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分式方程6大题型
【知识点1 分式方程】
（1）分式方程：分母中含有未知数的方程
（2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。
（3）分式方程解方程的步骤：
①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程
②解整式方程
③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程
④作答
【题型1 解分式方程（基本法）】
【例1】（2023春 碑林区校级月考）解方程：
（1）；
（2）1．
【变式1-1】（2023 潍坊）若x＜2，且|x﹣2|+x﹣1＝0，则x＝　 　．
【变式1-2】（2023 宜都市一模）解方程：0．
【变式1-3】（2023 北碚区校级开学）解分式方程：
（1）．
（2）．
【题型2 解分式方程（新定义问题）】
【例2】（2023春 宝安区期末）定义新运算：a#b，例如2#3，则方程x#2＝1的解为 　 　．
【变式2-1】（2023 怀化）定义a b＝2a，则方程3 x＝4 2的解为（　　）
A．x B．x C．x D．x
【变式2-2】（2023春 甘孜州期末）定义运算“※”：a※b，如果5※x＝2，那么x的值为 　 　．
【变式2-3】 （2023秋 信都区校级月考）运符号“”，称为二阶行列式，规定它的运算法则为：ad﹣bc，请你根据上述规定，求出下列等式中x的值：1．
【知识点2 分式的运算技巧-裂项法】
解题技巧：裂项相消法：
【题型3 裂项法解分式方程】
【例3】观察下面的变形规律：；；；…
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想　　．
（2）说明你猜想的正确性．
（3）计算：　　．
（4）解关于n的分式方程．
【变式3-1】（2022春 京口区校级月考）观察下列算式：
，，，……
（1）由此可推断：　　；
（2）请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律　　；
（3）仿照以上方法解方程：．
【变式3-2】（2022秋 五华区期末）观察下列式：1，，．
将以上三个等式两边分别相加的：1．
（1）猜想并填空：　　；　　．　　．
（2）化简：．
（3）探索并作答：
①计算：；
②解分式方程：1．
【变式3-3】（2022秋 天心区校级月考）观察下列等式：，，，
将以上三个等式两边分别相加得：，
（1）猜想并写出：　　．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①　　；
②　　．
（3）若的值为，求n的值．
【知识点3 换元法解分式方程】
换元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系
例解方程：
另（x－y）=u，则原方程转换为：
方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求解，以简化计算。
注：当熟练应用换算法后，可以直接将某个整体式子看成一个未知数，在计算中，不必将这个整体换元为某个字母，而是直接整体求解。
【题型4 换元法解分式方程】
【例4】（2023春 平阴县期末）请阅读下面解方程（x2+1）2﹣2（x2+1）﹣3＝0的过程．
解：设x2+1＝y，则原方程可变形为y2﹣2y﹣3＝0．
解得y1＝3，y2＝﹣1．
当y＝3时，x2+1＝3，
∴x＝±．
当y＝﹣1时，x2+1＝﹣1，x2＝﹣2，此方程无实数解．
∴原方程的解为：x1，x2．
我们将上述解方程的方法叫做换元法，
请用换元法解方程：（）2﹣2（）﹣8＝0．
、
【变式4-1】（2023春 松江区期末）用换元法解方程7＝0时，可设y，那么原方程可化为关于y的整式方程是 　 　．
【变式4-2】（2022春 青川县期末）阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：．
解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1，
当y＝﹣2时，，解得：x，经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程中，设，则原方程可化为：　 　；
（2）若在方程中，设，则原方程可化为：　 ；
（3）模仿上述换元法解方程：．
【变式4-3】（2023春 玄武区校级期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，
解之得，即所以原方程组的解为．
运用以上知识解决下列问题：
（1）求值：　 　．
（2）方程组的解为　　．
（3）分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝　 　．
（4）解方程组．
（5）已知关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解．
【知识点4 增根的讨论】
方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，在根据题意求解出其他字母的值。
【题型5 增根的讨论】
【例5】（2022秋 荷塘区校级期中）已知关于x的分式方程．
（1）若方程有增根，求k的值．
（2）若方程的解为负数，求k的取值范围．
