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2023~2024学年度九年级模拟考试试题数学
注意事项：
1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟．
2．考生使用答题卡作答．
3．在作答前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卡规定的地方．考试结束，监考人员只将答题卡收回．
4．选择题部分请使用2B铅笔填涂；非选择题部分请使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
6．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等．
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1. 如图，比点A表示的数大2的数是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了数轴上表示有理数和有理数的加法，根据数轴得到点A表示的数是，再根据即可得到答案.
【详解】解：∵点A表示的数是，
∴比点A表示的数大2的数是，
故选：C
2. 榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，则它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据左视图是从左向右观察到的图形，进行判断即可．
【详解】解：由题意，得：“卯”的左视图为：
故选D．
3. 中国新能源汽车产销量连续9年位居全球第一，其中2023年出口120.3万辆，同比增长77.6%．将数据120.3万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法就是将一个数字表示成的形式，其中，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数.
【详解】解：120.3万用科学记数法表示为：，
故选C
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的除法及乘法、幂的乘方，根据合并同类项、同底数幂的除法及乘法、幂的乘方的运算法则逐一判断即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原选项正确，故符合题意；
B、，原选项错误，故不符合题意；
C、与不能进行合并，原选项错误，故不符合题意；
D、，原选项错误，故不符合题意；
故选A．
5. 已知∠A是锐角，且sinA=，则tanA的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用sinA=，设AB=5x，则BC=3x，可得AC=4x，再利用锐角三角函数关系求出即可．
【详解】如图所示：
∵sinA= ，
∴设AB=5x，则BC=3x，
故AC=4x，
∴tanA= ．
故选A．
【点睛】考查了同角三角函数的关系，用同一未知数表示出各边长是解题关键．
6. 如图，在中，点D，E分别在边和上，连接，若是的中位线，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查中位线的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
利用中位线的性质，先证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：∵是的中位线
∴，
∴，
∴，
∴，
故选B．
7. 分式方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了解分式方程，去分母化为整式方程，解方程后并检验即可得到答案．
【详解】解：
去分母得，
解得，
经检验是分式方程的解，
故选：A．
8. 如图，抛物线与x轴相交于，两点，与y轴负半轴相交于点C，点D在抛物线上，且直线轴，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 线段CD的长为4
C. D. 当时，y的值随x值的增大而增大
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据图象得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与轴交点为，是解决问题的关键．结合二次函数图象与性质，根据条件与图象，逐项判定即可．
【详解】解：A、根据图象可知抛物线开口向下，即，故该选项错误，不符合题意；
B、∵抛物线与x轴相交于，两点，
∴对称轴是直线，
∵抛物线与y轴负半轴相交于点C，点D在抛物线上，且直线轴，
∴,
故选项正确，符合题意，
C、根据，可知，当时，，故该选项错误，不符合题意；
D、根据图象开口向下，对称轴为，当，随的增大而减小，故该选项错误，不符合题意；
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分．共20分
9. 因式分解7x2﹣63＝________．
【答案】7（x+3）（x-3）
【解析】
【分析】首先提取公因式7，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：7x2-63
=7（x2-9）
=7（x+3）（x-3）
故答案为：7（x+3）（x-3）
【点睛】此题主要考查了提取公因式法与公式法的综合运用，正确运用平方差公式是解题关键．
10. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，则的面积为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数中k的几何意义．
连接，由于同底等高的两个三角形面积相等，则，然后根据反比例函数中k的几何意义有|，进而即可求解．
【详解】连接，
∵轴
∴
故答案为：3
11. 某校在期末考核学生的体育成绩时，将早锻炼及体育课外活动表现占成绩的20%，体育理论测试占30%，体育技能测试占50%．小颖的上述成绩分别为92分、80分、84分，则小颖这学期的体育成绩是_____分
【答案】84.4
【解析】
【详解】由题意知,小颖的体育成绩=92×20%+80×30%+84×50%=84.4(分).
故小颖的体育成绩是84.4分.
故答案为:84.4.
