资源简介

2024年重庆八中中考数学一模试卷附解析
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）﹣6的倒数是（　　）
A．6 B．﹣6 C． D．﹣
2．（4分）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从上面得到的视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（4分）2024年某市计划重点工程建设项目投资总额为50450000万元，将数50450000用科学记数法表示为（　　）
A．50.45×106 B．0.5045×108
C．5.045×107 D．5.045×106
4．（4分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝47°，则∠2的度数为（　　）
A．53° B．45° C．43° D．33°
5．（4分）用边长相等的正方形和等边三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了4个正方形，第②个图案用了6个正方形，第③个图案用了8个正方形，…，按此规律排列下去，则第2024个图案中用的正方形的个数是（　　）
A．4045 B．4046 C．4048 D．4050
6．（4分）设n为正整数且，则n的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（4分）如图，AB是⊙O的直径，过AB的延长线上的点C作⊙O的切线，切点为P，点D是⊙O上一点，连接BD，DP，若∠BDP＝α，则∠C等于（　　）
A．α B．2α C．90°﹣α D．90°﹣2α
8．（4分）某种植物只有一个主干，该主干上长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，设一个主干长出x个支干，则下列方程中正确的是（　　）
A．1+x2＝111 B．（1+x）2＝111
C．1+x+x2＝111 D．1+（1+x）+（1+x）2＝111
9．（4分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E为边BC上一点，连接AE，作∠DAE的平分线交CD于点F，若F为CD的中点，则BE的长为（　　）
A． B． C． D．
10．（4分）按顺序排列的8个单项式a，b，c，d，﹣a，﹣b，﹣c，﹣d中，任选m（m≥2）个互不相邻的单项式（其中至少包含一个系数为1的单项式和一个系数为﹣1的单项式）相乘，计算得单项式M，然后在剩下的单项式中再任选若干个单项式相乘，计算得单项式N，最后计算M﹣N，称此为“积差操作”．例如：当m＝3时，可选互不相邻的b，﹣a，﹣c相乘，得M＝abc，在剩下的单项式a，c，d，﹣b，﹣d中可选c，d相乘，得N＝cd，此时M﹣N＝abc﹣cd，…．下列说法中正确的个数是（　　）
①存在“积差操作”，使得M﹣N为五次二项式；
②共有3种“积差操作”，使得M﹣N＝ad﹣bc；
③共有12种“积差操作”，使得M﹣N＝0．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上
11．（4分）计算：﹣14+|﹣3|＝　 　．
12．（4分）已知反比例函数与一次函数y＝kx﹣2的图象交于点A（﹣1，3），则k的值为 　 　．
13．（4分）正n边形的每一个外角都是它相邻的内角的2倍，则n的值为 　 　．
14．（4分）有四张正面分别标有数字﹣2，，0，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将四张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之积为负数的概率是 　 　．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，点D是AB边上的中点，以点D为圆心，BD的长为半径作弧BC．则图中阴影部分的面积为 　 　．
16．（4分）如图，D，E是△ABC外两点，连接AD，AE，有AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝40°．连接CD，BE交于点F，则∠DFE的度数为 　 　．
17．（4分）若关于x的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 　 　．
18．（4分）如果一个四位自然数的各数位上的数字不全相等，满足，那么称这个四位数为“跳跃数”．例如：四位数1323，∵12+33＝5（1+2+3+3），∴1323是“跳跃数”；又如：四位数5324，∵52+34≠5（5+3+2+4），∴5324不是“跳跃数”．若一个“跳跃数”为，则这个数为 　 　；若一个“跳跃数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，则满足条件的“跳跃数”的最大值是 　 　．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（8分）计算：
（1）a（a﹣4）+（3a﹣2）（a+1）；
（2）．
20．（10分）（1）如图，在△ABC中，用直尺和圆规，作∠ABC的平分线BD与AC的垂直平分线1交于点D；（只保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，连接DA，DC，若DC＝AB，探究DA与BC的位置关系，并说明理由．
解：DA∥BC，理由如下：
∵BD平分∠ABC，
∴　 　．
∵l是AC的垂直平分线，
∴　 　．
∵DC＝AB，
∴　 　．
∴∠ADB＝∠ABD．
∴　 　．
∴AD∥BC．
21．（10分）某校组织了一场历史知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机选出10名同学的成绩进行分析，将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A：x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．下面给出了部分信息：
