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分式章末重难点突破10大题型
【考点1 分式及最简分式的概念 】
【例1】（2023春 吉安期中）下列各式中，分式的个数是（　　）
．
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1-1】（2023秋 闵行区期末）在分式，，，，中，最简分式有　　个．
【变式1-2】（2023秋 莱州市期中）在式子、、、、、9x中，分式有　　个．
【变式1-3】（2023秋 房山区校级月考）把下列各式化为最简分式：
（1）　 　；
（2）　 　．
【考点2 分式有意义的条件】
【例2】（2023 覃塘区模拟）若式子1在实数范围内有意义，则x的取值范围是　　．
【变式2-1】（2023秋 浦东新区期末）分式无意义的条件是　　．
【变式2-2】（2023 深圳模拟）式子无意义，则（y+x）（y﹣x）+x2的值等于　　．
【变式2-3】（2023秋 西青区校级期末）已知（x﹣1）0有意义，则x的取值范围是　 ．
【考点3 分式值为0的条件】
【例3】（2023春 肇东市期末）若分式的值为0，则m的值为　　．
【变式3-1】（2023秋 娄底月考）已知分式的值为零，求x的值．
【变式3-2】（2023秋 东莞市校级期中）当a取何值时，分式的值为零．
【变式3-3】（2023春 白云区校级月考）若a、b是实数，且分式0，则3a+b的值是（　　）
A．10 B．10或2 C．2 D．非上述答案
【考点4 分式的基本性质】
【例4】（2023春 姜堰区期末）下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2023秋 遵义期末）除了通过分式的基本性质进行分式变形外，有时，就是只把分式中的a，b同时扩大为原来的2倍后，分式的值也不会变，则此时h的值可以是下列中的（　　）
A．2 B． C．ab D．a2
【变式4-2】（2023秋 泰山区期末）下列各式从左到右的变形正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】（2023 射阳县校级模拟）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的为（　　）
A． B． C． D．
【考点5 利用分式基本性质求值】
【例5】（2023春 太子河区校级期末）若，则　　；若，则　．
【变式5-1】（2023春 微山县校级月考）已知y＝3xy+x，求代数式的值．
【变式5-2】（2023春 姜堰区期末）若，求的值＝　　．
【变式5-3】（2023春 大邑县校级期中）已知a，b，c是不为0的实数，且，那么的值是　　．
【考点6 分式的运算】
【例6】（2023 江岸区校级自主招生）先化简，再求值：（）÷（1），其中x是不等式x﹣3的最小整数解．
【变式6-1】（2023秋 武清区期末）计算下列各式：
（1）
（2）．
【变式6-2】（2023秋 来凤县期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”是　　（填写序号即可）；
（2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值；
（3）在化简时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：
小东：
小强：
显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是： 　，
请你接着小强的方法完成化简．
【变式6-3】（2023秋 宁江区期末）阅读下列材料：
小铭和小雨在学习过程中有如下一段对话：
小铭：“我知道一般当m≠n时，m2+n≠m+n2．可是我见到有这样一个神奇的等式：（）2（）2（其中a，b为任意实数，且b≠0）．你相信它成立吗？”
小雨：“我可以先给a，b取几组特殊值验证一下看看．”
完成下列任务：
（1）请选择两组你喜欢的、合适的a，b的值，分别代入阅读材料中的等式，写出代入后得到的具体等式并验证它们是否成立；
①当a＝　　，b＝　　时，等式　　（填“成立”或“不成立”）；
②当a＝　　，b＝　　时，等式　　（填“成立”或“不成立”）．
（2）对于任意实数a，b（b≠0），通过计算说明（）2（）2是否成立．
【考点7 解分式方程】
【例7】（2023秋 武城县期末）解方程：
（1）2
（2）若方程1的解是正数，求a的取值范围．
【变式7-1】（2023春 郏县期末）请阅读下列材料并回答问题：
在解分式方程时，小明的解法如下：
解：方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）﹣3＝1①
去括号，得2x﹣1＝3﹣1 ②
解得x
检验：当x时，（x+1）（x﹣1）≠0 ③
所以x是原分式方程的解 ④
（1）你认为小明在哪里出现了错误　 　（只填序号）
（2）针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，请你提出三条解分式方程时的注意事项；
（3）写出上述分式方程的正确解法．
【变式7-2】（2023春 邛崃市期中）因为1，，…，，
所以11．
解答下列问题：
（1）在和式中，第九项是　　；第n项是　　．
（2）解方程1．
【变式7-3】（2023春 长宁区期末）解方程：x2+3x8．
【考点8 分式方程的增根】
【例8】（2023秋 新化县期中）解关于x的方程 时产生了增根，请求出所有满足条件的k的值．
