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2023～2024学年度第二学期期中检测试卷
七年级数学
（满分150分，时间120分钟，闭卷）
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．每题的四个选项中，只有一个符合题意，请把符合题意的选项填在下表中）
1. 如图，未拼完的木盘，现欲用平移方式移动拼木拼满木盘，应该选择的拼木是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移前后，图形的大小，形状和方向都不反生改变，进行判断即可．
【详解】解：由图可知，应该选择的拼木是：
故选D．
【点睛】本题考查图形的平移．熟练掌握平移的性质，是解题的关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂相乘、合并同类项等知识点，掌握同底数幂相乘、底数不变、指数相加成为解题的关键．
根据相同底数幂相乘、合并同类项的知识逐项分析即可解答．
【详解】解：A、，故该选项是错误的，不符合题意；
B、，故该选项是错误的，不符合题意；
C、，故该选项是正确的，符合题意；
D、，故该选项是错误的，不符合题意；
故选：C．
3. 如果三角形两边长分别是6厘米、8厘米，那么第三边长可能是（ ）
A. 16厘米 B. 14厘米 C. 10厘米 D. 2厘米
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．
【详解】解：设此三角形第三边的长为x，则，即，四个选项中只有10符合条件．
故选：C．
4. 如果一个正多边形的边数增加2，那么它的外角和增加（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了多边形的内角和外角．正确理解多边形内角与外角的性质．
【详解】解：一个多边形，外角和始终是，不会随边数改变．
故选：A．
5. 下列多项式不能进行因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解，掌握运用完全平方公式和平方差公式进行因式分解成为解题的关键．
利用平方差公式和完全平方公式逐项判断即可．
【详解】解：A．，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项不符合题意；
D．不能进行因式分解，故本选项符合题意．
故选：D．
6. 如图，已知直线，平分，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查角平分线性质，以及平行线性质，根据角平分线性质得到，根据平行线性质得到，，再进行等量代换，即可解题．
【详解】解：平分，
，
直线，
，，
，
，
，
故选：D．
7. 如图，在中，，，平分，是上高，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，依据直角三角形，即可得到，再根据，平分，即可得到的度数，再根据进行计算即可．熟知三角形内角和是以及角平分线的定义是解答此题的关键．
【详解】解：∵是上的高，
∴，
∵，
∴，
又∵平分，，，
∴，
∴，
故选B．
8. 计算(0.04)2019×[(－5)2019]2得(　　)
A. 1 B. －1 C. D. －
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】原式=(0.04)2019×[(－5)2]2019=[ 0.04×(－5)2]2019=12019=1.
故选A．
【点睛】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案直接填在题中的横线上）
9. 红细胞的直径约为，用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：．
故答案为：
10. 若一个多边形的内角和为，则该多边形的边数n等于____________．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和．设这个多边形的边数是，根据多边形的内角和公式，列出方程求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数是，
由题意得：，
解得：，
这个多边形的边数是7，
故答案为：7．
11. 因式分解： ________________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了提取公因式法与公式法的综合运用，正确运用平方差公式是解题关键．首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
12. 若，，则________________．
【答案】18
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法，牢记运算性质是关键．先把两边平方，从而求出的值，再根据同底数幂的乘方求出的值．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：18．
13. 若是一个完全平方式，则m的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了完全平方式的应用，满足即为完全平方式，据此即可作答．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴
解得
故答案为：
14. 如图，两个正方形边长分别为a、b，如果，则阴影部分的面积为________．
【答案】144
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，正方形，等腰直角三角形，三角形的面积，利用配方法将多项式变形，利用整体代入的思想求值是解题的关键．
将阴影部分的面积表示为两个正方形的面积之和减去和的面积，再利用配方法将多项式变形后，整体代入即可求解．
【详解】解：阴影部分的面积为：
．
∵，
∴阴影部分的面积为：．
∴阴影部分的面积为 144．
故答案：144．
15. 如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点，分别在边，上，将沿着折叠压平，与重合，若，则______.