七年级学生的竞赛成绩为：69，75，75，81，88，88，88，91，94，98．
八年级等级C的学生成绩为：84，88，89．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
学生 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84.7 88 b 87.12
八年级 84.7 a 91 83.12
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校七年级有600名学生参赛，八年级有500名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩为D等级的共有多少人？
22．（10分）某书店准备购进甲和乙两种书，已知每本甲比每本乙的进价少10元，用900元购进甲的数量是用600元购进乙数量的2倍．
（1）求甲和乙这两种书每本的进价分别是多少元？
（2）若书店购进乙的数量比甲的数量的2倍还要多5本，且甲的数量不少于648本，购进甲和乙两种书的总费用不超过71700元，则书店有哪几种购买方案？
23．（10分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点D，E分别在AC，BC边上，AD＝BE＝1，动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发沿折线D→C→E方向运动，到达点E时停止运动，设点P的运动时间为t秒，△ABP的面积记为y1．
（1）请直接写出y1关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
（2）若函数，在给定的平面直角坐标系中分别画出函数y1和y2的图象，并写出y1的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出y1＝y2时对应的t的取值．
24．（10分）如图，我市在三角形公园ABC旁修建了两条骑行线路：①E﹣A﹣C；②E﹣D﹣C．经勘测，点A在点B的正西方10千米处，点C在点B的正南方，点A在点C的北偏西45°方向，点D在点C的正南方20千米处，点E在点D的正西方，点A在点E的北偏东30°方向．（参考数据：，）
（1）求DE的长度．（结果精确到1千米）
（2）由于时间原因，小渝决定选择一条较短线路骑行，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中B（﹣1，0），OA＝7OB，连接AC，BC，．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，点M为线段OC（不含端点O，C）上一点，连接MB并延长交抛物线于点P，连接AP，CP，当△ACP面积最大时，求点M的坐标及△ACP面积的最大值；
（3）如图2，将该抛物线沿射线AC方向平移，当它过点B时得到新抛物线，点F为新抛物线与x轴的另一个交点，点G为新抛物线的顶点，连接BG，FG，过点B作BH∥FG交新抛物线于点H，连接FH．在新抛物线上确定一点N，使得∠NCA＝∠FBG+∠BHF，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
26．（10分）△ABC和△DEC是以点C为公共顶点的等腰三角形，其中BA＝BC，DC＝DE，∠ABC+∠CDE＝180°，连接AE．
（1）如图1，当∠ABC＝90°，点E在BC的延长线上时，点F为AE中点，连接FB．若AC＝3，CD＝，求BF的长；
（2）如图2，点F为AE中点，连接FB，FD，FB交AC于点G．点H是AC上一点，连接BH．延长BH，DF相交于点K．若∠K＝∠BGA，求证：AH＝HC；
（3）如图3，当∠ABC＝90°，点D在BC的延长线上时，延长EC至点N，使得EN＝AC．延长AE至点M，使得EM＝AE，连接MN．若AE＝6，当MN的长度取最小值时，请直接写出△EMN的面积．
2024年重庆八中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）﹣6的倒数是（　　）
A．6 B．﹣6 C． D．﹣
【答案】D
【分析】根据倒数的定义求解．
【解答】解：﹣6的倒数是﹣．
故选：D．
【点评】倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（4分）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从上面得到的视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接从上往下看，看到平面图形就是俯视图，选择正确选项即可．
【解答】解：俯视图有2列，从左到右小正方形的个数是2，2，
故选：C．
【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图的知识，俯视图是从上往下看得到的平面图形．
3．（4分）2024年某市计划重点工程建设项目投资总额为50450000万元，将数50450000用科学记数法表示为（　　）
A．50.45×106 B．0.5045×108
C．5.045×107 D．5.045×106
【答案】C
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：50450000＝5.045×107．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．（4分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝47°，则∠2的度数为（　　）
A．53° B．45° C．43° D．33°
【答案】C
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠3＝133°，根据三角形外角性质求解即可．
【解答】解：如图，
∵直尺的对边平行，
∴∠1+∠3＝180°，
∵∠1＝47°，
∴∠3＝133°，
∵∠3＝∠2+90°，
∴∠2＝43°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，准确识图是解题的关键．