【变式8-1】（2023秋 定陶县期末）a为何值时，关于x的方程会产生增根？
【变式8-2】（2023春 姜堰区期末）①已知x＝3是方程1的一个根，则a＝　　；
②已知x＝1是方程的一个增根，则k＝　　．
【变式8-3】（2023春 长泰县月考）已知关于x的分式方程
（1）若方程的增根为x＝1，求m的值
（2）若方程有增根，求m的值
（3）若方程无解，求m的值．
【考点9 分式方程的应用（行程与工程问题）】
【例9】（2023春 秦都区期末）某单位为美化环境，计划对面积为1200平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.5倍，并且在独立完成面积为360平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．
（1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？
（2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为700元，付给乙队的费用为500元，要使这次的绿化总费用不超过14500元，至少安排甲队工作多少天？
【变式9-1】（2023 铁岭模拟）为顺利通过“国家文明城市”验收，某市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在40天内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍．若甲、乙两工程队合作只需要10天完成．
（1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？
（2）若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又使工程费用最少．
【变式9-2】（2023秋 乌苏市期末）近年来，安全快捷、平稳舒适的中国高铁，为世界高速铁路商业运营树立了新的标杆．随着中国特色社会主义进入新时代，作为“中国名片”的高速铁路也将踏上自己的新征程，跑出发展新速度，这就意味着今后外出旅行的路程与时间将大大缩短，但也有不少游客根据自己的喜好依然选择乘坐普通列车；已知从A地到某市的高铁行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的1.3倍，请完成以下问题：
（1）普通列车的行驶路程为多少千米？
（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求普通列车和高铁的平均速度．
【变式9-3】（2023 乐陵市一模）用电脑程序控制小型赛车进行50m比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛．比赛前的练习中，两辆车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差3m．已知“畅想号”的平均速度为2.5m/s．
（1）求“和谐号”的平均速度；
（2）如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点向后退3m，两车同时出发，两车能否同时到达终点？若能，求出两车到达终点的时间；若不能，请重新调整一辆车的平均速度，使两车能同时到达终点．
【考点10分式方程的应用（销售与方案问题）】
【例10】（2023秋 河北区期末）春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的倍．
（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；
（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？
【变式10-1】（2023春 定远县期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
【变式10-2】（2023秋 路北区期末）某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；
（3）若甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
【变式10-3】（2023秋 松滋市期末）松滋临港贸易公司现有480吨货物，准备外包给甲、乙两个车主来完成运输任务，已知甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，而乙车主每天运输的吨数是甲车主的1.5倍，公司需付甲车主每天800元运输费，乙车主每天运输费1200元，同时公司每天要付给发货工人200元工资．
（1）求甲、乙两个车主每天各能运输多少吨货物？
（2）公司制定如下方案，可以单独由甲乙任意一个车主完成，也可以由两车主合作完成．请你通过计算，帮该公司选择一种既省钱又省时的外包方案．
分式章末重难点突破
【考点1 分式及最简分式的概念 】
【例1】（2023春 吉安期中）下列各式中，分式的个数是（　　）
．
A．2 B．3 C．4 D．5
【解题思路】判断分式的依据是看代数式的分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答过程】解：，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；
a的分子不是整式，因此不是分式．
，，的分母中含有字母，因此是分式．
故选：B．