【变式5-1】（2023 岳麓区校级模拟）若解关于x的方程1时产生增根，那么常数m的值为（　　）
A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣1
【变式5-2】（2023春 桐城市期末）已知关于x的分式方程．
（1）若该方程有增根，则增根是 　 　．
（2）若该方程的解大于1，则m的取值范围是 　 　．
【变式5-3】（2022春 百色期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：．
（1）若该分式方程有增根，则增根为　 　．
（2）在（1）的条件下，求出m的值，
【知识点5 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围】
（1）方程无解，即方程的根为增根；
（2）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，求解出字母取值范围；
（3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，求解出字母取值范围
【题型6 根据分式方程解的情况求值】
【例6】（2023 市中区校级二模）已知关于x的分式方程有解，则a的取值范围是 　 　．
【变式6-1】（2023秋 北碚区校级期中）关于x的不等式组有解且最多5个整数解，且使关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的积为（　　）
A．3 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣12
【变式6-2】（2022秋 雨花区校级月考）请你利用我们学习的“分式方程及其解法”解决下列问题：
（1）已知关于x的方程1的解为负数，求m的取值范围；
（2）若关于x的分式方程1无解，求n的取值范围．
【变式6-3】（2023秋 岱岳区校级月考）如果关于x的方程无解，求a的值
分式方程-重难点题型
【知识点1 分式方程】
（1）分式方程：分母中含有未知数的方程
（2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。
（3）分式方程解方程的步骤：
①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程
②解整式方程
③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程
④作答
【题型1 解分式方程（基本法）】
【例1】（2023春 碑林区校级月考）解方程：
（1）；
（2）1．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：3（3x﹣1）﹣2＝5，
去括号得：9x﹣3﹣2＝5，
移项合并得：9x＝10，
解得：x，
检验：把x代入得：2（3x﹣1）≠0，
∴x是分式方程的解；
（2）去分母得：x（x+2）﹣3＝（x﹣1）（x+2），
整理得：x2+2x﹣3＝x2+x﹣2，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：（x﹣1）（x+2）＝0，
∴x＝1是增根，分式方程无解．
【变式1-1】（2023 潍坊）若x＜2，且|x﹣2|+x﹣1＝0，则x＝　1　．
【分析】先去掉绝对值符号，整理后方程两边都乘以x﹣2，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：|x﹣2|+x﹣1＝0，
∵x＜2，
∴方程为2﹣x+x﹣1＝0，
即1，
方程两边都乘以x﹣2，得1＝﹣（x﹣2），
解得：x＝1，
经检验x＝1是原方程的解，
故答案为：1．
【变式1-2】（2023 宜都市一模）解方程：0．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3（x﹣1）+6x﹣（x+5）＝0，
去括号得：3x﹣3+6x﹣x﹣5＝0，
移项合并得：8x＝8，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：x（x﹣1）＝0，
∴x＝1是增根，分式方程无解．
【变式1-3】（2023 北碚区校级开学）解分式方程：
（1）．
（2）．
【分析】（1）方程两边同乘（x﹣5），将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．
（2）方程两边同乘（x﹣2）（x+2），将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．
【解答】解：（1）方程两边同乘（x﹣5），
得3﹣x+5＝2x﹣1，
解得x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解；
（2）方程两边同乘（x﹣5）（x+2），
得12﹣（x﹣1）（x﹣2）＝（6﹣x）（x+2），
解得x＝﹣2，
经检验，x＝﹣2是增根，原方程无解．
【题型2 解分式方程（新定义问题）】
【例2】（2023春 宝安区期末）定义新运算：a#b，例如2#3，则方程x#2＝1的解为 　x　．
【分析】根据新定义列出方程，解出这个方程即可．
【解答】解：根据题意得，
x#21，
即22﹣2x﹣1＝0，
解得x，
经检验，x是原方程的解，
故答案为：．
【变式2-1】（2023 怀化）定义a b＝2a，则方程3 x＝4 2的解为（　　）
A．x B．x C．x D．x
