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分式6大题型
【知识点1 分式的定义】
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。
【题型1 分式的概念】
【例1】（2023秋 信都区校级月考）在代数式3x、、6x2y、、、中，分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】（2023秋 新化县校级期中）在下列各式中，分式的个数是（　　）个．
，，，，﹣m2，．
A．3 B．4 C．5 D．2
【变式1-2】（2022秋 莱州市期中）在式子、、、、、9x中，分式有　 　个．
【变式1-3】（2023春 秦淮区期末）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦﹣3x2，是分式的有 　 　，是整式的有 　 　．（只填序号）
【题型2 分式有意义的条件】
【例2】（2022秋 夏津县校级月考）x取何值时，下列分式有意义：
（1）
（2）
（3）．
【变式2-1】（2023春 温州期末）要使分式有意义，实数a必须满足（　　）
A．a＝2 B．a＝﹣2 C．a≠2 D．a≠2且a≠﹣2
【变式2-2】（2022春 卫辉市期中）使代数式有意义的x的取值范围是　 　．
【变式2-3】（2022秋 赛罕区校级期中）要使式子有意义，则x的取值范围为　 　．
【题型3 分式的值为零】
【例3】当x取何值时，下列分式的值为零？
（1）
（2）
（3）
（4）．
【变式3-1】（2023春 碑林区校级期中）若，则x＝　 　．
【变式3-2】（2023春 白云区校级月考）若a、b是实数，且分式0，则3a+b的值是（　　）
A．10 B．10或2 C．2 D．非上述答案
【变式3-3】（2023春 江阴市校级月考）当x　≠1　时，分式有意义；如果分式的值为0，那么x的值是　　．当x满足　 　时，分式的值为负数．
【知识点2 分式的基本性质】
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
；（C≠0）。
【题型4 分式的基本性质】
【例4】（2023秋 河北月考）若分式中的x和y都扩大3倍，且分式的值不变，则□可以是（　　）
A．2 B．y C．y2 D．3y
【变式4-1】（2023春 米易县期末）下列式子从左到右变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2023春 碑林区校级期末）已知，则a的取值范围是 　 　．
【变式4-3】（2022春 和平区期中）如果分式的值为9，把式中的x，y同时变为原来的3倍，则分式的值是 　 　．
【知识点3 分式的约分和通分】
定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。
【题型5 分式的约分与通分】
【例5】（2022秋 聊城期中）约分：
（1）；
（2）；
（3）．
【变式5-1】（2023春 玄武区校级期中）分式的最简公分母是　 　．
【变式5-2】（2022秋 丹江口市期中）通分：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
【变式5-3】（2023秋 岱岳区校级月考）已知分式，，a是这两个分式中分母的公因式，b是这两个分式的最简公分母，且3，试求这两个分式的值．
【题型6 运用分式的基本性质求值】
【例6】（2023春 兰州期末）阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
解：设，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），
∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k 0＝0，∴x+y+z＝0．
依照上述方法解答下列问题：
已知：，其中x+y+z≠0，求的值．
【变式6-1】（2022秋 沂源县期中）若2，则　 　
【变式6-2】（2023 奉化区）若，则　　；若，则　 　．
【变式6-3】（2022秋 武陵区校级期中）阅读下列解题过程，并完成问题：
若2，求的值．
解：因为2，所以a＝﹣2b．
所以．
（1）解题过程中，由得，是对分式进行了 　约分　；
（2）已知，求的值；
（3）已知0，求的值．
分式-重难点题型
【知识点1 分式的定义】
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。
【题型1 分式的概念】
【例1】（2023秋 信都区校级月考）在代数式3x、、6x2y、、、中，分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：3x、6x2y、、的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
、中分母中含有字母，因此是分式．
故选：B．
【变式1-1】（2023秋 新化县校级期中）在下列各式中，分式的个数是（　　）个．
，，，，﹣m2，．
A．3 B．4 C．5 D．2
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：，﹣m2的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
，，，的分母中含有字母，因此是分式，分式共有4个．
故选：B．
【变式1-2】（2022秋 莱州市期中）在式子、、、、、9x中，分式有　3　个．
