资源简介

2024年大连市高三适应性测试
参考答案与评分标准
数学
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比
照评分标准制订相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视
影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较
严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
第Ⅰ卷
一.单项选择题
1．B；2．C；3．A；4．D；5．D；6．A；7.A；8．D．
二.多项选择题
9．A，C，D；10．A，B，D；11．A，B，D.
第Ⅱ卷
三.填空题:（本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）
12．0 13．0.35 14．46
四.解答题：(本大题共 5小题,共 77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.解：（I）由 2bsin A a结合正弦定理
可知： 2sin AsinB sin A， A (0, )， sin A 0， sin B 1 ，…………………3分
2
B 5 故 或 ，……………………………………………………………………5分
6 6

又因为 ABC是锐角三角形，故 B .……………………………………………6 分
6
B （II）已知 ，
6
所以 cosA cosB cosC 5 3 cosA cos( A) sin(A ) 3 ，…………………9分
6 2 3 2

0 A
因为 ABC 为锐角三角形，故 2 A ，………………………11分
0 C 5 3 2 A 6 2
2 A 5 1则 ， sin(A 3 ) ，……………………………………………………12分
3 3 6 2 3 2

cos A cosB cosC 1 3

故 ，3

.…………………………………………………………13分
2
1 / 6
16. 解：（I）根据表格数据可以看出，30 天里，有 7 个 0，也就是有 7 天是不变的，
7
根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为 ；…………………………………4分
30
1
（II）在这 30 天里，有 10 天上涨，所以上涨概率是 ，…………………………………………6分
3
k 3 k
X ~ B 3, 1 P(X k) C k 1 2 故 ，从而 3 , k 0,1,2, 3．………………………8分 3 3 3
所以，随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3
8 4 2 1
P
27 9 9 27
随机变量 X 的数学期望E(X ) 1 3 1．………………………………………………………12分
3
（III）由于第 30 天处于上涨状态，从前 29 次的 9 次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有 2 次，不
变的有 4 次，下跌的有 3 次，因此估计第 31 次不变的概率最大.……………………………………15分
17.（I）证明：连接 AC，显然 AC和 BD相交于点 F .……………………………………………1 分
在 SAC中， E，F 分别为 SC，AC中点，
所以 EF // SA，SA 平面SAB，EF 平面SAB，…………………………………………………5分
则 EF //平面SAB………………………………………………………………………………………6分
（II）取 AB中点O，则 SO AB，又SC CD，CD // AB，则SC AB，SO SC S，
则 AB 平面 SOC，可得 SOC就是二面角 S AB D的平面角，…………………………………8分
所以 SOC 120o，AB CO， ABC为正三角形. z z
过O作平面 ABCD的垂线OM ，
以O为原点，OB，OC，OM 的方向分别为 x轴， y轴， z轴
正方向建立空间直角坐标系，
则 B(1,0,0)，A( 1,0,0)，C(0, 3,0)，D( 2, 3,0)，S(0, 3 3 , )，………………O …11分2 2
E(0, 3 , 3) BD ( 3, 3,0) BE ( 1, 3 , 3 y则 ， ， )
4 4 4 4 x
进而得到平面 BDE的一个法向量为n (3,3 3 ,1)， AD ( 1, 3,0)，…………………13分
直线 AD与平面 BED成角的正弦值

sin cos AD,n AD n 6 3 37 ……………………………………………15分
AD n 2 37 37
18.（本小题满分 17分）
1
解: （I）因为a b，a (x 1, y)，b (x 1, y)
4
2
所以 (x 1, 1 y)(x 1, y) 0 y ，即 x2 1. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ………………………………………………………4分
4 4
2 / 6
(II)由题意知点 A,B关于原点对称，设 A x1, y1 ，C x2 , y2 则 B x1, y1 ，
y21 x2 1 1 4 y2 y2
则 ，两式作差得： 2 1
y2
x22 x21 0．
2
x
2
2 1
4
4
y2 y1 y2 y
即 1 4．…………………………………………………………………6分
x2 x1 x2 x1
y2 y1 y k k 2 y1 又 AC x x ， BC ，2 1 x2 x1
4
kAC kBC 4，则 kAC k ．……………………………………………………………8分BC
x y1 y1 4y1
又 AH 2HD , D
1 , y kBC ，
2 1
x
1 x x 12 1
k x yAC 1 1y ，
kAB
1 x
， AB AC．…………………………………………………10分
1
y y x x 2 y 2
（III）直线 AC的方程为 x 1 y y1 x1 1 1 1 ，x1 x1 x1
y x x2 y2
将直线 AB的方程代入椭圆 E的方程， y2 4( 1 1 1 )2 4 0x1 x1
整理得： 4y2 x2 y2 8y x2 y2 y 4 2x2 y2 4x21 1 1 1 1 1 1 1 0 ，
8y x21 1 y2 y1 y2 1 ，…………………………………………………………………12分4y21 x21
1 1 3 | y1 | 6x1y1 x21 y21 S AA B AD y2 y y y ，1 2 1 2 2 1 2 4y21 x21
x1 y1
y2 24x1y1 x2 24 1 y2 1 x2 1 S 1 y1 x ， 1
4 1 ABc
2 2 ．…………………14分 4x2 y2 x2 4y21 1 1 1 4 x1 y2 4 12 17y1 x1
y1 x
令 1 tx y ，则 t 2，（当且仅当
x1 y1时等号成立）．
1 1
3 / 6
S 24t 24 ABC 4t 2 9 4t 9 ．
t
9函数 y 4t 在 2, 上单调递增，…………………………………………………16分
t
当 t 2时， y 4t 9
25
取得最小值 ，
t 2
2 48
故 ABC面积的最大值为 24 ．………………………………………………………17分
25 25