5．（4分）用边长相等的正方形和等边三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了4个正方形，第②个图案用了6个正方形，第③个图案用了8个正方形，…，按此规律排列下去，则第2024个图案中用的正方形的个数是（　　）
A．4045 B．4046 C．4048 D．4050
【答案】D
【分析】根据所给图形，依次求出正方形的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第①个图案中用的正方形个数为：4＝1×2+2；
第②个图案中用的正方形个数为：6＝2×2+2；
第③个图案中用的正方形个数为：8＝3×2+2；
…，
所以第n个图案中用的正方形个数为（2n+2）个，
当n＝2024时，
2n+2＝2×2024+2＝4050（个），
即第2024个图案中用的正方形个数为4050个．
故选：D．
【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图象发现正方形的个数依次增加2是解题的关键．
6．（4分）设n为正整数且，则n的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】将原式计算后利用无理数的估算即可求得答案．
【解答】解：原式＝﹣1，
∵49＜63＜64，
∴7＜＜8，
∴6＜﹣1＜7，
则n＝6，
故选：B．
【点评】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
7．（4分）如图，AB是⊙O的直径，过AB的延长线上的点C作⊙O的切线，切点为P，点D是⊙O上一点，连接BD，DP，若∠BDP＝α，则∠C等于（　　）
A．α B．2α C．90°﹣α D．90°﹣2α
【答案】D
【分析】连接OP，如图，先根据切线的性质得到∠OPC＝90°，再根据圆周角定理得到∠POB＝2∠PDB＝2α，然后利用互余可表示出∠C．
【解答】解：连接OP，如图，
∵PC为⊙O的切线，
∴OP⊥PC，
∴∠OPC＝90°，
∵∠POB＝2∠PDB＝2α，
∴∠C＝90°﹣2α．
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
8．（4分）某种植物只有一个主干，该主干上长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，设一个主干长出x个支干，则下列方程中正确的是（　　）
A．1+x2＝111 B．（1+x）2＝111
C．1+x+x2＝111 D．1+（1+x）+（1+x）2＝111
【答案】C
【分析】由一个主干长出x个支干且每个支干又长出同样数目的小分支，可得出共长出x2个小分支，再结合主干、支干和小分支的总数是111，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵一个主干长出x个支干，每个支干又长出同样数目的小分支，
∴共长出x2个小分支．
根据题意得：1+x+x2＝111．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．（4分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E为边BC上一点，连接AE，作∠DAE的平分线交CD于点F，若F为CD的中点，则BE的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点F作FH⊥AE，连接EF，证明△ADF≌△AHF，△EFH≌△EFC，得出AD＝AH，EH＝EC，设CE＝x，则AE＝1+x，BE＝1﹣x，再利用勾股定理即可解答．
【解答】解：过点F作FH⊥AE，连接EF，
∵F为CD中点，
∴DF＝CF＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝90°，
∵AF是角平分线，
∴DF＝HF＝CF，
∴Rt△ADF≌Rt△AHF（HL），
∴AD＝AH＝1，
同理可得Rt△EFH≌Rt△EFC，
∴EH＝CH，
设CE＝x，则AE＝1+x，BE＝1﹣x，
∴12+（1﹣x）2＝（1+x）2，
解得x＝，
∴BE＝1﹣＝．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
10．（4分）按顺序排列的8个单项式a，b，c，d，﹣a，﹣b，﹣c，﹣d中，任选m（m≥2）个互不相邻的单项式（其中至少包含一个系数为1的单项式和一个系数为﹣1的单项式）相乘，计算得单项式M，然后在剩下的单项式中再任选若干个单项式相乘，计算得单项式N，最后计算M﹣N，称此为“积差操作”．例如：当m＝3时，可选互不相邻的b，﹣a，﹣c相乘，得M＝abc，在剩下的单项式a，c，d，﹣b，﹣d中可选c，d相乘，得N＝cd，此时M﹣N＝abc﹣cd，…．下列说法中正确的个数是（　　）
①存在“积差操作”，使得M﹣N为五次二项式；
②共有3种“积差操作”，使得M﹣N＝ad﹣bc；
③共有12种“积差操作”，使得M﹣N＝0．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据已知条件和“积差操作”的定义，通过举例可知：说法①正确；通过举例可知：说法②不正确、说法③正确．
【解答】解：①存在“积差操作”，使得M﹣N为五次二项式说法正确，如取a、﹣b相乘得单项式M，在剩下的单项式中任选5个单项式如：b、c、d、﹣a、﹣c相乘得单项式N，则M﹣N＝﹣ab﹣abc2d是五次二项式；
②共有3种“积差操作”，使得M﹣N＝ad﹣bc说法错误，因为使得M﹣N＝ad﹣bc的“积差操作”有：M＝（﹣b） c、N＝（﹣a） d，M＝（﹣b） c、N＝a （﹣d），M＝b （﹣c）、N＝（﹣a） d，M＝b （﹣c）、N＝a （﹣d）共有4种；
③共有12种“积差操作”，使得M﹣N＝0说法正确，因为使得M﹣N＝0的“积差操作”有：M＝a （﹣b）、N＝（﹣a） b，M＝（﹣a） b、N＝a （﹣b），M＝a （﹣c）、N＝（﹣a） c，M＝（﹣a） c、N＝a （﹣c），M＝a （﹣d）、N＝（﹣a） d，M＝（﹣a） d、N＝a （﹣d），M＝b （﹣c）、N＝（﹣b） c，M＝（﹣b） c、N＝b （﹣c），M＝b （﹣d）、N＝（﹣b） d，M＝（﹣b） d、N＝b （﹣d），M＝c （﹣d）、N＝（﹣c） d，M＝（﹣c） d、N＝c （﹣d）共12种，