【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到x的值．
【解答】解：根据题中的新定义得：
3 x＝2×3，
4 2＝2×4，
∵3 x＝4 2，
∴2×32×4，
解得：x，
经检验，x是分式方程的根．
故选：B．
【变式2-2】（2023春 甘孜州期末）定义运算“※”：a※b，如果5※x＝2，那么x的值为 　4或10　．
【分析】根据定义运算，分5＞x或5＜x两种情况列方程求解，注意分式方程的结果要进行检验．
【解答】解：①当5＞x时，
，
去分母，可得：2＝2（5﹣x），
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，5﹣x≠0，且符合题意，
∴x＝4是原方程的解；
②当5＜x时，
，
去分母，得：x＝2（x﹣5），
解得：x＝10，
检验：当x＝10时，x﹣5≠0，且符合题意，
∴x＝10是原方程的解；
综上，x的值为4或10，
故答案为：4或10．
【变式2-3】 （2023秋 信都区校级月考）运符号“”，称为二阶行列式，规定它的运算法则为：ad﹣bc，请你根据上述规定，求出下列等式中x的值：1．
【分析】利用题中的新定义化简所求方程，求出解即可．
【解答】解：根据题中的新定义化简所求方程得：
1，
去分母得：2+1＝x﹣1，
解得：x＝4，
当x＝4时，x﹣1＝3≠0，
∴x＝4是分式方程的解，
故x的值为4．
【知识点2 分式的运算技巧-裂项法】
解题技巧：裂项相消法：
【题型3 裂项法解分式方程】
【例3】观察下面的变形规律：；；；…
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想　　．
（2）说明你猜想的正确性．
（3）计算：　　．
（4）解关于n的分式方程．
【分析】（1）由题意可得；
（2）利用通分即可证明等式成立；
（3）原式＝1，再计算即可求解；
（4）方程可以化简为1，再解分式方程即可求解．
【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）
，
∴成立；
（3）
＝1
＝1
；
（4）
＝1
＝1
＝1，
∴，
方程两边同时乘（n+1）（n+9），
得n+9＝2（n+1），
去括号，得n+9＝2n+2，
解得n＝7，
经检验，n＝7是方程的解，
∴原方程的解为n＝7．
【变式3-1】（2022春 京口区校级月考）观察下列算式：
，，，……
（1）由此可推断：　　；
（2）请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律　　；
（3）仿照以上方法解方程：．
【分析】（1）观察已知等式得到所求即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）方程利用得出的规律变形，计算即可求出解．
【解答】解：（1）根据题意得：；
（2）根据题意得：；
（3）方程整理得：，
即，
去分母得：x＝2x﹣4，
解得：x＝4，
经检验x＝4是分式方程的解．
故答案为：（1）；（2）
【变式3-2】（2022秋 五华区期末）观察下列式：1，，．
将以上三个等式两边分别相加的：1．
（1）猜想并填空：　　；　　．　　．
（2）化简：．
（3）探索并作答：
①计算：；
②解分式方程：1．
【分析】（1）观察已知等式得到拆项的方法，计算即可；
（2）原式利用拆项法变形，计算即可求出值；
（3）①原式利用拆项法变形，计算即可求出值；
②方程利用拆项法变形，计算即可求出解．
【解答】解：（1），
11；
11；
故答案为：；；；
（2）原式；
（3）①原式（）（）；
②方程整理得：1，即1，
解得：x＝5，
经检验x＝5是分式方程的解．
【变式3-3】（2022秋 天心区校级月考）观察下列等式：，，，
将以上三个等式两边分别相加得：，
（1）猜想并写出：　　．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①　　；
②　　．
（3）若的值为，求n的值．
【分析】（1）根据已知等式猜想得到所求即可；
（2）各式利用拆项法变形，计算即可求出值；
（3）根据题意列出方程，利用拆项法变形，计算即可求出n的值．
【解答】解：（1）猜想得：；
（2）①原式＝1
＝1
；
②原式＝1
＝1
；
（3）根据题意得：，
整理得：（1），
即1，
移项合并得：，即2n+1＝35，
解得：n＝17，
经检验n＝17是分式方程的解，
则n的值为17．
【知识点3 换元法解分式方程】
换元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系
例解方程：
另（x－y）=u，则原方程转换为：
方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求解，以简化计算。
注：当熟练应用换算法后，可以直接将某个整体式子看成一个未知数，在计算中，不必将这个整体换元为某个字母，而是直接整体求解。
【题型4 换元法解分式方程】
【例4】（2023春 平阴县期末）请阅读下面解方程（x2+1）2﹣2（x2+1）﹣3＝0的过程．
解：设x2+1＝y，则原方程可变形为y2﹣2y﹣3＝0．
解得y1＝3，y2＝﹣1．
当y＝3时，x2+1＝3，
∴x＝±．
当y＝﹣1时，x2+1＝﹣1，x2＝﹣2，此方程无实数解．
∴原方程的解为：x1，x2．
我们将上述解方程的方法叫做换元法，
请用换元法解方程：（）2﹣2（）﹣8＝0．