【变式1-1】（2023秋 闵行区期末）在分式，，，，中，最简分式有　1　个．
【解题思路】根据最简分式的定义对各个分式逐一判断即可得．
【解答过程】解：，
是最简分式，
m﹣n，
，
1，
所以最简分式只有1个，
故答案为：1．
【变式1-2】（2023秋 莱州市期中）在式子、、、、、9x中，分式有　3　个．
【解题思路】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答过程】解：式子、、9x的分母中含有字母，属于分式，其他的分母中不含有字母，不是分式．
故答案是：3．
【变式1-3】（2023秋 房山区校级月考）把下列各式化为最简分式：
（1）　　；
（2）　　．
【解题思路】（1）先把分子和分母分解因式，再约分即可；
（2）先把分子和分母分解因式，再约分即可．
【解答过程】解：（1）
，
故答案为：；
（2）
，
故答案为：．
【考点2 分式有意义的条件】
【例2】（2023 覃塘区模拟）若式子1在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≠﹣2　．
【解题思路】分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得．
【解答过程】解：若式子1在实数范围内有意义，则x+2≠0，即x≠﹣2，
故答案为：x≠﹣2．
【变式2-1】（2023秋 浦东新区期末）分式无意义的条件是　x＝1　．
【解题思路】根据分式无意义的条件是分母等于零可得x﹣1＝0，再解即可．
【解答过程】解：由题意得：x﹣1＝0，
解得：x＝1，
故答案为：x＝1．
【变式2-2】（2023 深圳模拟）式子无意义，则（y+x）（y﹣x）+x2的值等于　　．
【解题思路】根据式子无意义，先确定y的值，再化简代数式（y+x）（y﹣x）+x2，最后代入求值．
【解答过程】解：因为式子无意义，所以3y﹣1＝0，y．
（y+x）（y﹣x）+x2＝y2﹣x2+x2＝y2
当y时，原式＝（）2
故答案为：
【变式2-3】（2023秋 西青区校级期末）已知（x﹣1）0有意义，则x的取值范围是　x≠2且x≠1　 ．
【解题思路】根据分式有意义，分母不等于0，零指数幂的底数不等于0解答．
【解答过程】解：由题意得，x﹣2≠0且x﹣1≠0，
解得x≠2且x≠1．
故答案为：x≠2且x≠1．
【考点3 分式值为0的条件】
【例3】（2023春 肇东市期末）若分式的值为0，则m的值为　3　．
【解题思路】直接利用分式的值为零，则分子为零，且分母不为零，进而得出答案．
【解答过程】解：由题意，得
m2﹣9＝0且m+3≠0，
解得m＝3，
故答案为：3．
【变式3-1】（2023秋 娄底月考）已知分式的值为零，求x的值．
【解题思路】根据分式的值为0，分子为0且分母不为0，可得出x的值．
【解答过程】解：根据题意得，x2﹣5x﹣6＝0，
即（x+1）（x﹣6）＝0，
∴x+1＝0，x﹣6＝0，
解得x＝﹣1或x＝6，
又x+1≠0，
解得x≠﹣1，
∴x的值是6．
【变式3-2】（2023秋 东莞市校级期中）当a取何值时，分式的值为零．
【解题思路】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答过程】解：由分式的值为零，得
3﹣|a|＝0，且6+2a≠0．
解得a＝3，
当a＝3时，分式的值为零．
【变式3-3】（2023春 白云区校级月考）若a、b是实数，且分式0，则3a+b的值是（　　）
A．10 B．10或2 C．2 D．非上述答案
【解题思路】根据分式为0的条件得，再根据绝对值的非负性以及平方的非负性，求得a＝2，b＝4，从而解决此题．
【解答过程】解：∵分式0，
∴．
∴b≠﹣4．
又∵（a﹣2）2≥0，|b2﹣16|≥0，
∴（a﹣2）2＝0，|b2﹣16|＝0．
∴a＝2，b＝4．
∴3a+b＝3×2+4＝10．
故选：A．
【考点4 分式的基本性质】
【例4】（2023春 姜堰区期末）下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，从而求出答案．
【解答过程】解：，
故选：C．
【变式4-1】（2023秋 遵义期末）除了通过分式的基本性质进行分式变形外，有时，就是只把分式中的a，b同时扩大为原来的2倍后，分式的值也不会变，则此时h的值可以是下列中的（　　）
A．2 B． C．ab D．a2
【解题思路】直接利用分式的基本性质分别代入判断得出答案．
【解答过程】解：当h，原式，
故选：B．
【变式4-2】（2023秋 泰山区期末）下列各式从左到右的变形正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解题思路】根据分式的基本性质依次进行判断即可．
【解答过程】解：A、，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、，原变形不符合分式的运算法则，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、，原变形不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、，原变形正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式4-3】（2023 射阳县校级模拟）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的为（　　）
A． B． C． D．
【解题思路】因为要求不改变分式的值，把的分子分母的各项系数都化为整数，根据此题的特点，只要将分子、分母同乘以10即可．