综上所述，已知说法中正确的个数是2．
故选：C．
【点评】本题考查了整式的加减乘除运算，新定义“积差操作”，正确理解“积差操作”的定义是解题的关键．
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上
11．（4分）计算：﹣14+|﹣3|＝　2　．
【答案】2．
【分析】先算乘方和去绝对值，然后计算加法即可．
【解答】解：﹣14+|﹣3|
＝﹣1+3
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
12．（4分）已知反比例函数与一次函数y＝kx﹣2的图象交于点A（﹣1，3），则k的值为 　﹣5　．
【答案】﹣5．
【分析】把点A（﹣1，3）代入y＝kx﹣2即可求得．
【解答】解：∵反比例函数与一次函数y＝kx﹣2的图象交于点A（﹣1，3），
∴3＝﹣k﹣2，
∴k＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键．
13．（4分）正n边形的每一个外角都是它相邻的内角的2倍，则n的值为 　3　．
【答案】3．
【分析】设正n边形的每一个外角为2x，则它相邻的内角为x，列出关于x的方程式，求得x，再根据多边形的外角和为360°即可求出答案．
【解答】解：设正n边形的每一个外角为2x，则它相邻的内角为x，
2x+x＝180，
解得：x＝60，
2x＝120，
则n＝360÷120＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查多边形的外角和内角，熟练掌握该知识点是解题的关键．
14．（4分）有四张正面分别标有数字﹣2，，0，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将四张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之积为负数的概率是 　　．
【答案】．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上的数字之积为负数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
﹣2 0 2
﹣2 （﹣2，） （﹣2，0） （﹣2，2）
（，﹣2） （，0） （，2）
0 （0，﹣2） （0，） （0，2）
2 （2，﹣2） （2，） （2，0）
共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的数字之积为负数的结果有：（﹣2，2），（，2），（2，﹣2），（2，），共4种，
∴抽取的两张卡片上的数字之积为负数的概率是＝．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，点D是AB边上的中点，以点D为圆心，BD的长为半径作弧BC．则图中阴影部分的面积为 　﹣　．
【答案】﹣．
【分析】根据直角三角形的性质，斜边中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及扇形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，连接CD，
∵Rt△ABC，点D是AB的中点，
∴DA＝DB＝DC，
∵∠A＝60°＝∠DCA，
∴∠BDC＝2∠A＝120°，
在Rt△ABC中，AC＝2，∠A＝60°，
∴AB＝＝4，BC＝AC＝2，
∴扇形BDC的半径为2，
∴S阴影部分＝S扇形DBC﹣S△BDC
＝S扇形DBC﹣S△ABC
＝﹣××2×
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握直角三角形的性质，斜边中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
16．（4分）如图，D，E是△ABC外两点，连接AD，AE，有AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝40°．连接CD，BE交于点F，则∠DFE的度数为 　140°　．
【答案】140°．
【分析】设AB交CD于点G，由∠BAD＝∠CAE＝40°，推导出∠BAE＝∠DAC，而AB＝AD，AE＝AC，即可根据“SAS”证明△BAE≌△DAC，得∠ABE＝∠D，可求得∠BFD＝∠BAD＝40°，则∠DFE＝180°﹣∠DFB＝140°，于是得到问题的答案．
【解答】解：设AB交CD于点G，
∵∠BAD＝∠CAE＝40°，
∴∠BAE＝∠DAC＝40°+∠BAC，
在△BAE和△DAC中，
，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴∠ABE＝∠D，
∴∠BFD＝∠BGD﹣∠ABE＝∠BGD﹣∠D＝∠BAD＝40°，
∴∠DFE＝180°﹣∠BFD＝180°﹣40°＝140°，
故答案为：140°．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明△BAE≌△DAC是解题的关键．
17．（4分）若关于x的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 　8　．
【答案】8．
【分析】根据关于x的一元一次不等式组的解的情况求出a的取值范围，根据关于y的方程的解的情况求出a的取值情况，然后求出满足条件的a的值，即可得出答案．
【解答】解：，
解①得：x＞﹣1；
解②得：，
∵不等式组有解，
∴不等式组的解集为：，
∵有解且最多有3个整数解，
∴﹣1＜＜3，
解得：﹣4≤a＜8，
∴整数a为：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，
，
去分母，得a＝3﹣5y+7（y﹣1），
去括号，得a＝3﹣5y+7y﹣7，
合并同类项，得a＝2y﹣4，
解得y＝，
∵分式方程有整数解，
∴是整数，且﹣1≠0，
∴a为偶数，且a≠﹣2，