12. 如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针旋转后得到对应的四边形（旋转角小于180°），连接AC，若，则菱形ABCD旋转的角度是____度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查旋转及菱形的性质．推出是解题的关键．根据旋转的性质结合菱形的性质即可求解．
【详解】解：由题意得：
∵四边形是菱形，
∴
∵
∴
即菱形ABCD旋转的角度是度，
故答案为：
13. 如图，在扇形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线，若，，则扇形的面积为______（结果保留）．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查扇形的面积，关键是掌握扇形面积公式．由作图求出的度数，由扇形面积公式即可求解．
【详解】解：由作图知：平分，
∵，
∴，
∵，
∴扇形的面积．
故答案为：．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （1）计算：；
（2）解不等式组，并写出它的所有整数解．
【答案】（1）；（2），．
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算、解不等式组、特殊角的三角函数值、零指数幂及绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）先计算零指数幂、绝对值及特殊角的锐角三角函数，再进行加减计算即可；
（2）先计算不等式组的解集，再根据解集确定整数解即可．
【详解】（1）解：原式=
=
=；
（2），
由①得，，
由②得，，
∴原不等式组的解集为：，
∴整数解为：．
15. “综合与实践”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》中四大领域之一，武侯区某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习．设置了“A．制作视力表”“B．猜想、证明与拓广”“C．池塘里有多少条鱼”三个项目供九年级学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下表格：
项目 选择人数 频率
A．制作视力表 4
B．猜想、证明与拓广
C．池塘里有多少条鱼 20 0.5
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：___________，____________，____________；
（2）该校共有500名九年级学生，请估计选择“B．猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数；
（3）本次调查中，选择“A．制作视力表”项目学习的四人中有三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率．
【答案】（1）0.1，16，0.4；
（2）200 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查概率和频数分布表，列出树状图是关键；
（1）先求出总人数，再求出b的值，进而a和c的值；
（2）用九年级总人数乘选择“B．猜想、证明与拓广”项目所占比即可；
（3）画出树状图，再利用概率公式求解即可
【小问1详解】
解：，
，
，，
故答案为：0.1，16，0.4；
【小问2详解】
（人），
答：B．猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数有200人；
【小问3详解】
画树状图如下：
共有12种等可能的情况，恰好选到一名女生和一名男生的有6种，
所以恰好选到一名女生和一名男生的概率=
16. 东安阁是成都市东安湖公园的地标性建筑，是公园十二景中的第一景，碧瓦朱甍、飞阁流丹，尽显蜀川之美．某数学兴趣小组用无人机测量东安阁的高度，测量方案为：如图，先将无人机垂直上升至距离地面的P点，测得东安阁顶端A的俯角为；再将无人机沿东安阁的方向水平飞行到达点Q，测得东安阁底端B的俯角为，求东安阁的高度．（结果精确到；参考数据：，，）
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查解三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长，交的延长线于点C，根据题意得出，，，再由等腰直角三角形得出，然后解直角三角形即可．
【详解】解：延长，交的延长线于点C，
则
由题意得，，，
在中，，
则
∴，
在中，，
解得，
∴东安阁的高度约为．
17. 如图，为的直径，C为上一点，连接，过C作于点D，在上取一点E，连接，且满足平分，连接，分别交于点F，G．
（1）求证：；
（2）若，，求⊙的半径及线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）⊙的半径为5，线段的长为．
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、等角对等边、勾股定理等知识，证明和是解题的关键．
（1）先证明，根据余角的性质和角平分线得到，由圆周角定理得到，则，即可得到结论；
（2）求出，证明，得到，则，由得到，即可得到⊙的半径为5，根据得到，由勾股定理得到，设，则，在中，由即可求出x的值，即可得到线段的长．
【小问1详解】
证明：∵为的直径，
∴，
∴，
∵于点D，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴，
由（1）可知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴⊙的半径为5，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
即线段的长为．
18. 在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象如图所示，直线分别交x轴，y轴于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）在该反比例函数的图象上取一点C，连接，其中交线段于点D，若，且相似比为2，求该反比例函数的表达式；
