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2023—2024学年第二学期第二次模拟考试
初四数学试题
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．在下列实数中，无理数是（ ）
A．0.3 B． C．0 D．-1
2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．代数式有意义的条件是（　　）
A． B． C．且 D．
5．如图，直线ab，将三角尺直角顶点放在直线b上，若∠1＝50°，则∠2的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
6．为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如图，则在这组数据中，这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是( )
A．8，9 B．8，8.5 C．16，8.5 D．16，14
7．下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图为某几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）

A． B． C． D．
9．如图，在边长为1的小正方形网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，，相交于点，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
10．瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，，，……中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，按此规律第10个数据是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共70分）
二、填空题（每题3分，共15分）
11．若，则的值为 .
12．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为4，则底边的长为 ．
13．如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB＝3米，AC＝10米，则旗杆CD的高度是 米．
14．关于的方程组的解满足，则的值是 ．
15．如图，在四边形中，，，，，点在线段上运动，点在线段上，，则线段的最小值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16．计算：
．
17．“强国必须强语，强语助力强国，”为全面落实国家语言文字方针政策，弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织学生参加了“推广普通话，奋进新征程”为主题的朗诵比赛，该校随机抽取部分学生比赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A(优秀)，B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：

(1)这次调查活动共抽取 人：
(2)“C”等所在扇形的圆心角的度数为 度；
(3)请将条形统计图补充完整（要求在条形图上方表明人数）；
(4)学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生做“推广普通话宣传员”，请用列表或画树状图法，求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率．
18．如图，是的直径，是的切线，交于点．
(1)如图1，作的角平分线，交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．
(2)如图2，在（1）的条件下，若，求阴影部分的面积．
19．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若，根据图像直接写出当时的取值范围；
(3)点在线段上，过点作轴的垂线，交函数的图像于点，若的面积为1，求点的坐标．
20．某商店准备购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球的进价比一个乙款篮球的进价多30元．
(1)若商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．求每个甲款篮球，每个乙款篮球的进价分别为多少元？
(2)若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，商店销售乙款篮球每个获利为20元，购进甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？
21．（1）问题背景：在等腰三角形中，斜边等于直角边的倍，如图1，，，，则与之间的数量关系为________；
（2）尝试应用：如图2，为正方形外一点，，过点作，垂足为，连接，若，求的值；
（3）拓展创新：如图3，四边形是正方形，点是线段上一点，以为对角线作正方形，连接，．当，时，则正方形的面积为________．
22．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，，顶点为，对称轴交轴于点．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)如图2，点为抛物线对称轴上一动点，当在什么位置时最小，求出点的坐标，并求出此时的周长；
(3)如图3，在对称轴左侧的抛物线上有一点，在对称轴右侧的抛物线上有一点，满足．求证：直线恒过定点，并求出定点坐标．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据无理数和实数的定义逐项判断即得答案．
【解答】解：A、0.3是有理数，故本选项不符合题意；
B、是无理数，故本选项符合题意；
C、0是有理数，故本选项不符合题意；
D、﹣1是有理数，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查了实数和无理数的定义，属于应知应会题目，熟知无限不循环小数是无理数是关键．
2．D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
【点拨】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
3．C