∴整数a为：﹣4，0，2，4，6，
∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣4+0+2+4+6＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查一元一次不等式组和分式方程，掌握一元一次不等式组和分式方程的解法是解决问题的关键，本题需注意分式方程的分母不等于0的限制条件．
18．（4分）如果一个四位自然数的各数位上的数字不全相等，满足，那么称这个四位数为“跳跃数”．例如：四位数1323，∵12+33＝5（1+2+3+3），∴1323是“跳跃数”；又如：四位数5324，∵52+34≠5（5+3+2+4），∴5324不是“跳跃数”．若一个“跳跃数”为，则这个数为 　4437　；若一个“跳跃数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，则满足条件的“跳跃数”的最大值是 　9369　．
【答案】4437，9369．
【分析】①由是“跳跃数“，可得43+10m+7＝5（4+m+3+7），解出m的值可知这个数为4437；
②设满足条件的“跳跃数”的最大值是，可得90+c+10b+d＝5（9+b+c+d），b＝﹣9，即知c+d＝15，b＝3，而前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，即可得2c+d是7的倍数，从而得c最大为6，d＝9，满足条件的“跳跃数”的最大值是9369．
【解答】解：①∵是“跳跃数“，
∴43+10m+7＝5（4+m+3+7），
解得m＝4，
∴这个数为4437；
②设满足条件的“跳跃数”的最大值是，
∴90+c+10b+d＝5（9+b+c+d），
∴b＝﹣9，
∵b，c，d是0～9中的整数，
∴c+d＝15，b＝3，
∴满足条件的“跳跃数”的最大值是，
∵前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，
且930+c﹣（300+10c+d）＝630﹣9c﹣d＝7（90﹣c）﹣（2c+d），
∴2c+d是7的倍数，
∵c+d＝15，
∴c+15的7的倍数，
∴c最大为6，
∴d＝9，
∴满足条件的“跳跃数”的最大值是9369；
故答案为：9369．
【点评】本题考查因式分解的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“跳跃数“的概念．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（8分）计算：
（1）a（a﹣4）+（3a﹣2）（a+1）；
（2）．
【答案】（1）4a2﹣3a﹣2；
（2）．
【分析】（1）利用单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【解答】解：（1）a（a﹣4）+（3a﹣2）（a+1）
＝a2﹣4a+3a2+3a﹣2a﹣2
＝4a2﹣3a﹣2；
（2）
＝÷
＝÷
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了分式的混合运算，整式的混合运算，单项式乘多项式，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（10分）（1）如图，在△ABC中，用直尺和圆规，作∠ABC的平分线BD与AC的垂直平分线1交于点D；（只保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，连接DA，DC，若DC＝AB，探究DA与BC的位置关系，并说明理由．
解：DA∥BC，理由如下：
∵BD平分∠ABC，
∴　∠ABD＝∠CBD　．
∵l是AC的垂直平分线，
∴　AD＝CD　．
∵DC＝AB，
∴　AD＝AB　．
∴∠ADB＝∠ABD．
∴　∠CBD＝∠ADB　．
∴AD∥BC．
【答案】（1）见解答．
（2）∠ABD＝∠CBD；AD＝CD；AD＝AB；∠CBD＝∠ADB．
【分析】（1）根据角平分线的作图方法和线段垂直平分线的作图方法作图即可．
（2）根据角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、平行线的判定填空即可．
【解答】解：（1）如图，BD，直线l即为所求．
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵l是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD．
∵DC＝AB，
∴AD＝AB．
∴∠ADB＝∠ABD．
∴∠CBD＝∠ADB．
∴AD∥BC．
故答案为：∠ABD＝∠CBD；AD＝CD；AD＝AB；∠CBD＝∠ADB．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、平行线的判定、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、角平分线的作图方法以及线段垂直平分线的作图方法是解答本题的关键．
21．（10分）某校组织了一场历史知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机选出10名同学的成绩进行分析，将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A：x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．下面给出了部分信息：
七年级学生的竞赛成绩为：69，75，75，81，88，88，88，91，94，98．
八年级等级C的学生成绩为：84，88，89．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
学生 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84.7 88 b 87.12
八年级 84.7 a 91 83.12