【分析】根据材料的提示，可以利用换元法解答分式方程，设a，把分式方程化为整式方程，解出并验根即可．
【解答】解：（）2﹣2（）﹣8＝0，
设a，
则a2﹣2a﹣8＝0，
解得a＝﹣2或a＝4，
当a＝﹣2时，2，解得x，经检验x是分式方程的解，
当a＝4时，4，解得x，经检验x是分式方程的解，
∴原分式方程的解是x1，x2．
【变式4-1】（2023春 松江区期末）用换元法解方程7＝0时，可设y，那么原方程可化为关于y的整式方程是 　2y2+7y﹣1＝0　．
【分析】根据题意，用含y的式子表示出方程并整理方程即可．
【解答】解：设y，则，
∴原方程可变行为：2y7＝0，
去分母，得：2y2+7y﹣1＝0，
故答案为：2y2+7y﹣1＝0．
【变式4-2】（2022春 青川县期末）阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：．
解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1，
当y＝﹣2时，，解得：x，经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程中，设，则原方程可化为：　　；
（2）若在方程中，设，则原方程可化为：　　；
（3）模仿上述换元法解方程：．
【分析】（1）和（2）将所设的y代入原方程即可；
（3）利用换元法解分式方程，设，将原方程化为，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
【解答】解：（1）将代入原方程，则原方程化为；
（2）将代入方程，则原方程可化为；
（3）原方程化为：，
设，则原方程化为：，
方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0
解得：y＝±1，
经检验：y＝±1都是方程的解．
当y＝1时，，该方程无解；
当y＝﹣1时，，解得：；
经检验：是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．
【变式4-3】（2023春 玄武区校级期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，
解之得，即所以原方程组的解为．
运用以上知识解决下列问题：
（1）求值：　　．
（2）方程组的解为　　．
（3）分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝　（x+2）4　．
（4）解方程组．
（5）已知关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解．
【分析】（1）设，代入原式化简即可得出结论；
（2）设，将原方程组变形，求得a，b，进而求出原方程组的解；
（3）设x2+4x+3＝m，展开后因式分解，再将m代入即可得出结论；
（4）将原方程组变形为，设2x＝m，3y＝n，解关于m，n的方程组，进而求得x．y的值；
（5）将关于x、y的方程组，变为，利用关于x、y的方程组的解是，可得：，解这个方程组可得原方程组的解．
【解答】解：（1）设，
原式＝（1+a）（a）﹣（1+a）a＝aa2a﹣a﹣a2a．
故答案为：．
（2）设，原方程组变为：
．
解得：．
∴．
解得：．
经检验，是原方程组的解．
故答案为：．
（3）设x2+4x+3＝m，
原式＝m（m+2）+1＝m2+2m+1＝（m+1）2＝（x2+4x+3+1）2＝[（x+2）2]2＝（x+2）4．
故答案为：（x+2）4．
（4）原方程组变形为：，
设2x＝m，3y＝n，则．
解得：．
∴．
∴．
（5）将关于x、y的方程组整理得：
．
∵关于x、y的方程组的解是，
∴．
即：．
解这个方程组得：
，．
∴原方程组的解为：
，．
【知识点4 增根的讨论】
方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，在根据题意求解出其他字母的值。
【题型5 增根的讨论】
【例5】（2022秋 荷塘区校级期中）已知关于x的分式方程．
（1）若方程有增根，求k的值．
（2）若方程的解为负数，求k的取值范围．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，得到最简公分母为0，代入整式方程计算即可求出k的值．
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x，根据解为负数求出k的范围即可；
【解答】解：（1）分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k，
由这个方程有增根，得到x＝1或x＝﹣1，
将x＝1代入整式方程得：k＝6，
将x＝﹣1代入整式方程得：k＝﹣8，
则k的值为6或﹣8．
（2）分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k，
去括号合并得：7x﹣1＝k，即x，
根据题意得：0，且1且1，
解得：k＜﹣1，且k≠﹣8．
【变式5-1】（2023 岳麓区校级模拟）若解关于x的方程1时产生增根，那么常数m的值为（　　）
A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，x＝3+m，由分式方程有增根，得到3+m＝2，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：2x﹣5﹣m＝x﹣2，
x＝3+m
∵方程有增根，
∴3+m＝2，
m＝﹣1，
故选：D．
