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第15题 立体几何中整体放入问题
【2024届浙江省丽水、湖州、衢州三地市二模·第14题】
已知正四面体的棱长为1，若棱长为a的正方体能整体放入正四面体中，则实数a的最大值为______．
通过分析可知需要求解的为平行底面的三角形内接正方形边长最大值，在三角形中结合正弦定理求解边长列出不等式并求解集即可求解.
易知正四面体的高
如右图：设，则
设，则
要正方体边长a最大，则只需平行底面BCD的截面PQR的内接正方形边长最大，且满足
如右图，在中，易知
则，故
1．对于棱长为1（单位：）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计），下列说法正确的是（ ）
A．底面半径为，高为的圆锥形罩子（无底面）能够罩住水平放置的该正方体
B．以该正方体的三条棱作为圆锥的母线，则此圆锥的母线与底面所成角的正切值为
C．该正方体内能同时整体放入两个底面半径为，高为的圆锥
D．该正方体内能整体放入一个体积为的圆锥
2．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．表面积为的球体
B．体积为的正四面体
C．体积为的圆柱体
D．底面直径为，高为的圆锥
3．浑仪，是中国古代的一种天文观测仪器，是以浑天说为理论基础制造的、由相应天球坐标系各基本圈的环规及瞄准器构成的古代天文测量天体的仪器，它的基本结构由重重的同心圆环构成，整体看起来像一个圆球.武汉外校某社团的同学根据浑仪运行原理制作了一个浑仪的模型：同心的小球半径为3，大球半径为R.现为提高浑仪的稳固性，该社团同学在大球内放入一个由六根等长的铁丝（不计粗细）组成的四面体框架，为不影响浑仪的正常使用，小球能在框架内自由转动，则大球半径R的最小值为 .
4．在公元前4世纪中叶，中国天文学家有一套测定天体球面坐标的仪器称作浑仪，比古希腊早了近60年.浑仪是由两个重重的同心圆环构成，整体看上去，近似一个球体.它的运行制作原理可以如下解释，同心圆环的小球半径为r，大球的半径为R，大球内安放六根等长的金属丝（不计粗细），使小球能够在金属丝框架内任意转动，若，则r的最大值为 .
5．在一个轴截面为正三角形的圆锥内放入一个与侧面及底面都相切的实心球后，再在该圆锥内的空隙处放入个小球，这些小球与实心球、圆锥的侧面以及底面都相切，则的最大值为 （取）

分类讨论三种情形，分别为正四面体内切球、内接圆柱和内接三角形三类问题均要满足题意能放入正方体进而求解即可.
（1）情形一：
∴ ∴
，∴
（2）情形二：
（3）情形三：
∵，∴
将数据抽象为变量参数，通过探究“在一个棱长为的正四面体纸盒内放置一个正方体（不作任何转动，能放进去即可），试求该正方体棱长的最大值”和“直三棱柱内置于正四面体ABCD内，且在底面BCD内，直三棱柱的高为正的最大内接正方形的边长”问题求解此类题型通解.
【探究】在一个棱长为的正四面体纸盒内放置一个正方体（不作任何转动，能放进去即可），试求该正方体棱长的最大值．
【分析】若正四面体的内置正方体的上底面与底面BCD平行，则过正方体上底面的截面必为一正三角形，问题只须考虑正三角形的最大内接正方形即可．下面来研究正三角形的最大内接正方形问题．
如图4，正三角形ABC的边长为，四边形EFGH为的内接正方形（正方形的一条边EF在BC上）
设正方形的边长为x，则在中，，得，①
如图5，若正三角形ABC的内接正方形OMPN的一个顶点为BC中点时，
在中，，
设，则由正弦定理得，可求得，②
（2）因为，所以边长为的正三角形的最大内接正方形的边长为．
【解】如图6，直三棱柱内置于正四面体ABCD内，且在底面BCD内，直三棱柱的高为正的最大内接正方形的边长，
设正的边长为，
由上述分析可得它的最大内接正方形的边长为，故直三棱柱的高也为．
过棱AB和正四面体的高作截面（如图7），
在中，．
在中，，
所以，解得，
因此内接正方体棱长的最大值为．
上述情况考虑的是内置正方体的上底面与底面BCD平行的情况，假设该正方体的上底面与底面BCD不平行（成一定倾斜角），是否能得到棱长更大的正方体呢？——不可能．
我们不妨记由图6得到的内接正方体为．
首先，正方体不可能绕着直线作细微的旋转，否则，正方体的上底面的顶点就会“捅破”正四面体的侧面；
同样，若将该正方体绕着它的中心作适当的转动，转动后正方体下底面与正四面体底面BCD成一定的角度，即正方体下底面的四个顶点中至少有一个不在面BCD上，则该正方体的上底面必然会被正四面体“卡住”．
因此，棱长为的正四面体内置正方体棱长的最大值为．
故答案为：．
6．如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为R的大球放置在底面半径和高均为R的圆柱内，球与圆柱下底面相切为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入（ ）个小球．