【答案】##65度
【解析】
【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理．由折叠可得，，进而可得，结合，可得，即可求解．
【详解】解：将沿着折叠压平，与重合，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16. 如图，点C为直线外一动点，，连接，点D、E分别是的中点，连接交于点F，当四边形的面积为5时，线段长度的最小值为______．
【答案】5
【解析】
【分析】如图：连接，过点C作于点H，根据三角形中线的性质求得，从而求得，利用垂线段最短求解即可．
【详解】解：如图：连接，过点C作于点H，
∵点D、E分别是的中点，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵点到直线的距离垂线段最短，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质、垂线段最短等知识点，正确作出辅助线、利用中线分析三角形的面积关系是解题的关键．
三、解答题（本题共11小题，共102分．解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
17. 计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算、整式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
（1）先运用负整数次幂、零次幂、绝对值化简，然后再计算即可；
（2）先计算单项式乘法，然后再合并同类项即可．
【小问1详解】
解：，
．
【小问2详解】
解：
．
18. 因式分解
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用平方差公式分解因式即可；
（2）先提公因式再用完全平方公式分解因式即可．
【小问1详解】
解： 原式=
=
【小问2详解】
解：原式=
=
【点睛】本题考查因式分解，第一步提公因式，第二步看项数，有两项能表示成平方形式且符号相反，用平方差公式；有三项两平方项符号相同，另一项是平方项底数乘积的2倍，用完全平方公式．解题关键是熟记公式．
19. 先化简再求值：，其中是最小的正整数．
【答案】，92
【解析】
【分析】利用完全平方公式和平方差公式计算，进一步合并同类项，再进一步代入求得数值即可．
【详解】解：原式
，
∵a是最小的正整数，
∴，
∴原式．
【点睛】此题考查整式的混合运算，注意先利用公式计算，再进一步代入求得数值即可．
20. 如图，在四边形中，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用四边形的内角和和已知条件中的对角相等得到邻角互补，从而判定．
【详解】证明：，
，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定及四边形的内角和，解题的关键是了解平行线的几个判定定理．
21. 完成下面的证明：
如图，在四边形ABCD中，BE平分∠ABC交线段AD于点E，∠1=∠2，∠C=110°，求∠D的度数
解：∵BE平分∠ABC （已知）
∴∠2=_________（ ）
又∵∠1=∠2 （已知）
∴∠1=_________（ ）
∴AD//BC（ ）
∴∠C+________=180°（ ）
又∵∠C=110°（已知）
∴∠D=__________．
【答案】；角平分线的性质；；等量代换；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；70°
【解析】
【分析】根据角平分线的性质结合题意证得AD//BC，利用平行线的性质可求得∠D的度数．
【详解】解：∵BE平分∠ABC （已知）
∴∠2=∠EBC（ 角平分线的性质 ）
又∵∠1=∠2 （已知）
∴∠1=∠EBC（ 等量代换 ）
∴AD//BC（内错角相等，两直线平行）
∴∠C+∠D =180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠C=110°（已知）
∴∠D=70°
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的判定与性质，熟知对应的判定方法以及性质是解决本题的关键．
22. 如图，在由边长为1个单位的正方形组成的网格中，三角形的顶点均在格点上，三角形经过平移后得到三角形，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）．
（1）画出三角形；
（2）画出三角形的高；
（3）连接，，那么与的关系是___________，线段扫过的图形的面积为___________；
（4）在的右侧确定格点Q，使三角形的面积和三角形的面积相等，这样的Q点有___________个．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）平行且相等，10
（4）8
【解析】
【分析】本题考查平移变换、格点作图：
（1）根据点位置确定平移方式，得出点，，顺次连接即可得到；
（2）利用格点构造全等三角形，结合三角形的高的定义即可求解；
（3）根据平移变换的性质可得与的关系，再利用割补法求平行四边形的面积；
（4）建立同底等高模型，在的右侧作平行线，使点Q到的距离与点C到的距离相等，经过的格点即为所求．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
【小问3详解】
解：与的关系是平行且相等，
线段扫过的图形的面积为：，
故答案为：平行且相等，10；
【小问4详解】
解：如图，共有8个符合要求的格点Q，
故答案：8．
23. 已知，，，探究a，b，c之间满足的等量关系并给出证明过程．
【答案】，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的有关运算，熟练掌握同底数幂乘法法则和幂的乘方法则成为解题的关键．
先根据同底数幂乘法法则和幂的乘方法则计算与的关系，进而完成解答．
【详解】解：a，b，c之间满足的等量关系为：，理由如下：
∵，，，
∴，，
∴，
∴，即．
24. 有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图①，它表示了．
（1）图②是将一个长2m、宽2n的长方形，沿图中虚线平方为四块小长方形，然后再拼成一个正方形，请你观察图形，写出三个代数式关系的等式： ；