【解答过程】解：∵不改变分式的值，
∴把的分子分母的各项系数都乘以10得：．
故选：C．
【考点5 利用你是的基本性质求值】
【例5】（2023春 太子河区校级期末）若，则　　；若，则　　．
【解题思路】（1）可设a＝3x，b＝4x，c＝3y，d＝4y，e＝3z，f＝4z，将其代入原式即可；
（2）将已知条件变换即可得．
【解答过程】解：1）可设a＝3x，b＝4x，c＝3y，d＝4y，e＝3z，f＝4z，将其代入分式得：；
（2）由已知可得出，3（x﹣2y）＝2y，3x＝8y，所以．
故答案为、．
【变式5-1】（2023春 微山县校级月考）已知y＝3xy+x，求代数式的值．
【解题思路】根据已知条件y＝3xy+x，求出x﹣y与xy的关系，再将所求分式的分子、分母整理成x﹣y与xy和的形式，进行整体代入求解．
【解答过程】解：因为y＝3xy+x，所以x﹣y＝﹣3xy，当x﹣y＝﹣3xy时，．
【变式5-2】（2023春 姜堰区期末）若，求的值＝　3　．
【解题思路】将通分变形，转化为x﹣y＝﹣3xy，再把它整体代入原式约分求值．
【解答过程】解：∵，∴x﹣y＝﹣3xy，再把它整体代入原式：3．
故答案为3．
【变式5-3】（2023春 大邑县校级期中）已知a，b，c是不为0的实数，且，那么的值是　　．
【解题思路】将已知条件进行变换，然后将分式代简，即可得出结果．
【解答过程】解：∵，
∴3，即3①；
同理可得4②，
5③；
∴①+②+③得：2（）＝3+4+5；6；
又∵的倒数为，即为6，则原数为．
故答案为．
【考点6 分式的运算】
【例6】（2023 江岸区校级自主招生）先化简，再求值：（）÷（1），其中x是不等式x﹣3的最小整数解．
【解题思路】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出不等式的取值范围，找出符合条件的x的最小整数解代入进行计算即可．
【解答过程】解：原式＝[]÷（）
＝[]

，
解不等式x﹣3，得：x≥4，
则不等式得最小整数解为x＝4，
当x＝4时，分式无意义，
所以符合条件的x的最小整数解为x＝5，
则原式．
【变式6-1】（2023秋 武清区期末）计算下列各式：
（1）
（2）．
【解题思路】（1）先将除法转化为乘法，再计算乘法即可得；
（2）先通分，再计算减法，最后约分即可得．
【解答过程】解：（1）原式 （）
；
（2）原式
【变式6-2】（2023秋 来凤县期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”是　②　（填写序号即可）；
（2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值；
（3）在化简时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：
小东：
小强：
显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：　小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母　，
请你接着小强的方法完成化简．
【解题思路】（1）根据题意可以判断题目中的各个小题哪个是和谐分式，从而可以解答本题；
（2）根据和谐分式的定义可以得到a的值；
（3）根据题意和和谐分式的定义可以解答本题．
【解答过程】解：（1）②分式，不可约分，
∴分式是和谐分式，
故答案为：②；
（2）∵分式为和谐分式，且a为正整数，
∴a＝4，a＝5；
（3）小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母，
原式
故答案为：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母．
【变式6-3】（2023秋 宁江区期末）阅读下列材料：
小铭和小雨在学习过程中有如下一段对话：
小铭：“我知道一般当m≠n时，m2+n≠m+n2．可是我见到有这样一个神奇的等式：（）2（）2（其中a，b为任意实数，且b≠0）．你相信它成立吗？”
小雨：“我可以先给a，b取几组特殊值验证一下看看．”
完成下列任务：
（1）请选择两组你喜欢的、合适的a，b的值，分别代入阅读材料中的等式，写出代入后得到的具体等式并验证它们是否成立；
①当a＝　1　，b＝　1　时，等式　成立　（填“成立”或“不成立”）；
②当a＝　1　，b＝　2　时，等式　成立　（填“成立”或“不成立”）．
（2）对于任意实数a，b（b≠0），通过计算说明（）2（）2是否成立．
【解题思路】（1）任取两个符合要求的数代入题目中的式子，等式两边的结果看是否一致即可解答本题；
（2）分别对等式两边展开化简，看最后的结果是否相等，即可解答本题．
【解答过程】解：（1）①当a＝1，b＝1时，
（）2，（）21，
∴（）2（）2成立，
故答案为：1，1，成立；
②当a＝1，b＝2时，
（）2，（）2，
∴（）2（）2成立，
故答案为：1，2，成立；
（2）∵，
，
∴等式成立．
【考点7 解分式方程】
【例7】（2023秋 武城县期末）解方程：
（1）2
（2）若方程1的解是正数，求a的取值范围．
【解题思路】（1）方程两边都乘以3（x﹣3），化分式方程为整式方程，解之求得x的值后检验即可得；
（2）去分母化分式方程为整式方程，解之可得x，根据方程的解为正数知0且x≠2，即2，解之可得答案．
【解答过程】解：（1）方程两边都乘以3（x﹣3），得：2x+9＝3（4x﹣7）+6（x﹣3），
解得：x＝3，
检验：x＝3时，3（x﹣3）＝0，
