，，，
，
，
，
即是等腰直角三角形，
则
．
故选：C．
10. 有个依次排列的整式：第项是，用第项乘以，所得之积记为，将第项加上得到第项，再将第项乘以得到，将第项加上得到第项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到个结论：
①第项为
②
③若第项的值为，则
以上结论正确的个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式的规律探究，多项式乘以多项式，根据题意可得第1项为，，第2项为，，第3项为，，根据变化规律解答即可．
【详解】根据题意，
第1项为，
，
第2项为，
，
第3项为，
，
∴第4项为，故①正确；
∴，故②不正确；
若第2023项的值为0，则，
∴，
即，
∴，故③正确；
故选：C．
二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了零指数幂和算术平方根，先计算零指数幂和算术平方根，再计算减法即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是______．
【答案】6##六
【解析】
【分析】此题主要考查了多边形的内角与外角的关系．先求出这个多边形的每一个外角的度数，然后根据任意多边形外角和等于，再用除以外角的度数，即可得到边数．
【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于，
∴多边形的每一个外角都等于，
∴边数．
故答案为：6．
13. 如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交边BC于点E，AD=5，AB=3，则BE=________.
【答案】2
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，AD∥BC，根据角平分线的性质及平行线的性质可证得∠CDE=∠DEC，由此可得EC=DC，再由BE=BC-CE=AD-AB即可求得AE的长.
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DEC =∠ADE，
∵DE为∠ADC的平分线，
∴∠CDE=∠ADE，
∴∠CDE=∠DEC，
即EC=DC，
∴BE=BC-CE=AD-AB=5-3=2.
故答案为2.
【点睛】本题考查了角平分线的性质以及平行线的性质、平行四边形的性质等知识，证得EC=DC是解题的关键．
14. 某商品原价为1000元，连续两次降价后为810元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，请列出方程______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，增长率问题一般用增长后的量增长前的量（1增长率），如果设平均每次降价的百分率为，可以用表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程．
【详解】解：根据题意可得两次降价后售价为，
即方程为，
故答案为：．
15. 一个不透明的口袋中有2个红球和1个白球，它们除了颜色其他完全相同．从中随机取出一个小球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机取出一个小球，记下颜色，则两次取出的小球颜色相同的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意画出树状图，求得所有等可能的结果和两次取出的小球颜色相同的结果，利用概率公式求得即可．
【详解】画出树状图：
由图可得，共有9种等可能的结果，其中两次取出的小球颜色相同的结果有5种，
两次取出的小球颜色相同的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查用列表法或树状图法求概率，解题的关键是注意此题是放回实验还是不放回实验．
16. 如图，在中，，，，以为直径的半圆交于点D，则图中阴影部分的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形的面积公式，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
取的中点，连接，并作，先证是等边三角形，再通过解直角三角形，求得和的长度，最后通过求出阴影部分的面积．
【详解】取的中点，连接，并作，由为直径，可以知道是圆心，如图所示
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
阴影部分的面积为
故答案为：．
17. 若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值的和是______．
【答案】
【解析】
【分析】先按照不等式组的性质求出不等式的解集，确定取值范围，再解出分式方程，找到分式方程的非负整数解，进而求出的值即可．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
不等式的解集为：，
．
解分式方程，
方程两边同时乘以得，，
解得：．
，
，
，
．
分式方程有非负整数解，
，，
且，
的值为：0，1，3．
对应的值为：，，1．
符合条件的所有的取值之和为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的解以及不等式的解集，解题的关键在于求出取值范围以及求出分式方程的解．
18. 若一个四位数M的个位数字与十位数字的和与它们的差之积恰好是M去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M称为“和差数”．
①“和差数”M的最小值是______；
②令M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，且，当，均为整数时，M的最大值为______．
【答案】 ①. 1156 ②. 6318
【解析】
【分析】本题考查因式分解的应用，涉及整除、新定义等知识，理解新定义，并用含c，d的代数式表示出M是解题的关键．
①由和差数的定义可得，令，，可得答案；
②结合可得，进而可得，设（k为整数且），根据，均为整数，可得，再分或两种情况，分别计算即可．
【详解】解：①令“和差数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，
则，
要使“和差数”M取最小值，令，，则，
没有满足条件的c，d，不合题意；
令，，则，
当，时，等式成立，符合条件，
因此“和差数”M的最小值是1156；
②由①知，
，
，
是整数，
是整数，
是整数，
，
设（k为整数且），
，
，
或，
当时，
若，则，此时，不合题意；
若，则，此时，；
若，则，此时，；
若，则，此时，；
