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第04讲 整式的除法运算
【题型1 幂的除法运算】
【题型2 零指数幂】
【题型3 负整数幂】
【题型4 单项式除单项式】
【题型5 多项式除单项式】
【题型6 整式的混合运算】
【题型7 整式化简求值】
考点1：幂的除法运算
口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减．
am÷an=a（m-n）（a≠0，m，n均为正整数，并且m>n）
考点2：零指数
a0=1 （a≠0）
考点3：负整数幂
当n 是正整数时，（，n是正整数）
【题型1 幂的除法运算】
【典例1】（2023 天津一模）
1．计算的结果等于 ．
【变式1-1】（2022 福建模拟）
2．计算： ．
【变式1-2】（2022 碑林区校级开学）
3．若，则 ．
【变式1-3】
4．计算： ， ．
【典例2】（2023春 酒泉期末）
5．若，，则的值为 ．
【变式2-1】（2023春 灌南县期末）
6．若，则代数式的值为 ．
【变式2-2】（2023春 广平县期末）
7．已知，，则 ， ．
【变式2-3】（2023春 宁国市期中）
8．若，，则的值为 ．
【题型2零指数幂】
【典例3】（2023 南浔区二模）
9．计算：．
【变式3-1】（2023春 迁安市期中）
10．计算的结果是（ ）
A． B．1 C．0 D．2
【变式3-2】（2023春 萧县校级期中）
11．若成立，则x的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023春 金寨县期末）
12．计算：．
【题型3 负整数幂】
【典例4】
13．计算的结果是（ ）
A．8 B．0.8 C． D．
【变式4-1】
14．计算： ．
【变式4-2】
15．计算： ．
【变式4-3】
16．计算：
考点4：单项式的除法
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
考点5：多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
【题型4单项式除法运算】
【典例5】（2023 青岛）
17．计算： ．
【变式5-1】（2022秋 柳州期末）
18．计算 ．
【变式5-2】（2023春 威宁县期末）
19．计算： ．
【变式5-3】（2023秋 鲤城区校级月考）
20．计算：6a2b÷2ab= ．
【题型5多项式除法运算】
【典例6】（2023 丰城市校级开学）
21．计算：．
【变式6-1】（2023春 济南期中）
22．计算：．
【变式6-2】（2023春 莲湖区期中）
23．计算：．
【变式6-3】（2023春 西安月考）
24．计算：．
【题型6 整式的混合运算】
【典例7】（2023秋 重庆期末）
25．计算：
(1)；
(2)．
【变式7-1】（2023秋 唐山期末）
26．（1）
（2）
【变式7-2】（2023秋 望城区期末）
27．计算
(1)；
(2)；
(3)．
【变式7-3】（2023秋 大连期末）
28．（1）；
（2）．
【题型7 整式化简求值】
【典例8】（2023秋 衡阳期末）
29．先化简，再求值：．其中，．
【变式8-1】（2023秋 澄海区期末）
30．先化简，再求值：，其中，．
【变式8-2】（2023秋 东辽县期末）
31．先化简，再求值： 其中.
【变式8-3】（2023秋 泉州期末）
32．先化简，再求值：，其中，．
【变式8-4】（2023秋 通榆县期末）
33．先化简，再求值：（2x+y）2﹣（y﹣2x）2，其中．
一．选择题（共7小题）
（2023秋 潼关县期末）
34．计算（25x2+15x3y﹣5x）÷5x=（ ）
A．5x+3x2y﹣1 B．5x+3x2y+1 C．5x+3x2y D．5x+3x2﹣1
（2023秋 永善县期末）
35．已知，，则的值为(　　)
A． B． C． D．1
（2023秋 南昌期末）
36．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023秋 同安区期末）
37．计算：（ ）
A． B．2024 C． D．
（2023秋 潮南区期末）
38．下列各式中，计算结果是的是（　　）
A． B． C． D．
（2023秋 关岭县期末）
39．计算：（ ）
A．0 B．1 C． D．9
（2023秋 偃师区期末）
40．有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为，则宽为（ ）
A． B．1 C． D．
二．填空题（共6小题）
（2023秋 宜州区期末）
41．计算：8a3÷（﹣2a）＝ ．
（2023 路桥区二模）
42．已知，代数式的值为 ．
（2023秋 临颍县期末）
43．计算： = ．
（2023秋 玉山县期末）
44．已知那么 .