则x＝3是分式方程的增根，
所以原分式方程无解；
（2）两边都乘以x﹣2，得：2x+a＝2﹣x，
解得：x，
∵方程的解为正数，
∴0，且x≠2，即2，
解得：a＜2且a≠﹣4．
【变式7-1】（2023春 郏县期末）请阅读下列材料并回答问题：
在解分式方程时，小明的解法如下：
解：方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）﹣3＝1①
去括号，得2x﹣1＝3﹣1 ②
解得x
检验：当x时，（x+1）（x﹣1）≠0 ③
所以x是原分式方程的解 ④
（1）你认为小明在哪里出现了错误　①②　（只填序号）
（2）针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，请你提出三条解分式方程时的注意事项；
（3）写出上述分式方程的正确解法．
【解题思路】（1）观察解方程过程，找出错误步骤即可；
（2）针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，写出三条注意事项即可；
（3）写出正确的解答过程即可．
【解答过程】解：（1）小明在①②出现了错误；
故答案为：①②；
（2）三条注意事项：去分母时，注意方程中的每项都要乘以最简公分母；去括号时，注意正确运用去括号法则；解整式方程求出x要进行检验；
（3）正确解法为：
去分母得：2（x﹣1）﹣3（x+1）＝1，
去括号得：2x﹣2﹣3x﹣3＝1，
移项合并得：﹣x＝6，
解得：x＝﹣6，
经检验x＝﹣6是分式方程的解．
【变式7-2】（2023春 邛崃市期中）因为1，，…，，
所以11．
解答下列问题：
（1）在和式中，第九项是　　；第n项是　　．
（2）解方程1．
【解题思路】（1）归纳总结得到第九项，确定出第n项即可；
（2）方程利用拆项法变形，计算即可求出解．
【解答过程】解：（1）第九项为；第n项是；
（2）方程整理得：1，
整理得：1，即1，
解得：x＝0，
经检验x＝0是分式方程的解．
故答案为：（1）；
【变式7-3】（2023春 长宁区期末）解方程：x2+3x8．
【解题思路】根据换元法：设u，可得关于u的分式方程，根据解方程，可得答案．
【解答过程】解：设u，原方程等价于20u＝8．
化简，得
20u2+8u﹣1＝0．
解得u，u．
当u时，x2+3x＝10．解得x＝﹣5，x＝2，经检验x＝﹣5，x＝2是原分式方程的解；
当u时，x2+3x+2＝0．解得x＝﹣1，x＝﹣2，经检验：x＝﹣1，x＝﹣2是原分式方程的解；
综上所述：x＝﹣5，x＝2，x＝﹣1，x＝﹣2是原分式方程的解．
【考点8 分式方程的增根】
【例8】（2023秋 新化县期中）解关于x的方程 时产生了增根，请求出所有满足条件的k的值．
【解题思路】根据等式的性质，可得整式方程，根据方程的增跟适合整式方程，可得关于k的方程，根据解方程，可得答案．
【解答过程】解：方程去分母后得：（k+2）x＝﹣3，分以下两种情况：
令x＝1，k+2＝﹣3，∴k＝﹣5
令x＝﹣2，﹣2（k+2）＝﹣3，∴k，
综上所述，k的值为﹣5，或．
【变式8-1】（2023秋 定陶县期末）a为何值时，关于x的方程会产生增根？
【解题思路】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣2）（x﹣2）＝0，得到x＝2或﹣2，然后代入化为整式方程的方程算出a的值．
【解答过程】解：方程两边都乘（x﹣2）（x+2），
得x+2+ax＝3（x﹣2）
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x﹣2）（x+2）＝0，
解得x＝2或﹣2，
x＝2时，a＝﹣2，
当x＝﹣2，a＝6，
当a＝﹣2或a＝6时，关于x的方程会产生增根．
【变式8-2】（2023春 姜堰区期末）①已知x＝3是方程1的一个根，则a＝　3　；
②已知x＝1是方程的一个增根，则k＝　﹣1　．
【解题思路】①中有两个未知数，但x的值是已知的，只需把x的值代入即可．
②增根是由整式方程解出的不适合分式方程的根，所以要把x＝1代入化为整式方程的方程来求解．
【解答过程】解：①把x＝3代入原方程，得
，解得a＝3，
经检验，a＝3是分式方程的解．
②方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得
x（x+1）+k（x+1）＝x（x﹣1），
把x＝1代入得，k＝﹣1．
【变式8-3】（2023春 长泰县月考）已知关于x的分式方程
（1）若方程的增根为x＝1，求m的值
（2）若方程有增根，求m的值
（3）若方程无解，求m的值．
【解题思路】方程去分母转化为整式方程，
（1）根据分式方程的增根为x＝1，求出m的值即可；
（2）根据分式方程有增根，确定出x的值，进而求出m的值；
（3）分m+1＝0与m+1≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可．
【解答过程】解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），
去分母并整理得：2（x+2）+mx＝x﹣1，
移项合并得：（m+1）x＝﹣5，
（1）∵x＝1是分式方程的增根，
∴1+m＝﹣5，
解得：m＝﹣6；
（2）∵原分式方程有增根，
∴（x+2）（x﹣1）＝0，
解得：x＝﹣2或x＝1，
当x＝﹣2时，m＝1.5；当x＝1时，m＝﹣6；
（3）当m+1＝0时，该方程无解，此时m＝﹣1；
当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m＝﹣6或m，