若，则，不合题意；
当时，
若，则，此时，；
若，则，不合题意；
综上可知，符合条件的M有1224，2736，4848，6318，其中最大值为6318．
故答案为：①1156；②6318．
三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，单项式乘多项式，平方差公式
（1）利用单项式乘多项式，平方差公式进行计算，即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【小问1详解】
解：原式＝
【小问2详解】
解：原式
20. 由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形中，平分，珈跏的思路是：过点A作的垂线，垂足为G，交线段于点F，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空．
证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点G，交于点F，连接（只保留作图痕迹）
∵四边形是平行四边形，
∴①______
∴，
∵平分，
∴，
∴②______
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴③______，
∵，，
∴垂直平分，
∴④______，
，
∴四边形是菱形．
【答案】作图见解析；①；②；③；④
【解析】
【分析】根据题目要求作图即可；证明，得出，证明，得出，证明垂直平分，得出，即可得出，说明四边形是菱形．
【详解】证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点G，交于点F，连接，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴①，
∴，
∵平分，
∴，
∴②，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴③，
∵，，
∴垂直平分，
∴④，
，
∴四边形是菱形．
故答案为：①；②；③；④．
【点睛】本题主要考查了尺规作垂线，菱形的判定，平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定．
21. 今年春节期间人工智能ChatGPT火遍全球，某校数学兴趣小组为了调查七、八年级学生对人工智能ChatGPT的了解程度，设计了一张含10个问题的调查问卷，在该校七、八年级中各随机抽取20名学生进行调查，并将结果整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生答对问题数量的统计表
七年级 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7
8 8 8 8 8 9 9 9 10 10
被抽取的七、八年级学生答对问题数量的平均数、众数、中位数、答对8题及以上人数所占百分比如下：
年级 平均数 众数 中位数 答对8题及以上人数所占百分比
七年级 7.4 a 7.5 50%
八年级 7.8 8 b c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的a，b，c的值；
（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生更了解ChatGPT人工智能？请说明理由（写出一条即可）；
（3）若答对7题及以上视为比较了解ChatGPT人工智能，该校七年级有600名学生，八年级有500名学生，估计该校七年级和八年级比较了解ChatGPT人工智能的学生总人数．
【答案】（1）8；8；65%
（2）八年级，见解析 （3）795人
【解析】
【分析】本题考查数据的收集与整理，熟练掌握平均数、中位数、众数的定义，样本估计总体的方法是解题的关键．
（1）根据中位数、众数的定义即可求出a，b的值，八年级抽取的学生答对8题及以上人数除以20即可求出c的值；
（2）根据平均数、中位数、众数及学生答对8题及以上人数所占百分比进行比较即可；
（3）分别求出七、八年级的比较了解ChatGPT人工智能的学生数再求和即可．
【小问1详解】
解：七年级20名学生答对的问题数量为8个的出现次数最多，故众数为8题，故 ，
从统计图可知，八年级抽取的学生答对问题数量的中位数为：8题，故，
八年级抽取的学生答对问题数量答对8题以上的有（人），
故八年级抽取的学生答对8题及以上人数所占百分比为，故；
【小问2详解】
八年级抽取的学生答对问题数量的中位数及平均数均大于七年级抽取的学生答对问题数量的中位数及平均数，且八年级抽取的学生答对8题及以上人数所占百分比高于七年级抽取的学生答对8题及以上人数所占百分比，故八年级的学生更了解ChatGPT人工智能．
【小问3详解】
该校七年级和八年级比较了解ChatGPT人工智能的学生总人数是（人）．
22. 为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
（1）计划修建灌溉水渠550米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建30米，再施工2天完成任务．甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
（2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建450米后，通过技术更新，每天比原来多修建25%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
【答案】（1）100米
（2）90米
【解析】
【分析】（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，则原计划每天施工米，根据施工天数与水渠总长列一元一次方程，即可求解；
（2）设乙施工队原来每天修建灌溉水架m米，根据题意列分式方程，即可求解，注意检验．
【小问1详解】
解：设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，则原计划每天施工米．
根据题意，得：，
解得：．
答：甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米．
【小问2详解】
解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠m米．
（米），
根据题意，得：．
解得：．
经检验，是原分式方程的解．
答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．
【点睛】本题考查一元一次方程与分式方程的实际应用，正确设出未知数，找准等量关系，列出方程是解题的关键．