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　88.5　，b＝　88　，m＝　30　；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校七年级有600名学生参赛，八年级有500名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩为D等级的共有多少人？
【答案】（1）88.5，88，30；
（2）八年级的成绩更好，理由见解析（答案不唯一）；
（3）380人．
【分析】（1）利用中位数和众数的定义即可求出a和b的值；利用八年级C组的频数除以10即可得m的值；
（2）根据平均数、中位数和众数的角度进行分析即可得（答案不唯一）；
（3）利用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）八年级A、B组的频数和为10×（10%+20%）＝3，
所以将八年级10名学生的成绩按从大到小排序后，第5个数和第6个数在C组，分别为88，89，
则其中位数a＝＝88.5，
根据七年级成绩可知88分的最多有3人，所以众数为b＝88，
七年级C组的人数为3人，
∴m%＝3÷10×100%＝30%，
所以m＝30；
故答案为：88.5，88，30；
（2）八年级的成绩更好，理由如下：
七、八年级的平均数相同，但八年级成绩的中位数和众数都比七年级的大，所以八年级的更好（答案不唯一）；
（3）600×+500×＝180+200＝380（人），
答：估计两个年级参赛学生中成绩为D等级的共有380人．
【点评】本题考查了用样本估计总体，算术平均数，中位数，众数以及方差，掌握相关知识是解题的关键．
22．（10分）某书店准备购进甲和乙两种书，已知每本甲比每本乙的进价少10元，用900元购进甲的数量是用600元购进乙数量的2倍．
（1）求甲和乙这两种书每本的进价分别是多少元？
（2）若书店购进乙的数量比甲的数量的2倍还要多5本，且甲的数量不少于648本，购进甲和乙两种书的总费用不超过71700元，则书店有哪几种购买方案？
【答案】（1）甲种书每本的进价是30元，乙种书每本的进价是40元；
（2）书店有3种购买方案，①购进甲种书648本，乙种书1301本；②购进甲种书649本，乙种书1303本；③购进甲种书650本，乙种书1305本．
【分析】（1）设甲种书每本的进价是x元，则乙种书每本的进价是（x+10）元，根据用900元购进甲的数量是用600元购进乙数量的2倍．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进甲种书m本，则购进乙种书（2m+5）本，根据甲的数量不少于648本，购进甲和乙两种书的总费用不超过71700元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题．
【解答】解：（1）设甲种书每本的进价是x元，则乙种书每本的进价是（x+10）元，
由题意得：＝×2，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝40，
答：甲种书每本的进价是30元，乙种书每本的进价是40元；
（2）设购进甲种书m本，则购进乙种书（2m+5）本，
由题意得：，
解得：648≤m≤650，
∵m为正整数，
∴m＝648，649，650，
当m＝648时，2m+5＝2×648+5＝1301；
当m＝649时，2m+5＝2×649+5＝1303；
当m＝650时，2m+5＝2×650+5＝1305；
∴书店有3种购买方案：①购进甲种书648本，乙种书1301本；②购进甲种书649本，乙种书1303本；③购进甲种书650本，乙种书1305本．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
23．（10分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点D，E分别在AC，BC边上，AD＝BE＝1，动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发沿折线D→C→E方向运动，到达点E时停止运动，设点P的运动时间为t秒，△ABP的面积记为y1．
（1）请直接写出y1关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
（2）若函数，在给定的平面直角坐标系中分别画出函数y1和y2的图象，并写出y1的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出y1＝y2时对应的t的取值．
【答案】（1）y1＝；
（2）见解答；
（3）t＝2或6．
【分析】（1）分两种情况，当点P在线段DC上时和点P在线段CE上，分别过点P作AB边上的垂线，根据等腰直角三角形的性质求出AB边上的高即可解答；
（2）根据函数解析式画图即可；
（3）找出y1与y2的交点即可解答．
【解答】解：当点P在线段DC上时，即0≤t≤3，
过点P作PF⊥AB，如图，
∵∠C＝90°，AC＝BC＝4，
∴∠A＝45°，
∴AF＝PF＝，AB＝4，
DP＝t，则AP＝1+t，
∴PF＝，
∴y1＝4×＝2t+2，
当点P在线段CE上，即3＜t≤6，
过点P作PH⊥AB，如图，
则BP＝8﹣（1+t）＝7﹣t，
∵∠C＝90°，AC＝BC＝4，
∴∠B＝45°，
∴PH＝BH＝＝，
∴y1＝×＝﹣2t+14，
∴y1＝；
（2）如图所示：
当0≤t≤3时，y1随t的增大而增大，当3＜t≤6时，y1随t的增大而减小；
（3）由图象可知，当出y1＝y2时，t＝2或6．
【点评】本题考查三角形的面积，等腰直角三角形的性质，一次函数的图象性质，熟练掌握以上知识三角解题关键．
24．（10分）如图，我市在三角形公园ABC旁修建了两条骑行线路：①E﹣A﹣C；②E﹣D﹣C．经勘测，点A在点B的正西方10千米处，点C在点B的正南方，点A在点C的北偏西45°方向，点D在点C的正南方20千米处，点E在点D的正西方，点A在点E的北偏东30°方向．（参考数据：，）
（1）求DE的长度．（结果精确到1千米）
（2）由于时间原因，小渝决定选择一条较短线路骑行，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？
【答案】（1）DE的长度约为27千米；
（2）他应该选择线路②，理由见解答．