【变式5-2】（2023春 桐城市期末）已知关于x的分式方程．
（1）若该方程有增根，则增根是 　2　．
（2）若该方程的解大于1，则m的取值范围是 　m，且k≠4．　．
【分析】（1）根据分式方程有增根，得到最简公分母为0，即可求出x的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x，根据解为负数求出m的范围即可．
【解答】解：（1）∵这个方程有增根，
∴x﹣2＝0，
∴x＝2．
故答案为：2；
（2）分式方程去分母得：3（m﹣2x）＝x﹣2，
去括号合并得：7x﹣2＝3m，即x，
根据题意得：，且，
解得：m，且m≠4．
故答案为：m，且m≠4．
【变式5-3】（2022春 百色期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：．
（1）若该分式方程有增根，则增根为　x1＝3，x2＝﹣3　．
（2）在（1）的条件下，求出m的值，
【分析】（1）分式方程会产生增根，即最简公分母等于0，则x2﹣9＝0，故方程产生的增根有两种可能：x1＝3，x2＝﹣3；
（2）由增根的定义可知，x1＝3，x2＝﹣3是原方程去分母后化成的整式方程的根，把其代入整式方程即可求出m的值．
【解答】解：（1），
方程两边都乘（x+3）（x﹣3）得2（x+3）+mx＝3（x﹣3）
∵原方程有增根，
∴x2﹣9＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝3，x2＝﹣3；
（2）当x＝3时，m＝﹣4，
当x＝﹣3时，m＝6．
故m的值为﹣4或6．
【知识点5 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围】
（1）方程无解，即方程的根为增根；
（2）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，求解出字母取值范围；
（3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，求解出字母取值范围
【题型6 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围】
【例6】（2023 市中区校级二模）已知关于x的分式方程有解，则a的取值范围是 　a≥1且a≠4　．
【分析】解分式方程用a表示|x|，根据关于x的分式方程有解得|x|≥0且|x|﹣2≠0，列不等式组求解集．
【解答】解：，
2|2x|﹣2a＝|x|﹣2，
4|x|﹣|x|＝2a﹣2，
3|x|＝2a﹣2，
|x|，
∵关于x的分式方程有解，
∴0，且|x|﹣2≠0，即2，
解得a≥1且a≠4．
故答案为：a≥1且a≠4．
【变式6-1】（2023秋 北碚区校级期中）关于x的不等式组有解且最多5个整数解，且使关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的积为（　　）
A．3 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣12
【分析】根据分式方程的解法、一元一次不等式组的解法解决此题．
【解答】解：∵，
∴3x﹣4+6＜2（x+2）．
∴3x+2＜2x+4．
∴3x﹣2x＜4﹣2．
∴x＜2．
∵，
∴x﹣2a≥2﹣x﹣2．
∴x+x≥2a+2﹣2．
∴2x≥2a．
∴x≥a．
∴a≤x＜2．
∵关于x的不等式组有解且最多5个整数解，
∴﹣4＜a＜2．
∵，
∴ay+3+2（y﹣3）＝3﹣2y．
∴ay+3+2y﹣6＝3﹣2y．
∴ay+2y+2y＝3+6﹣3．
∴（a+4）y＝6．
∴y．
∵关于y的分式方程的解为正整数，
∴a+4＝1或6或2或3．
∴a＝﹣3或2或﹣2或﹣1．
∵﹣4＜a＜2，
∴a＝﹣3或﹣2或﹣1．
∴所有满足条件的整数a的积为﹣3×（﹣2）×（﹣1）＝﹣6．
故选：C．
【变式6-2】（2022秋 雨花区校级月考）请你利用我们学习的“分式方程及其解法”解决下列问题：
（1）已知关于x的方程1的解为负数，求m的取值范围；
（2）若关于x的分式方程1无解，求n的取值范围．
【分析】（1）表示出分式方程的解，由分式方程的解为负数，列出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可确定出m的范围；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，确定出n的范围即可．
【解答】解：（1）解关于x的分式方程得：x，
∵方程有解，且解为负数，
∴，
∴m且m；
（2）分式方程去分母得：3﹣2x+nx﹣2＝3﹣x，
整理得：（n﹣1）x＝2，
当n﹣1＝0时，方程无解，此时n＝1；
当n﹣1≠0时，解得：x，要使方程无解，则有3，即n，
综上，n＝1或n．
【变式6-3】（2023秋 岱岳区校级月考）如果关于x的方程无解，求a的值．
【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【解答】解：方程去分母得：（x﹣1）（x+1）﹣x（x+2）＝ax+2，即（a+2）x+3＝0
∵关于x的方程无解，
∴x＝1或x＝﹣2，
∴当x＝1时，﹣3＝a+2，即a＝﹣5，
当x＝﹣2时，3＝﹣2a+2，即a，
另当a＝﹣2时，方程变为3＝0，不成立，所以a＝﹣2时，方程也无解
∴a＝﹣5或﹣2或时方程无解．
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