（2022秋 无棣县期末）
45．已知多项式除以多项式得商式为，余式为，则多项式为 ．
（2022秋 集贤县期末）
46．如果用★表示一种新的运算符号，而且规定有如下的运算法则： ，则 ．
三．解答题（共4小题）
（2023秋 汉阳区校级期末）
47．计算：．
（2023秋 白河县期末）
48．计算：．
（2023秋 宜都市期末）
49．计算：
(1)；
(2)．
（2023秋 楚雄州期末）
50．先化简，再求值：，其中，．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【分析】根据同底数幂的除法运算法则求解即可.
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查同底数幂的除法，解答的关键是熟知同底数幂的除法运算法则．
2．1．
【分析】利用同底数幂的除法计算即可．
【详解】解：，
故答案是：1．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟悉相关性质是解题的关键．
3．8
【分析】根据，得，再根据同底数幂的除法得，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，掌握法则是关键．
4．
【分析】本题考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法定义是解题的关键．根据同底数幂的除法定义进行解题即可．
【详解】解：，
．
故答案为：，．
5．
【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，代数式求值，由可得，进而得到，代入已知计算即可求解，掌握同底数幂除法和幂的乘方的逆运算是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴
，
，
，
，
，
故答案为：．
6．
【分析】先逆用同底数幂的除法，再逆用幂的乘方计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7．
【分析】根据同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方等运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
，
故答案为：；．
【点睛】此题考查了同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方等运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8．
【分析】根据幂的乘方及同底数幂的除法的逆用可进行求解．
【详解】解：∵，，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查幂的乘方及同底数幂的除法的逆用，熟练掌握各个运算是解题的关键．
9．
【分析】先算除法，绝对值，零指数幂，最后相加减即可． 零指数幂公式：．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查有理数的除法，绝对值，零指数幂公式等知识，难度不大，掌握相关公式和法则是解题的关键．
10．B
【分析】根据零指数幂计算，即可求解．
【详解】解：．
故选：B
【点睛】本题主要考查了零指数幂，熟练掌握是解题的关键．
11．D
【分析】由 可得，从而可得答案．
【详解】解：
故选：D．
【点睛】本题考查零次幂的含义，掌握零指数幂底数不等于0，是解题的关键．
12．
【分析】本题考查零次幂、有理数的混合运算，先计算零次幂、乘方，再计算乘法，最后计算加减．
【详解】解：
．
13．D
【分析】
此题主要考查了负整数指数幂，正确掌握运算法则是解题关键．
直接利用负整数指数幂的运算法则进行计算得出答案．
【详解】解：．
故选：D．
14．##
【分析】本题考查零次幂，负整数指数幂．根据零次幂，负整数指数幂分别计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：
15．
【分析】先将负整数指数幂转化为正整数指数幂，负整数指数幂等于正整数指数幂的倒数，再根据立方解题．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查负整数指数幂、立方等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
16．6
【分析】本题考查了负整数指数幂，绝对值，有理数的加减混合运算，有理数的乘方，零指数幂，先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：原式
17．
【分析】利用积的乘方及单项式除以单项式的法则进行计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．
【分析】根据单项式除以单项式的法则进行运算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了单项式除以单项式的运算法则，熟记对应法则是解题的关键．
19．
【分析】根据整式除法法则计算即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20．3a
【分析】直接利用整式除法运算法则计算得出答案．
【详解】6a2b÷2ab=3a．
故答案为3a．
【点睛】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
21．4a2-2a+1.
【分析】根据多项式除以单项式的法则，分别算出括号内每一项除以3a的值，再将这些值相加即可.
【详解】
．
【点睛】本题主要考查多项式除以单项式，解题关键是熟练掌握运算法则，即先用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，直接计算即可.