（3）在的内部取一点P，以P为位似中心画，使它与位似，且相似比为5，若M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，求位似中心P的坐标．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质，反比例函数与几何综合；
（1）令，则；，则，进而即可求解；
（2）由相似三角形的性质得，从而得的解析式为：，设，进而即可求解；
（3）分①当M、N在直线的左侧时，②当M、N在直线的右侧时，两种情况画出图形，利于相似三角形的性质，表示出M、N的坐标即可求解
【小问1详解】
解：令中，，则；，则，
∴A，B两点的坐标分别是：；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴的解析式为：，
∵，相似比2，
∴，
设，则，
∴，即，
∴该反比例函数的表达式：；
【小问3详解】
解：①当M、N在直线的左侧时，
∵以P为位似中心画，使它与位似，M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，
∴，
∴M、N关于直线对称，
∴点P在直线上，
设，（），
∵相似比为5，
∴，
∴，即，
同理：，
∵M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，
∴，，
∴，，
∵与位似，且相似比为5，
∴，
∴，解得：（舍去）或，
∴；
②同理：当M、N在直线的右侧时，设，（），
，
同理：，
∵M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，
∴，，
∴，，
∵与位似，且相似比为5，
∴，
∴，解得：（舍去）或，
∴，
综上所述：或
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 若小数部分为，则代数式的值为_____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的除法运算，掌握“二次根式的除法运算与分式的混合运算”是解本题的关键．
先把除法转化为乘法运算，约分后可得结果，然后估算无理数的大小得出，再代入要求值可得答案．
【详解】解：
∵的小数部分为，，
∴，
∴原式，
故答案：．
20. 请写出一个正整数的值，使得关于的方程有实数根，那么的值可以是_____．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据关于的方程有实数根得到，解得，再写出满足题意的答案即可．
【详解】解：∵关于的方程有实数根，
∴
∴，
则正整数满足题意，
故答案为：（答案不唯一）
21. 某兴趣小组在探究光沿直线传播时，设计制作了一个由点光源和质地均匀不透光的圆环组成的实验装置，由物理学知识，可知点光源发出的光线将圆环的部分区域照亮，其示意图如图所示．已知的半径为，点光源P到圆心O的距离为．现假设可以随意在上取点，则这个点取在无光圆弧部分的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形、切线的性质定理、几何概率等知识，求出，则，即可得到点取在无光圆弧部分的概率为．
【详解】解：设从点O出发的的两条切线分别为，切点分别为A、B，连接，则，
∴，
∵的半径为，点光源P到圆心O的距离为．
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点取在无光圆弧部分的概率为，
故答案为：．
22. 如图，在矩形中，，，点E是边上一点，，分别在边上取点M，N，将矩形沿直线翻折，使得点B的对应点恰好落在射线上，点A的对应点是，那么折痕的长为______；连接，线段的最小值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理、折叠问题等知识，过点M作于点H，则，证明四边形是矩形，求出 ，，证明，则，即可得到的长，作直线，作于点T，得到,根据垂线段最短，当点落在点T时，即于重合时，取得最小值，即为的长，延长交直线于点R，设与相交于点Q，证明四边形是平行四边形，则，于点Q，证明，得到，即可得到的长，得到答案．
【详解】解：过点M作于点H，则，
∴
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵将矩形沿直线翻折，使得点B的对应点恰好落在射线上，
∴，设垂足为点S，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴
解得，,
作直线，作于点T，
∵，，
∴,
根据垂线段最短，当点落在点T时，即于重合时，取得最小值，即为的长，延长交直线于点R，设与相交于点Q，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴， ，
∴，于点Q，
∵，
∴,
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
即线段的最小值为
故答案为：，
23. 利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式．在平面直角坐标系中，定义一种坐标加密方式：将点变换得到点，则称点Q是点P的“加密点”．例如，点的“加密点”是点．已知点A在x轴的上方，且，若点A的“加密点”B在直线上，则m的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数图象和性质，直线与圆的位置关系；
设，则，可得，进而得当直线与半圆相切时，，当直线过点时，，进而得到答案
【详解】解：设，则
∵B在直线上，
∴，即，
∵点A在x轴的上方，且，
∴，
∴是直线与半圆的交点，
当直线与半圆相切时，
∴中，，即，
当直线过点时，，
∴
故答案为：
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24. 2024年成都世界园艺博览会于4月26日开幕，成都将向世界展示中华园艺文化的魅力和底蕴．某学校以此为契机，计划开展“遇见生态文明之美”研学活动．本次活动需租用客车，若单独租用30座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用45座客车，则可以少租4辆，且空余30个座位．已知每辆客车的租金情况如表所示：
车型 30座 45座
租金（元/辆） 300 400
（1）求该校参加研学活动的人数；
（2）该校计划租用以上两种车型的客车共10辆，当两种车型的客车分别租用多少辆时，总费用最少？
【答案】（1）该校参加研学活动的人数是人