【分析】（1）过点E作EF⊥BA，交BA的延长线于点F，根据垂直定义可得∠EFA＝∠B＝∠D＝90°，从而可得四边形EFBD是矩形，进而可得：EF＝BD，BF＝DE，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而求出BD的长，再在Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，最后利用线段的和差关系求出BF的长，即可解答；
（2）在Rt△AEF中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AE的长，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，然后利用（1）的结论进行计算，比较即可解答．
【解答】解：（1）过点E作EF⊥BA，交BA的延长线于点F，
∴∠EFA＝90°，
由题意得：∠B＝∠D＝90°，
∴四边形EFBD是矩形，
∴EF＝BD，BF＝DE，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，AB＝10千米，
∴BC＝＝10（千米），
∵CD＝20千米，
∴EF＝BD＝BC+CD＝30（千米），
在Rt△AEF中，∠AEF＝30°，
∴AF＝EF tan30°＝30×＝10（千米），
∴DE＝BF＝AF+AB＝10+10≈27（千米），
∴DE的长度约为27千米；
（2）他应该选择线路②，
理由：在Rt△AEF中，∠AEF＝30°，AF＝10，
∴AE＝2AF＝20（千米），
在Rt△ABC中，BC＝10千米，∠ACB＝45°，
∴AC＝＝＝10（千米），
∴线路①的总路程＝AE+AC＝20+10≈48.7（千米），
线路②的总路程＝ED+CD＝10+10+20≈47.3（千米），
∵47.3千米＜48.7千米，
∴他应该选择线路②．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中B（﹣1，0），OA＝7OB，连接AC，BC，．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，点M为线段OC（不含端点O，C）上一点，连接MB并延长交抛物线于点P，连接AP，CP，当△ACP面积最大时，求点M的坐标及△ACP面积的最大值；
（3）如图2，将该抛物线沿射线AC方向平移，当它过点B时得到新抛物线，点F为新抛物线与x轴的另一个交点，点G为新抛物线的顶点，连接BG，FG，过点B作BH∥FG交新抛物线于点H，连接FH．在新抛物线上确定一点N，使得∠NCA＝∠FBG+∠BHF，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】（1）y＝x2+4x+；
（2）△ACP的面积有最大值，M（0，）；
（3）N点坐标为（﹣，+）或（﹣6+，﹣7）．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过P点作PQ∥y轴交AC于点Q，设P（t，t2+4t+），则Q（t，t+），S△ACP＝﹣（t+）2+，当t＝﹣时，△ACP的面积有最大值，此时P（﹣，﹣），求出直线PB的解析式为y＝x+，即可求M（0，）；
（3）求出平移后的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣2，再分别求出直线GF的解析式为y＝x﹣3，直线HB的解析式为y＝x+1，H（5，6），过点G作x轴的垂线与HF的延长线交于K点，与x轴交于L点，过点G作GE⊥HK交于E点，过点C作x轴的平行线CT，过点N作NT⊥CT交于T点，推导出∠NCA＝∠BFE，先求K（1，﹣6），再由△LKF∽△EKG，得到KE＝3EG，根据GK＝4，推导出tan∠GFE＝，当N点在C点上方时，∠NCT＝45°，设N（n，（n﹣1）2﹣2），求出N（﹣，+）；当N点在C点下方时，设NT与直线AC交于S点，过N点作NR⊥AC交于R点，求出S（﹣，﹣﹣），则SC＝，利用等积法求NR＝3，可得CR＝，设R（x，x+），求出点R（，+），则直线NR的解析式为y＝﹣2x﹣+，设N点关于直线AC的对称点为N'（n，﹣2n﹣+），根据CN＝CN'，求出N'（，﹣+），则直线CN'的解析式为y＝﹣7x+，直线CN'与抛物线的交点为N（﹣6+，﹣7）．
【解答】解：（1）∵B（﹣1，0），
∴OB＝1，
∵OA＝7OB，
∴A（﹣7，0），
∵，
∴＝，
∴OC＝，
∴C（0，），
将A、B、C三点代入y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+4x+；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+，
∴﹣7k+＝0，
解得k＝，
∴直线AC的解析式为y＝x+，
过P点作PQ∥y轴交AC于点Q，
设P（t，t2+4t+），则Q（t，t+），
∴PQ＝t+﹣（t2+4t+）＝﹣t2﹣t，
∴S△ACP＝×7×（﹣t2﹣t）＝﹣（t+）2+，
∴当t＝﹣时，△ACP的面积有最大值，此时P（﹣，﹣），
设直线PB的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴直线PB的解析式为y＝x+，
∴M（0，）；
（3）设抛物线沿x轴正半轴方向平移2m个单位，则沿y轴正方形平移m个单位，
∴平移后的函数解析式为y＝（x+4﹣2m）2﹣+m，
∵经过点B，
∴0＝（﹣1+4﹣2m）2﹣+m，
解得m＝0（舍）或m＝，
∴平移后的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣2，
当y＝0时，（x﹣1）2﹣2＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴F（3，0），
∵G是顶点，
∴G（1，﹣2），
∴直线GF的解析式为y＝x﹣3，
∵BH∥FG，
∴直线HB的解析式为y＝x+1，
当x+1＝（x﹣1）2﹣2时，解得x＝5或x＝﹣1，
∴H（5，6），
过点G作x轴的垂线与HF的延长线交于K点，与x轴交于L点，过点G作GE⊥HK交于E点，过点C作x轴的平行线CT，过点N作NT⊥CT交于T点，