（2）若已知，则 ；
（3）小明用8个一样大的长方形（长acm，宽bcm）拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案，图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形，图案甲的中间留下了边长是2cm的正方形小洞，则的值为 ．
【答案】（1）；（2）9；（3）4．
【解析】
【分析】（1）利用图形面积关系得出等式即可；
（2）利用图形面积之间关系得出即可求出；
（3）利用图形面积之间关系得出即可求出．
【详解】解：（1）由图形的面积可得出：
；
故答案为；
（2）∵，
则．
（3）∵，
∴的值为．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算以及图形面积求法，根据图形面积得出等式是解题的关键．
25. 先阅读下面的内容，再解决问题：
对于形如，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，无法直接用公式法．于是可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
像这样的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）若
①当x，y，n满足条件：时，求n的值；
②若三边长是x，y，z，且z为偶数，求的周长．
【答案】（1）
（2）①②或或或
【解析】
【分析】（1）仿照“配方法”进行因式分解即可；
（2）可求，①可得，即可求解；②可得，从而可求取、、、，即可求解．
【小问1详解】
解：原式
；
小问2详解】
解：由题意得
，
，
解得：，
①，
，
，
，
解得：；
②，
，
为偶数，
取、、、
；
或
；
或
；
或
；
故的周长为或或或．
【点睛】本题考查了“配方法”因式分解，非负数的和，三角形三边关系，幂的乘法的逆用，同底数幂的乘法，理解“配方法”因式分解，掌握三边关系及公式是解题的关键．
26. 我们知道：过三角形的顶点引一条直线，可以将它分成两个小三角形．如果每个小三角形都有两个相等的内角，则我们称这条直线为原三角形的“美丽线”．如下图，直线为的“美丽线．
（1）如下图，在中，，，请利用直尺和量角器在图2 中画出的“美丽线”(标出所得三角形的内角度数，不要求写画法)．
（2）在中，，．若存在过点C的“美丽线”，试探究与的关系，
下面是对这个问题的部分探究过程：
设为的“美丽线”，点D在边上，则 中各两个相等的内角．
[探究 1]
如下图，当时，因为，所以________，且为锐角，则为钝角，所以中，，由此可以得到，与关系为__________其中的取值范围____________．
[探究 2]
借助下面的图形，请你继续完成本问题的探究，直接写出与的关系．
【答案】（1）见解析；（2）探究1：，，；探究2：或或
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，理解新定义“美丽线”是解题的关键．
（1）根据“美丽线”的定义结合三角形内角和定理，即可求解；
（2）探究1：根据“美丽线”的定义，结合三角形内角和定理分别求出的度数，再根据平角的定义可得结论，再由，可得的取值范围；
探究2：根据“美丽线”的定义，图形结合（图示见详解），分类讨论，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：（1）在中，，，
∴，
∵
∴根据“美丽线”的定义可得，如图所示，
∴直线即为所求；
（2）探究1：∵在中，，，
∴，
如图所示，设为的“美网线”，
当时，
∵，
∴，且为锐角，则为钝角，
在中，，
∴，
∵，
∴，整理得，，
∴与的关系为：，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，，；
探究2：
①如图所示，是的“美丽线”，
∴，，
∵，，，
∴，整理得，；
②如图所示，是三角形的“美丽线”，
∴，，
∵是的外角，
∴；
③如图所示，当，是三角形的“美丽线”，
∴，，
∴；
综上所述，与的关系有或或．
27. 某市为了亮化某景点，在两条笔直的景观道上，分别放置了A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自逆时针旋转至便立刻回转，B灯发出的光束自逆时针旋转至便立刻回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动，B灯每秒转动，若这两条笔直的景观道是平行的．
（1）B灯先转动15秒，A灯才开始转动，当A灯转动5秒时，两灯的光束和到达如图①所示的位置，和是否互相平行？请说明理由；
（2）在（1）的情况下，当B灯的光束第一次到达之前，两灯的光束是否还能互相平行？如果还能互相平行，那么此时A灯旋转的时间为多少秒？
【答案】（1）平行，理由见解析
（2）69或125或141
【解析】
【分析】（1）分别计算和，得到它们相等，即可求解；
（2）先计算出A灯一共旋转的时间，再分情况讨论，利用建立方程求解即可．
【小问1详解】
互相平行；
理由：当B灯先转动15秒，A灯才开始转动，且当A灯转动5秒时．
，，
∵两条笔直的景观道是平行的，
∴，
∴，
∴，即和互相平行；
【小问2详解】
能，69或125或141；
理由：当A灯旋转x秒时，
，
当B灯的光束第一次到达之时，
B灯所用时间为（秒），
∴A灯共旋转了（秒），
∵，即A灯光线每45秒从一边到达另一边，
当时，，
若，则，为（1）中的情况，符合题意；
当时，，
若，则，符合题意；
当时，，
若，则，符合题意；
当，，
若，则，符合题意；
所以能，此时A灯旋转的时间为69或125或141秒．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和平行线的判定与性质，解题关键是能进行分类讨论，并正确列出一元一次方程．2023～2024学年度第二学期期中检测试卷
七年级数学
（满分150分，时间120分钟，闭卷）
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．每题的四个选项中，只有一个符合题意，请把符合题意的选项填在下表中）
1. 如图，未拼完木盘，现欲用平移方式移动拼木拼满木盘，应该选择的拼木是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如果三角形两边长分别是6厘米、8厘米，那么第三边长可能是（ ）