综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5．
【考点9 分式方程的应用（行程与工程问题）】
【例9】（2023春 秦都区期末）某单位为美化环境，计划对面积为1200平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.5倍，并且在独立完成面积为360平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．
（1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？
（2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为700元，付给乙队的费用为500元，要使这次的绿化总费用不超过14500元，至少安排甲队工作多少天？
【解题思路】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合在独立完成面积为360平方米区域的绿化时甲队比乙队少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排甲队工作m天，则需安排乙队工作天，根据总费用＝700×甲队工作时间+500×乙队工作时间结合这次的绿化总费用不超过14500元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【解答过程】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x平方米，
依题意，得：3，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝60．
答：甲工程队每天能完成绿化的面积是60平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是40平方米．
（2）设安排甲队工作m天，则需安排乙队工作天，
依题意，得：700m+50014500，
解得：m≥10．
所以m最小值是10．
答：至少应安排甲队工作10天．
【变式9-1】（2023 铁岭模拟）为顺利通过“国家文明城市”验收，某市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在40天内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍．若甲、乙两工程队合作只需要10天完成．
（1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？
（2）若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又使工程费用最少．
【解题思路】（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需2x天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要10天”，列出方程解决问题；
（2）首先根据（1）中的结果，从而可知符合要求的施工方案有三种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：由甲乙两队合作完成．针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用．
【解答过程】解：（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需2x天．
根据题意得：，
方程两边同乘以2x，得
2x＝30
解得：x＝15
经检验，x＝15是原方程的解．
∴当x＝15时，2x＝30．
答：甲工程队单独完成该工程需15天，则乙工程队单独完成该工程需30天；
（2）因为甲乙两工程队均能在规定的40天内单独完成，所以有如下三种方案：
方案一：由甲工程队单独完成．所需费用为：4.5×15＝67.5（万元）；
方案二：由乙工程队单独完成．所需费用为：2.5×30＝75（万元）；
方案三：由甲乙两队合作完成．所需费用为：（4.5+2.5）×10＝70（万元）．
∵75＞70＞67.5
∴应该选择甲工程队承包该项工程．
【变式9-2】（2023秋 乌苏市期末）近年来，安全快捷、平稳舒适的中国高铁，为世界高速铁路商业运营树立了新的标杆．随着中国特色社会主义进入新时代，作为“中国名片”的高速铁路也将踏上自己的新征程，跑出发展新速度，这就意味着今后外出旅行的路程与时间将大大缩短，但也有不少游客根据自己的喜好依然选择乘坐普通列车；已知从A地到某市的高铁行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的1.3倍，请完成以下问题：
（1）普通列车的行驶路程为多少千米？
（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求普通列车和高铁的平均速度．
【解题思路】（1）根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可得出答案；
（2）设普通列车平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可．
【解答过程】解：（1）普通列车的行驶路程为：400×1.3＝520（千米）；
（2）设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁的平均速度为2.5x千米/时，则题意得：
