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2023－2024学年第二学期福州市九年级质量抽测
数学答案及评分标准
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果学生的解法与本解答不同，可根据习题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则．
2．对于计算题，当学生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示学生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．A 2．B 3．A 4．A 5．C
6．D 7．B 8．B 9．C 10．B
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．米 12．抽样调查 13．70°
14． 15．396元 16．DE
三、解答题（本题共9小题，共86分）
17．（本小题满分8分）
解：原式 6分
． 8分
18．（本小题满分8分）
证明：∵，
∴，
(
B
C
D
A
E
F
)∴． 3分
在△ABF和△DCE中
4分
5分
∴△ABF≌△DCE， 6分
∴． 8分
19．（本小题满分8分）
解法一：∵，
∴， 1分
∴原式 2分
4分
6分
7分
． 8分
解法二：原式 2分
5分
． 6分
∵，
∴， 7分
∴原式
． 8分
20．（本小题满分8分）
解：（1）400； 2分
72°； 4分
（2）记两名男生为M，N，两名女生为P，Q．
根据题意，可以列出如下表格：
第一名学生 第二名学生 M N P Q
M （N，M） （P，M） （Q，M）
N （M，B） （P，N） （Q，N）
P （M，P） （N，P） （Q，P）
Q （M，Q） （N，Q） （P，Q）
6分
由表（图）可知，所有可能出现的结果共有12种，且这些结果出现的可能性相等． 7分
其中抽取的两名同学刚好为两位女同学的结果有2种．
∴抽取的两名同学刚好为两位女同学是． 8分
21．（本小题满分8分）
证明：连接OC，CD． 1分
∵，
∴． 2分
(
A
B
C
O
D
)∵BD是直径，
∴． 3分
∵D是OA的中点，
∴． 4分
又，
∴． 5分
∵△AOC≌△BDC， 6分
∴， 7分
∴OC⊥AC．
∵点C为半径OC的外端点，
∴AC是⊙O的切线． 8分
22．（本小题满分10分）
（1）
(
A
C
B
D
O
H
)
3分
如图，O为所求作的点． 4分
（2）证明：∵D是BC的中点，
∴． 5分
∵△ABC绕点O旋转得到△DEF，D，E分别是点A，B的对应点，
(
A
C
B
D
F
E
G
O
H
)∴，，△ABC≌△DEF， 6分
∴，，． 7分
在△ODB与△OGE中
∴△ODB≌△OGE， 8分
∴， 9分
∴，
即，
∴G是EF中点． 10分
(
A
B
C
M
N
α
)23．（本小题满分10分）
解：（1）①a； 1分
②b； 2分
③； 3分
④； 4分
（2）先在该建筑物（MN）的附近较空旷的平地上选择一点A，
点B为测量人员竖直站立时眼睛的位置，
用自制测角仪获取最高处（M）的仰角，
然后由点A朝点N方向前进至点D处，
此时点E为测量人员竖直站立时眼睛的位置，
再用自制测角仪获取最高处（M）的仰角； 5分
再用皮尺测得测量人员眼睛到地面的距离，以及前进的距离， 6分
由实际背景可知四边形ABED，四边形ABCN为矩形，
(
A
B
C
D
E
M
N
)故，．
在Rt△BCM和Rt△ECM中，，
∴， 7分
， 8分
∴， 9分
即，
∴，
∴． 10分
24．（本小题满分12分）
解：（1）①将A（，0），B（6，4）代入，
得 2分
解得
∴抛物线的解析式为． 4分
②将代入，
得，
解得，，
∵A（，0），
∴C（4，0）． 5分
根据题意，得，，，，，
(
A
D
B
E
O
x
y
C
)∴，
∴． 6分
∵，
∴，
∴． 7分
∵B（6，4），
∴设E（6，t），
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴E（6，）． 8分
（2）或． 12分
25．（本小题满分14分）
(
A
B
C
F
E
D
)（1）证明：∵BE⊥AD，
∴． 1分
∵，，
∴． 2分
∵四边形AEFC是平行四边形，
∴， 3分
∴． 4分
（2）解：． 5分