22．
【分析】利用多项式除以单项式法则计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了多项式除法法则的应用，准确的计算是解题关键．
23．
【分析】根据多项式除以单项式法则直接求解即可得到答案；
【详解】解：原式
；
【点睛】本题考查多项式除以单项式的法则，解题的关键是熟练掌握单项式与单项式的除法法则：系数相除作系数，字母根据同底数幂相除底数不变，指数相减．
24．
【分析】根据整式的混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
25．(1)
(2)
【分析】（）根据整式的运算法则和乘法公式进行计算即可得到结果；
（）据整式的运算法则进行计算即可得到结果；
本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：（）原式，
；
（2）解：原式，
，
．
26．（1）；（2）
【分析】本题考查了整式的运算；
（1）先根据同底数幂的乘法、积的乘方就、幂的乘方法则计算，再合并同类项即可；
（2）先根据乘法公式计算，再去括号并同类项即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
27．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查整式的混合运算，
（1）根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法计算，再合并同类项即可．
（2）根据整式的除法计算即可．
（3）根据平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）
．
（3）
．
28．（1）；（2）
【分析】本题考查了多项式乘多项式以及乘法公式：平方差公式，完全平方公式等，
（1）运用多项式乘多项式的法则进行去括号化简，即可作答．
（2）运用平方差公式，完全平方公式展开，再合并同类项，即可作答．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式
29．，
【分析】本题考查的是乘法公式的应用，整式的混合运算，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键，先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式，再把，代入计算即可．
【详解】解：
；
当，时，
原式．
30．，
【分析】
本题考查代数式化简求值，涉及多项式除以单项式、完全平方差公式、整式加减运算等知识，先利用多项式除以单项式、完全平方差公式展开，再合并同类项化简，代值求解即可得到答案．
【详解】解：
，
当，时，原式．
31．4
【分析】先化简，再将a、b的值代入计算即可．
【详解】解：原式
；
，
．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的运算是解题的关键．
32．；3
【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．
【详解】解：原式
．
当，时，
原式
．
33．8xy，
【分析】直接利用完全平方公式化简进而合并同类项，再把已知数据代入计算即可．
【详解】解：（2x+y）2﹣（y﹣2x）2，
＝4x2+4xy+y2﹣（y2+4x2﹣4xy），
＝4x2+4xy+y2﹣y2﹣4x2+4xy，
＝8xy，
当时，
原式＝8××（），
＝﹣．
【点睛】本题主要考查了用完全平方公式化简求值，熟记公式的几个变形公式是解题关键．
34．A
【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算可得．
【详解】解：（25x2+15x3y-5x）÷5x
=5x+3x2y-1．
故选A．
【点睛】本题考查了整式的除法，解题的关键是熟练掌握多项式除以单项式的运算法则．
35．B
【分析】逆用幂的乘方和同底数幂的除法法则运算即可.
【详解】解：
故选:B
【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的除法法则.灵活逆用运算法则是解题关键.
36．D
【分析】根据整式的加法及除法、同底数幂的乘法、积的幂方逐项判断即可.
【详解】A、，此项错误
B、，此项错误
C、，此项错误
D、为分母
，此项正确
故选：D.
【点睛】本题考查了整式的加法及除法、同底数幂的乘法、积的幂方，熟记各运算法则是解题关键.
37．D
【分析】本题主要考查负指数幂，熟练掌握负指数幂是解题的关键；因此此题可根据负指数幂进行求解．
【详解】解：；
故选D．
38．D
【分析】本题考查幂的有关运算，根据合并同类项，同底数幂相除，同底数幂相乘，积的乘方等法则分别计算即可解答．
【详解】A选项：和不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B选项：，故本选项不符合题意；
C选项：，故本选项不符合题意；
D选项：，故本选项符合题意．
故选：D
39．B
【分析】本题考查了零次幂，根据零次幂的运算法则即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：，
故选：B．
40．C
【分析】用长方形的面积除以长可得.
【详解】宽为:=
故选：C
【点睛】考核知识点：整式除法与面积.掌握整式除法法则是关键.
41．﹣4a2
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】解：8a3÷（﹣2a）＝﹣4a2，
故答案为：﹣4a2．
【点睛】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
42．
【分析】本题考查求代数式的值，先对进行化简，把变形为，然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
∵，
∴，
∴原式，
，
故答案为：．
43．3
【分析】利用零指数幂和负整数指数幂进行求解即可．
【详解】解：原式=1+2=3
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查零指数幂和负整数指数幂的运算，熟练掌握这两种计算是解决本题的关键．
44．9
【分析】根据同底数幂除法法则进行计算即可.
【详解】∵a-b=2，
∴3a÷3b=3a-b=32=9，
故答案为9.
【点睛】本题考查了同底数幂除法的应用，熟练掌握同底数幂除法的运算法则是解题的关键.
45．
【分析】根据被除式减去余式，然后除以商式，就可以得到除式，列出式子，进行计算即可求解．
【详解】解：由题意可得：
=
=
=
故答案为：.
【点睛】本题考查被除式，除式，商式及余是的关系，同时也考查整式加减运算和多项式除以单项式的运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是本题的解题关键.
46．
【分析】根据，可以求得所求式子的值．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
47．
【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘除．根据幂的乘方，同底数幂的乘除法法则计算即可求解．
【详解】解：
．
48．
【分析】本题考查了负整数指数幂和零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据负整数指数幂和零指数幂的法则解答即可．
【详解】解：
49．(1)
(2)
【分析】（1）先计算积的乘方，再根据多项式除以单项式的计算法则求解即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了整式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
50．，．
【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值．先去小括号，再去中括号，然后合并同类项，最后把，的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：
，
当，时，原式．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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