（2）当租用30座客车2辆，45座客车8辆总费用最少
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，
（1）设单独租用30座客车辆，根据单独租用45座客车，则可以少租4辆，且余30个座位列出方程求解即可；
（2）设租用30座客车辆，则租用45座客车辆，根据两种客车的座位要大于等于人数列出不等式求出，再根据为正整数确定对应的方案并计算出每个方案的花费并比较即可得到答案．
【小问1详解】
解：设单独租用30座客车辆，
根据题意，得．
解得．
．
答：该校参加研学活动的人数是人．
【小问2详解】
解：设租用30座客车辆，则租用45座客车辆，
根据题意，得．
解得．
取正整数，
或2．
当时，，租金为；
当时，，租金为．
最省钱的租车方案是租用30座客车2辆，45座客车8辆．
答：当租用30座客车2辆，45座客车8辆总费用最少．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C，M为第四象限的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接，和，当四边形的面积为9时，求点M的坐标；
（3）请完成以下探究．
【动手操作】作直线，交抛物线于另一点N，过点C作y轴的垂线，分别交直线，直线于点D，E．
【猜想证明】随着点M的运动，线段的长是否为定值？若是，请直接写出该定值并证明，若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）2
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质与一次函数的性质，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键．
（1）利用待定系数求抛物线的解析式即可；
（2）连接，过点M作轴交于点H，先求出直线的表达式为，设点，则点，根据四边形的面积求出m的值即可得出点M的坐标；
（3）先依题意作图，设点M、N的坐标分别为、，
由点M、N的坐标可得直线的表达式为：，进而得出，再求出，，即可得出答案．
【小问1详解】
解：抛物线与x轴相交于，两点，
，解得，
故抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：连接，过点M作轴交于点H，如图所示：
设直线的表达式为，
把点和代入得：，
解得：，
直线的表达式为，
设点，则点，
则四边形的面积
，
解得：，
故点；
【小问3详解】
解：依题意作图如图所示：
设点M、N的坐标分别为、，
设直线的表达式为，
把点和代入得：，
解得：，
表达式为：，
将代入得：，
整理得：，
设直线的表达式为，
把点和代入得：，
解得：，
直线的表达式为：，
当时，可得，
解得：，
可得：，
，
则
．
26. 如图，在中，，点D为边上一点（点D不与B，C重合），且满足．以D为顶点作，射线交边于点E．
（1）求证：；
（2）过A作，交射线于点G．
i）试探究与之间满足的数量关系（用含n的代数式表示）；
ii）连接，当时，求的值．
【答案】（1）见详解 （2）i）；ii）
【解析】
【分析】（1）分别证明，，根据“两角对应相等，两三角形相似”即可证明．
（2）i）设，则，．作于点H，则可得，，，根据勾股定理得，在中，可得，由可得，由此可求得，则，进而可得．ii）由可得，由可得A、H、D、G四点共圆，进而可得，垂直平分，则，由此可求得n的值．
【小问1详解】
证明：在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：i）设，则，，
作于点H，
∵中，，
∴，，
，
∴，
．
，
．
又，
，
．
∵，
∴，
∴，
解得，
，
，
．
ii）
，
，
．
，
∴A、H、D、G四点共圆．
，
．
，
，
．
又，
∴垂直平分，
，
，
整理得，
解得（舍去），，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理、线段垂直平分线的判定和性质，综合性强，难度较大．能够综合运用以上知识并且准确计算是解题的关键．2023~2024学年度九年级模拟考试试题数学
注意事项：
1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟．
2．考生使用答题卡作答．
3．在作答前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卡规定的地方．考试结束，监考人员只将答题卡收回．
4．选择题部分请使用2B铅笔填涂；非选择题部分请使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
6．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等．
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1. 如图，比点A表示的数大2的数是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
2. 榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，则它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 中国新能源汽车产销量连续9年位居全球第一，其中2023年出口120.3万辆，同比增长77.6%．将数据120.3万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算正确是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知∠A是锐角，且sinA=，则tanA的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在中，点D，E分别在边和上，连接，若是的中位线，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 分式方程的解为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，抛物线与x轴相交于，两点，与y轴负半轴相交于点C，点D在抛物线上，且直线轴，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 线段CD的长为4
C. D. 当时，y的值随x值的增大而增大