【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法运算和除法运算、积的乘方运算．根据合并同类项、同底数幂的乘法运算和除法运算、积的乘方运算逐项分析，即可求解．
【解答】解：，故A选项不符合题意；
，故B选项不符合题意；
，故C选项符合题意；
，故D选项不符合题意．
故选：C．
4．C
【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数；分式有意义：分母不为0直接求解即可．
【解答】解：由题意得，且，
即且．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次根式及分式有意义的条件，二次根式有意义：被开方数为非负数；分式有意义：分母不为0．
5．C
【分析】根据题意易得∠1+∠3=90°，然后根据平行线的性质可求解．
【解答】解：如图，
由题意得：∠3=180°-90°-∠1=40°，
∵ab，
∴∠2=∠3＝40°，
故选C．
【点拨】本题主要考查平行线的性质及平角的意义，熟练掌握平行线的性质及平角的意义是解题的关键．
6．A
【分析】根据众数的定义（众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据）和中位数的定义（将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数）分别求出众数和中位数即可得．
【解答】解：∵睡眠8小时出现的次数最多，为16次，
∴众数是8，
∵被调查的学生人数为3+16+14+7=40（人），
∴总共有40个数据，
将这些数据按从小到大进行排序后，
第20个数和第21个数据分别为9，9，
则中位数是9，
故选：A．
【点拨】本题考查了众数和中位数，熟记定义是解题关键．
7．D
【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
【解答】解：A、是多项式乘多项式的整式乘法，不是因式分解，故A错误；
B、没把一个多项式转化成几个整式积，不是因式分解，故B错误；
C、属于整式乘法运算，不是因式分解，故C错误；
D、把一个多项式转化成几个整式积，属于因式分解，故D正确；
故选：D．
8．C
【分析】根据三视图有圆，有三角形，由此可判断该几何体是圆锥；从图可看出该圆锥的底面圆的直径为12，圆锥的高为8，然后问题可求解．
【解答】解：由图可知：该几何体为圆锥，且该圆锥的底面圆的直径为12，圆锥的高为8，则该圆锥的母线长为，所以该几何体的侧面积为；
故选C．
【点拨】本题主要考查三视图及圆锥的侧面积，熟练掌握三视图及圆锥的侧面积公式是解题的关键．
9．B
【分析】本题考查了解直角三角形，连接．根据格点先求出，再利用正方形对角线的性质判断与关系、的形状，最后求出的余弦值．
【解答】解：如图，连接．则，．
都是正方形的对角线，
．
∴，．
，是直角三角形．
．
故选：B．
10．C
【分析】本题考查数字类规律探究，从已有数据可以得到，奇数位置的数为负，偶数位置的数为正，绝对值的分子位置为，分母位置为，进而求出第10个数据即可．
【解答】解：由已有数据可知：奇数位置的数为负，偶数位置的数为正，
每个位置的数的绝对值分别为：
，，， ，
∴第个数的绝对值的分子位置为，分母位置为，
∴第10个数据为正，绝对值为；
故选C．
11．
【分析】此题考查分式的求值，比的性质，根据等式得到，代入化简即可，正确掌握比的性质是解题的关键．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论：①腰是底的2倍；②底是腰的2倍，再利用三角形三边关系进行检验即可得到答案，利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题关键．
【解答】解：当腰是底的2倍时，底边为，则，可以构成三角形；
当底是腰的2倍时，底边为，则，不能构成三角形；
故答案为：．
13．6
【分析】由题意得，则△ABE∽△ACD，根据相似三角形的性质得，即可得．
【解答】解：如图：
∵BE⊥AC，CD⊥AC，
∴，
∴△ABE∽△ACD，
∴，
∴，
解得：CD＝6．
故答案为：6．
【点拨】本题考查了相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
14．
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，首先解方程组得，再根据得，据此即可求出的值，熟练掌握解二元一次方程组的方法与技巧是解决问题的关键．
【解答】解：，
解得，
∵，
∴，解得，
故答案为：．
15．8
【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论、勾股定理、三角形内角和定理等知识，根据题意分析得到点的运动轨迹是解题的关键．设的中点为，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点在以为直径的半圆上运动，当点运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可．
【解答】解：设的中点为，以为直径画圆，连接，如下图，
设与的交点为点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在以为直径的半圆上运动，
∴当点运动到与的交点时，线段有最小值，
∵，，
∴，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：8．
16．
【分析】原式利用二次根式性质，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：
【点拨】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．(1)50
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】（1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数；
（2）用成绩为C等级的人数所占百分比乘以即可求出C等级所在扇形圆心角的度数；
（3）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；
（4）根据题意画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联、树状图或列表法求概率等知识，根据题意正确计算是解题的关键．
【解答】（1）解：（人），
∴这次调查活动共抽取50人，
故答案为：50；
（2）解：“”等所在扇形的圆心角的度数为，
故答案为：；
（3）解：A等级的人数为：（人），
补全条形统计图，如图所示：