A．13 B．14 C．15 D．16
7．下列物体，能够被整体放入长、宽、高分别为2，1，1（单位：m）的长方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．半径为0.6m的球体
B．一组相对棱为1.4m，其余棱都为2m的四面体
C．底面半径为0.005m，高为2.5m的圆柱体
D．底面半径为0.6m，高为0.005m的圆柱体
8．已知正方体 的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点在棱，且，则（ ）
A．沿正方体的表面从点到点的最短路程为
B．当与垂直时，点的轨迹长度为
C．当时，则点的轨迹长度为
D．当在棱上时，半径为的球总能放入四棱锥内
9．如图所示，有一个棱长为4的正四面体容器，是的中点，是上的动点，则下列说法正确的是（ ）

A．直线与所成的角为
B．的周长最小值为
C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为
D．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为
10．将四个半径为的小球放入一个大球中，则这个大球半径的最小值为 ．
11．已知一个球形容器的容积为（容器壁厚度忽略不计），在球形容器内放入一个正三棱柱，则正三棱柱侧面积的最大值为 ．
12．在长方体中，，过且与直线平行的平面将长方体分成两部分，现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面变化的过程中，当两个球的半径之和达到最大时，此时较小球的表面积为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．BCD
【分析】对于A，若高为的圆锥形罩子刚能覆盖水平放置的正方体，考虑圆锥的轴截面，求出底面圆的最小半径即可判断；对于B，原问题等价于求与平面所成角的正切值，利用等体积法求高，结合勾股定理、正切定义即可验算；对于C，以矩形的中心为圆锥底面圆圆心，半径为0.5，求出圆锥的最大高度即可判断；对于D，以正方体的体对角线作为圆锥的轴，为圆锥顶点，为圆锥底面圆的直径时，圆锥的体积大于，由此即可判断.
【详解】对于A，若高为的圆锥形罩子刚能覆盖水平放置的正方体，考虑圆锥的轴截面，如图，
，因为，所以，所以，
圆锥底面圆半径最小为，A错误；
对于B，如图，以，，三条棱作为圆锥母线，底面所在平面为平面，
等价于求与平面所成角的正切值，因为，
所以，
所以点到平面的距离为，
则此圆锥的母线与底面所成角的正切值为，B正确；

对于C，如图，以矩形的中心为圆锥底面圆圆心，半径为0.5，
分别以，的中点，为两个圆锥的顶点，
每个圆锥高的最大值为，C正确；

对于D，如图，的中点作垂线，分别交，于点，，
则，
以正方体的体对角线作为圆锥的轴，为圆锥顶点，为圆锥底面圆的直径时，
该圆锥的体积为，D正确．

事实上，以正方体的体对角线作为轴，为顶点的圆锥的体积最大值，
显然底面圆心在线段上（不含点），设，
当与为的四等分点）重合时，，
因此，因为，所以，
则，
圆锥体积，在上恒成立，
所以在上单调递增，体积的最大值为, D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是以矩形的中心为圆锥底面圆圆心，半径为0.5，算出圆锥的最大高度，由此即可顺利得解.
2．BD
【分析】根据球面积公式计算球半径，由体积公式计算正四面体的棱长、圆柱的底面半径或高与边长为1的正方形的边长或内切圆直径比较进行判断．.
【详解】选项A，设球半径为，由得，A能够放入；
选项B，设正四面体棱长为，如图正四面体，是面中心，是四面体的高，，，体积为，
，
在边长为1的正方形中，如下右图，，分别在边上，，，因此，所以，是等边三角形，易得，
，
，所以，，
因此B中正四面体可以放入棱长为1的正方体中；

选项C，体积为的圆柱体，只有当底面直径不大于1m，高也不大小1m可放入棱长为1的正方体中，当高大于1m，或底面直径大于1m时，不能放入，例如当圆柱底面半径为0.1m时，高为，就不能放入．
选项D，圆锥底面直径为1.2m，高为0.8 m，如果能放到正方体中，根据对称性，把圆锥的轴放在正方体的对角线上，如图正方体中，，则，可证明平面（通过证明平面得，同理得，从而得证），因此圆锥的底面在平面或与之平行的平面内，是等边三角形，边长为，其内切圆半径为，因此题中圆锥的底面不可能在平面内，也不可能在平面与点之间，
设平面与的交点为（是底面正方形中心，），如图，是中心，由与平面可得，，因此，从而，
重新取正六边形，如图，各顶点是相应棱中点，易可证明平面平面，从而也有平面，
而正六边形的边长为，其内切圆半径为，，，，由可得是中点，而，因此题设圆锥可能放到正方体中，D能放入．