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分．共20分
9. 因式分解7x2﹣63＝________．
10. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，则的面积为______．
11. 某校在期末考核学生的体育成绩时，将早锻炼及体育课外活动表现占成绩的20%，体育理论测试占30%，体育技能测试占50%．小颖的上述成绩分别为92分、80分、84分，则小颖这学期的体育成绩是_____分
12. 如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针旋转后得到对应的四边形（旋转角小于180°），连接AC，若，则菱形ABCD旋转的角度是____度．
13. 如图，在扇形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线，若，，则扇形的面积为______（结果保留）．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （1）计算：；
（2）解不等式组，并写出它所有整数解．
15. “综合与实践”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》中四大领域之一，武侯区某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习．设置了“A．制作视力表”“B．猜想、证明与拓广”“C．池塘里有多少条鱼”三个项目供九年级学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下表格：
项目 选择人数 频率
A．制作视力表 4
B．猜想、证明与拓广
C．池塘里有多少条鱼 20 0.5
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：___________，____________，____________；
（2）该校共有500名九年级学生，请估计选择“B．猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数；
（3）本次调查中，选择“A．制作视力表”项目学习的四人中有三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率．
16. 东安阁是成都市东安湖公园的地标性建筑，是公园十二景中的第一景，碧瓦朱甍、飞阁流丹，尽显蜀川之美．某数学兴趣小组用无人机测量东安阁的高度，测量方案为：如图，先将无人机垂直上升至距离地面的P点，测得东安阁顶端A的俯角为；再将无人机沿东安阁的方向水平飞行到达点Q，测得东安阁底端B的俯角为，求东安阁的高度．（结果精确到；参考数据：，，）
17. 如图，为的直径，C为上一点，连接，过C作于点D，在上取一点E，连接，且满足平分，连接，分别交于点F，G．
（1）求证：；
（2）若，，求⊙的半径及线段的长．
18. 在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象如图所示，直线分别交x轴，y轴于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）在该反比例函数的图象上取一点C，连接，其中交线段于点D，若，且相似比为2，求该反比例函数的表达式；
（3）在的内部取一点P，以P为位似中心画，使它与位似，且相似比为5，若M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，求位似中心P的坐标．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 若的小数部分为，则代数式的值为_____．
20. 请写出一个正整数的值，使得关于的方程有实数根，那么的值可以是_____．（写出一个即可）
21. 某兴趣小组在探究光沿直线传播时，设计制作了一个由点光源和质地均匀不透光圆环组成的实验装置，由物理学知识，可知点光源发出的光线将圆环的部分区域照亮，其示意图如图所示．已知的半径为，点光源P到圆心O的距离为．现假设可以随意在上取点，则这个点取在无光圆弧部分的概率为______．
22. 如图，在矩形中，，，点E是边上一点，，分别在边上取点M，N，将矩形沿直线翻折，使得点B的对应点恰好落在射线上，点A的对应点是，那么折痕的长为______；连接，线段的最小值为______．
23. 利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式．在平面直角坐标系中，定义一种坐标加密方式：将点变换得到点，则称点Q是点P的“加密点”．例如，点的“加密点”是点．已知点A在x轴的上方，且，若点A的“加密点”B在直线上，则m的取值范围是_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24. 2024年成都世界园艺博览会于4月26日开幕，成都将向世界展示中华园艺文化的魅力和底蕴．某学校以此为契机，计划开展“遇见生态文明之美”研学活动．本次活动需租用客车，若单独租用30座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用45座客车，则可以少租4辆，且空余30个座位．已知每辆客车的租金情况如表所示：
车型 30座 45座
租金（元/辆） 300 400
（1）求该校参加研学活动的人数；
（2）该校计划租用以上两种车型的客车共10辆，当两种车型的客车分别租用多少辆时，总费用最少？
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C，M为第四象限的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接，和，当四边形面积为9时，求点M的坐标；
（3）请完成以下探究．
【动手操作】作直线，交抛物线于另一点N，过点C作y轴的垂线，分别交直线，直线于点D，E．
【猜想证明】随着点M的运动，线段的长是否为定值？若是，请直接写出该定值并证明，若不是，请说明理由．
26. 如图，在中，，点D为边上一点（点D不与B，C重合），且满足．以D为顶点作，射线交边于点E．
（1）求证：；
（2）过A作，交射线于点G．
i）试探究与之间满足数量关系（用含n的代数式表示）；
ii）连接，当时，求的值．

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