19. 解：（I）由题知 x1, x2 0, ，且 x1 x2 ，不妨设0 x2 x1 2 2 ，
设函数 h(x) g(x) f (x) x sin x，有h (x) 1 cos x 0，

所以函数h(x) x sin x在 0, 是增函数，…………………………………………………2分 2
所以h(x1) h(x2 )，即 g(x2 ) f (x2 ) g(x1) f (x1) ，
所以有 f (x1) f (x2 ) g(x1) g(x2 )，

因为 f (x) sin x 与 g(x) x在 0, 上都是增函数， 2
所以有 f (x1) f (x2 ) 0，g(x1) g(x2 ) 0，且 f (x1) f (x2 ) g(x1) g(x2 ) ，
所以函数 f (x) sin x, x [0, ]与 g(x) x “具有性质H (1) ”……………………………4分
2
1 x
（II）由函数 f x x 2 1,x [0, )与 g x e x “具有性质H (t) ”，
2
得 f x1 f x2 t g x1 g x2 ， x1, x2 [0, ）且 x1 x2 ，
因为 g x ex 1， x [0, ），所以 g x 0，
因为 g x ex x在[0, ）上是增函数，又 f x 1 x2 1在[0, ）上是增函数，不妨设0 x x ，
2 2 1
所以 （f x1） （f x2） t g（x1） （g x2） ，所以必有 tg（x2） （f x2） tg（x1） f（x1），设函数
h(x) tg(x) f (x)，
所以函数h(x) tg(x) f (x)在[0, ）是增函数，……………………………………………………7分
所以h (x) tg (x) f (x) t(e x 1) x 0 在[0, ）恒成立，
设 (x) t(e x 1) x，所以 (x) tex 1，当 t 1时，所以 (x) 0在[0, ）恒成立，
所以 (x) t(e x 1) x在[0, ）是增函数，所以 (x) (0) 0，
4 / 6
当0 t 1时，由 (x) 0，可得 x ln t，由 (x) 0，可得0 x ln t，
所以 (x) t(e x 1) x在（0, ln t）是减函数，（ ln t, ）是增函数，
所以 ( ln t) (0) 0，所以0 t 1时不成立，
所以 t 1.…………………………………………………………………………………………………10分
（III）由函数 y g x 在 0, 有两个零点 x1, x2，得 g x1 g x2 0，
又函数 f x x x ln x 1与 y g(x) “具有性质H (1) ”，
则 f x1 f x2 g x1 g x2 0， 即 f x1 f x2 ，
即 x1 x1 ln x1 1 x2 x2 ln x2 1，
即 x1 x1 ln x1 x2 x2 ln x2， ………………………………………………………………………12分
设 k x x x ln x，所以 k x ln x，
由 k (x) 0，可得0 x 1，由 k (x) 0，可得 x 1，
所以 k x x x ln x在（0,1）是增函数，（1, ）是减函数，
令 k x1 k x2 a，不妨设 x1 x2 ，可得 0 x1 1 x2 e
要证 x1 x2 2，只需证 x2 2 x1，因为 2 x1 1，x2 1，且 k x 在 1, 上单调递减，所以要证 x2 2 x1，
只需证 k x2 k 2 x1 ，又 k x2 k x1 ，所以只需证 k x1 k 2 x1 ，即证 k x1 k 2 x1 0，
设m x k x k 2 x 0 x 1
则m x k x k 2 x ln x ln(2 x) ln[ (x 1) 2 1] 0
所以m x 在 0,1 上单调递增，又m 1 0，所以m x 0，
因为0 x1 1，所以m x1 0，即 k x1 k 2 x1 0，从而 x1 x2 2 .…………………14分
因为当 0 x1 1时， k x1 x1 x1 ln x1 0，
所以 k x1 x1 ，从而 a k x1 x1，故 x1 a，…………………………………………………15分
设 n x k x x e x 0 ，则 n x ln x 1，
由n (x) 0，可得0 x e，由n (x) 0，可得 x e，
所以n x k(x) ( x e)在（0,e）是增函数， (e, )是减函数，
5 / 6
故 n x n e 0，所以 k x x e，
从而 a k x2 x2 e，故 x2 a e，…………………………………………………………16分
所以 x1 x2 a a e e
综上所述，不等式 2 x1 x2 e成立.……………………………………………………………17分
6 / 6224年大连市高三适应性测试
5.以-多的展开式中，常数项为
数学
A.80
B.40
C.-40
D.-80
6亚四技台8CD-48CD,84,A8=2,44，则孩正四棱台的体积