故选：BD．
3．
【分析】根据题设描述知小球与正四面体的各棱相切，大球为正四面体的外接球R最小，结合正四面体的结构特征，确定球心位置及大小球半径，根据三角形相似列方程求R最小值.
【详解】由题意，小球与正四面体的各棱相切，大球为正四面体的外接球，即可保证R最小，
如上图，设正四面体的棱长为，为△中心，故面，
又面，则，且，
又小球半径，则OF⊥AC，大球半径，，
易知：，故，即，可得.
故答案为：
4．
【分析】小球与正四面体的各条棱相切，大球为正四面体的外接球，即可保证最大，设正四面体的棱长为，为的中心，可得平面，求得，，在直角中，求得，过点作，求得，即可求解.
【详解】由题意，小球与正四面体的各条棱相切，大球为正四面体的外接球，即可保证最大，
如图所示，设正四面体的棱长为，为的中心，可得平面，
因为平面，则，且，
所以，
在直角中，，可得，
解得，
过点作，垂足为，
在直角中，可得，
即小球的最大半径为
故答案为：.
5．10
【分析】在圆锥的轴截面中求出大球、小球半径及正三角形边长的关系，然后再根据空隙处放入个小球相切的关系，利用三角函数性质求出小球最多的个数.
【详解】由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，设边长为.

设实心球半径为，由得：，
，，，.
设小球的半径为，同理，，，，
到直线的距离为.
空隙处放入个小球相邻相切，排在一起，则球心在一个半径为的圆上，如下图所示：
为相邻两球的切点，，分别为球心，
设，则，，
由三角函数性质可知：，，
，，又，，
故小球个数最多为10个,即的最大值为.
故答案为：
6．C
【分析】圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，过球心与圆柱底面圆心的平面截得该图形的平面图，利用几何关系计算即可．
【详解】过球心与圆柱底面圆圆心的平面截该几何体的平面图，如图所示，
设球的半径，实心小球的半径，
由题意可得，，
，
小球的球心在以为圆心，为半径的圆上，，周长为，
，即，
故该工艺品最多放15个小球．
故选：C．
7．BD
【分析】比较球的直径和长方体棱长的大小关系，判断A；比较四面体的棱长和长方体的对角线的大小关系，判断B；比较圆柱的高和长方体体对角线的大小关系，可判断C；先考虑底面半径为0.6m，高为0.005m的圆柱体，能否被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器内，借助于截面图，利用相关计算判断D.
【详解】对于A，半径为0.6m的球体的直径为，故不能整体放入长、宽、高分别为2，1，1（单位：m）的长方体容器内，A错误；
对于B，由于在棱长分别的长方体中，如图，
设底面为边长为1m的正方形，高为2m，则(m)(m)，，

故一组相对棱为1.4m，其余棱都为2m的四面体，
可被整体放入长、宽、高分别为2，1，1(单位：m)的长方体容器内，B正确；
对于C，由于长、宽、高分别为2，1，1(单位：m)的长方体的体对角线长为(m),
而，故底面半径为0.005m，高为2.5m的圆柱体，
不可被整体放入长、宽、高分别为2，1，1(单位：m)的长方体容器内，C错误；
对于D，先考虑底面半径为0.6m，高为0.005m的圆柱体
能否被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器内；
由于，故正方体的底面不能包含圆柱的底面，
如图，作出正方体的对角面截图，过的中点O作，交于E，

则，
则，即，
由于，即，
即以为对称轴可能对称放置底面为1.2m的圆柱；
若底面为1.2m的圆柱与正方体上下底面均相切，设圆柱底面圆心为，与下底面切点为M，
可知，则，
即，
结合对称性可得圆柱的高为，
故底面半径为0.6m，高为0.005m的圆柱体，
可被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器内，
即可被整体放入长、宽、高分别为2，1，1(单位：m)的长方体容器内，D正确，
故选：BD
【点睛】关键点点睛：多面体以及旋转体的放置问题，实际上是考查几何体的结构特征以及相关计算，难点在于D的判断，解答时要借助于截面图，发挥空间想象，看如何正确放置圆柱于长方体中，结合相关计算求解判断.
8．BCD
【分析】A选项，当平面沿转动，与平面为同一平面时，点到点的路程，A错误；B选项，建立空间直角坐标系，设，根据垂直得到方程，得到轨迹，求出轨迹长度；C选项，求出点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆在正方形内的圆弧，求出轨迹长度；D选项，求出四棱锥的内切球半径，结合得到答案.
【详解】A选项，当平面沿转动，与平面为同一平面时，此时，故A错误；
B选项，如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，，，，，则，，
当时，，即，
点是侧面上的一个动点（含边界），
如图，当时，，即，当时，，即,
所以点轨迹为线段，，故B正确；
C选项，，即，
即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆在正方形内的圆弧，
如图设圆弧与交于，，所以，则，
则弧长为，故C正确；