A. 16厘米 B. 14厘米 C. 10厘米 D. 2厘米
4. 如果一个正多边形的边数增加2，那么它的外角和增加（ ）
A. B. C. D.
5. 下列多项式不能进行因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，已知直线，平分，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，，平分，是上的高，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
8. 计算(0.04)2019×[(－5)2019]2得(　　)
A. 1 B. －1 C. D. －
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案直接填在题中的横线上）
9. 红细胞的直径约为，用科学记数法表示为______．
10. 若一个多边形的内角和为，则该多边形的边数n等于____________．
11. 因式分解： ________________．
12. 若，，则________________．
13. 若是一个完全平方式，则m的值为_______．
14. 如图，两个正方形边长分别为a、b，如果，则阴影部分的面积为________．
15. 如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点，分别在边，上，将沿着折叠压平，与重合，若，则______.
16. 如图，点C为直线外一动点，，连接，点D、E分别是的中点，连接交于点F，当四边形的面积为5时，线段长度的最小值为______．
三、解答题（本题共11小题，共102分．解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
17. 计算
（1）；
（2）．
18. 因式分解
（1）
（2）
19. 先化简再求值：，其中是最小的正整数．
20. 如图，在四边形中，，，求证：．
21. 完成下面的证明：
如图，在四边形ABCD中，BE平分∠ABC交线段AD于点E，∠1=∠2，∠C=110°，求∠D的度数
解：∵BE平分∠ABC （已知）
∴∠2=_________（ ）
又∵∠1=∠2 （已知）
∴∠1=_________（ ）
∴AD//BC（ ）
∴∠C+________=180°（ ）
又∵∠C=110°（已知）
∴∠D=__________．
22. 如图，在由边长为1个单位的正方形组成的网格中，三角形的顶点均在格点上，三角形经过平移后得到三角形，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）．
（1）画出三角形；
（2）画出三角形高；
（3）连接，，那么与的关系是___________，线段扫过的图形的面积为___________；
（4）在的右侧确定格点Q，使三角形的面积和三角形的面积相等，这样的Q点有___________个．
23. 已知，，，探究a，b，c之间满足的等量关系并给出证明过程．
24. 有许多代数恒等式可以用图形面积来表示，如图①，它表示了．
（1）图②是将一个长2m、宽2n的长方形，沿图中虚线平方为四块小长方形，然后再拼成一个正方形，请你观察图形，写出三个代数式关系的等式： ；
（2）若已知，则 ；
（3）小明用8个一样大长方形（长acm，宽bcm）拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案，图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形，图案甲的中间留下了边长是2cm的正方形小洞，则的值为 ．
25. 先阅读下面的内容，再解决问题：
对于形如，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，无法直接用公式法．于是可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
像这样的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）若
①当x，y，n满足条件：时，求n的值；
②若三边长是x，y，z，且z为偶数，求的周长．
26. 我们知道：过三角形的顶点引一条直线，可以将它分成两个小三角形．如果每个小三角形都有两个相等的内角，则我们称这条直线为原三角形的“美丽线”．如下图，直线为的“美丽线．
（1）如下图，在中，，，请利用直尺和量角器在图2 中画出的“美丽线”(标出所得三角形的内角度数，不要求写画法)．
（2）在中，，．若存在过点C的“美丽线”，试探究与的关系，
下面是对这个问题部分探究过程：
设为的“美丽线”，点D在边上，则 中各两个相等的内角．
[探究 1]
如下图，当时，因为，所以________，且为锐角，则为钝角，所以中，，由此可以得到，与关系为__________其中的取值范围____________．
[探究 2]
借助下面的图形，请你继续完成本问题的探究，直接写出与的关系．
27. 某市为了亮化某景点，在两条笔直的景观道上，分别放置了A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自逆时针旋转至便立刻回转，B灯发出的光束自逆时针旋转至便立刻回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动，B灯每秒转动，若这两条笔直的景观道是平行的．
（1）B灯先转动15秒，A灯才开始转动，当A灯转动5秒时，两灯的光束和到达如图①所示的位置，和是否互相平行？请说明理由；
（2）在（1）的情况下，当B灯的光束第一次到达之前，两灯的光束是否还能互相平行？如果还能互相平行，那么此时A灯旋转的时间为多少秒？

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