理由如下：延长BE，AC交于点P，过点E作EQ⊥AP于点Q．
∵AD平分∠BAC，
∴． 6分
∵，
∴，
(
A
B
C
F
E
D
P
Q
)∴， 7分
∴，即．
∵EQ⊥AP，
∴，
∴EQ∥BC，
∴△PQE∽△PCB， 8分
∴，
∴， 9分
∴．
（3）证明：延长BE交CF于点T．
∵四边形AEFC是平行四边形，
∴AC∥FG，AE∥CF，
∴，．
∴BT⊥CF．
∵，
∴BE垂直平分CF，
∴， 10分
(
A
B
C
D
E
F
G
H
O
T
)∴，
∴．
取AB中点O，连接OC，OE．
∵，
∴，
∴，
∴点A，B，E，C在以O为圆心，OA为半径的圆上． 11分
∵，
∴，
∴． 12分
∵，
∴，
∴． 13分
∵，
∴△BGD≌△BED，
∴，
∴DG⊥AB． 14分准考证号： 姓名：
（在此卷上答题无效）
2023－2024学年第二学期福州市九年级质量抽测
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟，满分150分．
注意事项：
1．答题前，学生务必在本试卷及答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在本试卷上答题无效．
3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
4．结束时，学生必须将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
(
a
b
c
d
0
)1．实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，则这四个数中最小的数是
A．a B．b
C．c D．d
2．2024年3月20日，第四届中国跨境电商交易会在福州海峡国际会展中心落下帷幕，来自世界各地的跨境电商人汇聚榕城，再现一场盛大的跨境电商嘉年华．据不完全统计，本届展会累计意向成交金额约50亿美元．将数据5 000 000 000用科学记数法表示，其结果是
A．50×108 B．5×109
(
主视方向
) C．5×1010 D．0.5×1010
3．如图所示的五棱柱，其主视图是
A B C D
4．三角形三边的长可以是
A．1 cm，1 cm，1 cm B．1 cm，1 cm，2 cm
C．1 cm，2 cm，3 cm D．1 cm，2 cm，4 cm
5．下列运算正确的是
A． B．
C． D．
6．对称性揭示了自然的秩序与和谐，是数学之美的体现．在数学活动课中，同学们利用画图工具绘制出下列图形，其中是中心对称图形的是
三叶玫瑰线 笛卡尔心形线 蝴蝶曲线 四叶玫瑰线
A B C D
7．为加强学生的安全意识，学校举行了“交通安全”演讲比赛．个人展示环节中共有7位评委给选手A进行评分，得到7个数据，并计算这7个数据的平均数，中位数，众数，方差．若将这7位评委的成绩去掉一个最高分和一个最低分后，剩余5个数据的平均数，中位数，众数，方差中，一定不会发生变化的统计量是
A．平均数 B．中位数
C．众数 D．方差
8．若，则整数m的值是
A．0 B．1
C．2 D．3
9．用一条长40 cm 的绳子围成一个面积为75 cm2的矩形，设该矩形一边长为x cm，则下列符合题意的方程是
A． B．
C． D．
(
A
B
O
x
y
)10．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数（）和反比例函数（）的图象如图所示．一条垂直于x轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于A，B两点，则△AOB的面积是
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在本试卷上作答，答案无效．
2．作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．若向东走80米记作米，则向西走60米记作 ．
(
a
b
c
1
2
)12．为测量一批灯泡的使用寿命，适合的调查方式是 （填“全面调查”或“抽样调查”）．
13．如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，，则∠2的大小是 ．
14．不等式的解集是 ．
15．某家商店的账目记录显示，卖出26支A型牙刷和14盒B型牙膏，收入是264元．若以同样的价格卖出同款的39支牙刷和21盒牙膏，则收入应是 ．
(