注意率项：
为
1.请在答题纸上作答，在斌卷上作答无效，
2.本试卷分第1卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120
分钟.
A号
D.
第I卷
一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共即分.在每小题给出的四个进项中，
7.甲、乙二人乒乓球比弃，比赛规则为三局两胜制，甲在每局比赛中织肚的概率均为}，
只有一项符合题官要求！
且各局比赛结果相互独立，如在甲胜的情况下，比赛进行了局的概率为()
1.己知集合A={-1,0,2},B={x≤1，则An8=
A.{-1}
B.{-1,0y
C.{-1,0,2
D.{-1,1}
8已知、月是双曲战C年-1的木、右熊点，点P,X化2功是双曲线C
2.己知抛物线x2=2Py(2>0)的焦点为F，灌线方程为y=-1，则P的值为
任意一点，以P为直径作圆N,NO延长线与圆N交于点2，则Q瓦·Q可=(）
B.1
C.2
D.4
A.9
B.4
C.-4
D.-5
3.“6为第象限角”是“sin日>0”的
二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顷符
A.充分而不必要条件
形。必要而不充分条件
合题官要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分】
C,充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
9.已等比数列{4n}的前项和为Sn，公比g=2,a2=2,则
4.函数f树=mx+文在[-欢，充的图像大致为
cosx+2
A.41=1
B.S+1=2S。
C.S,D.数列{S+1}是等比数列
10.P是半径为定长r圆0上任意点，A是圆0所在平面上与P个重合的一个定点，
B
线段PA的垂直半分线1和直线OP相交于点Q,当点P在圆上运动时，点2的轨迹是
A.椭圆B.双曲线；C.抛物线；D.圆或一个点
数学试卷第1页（共5页）
数学试卷第2页〔共5页)
16.(本小题满分15分)
11.如图，矩形ABCD,A8=6,BC'=8,
为研究某产品价格变化的规律，收集得到了该产品连续30天的价格变化数据，
半圆面APD⊥平面ABCD.点P为半圆弧AD上
如下表所示，在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高：
用””表示“卜跌”，即当天价格此前一天价格低；用“0表示“不变”，即当天价格与前
动点（点P不与点A,D重合），则
一天价格相同，
A,三棱锥P-ABD的四个面都是直角三角形
时段
价格变化
B.三棱锥P-ABD体积的最大值为32
C.异面直线PA与BC的距离的取值范围为[6,8
第1天到第15天
D.当直线PB与平面ABCD所成角最大时，平而PA8截四棱锥P-ABCD外接球的
第16天到第30天
0
截面面积为15π
第亚Ⅱ卷
用频率估计概※。
三填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答卷纸的相应位置上）
(1)试估计该农产品价格“不变”的概举；
(1I)假设该农产品每大的价格变化是相互独立的.在未来的口子里任取3天，记X为这3
12.已知复数z=a+i〔aeR),若z互=l,则a=
天：“上涨”的天数，求随机变量X的分布列和数学期望E(X);
13.随机变量X~N(,c2),P(X≤0)=0.15，则P(1≤K≤2)=
(1)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响、判断第31天该农产品
价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率仙计值哪个最大.（结论个要求诩明）
14.己知函数f(x,g(x)的定义域为R,g'{x)为g()的导函数，且f(x)+g{x)=2,
f(x)-g(4-x)=2,若gx一2)图像关丁直线x=2对称，则∑f()=」
17.(本小题满分15分)
如图，在四棱锥S-ABCD,底面ABCD是边长为2的菱形，SA=SB=2,
四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
∠SCD=90,E、F分别是SC、BD的中点.
15,(本小题满分I3分》
(I)求证：F∥平面SAB:
在锐角△A8C巾，内角A、B、C所对边分别为a、b,c,且2bsiA=G.
(I)求角B:
()若二面角S-AB-D的大小为2
(II)求cosA+cosB+V5cosC的取偵范围，
求直线AD与平面BED所成角的正弦值.
第17图
数学试卷第3页（共5页）
数学试卷第4页（共5贞）

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