∵直线BH与y轴的交点（0，1），OB＝1，
∴∠HBF＝45°，
∵LF＝2，GL＝2，
∴∠BFG＝45°，
∴∠BFE＝∠HBF+∠BHF＝∠FBG+∠BHF，
∵∠NCA＝∠FBG+∠BHF，
∴∠NCA＝∠BFE，
∵直线HF的解析式为y＝3x﹣9，
∴K（1，﹣6），
∵△LKF∽△EKG，
∴＝，即＝，
∴KE＝3EG，
∵GK＝4，
∵GE2+（3GE）2＝GK2，
∴EG＝，
∴EK＝，
∵KF＝2，
∴FE＝，
∴tan∠GFE＝，
当N点在C点上方时，
∵TC∥AB，
∴∠NCT＝∠CAB，
∵tan∠CAB＝，
∴∠ACT＝∠GFE，
∴∠NCT＝45°，
设N（n，（n﹣1）2﹣2），
∴﹣n＝（n﹣1）2﹣2﹣，
解得n＝（舍）或n＝﹣，
∴N（﹣，+）；
当N点在C点下方时，设NT与直线AC交于S点，过N点作NR⊥AC交于R点，
∴S（﹣，﹣﹣），
∴SC＝，
∵××＝×NR，
∴NR＝3，
∵tan∠NCR＝3，
∴CR＝，
设R（x，x+），
∴x2+x2＝2，
解得x＝，
∴R（，+），
∴直线NR的解析式为y＝﹣2x﹣+，
设N点关于直线AC的对称点为N'（n，﹣2n﹣+），
∵CN＝CN'，
∴2＝，
解得n＝或n＝﹣（舍），
∴N'（，﹣+），
∴直线CN'的解析式为y＝﹣7x+，
当﹣7x+＝（x﹣1）2﹣2时，解得x＝﹣6+或x＝﹣6﹣（舍）；
∴N（﹣6+，﹣7）；
综上所述：N点坐标为（﹣，+）或（﹣6+，﹣7）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，准确地计算是解题的关键．
26．（10分）△ABC和△DEC是以点C为公共顶点的等腰三角形，其中BA＝BC，DC＝DE，∠ABC+∠CDE＝180°，连接AE．
（1）如图1，当∠ABC＝90°，点E在BC的延长线上时，点F为AE中点，连接FB．若AC＝3，CD＝，求BF的长；
（2）如图2，点F为AE中点，连接FB，FD，FB交AC于点G．点H是AC上一点，连接BH．延长BH，DF相交于点K．若∠K＝∠BGA，求证：AH＝HC；
（3）如图3，当∠ABC＝90°，点D在BC的延长线上时，延长EC至点N，使得EN＝AC．延长AE至点M，使得EM＝AE，连接MN．若AE＝6，当MN的长度取最小值时，请直接写出△EMN的面积．
【答案】（1）BF＝；
（2）证明见解答；
（3）．
【分析】（1）运用等腰直角三角形性质和勾股定理即可求得答案；
（2）延长BF至点M，使FM＝BF，连接MD，BD，延长ME、BC交于点N，设DE与BC交于点P，可证得△ABF≌△EMF（SAS），得出AB＝EM，∠BAF＝∠MEF，再证得△CPD∽△EPN，得出∠PCD＝∠PEN，再证得△BCD≌△MED（SAS），得出BD＝BM，推出△BGH∽△BKF，可得BH⊥AC，再运用等腰三角形性质即可证得结论；
（3）设AB＝BC＝a，CD＝DE＝b，则AC＝a，CE＝b，利用勾股定理得a2+b2＝18①，过点N作NT⊥AE于T，可证得△AEC∽△NET，得出＝＝，即＝＝，可得ET＝ab，NT＝a2，运用勾股定理可得MN2＝MT2+NT2，当MT＝NT，即ab+3＝a2时，MN最小，得出a2﹣ab＝9②，联立①②，可求得a＝（+1）b，代入①，可得a2＝，再利用三角形面积公式即可求得答案．
【解答】（1）解：∵∠ABC+∠CDE＝180°，∠ABC＝90°，
∴∠CDE＝90°，
∵BA＝BC，DC＝DE，
∴△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝BC，CE＝CD，
∵AC＝3，CD＝，
∴AB＝BC＝3，CE＝2，
∴BE＝BC+CE＝5，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝，
∵点F为AE中点，
∴BF＝AE＝；
（2）证明：如图，延长BF至点M，使FM＝BF，连接MD，BD，延长ME、BC交于点N，
设DE与BC交于点P，
∵点F为AE中点，
∴AF＝EF，
在△ABF和△EMF中，
，
∴△ABF≌△EMF（SAS），
∴AB＝EM，∠BAF＝∠MEF，
∵BA＝BC，
∴BC＝EM，
∵∠BAF＝∠MEF，
∴AB∥EM，
∴∠ABC+∠BNM＝180°，
∵∠ABC+∠CDE＝180°，
∴∠BNM＝∠CDE，
∵∠CPD＝∠EPN，
∴△CPD∽△EPN，
∴∠PCD＝∠PEN，
∵∠PCD+∠BCD＝180°，∠PEN+∠DEM＝180°，
∴∠BCD＝∠DEM，
在△BCD和△MED中，
，
∴△BCD≌△MED（SAS），
∴BD＝BM，
在等腰△BDM中，FM＝BF，
∴DF⊥BF，
∴∠BFK＝90°，
∵∠KBF＝∠GBH，∠K＝∠BGA，
∴△BGH∽△BKF，
∴∠BHG＝∠BFK＝90°，
∴BH⊥AC，
∵BA＝BC，
∴AH＝HC；
（3）∵∠ABC+∠CDE＝180°，∠ABC＝90°，
∴∠CDE＝90°，
∵BA＝BC，DC＝DE，
∴△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝45°，AC＝AB，CE＝CD，
∴∠ACE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
设AB＝BC＝a，CD＝DE＝b，则AC＝a，CE＝b，
∵AC2+CE2＝AE2，
∴（a）2+（b）2＝62，
即a2+b2＝18①，
如图，过点N作NT⊥AE于T，
则∠ETN＝∠ACE＝90°，
∵∠AEC＝∠NET，
∴△AEC∽△NET，
∴＝＝，即＝＝，
∴ET＝ab，NT＝a2，
∵EM＝AE＝3，
∴MT＝ab+3，
在Rt△MNT中，MN2＝MT2+NT2，
当MT＝NT，即ab+3＝a2时，MN最小，
∴a2﹣ab＝9②，
联立①②，得（a﹣b）2＝2b2，
∴a＝（+1）b，或a＝（﹣+1）b（舍去），
∴b＝（﹣1）a，
代入①，可得a2＝，
此时，NT＝a2＝×＝，
∴S△EMN＝×EM×NT＝×3×＝．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形及等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．

展开更多......

收起↑