A
B
C
D
E
O
)16．如图，AB是半圆O的直径，点C（不与点O重合）在AB上．过点C作CD⊥AB交半圆O于点D，连接OD，AD，BD．过点C作CE⊥OD于点E．设，，则图中长度一定等于的线段是 ．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分8分）
计算：．
(
B
C
D
A
E
F
)18．（本小题满分8分）
如图，点E，F在线段BC上（点E在点F左侧），，，．求证：．
19．（本小题满分8分）
已知，求代数式的值．
20．（本小题满分8分）
三坊七巷是福州的历史之源、文化之根，众多的历史名人从这里走出来，他们代表了福州地区特色的名贤文化．某校为增强同学们对福州名贤文化的了解，将举办相关的知识竞赛．初一年段组织本年段所有学生参加预赛，收集了所有学生成绩的数据，并将这些数据按照，，，分为A，B，C，D四组，得到如下不完整的统计图．
(
20
40
60
80
100
120
140
60
70
8
0
90
100
成绩
/
分
频数
/
人
0
) (
A
B
C
30%
D
35%
)
请根据上述信息解答以下问题：
（1）该校初一年段的学生人数是 ，
扇形统计图中“B”组对应的圆心角的度数是 ；
（2）初一年段在此次预赛中成绩最好的4个同学恰好是两男两女，若在这四名同学中随机抽取2名参加下一阶段比赛，求抽取的两名同学刚好为两位女同学的概率．
21．（本小题满分8分）
如图，在△ABC中，，O为AB上一点．以O为圆心，OB长为半径的⊙O过点C，交AB于另一点D．若D是OA的中点，求证：AC是⊙O的切线．
(
A
B
C
O
D
)
22．（本小题满分10分）
如图，在△ABC中，D是BC上一点．
(
A
C
B
D
)（1）在AB上确定一点O，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，当时，将△ABC绕点O旋转得到△DEF，其中，D，E分别是点A，B的对应点．若D是BC的中点，EF交AB于点G，求证：G是EF的中点．
23．（本小题满分10分）
数学活动小组开展课外实践活动，他们利用周末去测量某建筑物（如图1）的高度，携带的工具有：皮尺、自制测角仪．皮尺（如图2）的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（两点间的距离不大于皮尺的测量长度；借助自制测角仪（如图3）可以在任一点P处，通过测量和计算得到视线PO与水平方向PQ的仰角（或俯角）∠OPQ的大小．
图1 图2 图3
该小组预设了如下方案（如图4）：
(
图
4
)（ⅰ）在该建筑物（MN）的附近较空旷的平地上选择一点A，
点B为测量人员竖直站立时眼睛的位置，用自制测角仪获取最高处（M）的仰角；
（ⅱ）用皮尺测得测量人员眼睛到地面的距离，
以及测量点A与大楼底部N的水平距离；
（ⅲ）由实际背景可知四边形ABCN为矩形，
所以， ① m， ② m；
（ⅳ）在Rt△BCM中， ③ m，
所以，建筑物的高 ④ m．
（1）请补全该小组预设方案中①②③④所缺的内容；
（2）在现场实践时，发现由于客观原因，无法测量该建筑物周围任意一点与该建筑物的水平距离，即无法获得（1）中AN的长．请你利用所带工具设计可行的测量方案，并利用解直角三角形的知识，求MN的高度．
要求：测量长度和角度的次数均不超过两次，
且测量得到的长度用字母a，b表示，
角度用α，β表示．
24．（本小题满分12分）
已知抛物线，A（，0），B（6，4）．
（1）若抛物线经过点A，B，与x轴的另一个交点是C．
①求抛物线的解析式；
②过点B作BD⊥x轴，垂足为D．延长BD至点E，连接AE，若，求点E的坐标；
（2）当时，已知点P（，），Q（，）在抛物线上，直线PQ与直线AB交于点M（，）．若，时，有成立，直接写出a的取值范围．
25．（本小题满分14分）
如图，在Rt△ABC中，，点D在边BC上（不与点B，C重合），过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E．以AE，AC为边作□AEFC．
（1）求证：；
（2）记△ABC的面积为，□AEFC的面积为，若AD平分∠CAB，用等式表示与的数量关系，并说明理由；
（3）延长FE交AB于点G，连接BF，DG，若，求证：DG⊥AB．
(
A
B
C
F
E
D
) (
A
B
C
)
（备用图）

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