23. 如图，是三角形湖，湖边建有健身跑道，B在A的正东方向上，M在A的东北方向与B的北偏西的交点处，在上距离A处300米的地方有公厕C，且M在公厕C的北偏东．
（参考数据：，，）
（1）求的距离（结果精确到1米）；
（2）兴华和旺旺练习跑步，他们分别从C出发，兴华以6米/秒的速度沿到达M，旺旺以米/秒的速度沿到达M，请问谁先到达，请说明理由．
【答案】（1）581米
（2）兴华先到达，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
（1）过C作于N，先求，再求即可求出结论；
（2）过M作于H，得出，进而求出，求出时间进行比较即可．
【小问1详解】
解：过C作于N，
由题意可得：，，
在中，，
∴，
又∵，
在中，，
∴，
∴（米）
答：的距离略为581米；
【小问2详解】
过M作于H，
在中， ，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴兴华所用时间：（秒），
旺旺所用时间：（秒）
∵．
∴兴华先到达．
24. 如图，是边长为的菱形，且．动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为秒，点，的距离为．
（1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，写出点，相距个单位长度时的值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）或
【解析】
【分析】此题考查了动点问题函数图象，画一次函数图象，等边三角形的性质，菱形的性质；
（1）分两种情况：当时，根据等边三角形的性质解答；当时，利用即可；
（2）在直角坐标系中描点连线即可；
（3）利用分别求解即可．
【小问1详解】
解：当时，点分别在上运动，连接
∵动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发，
∴
又∵
∴等边三角形，
∴
当时，点分别上运动，
∵四边形是菱形，是边长为的菱形，
∴，
∵动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发，
∴
∴
∴等边三角形，
∴
∴
【小问2详解】
如图所示，
该函数是轴对称图形，对称轴是直线；
该函数自变量范围内有最值，当或时，函数有最小值；当时，函数有最大值；
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．
（选择其中之一即可）
【小问3详解】
解：当时，
当时，，
当时，，解得：
∴或
25. 如图1，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为直线上方抛物线上的动点，连接，，求四边形面积的的最大值及此时P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将原抛物线沿射线方向平移个单位，点M是新抛物线与原抛物线的交点，N是平面内任意一点，若以P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．
【答案】（1）
（2）最大值为18，
（3）或或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．
（1）把，代入，求出a和b的值，即可得出函数解析式；
（2）先求出，用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，则，即可得出，
，则，根据二次函数的性质，即可解答；
（3）先根据题意得出平移后的抛物线的解析式为，求出，设，然后进行分类讨论：①当为平行四边形的对角线时，②当为平行四边形的对角线时，③当为平行四边形的对角线时，即可解答．
【小问1详解】
解：把，代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：由令，
∴，
解得：，
∴
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，四边形的面积最大，最大值为18，
此时；
【小问3详解】
解：∵原抛物线沿射线方向平移个单位，
∴原抛物线沿x轴正方向平移2个单位，沿y轴正方向平移8个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为，
联立方程组，
解得，
∴，
设，
①当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴；
②当为平行四边形对角线时，
，
解得．
∴；
③当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴；
综上所述：N点坐标为或或．
26. 如图，在中，，，点D为一点，连接．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，过点A作于点E，交于点M，于点G，交于点N，求证：；
（3）如图3，将沿翻折至处，在上取点，连接，过点作交于点，交于点，连接，若，，求的最小值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）作于K．求得，利用三角函数的定义求得，，据此求解即可；
（2）证明，求得，作交BC于点Q，证明，得到，据此即可证明结论成立；
（3）取中点M，连接，分别求出的长度即可求出最小值．
【小问1详解】
解：如图1，作于K．
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
小问2详解】
证明：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
作交BC于点Q，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
；
【小问3详解】
解：如图3，取中点M，连接，连接交于点N，作于点P，设交于点Q．
由轴对称性质可知：，垂直平分，
即，，
∴，
∵，
∴，即，
∵于点H，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
设，则，，
设，则，
同理可证，
∴，
∴，即，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∴，
∵M为中点，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
当且仅当A、H、M三点共线时，取得最小值为．
【点睛】本题为几何综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定性质、几何变换、解直角三角形等重要知识点．熟练掌握常用几何定理和模型是解决问题的关键．

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