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：式子、、9x的分母中含有字母，属于分式，其他的分母中不含有字母，不是分式．
故答案是：3．
【变式1-3】（2023春 秦淮区期末）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦﹣3x2，是分式的有 　①、③、⑤、⑥　，是整式的有 　②、④、⑦　．（只填序号）
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：②；④；⑦﹣3x2的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
①；③；⑤；⑥分母中含有字母，因此是分式．
故答案是：①、③、⑤、⑥，②、④、⑦．
【题型2 分式有意义的条件】
【例2】（2022秋 夏津县校级月考）x取何值时，下列分式有意义：
（1）
（2）
（3）．
【分析】（1）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案；
（2）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案；
（3）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案．
【解答】解：（1）要使有意义，
得2x﹣3≠0．
解得x，
当x时，有意义；
（2）要使有意义，得
|x|﹣12≠0．
解得x≠±12，
当x≠±12时，有意义；
（3）要使有意义，得
x2+1≠0．
x为任意实数，有意义．
【变式2-1】（2023春 温州期末）要使分式有意义，实数a必须满足（　　）
A．a＝2 B．a＝﹣2 C．a≠2 D．a≠2且a≠﹣2
【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．
【解答】解：∵分式有意义，
∴a2﹣4a+4＝（a﹣2）2≠0．
∴a﹣2≠0．
解得a≠2．
故选：C．
【变式2-2】（2022春 卫辉市期中）使代数式有意义的x的取值范围是　x≠±3且x≠﹣4　．
【分析】根据分式的分母不等于零得到：x﹣3≠0、x+4≠0、且x2﹣9≠0．
【解答】解：由题意，得．
解得x≠±3且x≠﹣4．
故答案是：x≠±3且x≠﹣4．
【变式2-3】（2022秋 赛罕区校级期中）要使式子有意义，则x的取值范围为　x≠﹣1且x≠﹣2　．
【分析】根据分式的分母为负数不能为0，可得答案．
【解答】解：1+x≠0，10，
x≠﹣1，x≠﹣2
故答案为：x≠﹣1且x≠﹣2．
【题型3 分式的值为零】
【例3】当x取何值时，下列分式的值为零？
（1）
（2）
（3）
（4）．
【分析】（1）由分式值为0的条件可知；x2﹣4＝0且x+2≠0，从而可解得x的值；
（2）由分式值为0的条件可知；x2+2x﹣3＝0且|x|﹣1≠0，从而可解得x的值；
（3）由分式值为0的条件可知；x2﹣1＝0且|x2﹣3x+2≠0，从而可解得x的值；
（4）由分式值为0的条件可知；5﹣|x＝0且x2+4x﹣5≠0，从而可解得x的值．
【解答】解：（1）∵分式值为0，
∴x2﹣4＝0且x+2≠0，
解得x＝2；
（2）∵分式值为0，
∴x2+2x﹣3＝0且|x|﹣1≠0，
解得：x＝﹣3；
（3）∵分式值为0，
∴x2﹣1＝0且|x2﹣3x+2≠0，
解得：x＝﹣1；
（4）∵分式值为0，
∴5﹣|x＝0且x2+4x﹣5≠0，
∴x＝±5，且（x+5）（x﹣1）≠0
∴x＝5．
【变式3-1】（2023春 碑林区校级期中）若，则x＝　﹣1　．
【分析】分式的值为零时：分子＝0，分母≠0．
【解答】解：根据题意，得|x|﹣1＝0且x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≠0．
解得x＝﹣1．
故答案是：﹣1．
【变式3-2】（2023春 白云区校级月考）若a、b是实数，且分式0，则3a+b的值是（　　）
A．10 B．10或2 C．2 D．非上述答案
【分析】根据分式为0的条件得，再根据绝对值的非负性以及平方的非负性，求得a＝2，b＝4，从而解决此题．
【解答】解：∵分式0，
∴．
∴b≠﹣4．
又∵（a﹣2）2≥0，|b2﹣16|≥0，
∴（a﹣2）2＝0，|b2﹣16|＝0．
∴a＝2，b＝4．
∴3a+b＝3×2+4＝10．
故选：A．
【变式3-3】（2023春 江阴市校级月考）当x　≠1　时，分式有意义；如果分式的值为0，那么x的值是　1　．当x满足　x＜2且x≠﹣1　时，分式的值为负数．
【分析】依据分式有意义的条件、分式的值为0的条件以及分式的值为负数的条件，即可得出结论．
【解答】解：由题可得，x﹣1≠0，
解得x≠1，
∴当x≠1时，分式有意义；
由题可得，，
解得x＝1，
∴如果分式的值为0，那么x的值是1．
由题可得，，
解得x＜2且x≠﹣1，
当x满足x＜2且x≠﹣1时，分式的值为负数．
故答案为：≠1；1；x＜2且x≠﹣1．
【知识点2 分式的基本性质】
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
；（C≠0）。
【题型4 分式的基本性质】
【例4】（2023秋 河北月考）若分式中的x和y都扩大3倍，且分式的值不变，则□可以是（　　）
A．2 B．y C．y2 D．3y
【分析】x和y都扩大3倍，则2xy扩大到原来的9倍，要使分式的值不变，则x2+□也扩大到原来的9倍，所以□可以是y2．
【解答】解：∵x和y都扩大3倍，
∴2xy扩大到原来的：3×3＝9倍，