D.选项，当在棱上时，点到平面的距离为，
故，
其中矩形的面积为，，
设，取的中点，连接，

因为，故⊥，⊥，
又，
故，，
故，
，
设四棱锥的内切球半径为，
故，
即，
所以，
如图所示，，⊥，⊥，

设，则，则，
连接与相交于点，即当重合或重合时，取得最大值，
最大值为，
故，
因为，所以，
故半径为的球总能放入四棱锥内，D正确.
故选：BCD
【点睛】立体几何中最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值.
9．ACD
【分析】A选项，作出辅助线，由三线合一得到线线垂直，进而得到线面垂直，进而得到线线垂直，求出答案；B选项，把沿着展开与平面同一平面内，由余弦定理求出的最小值，得到周长的最小值；C选项，求出正四面体的内切球即为小球半径的最大值；D选项，当四个小球相切且与大正四面体相切时，小球半径最大，连接四个小球的球心，构成正四面体，设出半径，结合C选项中结论得到方程，求出小球半径的最大值.
【详解】A选项，连接，由于为的中点，

所以⊥，⊥，
又，平面，
所以直线⊥平面，又平面，
所以⊥，故A正确；
B选项，把沿着展开与平面同一个平面内，连接交于点，
则的最小值即为的长，
由于，，
，
，
所以，
故，的周长最小值为，B错误；
C选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，
设球心为，取的中点，连接，过点作垂直于于点，
则为的中心，点在上，过点作⊥于点，
因为，所以，同理，
则，
故，
设，故，
因为∽，所以，即，
解得，C正确；

D选项，4个小球分两层（1个，3个）放进去，要使小球半径要最大，则4个小球外切，且小球与三个平面相切，
设小球半径为，四个小球球心连线是棱长为的正四面体，
由C选项可知，其高为，
由C选项可知，是正四面体的高，过点且与平面交于，与平面交于，
则，，
由C选项可知，正四面体内切球的半径是高的得，如图正四面体中，，，
正四面体高为，解得，D正确.

故选：ACD
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径
10．##
【分析】大球的半径是棱长为4的正四面体的外接球半径加小球半径2，求出棱长为4的正四面体的外接球半径，从而得解.
【详解】当大球半径最小时，四个小球两两外切并均与大球内切，
大球的半径是棱长为4的正四面体的外接球半径加小球半径2，如图所示，

把棱长为4的正四面体扩成棱长为的正方体，其中正四面体的棱为正方体各面的对角线，如图所示，

则正四面体的外接球也是正方体的外接球，外接球半径为，
所以这时大球的半径为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
11．
【分析】根据题意，求得球形容器的半径，设正三棱柱的底面边长为，高为，结合题意得到当正三棱柱的所有顶点都在球形容器壁上时，正三棱柱的侧面积才可能取到最大值，利用球的截面圆的性质，的，结合基本不等式，求得，即可求解.
【详解】设球形容器的半径为，则，得，
设正三棱柱的底面边长为，高为，
则正三棱柱的底面外接圆的半径，
当正三棱柱的所有顶点都在球形容器壁上时，正三棱柱的侧面积才可能取到最大值，
此时，当且仅当时取等号．
所以，即，所以正三棱柱侧面积的最大值为．
故答案为：.
12．##
【分析】用的三角函数将两圆的半径分别表示出来，构造新函数，通过函数单调性求得问题的最值，即可求出取得最值时的值，进而求出，再由球的表面积公式求解即可.
【详解】如图所示：平面将长方体分成两部分，有可能在平面上或平面上，根据对称性知，两球半径和的最大值是相同的，故仅考虑在平面上的情况，延长与交于点，作于点，

设，圆对应的半径为，根据三角形内切圆的性质，
在中，，，，
则，又当与重合时，取得最大值，
由内切圆等面积法求得，则
设圆对应的半径为，同理可得，
又，解得.
故，，
设，则，，
由对勾函数性质易知，函数单减，
所以当时，取得最大值，即两个球的半径之和达到最大，
此时，则，则，
，且，则小球的表面积为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：借助三角函数表示边长，从而把问题转化为函数问题，借助单调性解决最值问题，从而求出较小球的表面积.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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