（4）解：画树状图如下：

由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中抽出的两名学生恰好是甲和乙的结果数有2种，
∴抽出的两名学生恰好是甲和乙的的概率为．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，求不规则图形面积，角平分线的性质和尺规作图：
（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）过点D作于H，由切线的性质和角平分线的性质得到，进而解直角三角形得到，则，解直角三角形求出，再根据进行求解即可．
【解答】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，过点D作于H，
∵是的切线，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
，
，，
∴．
19．(1)
(2)
(3)点的坐标为或
【分析】（1）首先确定点坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数解析式即可；
（2）首先确定点坐标，然后结合图像即可确定答案；
（3）设，则，易得，结合的面积为1，可得关于的一元二次方程并求解，即可获得答案．
【解答】（1）解：∵一次函数的图像过点，
∴，
∴点，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）由，解得或，
∴，
∴若，当时的取值范围是；
（3）如下图，
设，则，
∴，
∵的面积为1，
∴，即，
整理得，
解得或3，
∴点的坐标为或．
【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题、待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数综合应用、解一元二次方程等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．
20．(1)每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元
(2)购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用．
（1）设每个乙款篮球的进价为x元，则每个甲款篮球的进价为元，根据商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．列出分式方程，解方程即可；
（2）设该商店本次购进甲款篮球m个，则购进乙款篮球个，根据乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量，列出关于m的一元一次不等式组，解之求出m的取值范围，再设商店共获利w元，利用总利润=每个的利润×销售数量（购进数量），得出w关于m的函数关系式，然后利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】（1）解：设每个乙款篮球的进价为x元，则每个甲款篮球的进价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元；
（2）解：设该商店本次购进甲款篮球m个，则购进乙款篮球 个，
根据题意得：，
解得：，
设商店共获利w元，则，即，
，
∴w随m的增大而增大，且，
∴当时，w取得最大值，
答：购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大．
21．（1）；（2）2；（3）9
【分析】（1）根据题意可得，，易得，证明，由相似三角形的性质求解即可；
（2）连接，证明，由相似三角形的性质可得，即可获得答案；
（3）连接，过点作于点M，结合正方形的性质证明，由相似三角形的性质可得，，进而可得，设，则，，根据，可得关于的一元二次方程并求解，可得，进而可得，即可求得正方形的面积．
【解答】解：（1），理由如下：
∵，，，
∴，且，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）如下图，连接，
∵，，
∴，
在正方形中，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如下图，连接，过点作于点M，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
解得：（舍去），，
∴，
∴，
∴正方形的面积为9．
故答案为：9．
【点拨】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握正方形以及相似三角形的性质．
22．(1)，
(2)，的周长为
(3)证明见解析，定点
【分析】（1）首先求得点的坐标，点的坐标，利用待定系数法求解，再配成顶点式，即可获得答案；
（2）先求得直线的解析式，再求直线与对称轴交点，将转化为，然后求得、的值，即可求解；
（3）过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，设，，证明，求得，再利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可．
【解答】（1）解：∵，
∴，，
将，代入，
可得，解得，
∴抛物线解析式为；
∵，
∴顶点；
（2）解：连接交对称轴于点，如下图，
∵、点关于对称轴对称，
∴，
∴，当时，有最小值，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
将代入直线，可得
∴，
当时，解得或，
∴，
∴，，
∴的周长；
（3）证明：设直线的解析式为，，，
当时，，，
过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得，，
∴，
∴，
∴直线经过定点．
【点拨】本题是二次函数的综合运用题，主要考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定和性质、二次函数的综合应用、勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质、轴对称的性质，添加适当的辅助线是解题的关键．

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