∵分式的值不变，
∴x2+□也扩大到原来的9倍，
∵x扩大3倍，x2扩大到原来的9（32＝9）倍，
∴□也要扩大到原来的9倍，
∵y扩大3倍，y、3y都扩大到原来的3倍，y2扩大到原来的9（32＝9）倍，
∴□可以是y2．
故选：C．
【变式4-1】（2023春 米易县期末）下列式子从左到右变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
【解答】解：A、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、分子分母都乘以b（b≠0），分式的值不变，原变形正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式4-2】（2023春 碑林区校级期末）已知，则a的取值范围是 　a＜3　．
【分析】根据绝对值的意义作答，可得答案．
【解答】解：∵，
∴a﹣3＜0．
解得a＜3．
故答案是：a＜3．
【变式4-3】（2022春 和平区期中）如果分式的值为9，把式中的x，y同时变为原来的3倍，则分式的值是 　3　．
【分析】直接利用分式的性质将原式变形进而得出答案．
【解答】解：∵分式的值为9，把式中的x，y同时变为原来的3倍，
∴原式3．
故答案为：3．
【知识点3 分式的约分和通分】
定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。
【题型5 分式的约分与通分】
【例5】（2022秋 聊城期中）约分：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】首先把分子分母分解因式，然后再约掉分子分母的公因式即可．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式m；
（3）原式．
【变式5-1】（2023春 玄武区校级期中）分式的最简公分母是　x（x+2）（x﹣2）　．
【分析】首先把分母分解因式，然后再确定最简公分母．
【解答】解：，
则最简公分母为x（x+2）（x﹣2），
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
【变式5-2】（2022秋 丹江口市期中）通分：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
【分析】（1）直接找出最简公分母（x﹣1）2（x+1），进而通分运算得出答案；
（2）直接找出最简公分母（a+b）2（a﹣b），进而通分运算得出答案；
（3）直接找出最简公分母2（x+y）（x﹣y），进而通分运算得出答案；
（4）直接找出最简公分母（a﹣2b）（a+b），进而通分运算得出答案．
【解答】解：（1），
；
（2），
；
（3），
；
（4），
．
【变式5-3】（2023秋 岱岳区校级月考）已知分式，，a是这两个分式中分母的公因式，b是这两个分式的最简公分母，且3，试求这两个分式的值．
【分析】找出两分式中分母的公因式确定出a，找出最简公分母确定出b．
【解答】解：两分式分母的公因式为a＝x﹣1，最简公分母为b＝3（x+1）（x﹣1），
∴3（x+1）＝3，即x＝0
则．
2．
【题型6 运用分式的基本性质求值】
【例6】（2023春 兰州期末）阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
解：设，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），
∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k 0＝0，∴x+y+z＝0．
依照上述方法解答下列问题：
已知：，其中x+y+z≠0，求的值．
【分析】根据提示，先设比值为k，再利用等式列出三元一次方程组，即可求出k的值是2，然后把x+y＝2z代入所求代数式．
【解答】解：设k，
则：，
（1）+（2）+（3）得：2x+2y+2z＝k（x+y+z），
∵x+y+z≠0，
∴k＝2，
∴原式．
【变式6-1】（2022秋 沂源县期中）若2，则　　
【分析】由2，得x+y＝2xy，整体代入所求的式子化简即可．
【解答】解：由2，得x+y＝2xy
则．
故答案为．
【变式6-2】（2023 奉化区）若，则　　；若，则　　．
【分析】（1）可设a＝3x，b＝4x，c＝3y，d＝4y，e＝3z，f＝4z，将其代入原式即可；
（2）将已知条件变换即可得．
【解答】解：1）可设a＝3x，b＝4x，c＝3y，d＝4y，e＝3z，f＝4z，将其代入分式得：；
（2）由已知可得出，3（x﹣2y）＝2y，3x＝8y，所以．
故答案为、．
【变式6-3】（2022秋 武陵区校级期中）阅读下列解题过程，并完成问题：
若2，求的值．
解：因为2，所以a＝﹣2b．
所以．
（1）解题过程中，由得，是对分式进行了 　约分　；
（2）已知，求的值；
（3）已知0，求的值．
【分析】（1）根据分式的分子、分母都除以b2，知道是对分式进行了约分；
（2）根据条件得：b＝2a，代入代数式中，约去a2即可得到答案；
（3）设k（k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝6k，代入代数式中，约去k，即可得到答案．
【解答】解：（1）分式的分子、分母都除以b2，
故答案为：约分；
（2）∵，
∴b＝2a，
∴原式
；
（3）设k（k≠0），
则x＝3k，y＝4k，z＝6k，
∴原式
．

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