3，
解得：x＝120，
经检验x＝120是原方程的解，
则高铁的平均速度是120×2.5＝300（千米/时），
答：普通列车的平均速度是120千米/时，高铁的平均速度是300千米/时．
【变式9-3】（2023 乐陵市一模）用电脑程序控制小型赛车进行50m比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛．比赛前的练习中，两辆车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差3m．已知“畅想号”的平均速度为2.5m/s．
（1）求“和谐号”的平均速度；
（2）如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点向后退3m，两车同时出发，两车能否同时到达终点？若能，求出两车到达终点的时间；若不能，请重新调整一辆车的平均速度，使两车能同时到达终点．
【解题思路】（1）设“和谐号”的平均速度为x，根据，“畅想号”运动50m与“和谐号”运动47m所用时间相等，可得方程，解出即可．
（2）不能同时到达，设调整后“和谐号”的平均速度为y，根据时间相等，得出方程求解即可．
【解答过程】解：（1）设“和谐号”的平均速度为xm/s，
由题意得，，
解得：x＝2.35，
经检验x＝2.35是原方程的解．
答：“和谐号”的平均速度2.35m/s．
（2）不能同时到达．
设调整后“和谐号”的平均速度为y，
，
解得：y．
答：调整“和谐号”的车速为m/s可使两车能同时到达终点．
【考点10分式方程的应用（销售与方案问题）】
【例10】（2023秋 河北区期末）春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的倍．
（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；
（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？
【解题思路】（1）该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进（x+20）元，根据第二批购进数量是第一批箱数的倍，列方程求解；
（2）设每箱饮料的标价为y元，根据两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%，列出不等式，求解即可．
【解答过程】解：（1）该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进（x+20）元，
根据题意，得
解得：x＝200
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，∴第一批箱装饮料每箱的进价是200元．
（2）设每箱饮料的标价为y元，
根据题意，得（30+40﹣10）y+0.8×10y≥（1+36%）（6000+8800）
解得：y≥296
答：至少标价296元．
【变式10-1】（2023春 定远县期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
【解题思路】（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x﹣2）元，根据题意建立方程求出其解就可以了．
（2）本题中“根据进两种商品的总数量不超过95个”可得出不等式；
（3）根据“使销售两种商品的总利润（利润＝售价﹣进价）超过380元”可以得出关于利润的不等式，组成不等式组后得出未知数的取值范围，然后根据取值的不同情况，列出不同的方案．
【解答过程】解：（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x﹣2）元，
根据题意，得，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的根，
每件甲种商品的进价为：10﹣2＝8．
答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元．
（2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y﹣5）个．
由题意得：3y﹣5+y≤95．
解得y≤25．
答：商场最多购进乙商品25个；
（3）由（2）知，（12﹣8）（3y﹣5）+（15﹣10）y＞380，
解得：y＞23．
∵y为整数，y≤25，
∴y＝24或25．
∴共有2种方案．
方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；
方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个．
【变式10-2】（2023秋 路北区期末）某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；
（3）若甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
【解题思路】方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，求出费用即可判断，方案（2）显然不符合要求．
【解答过程】解：设规定日期为x天．由题意得
1，
3（x+6）+x2＝x（x+6），
3x＝18，
解之得：x＝6．
经检验：x＝6是原方程的根．
方案（1）：1.2×6＝7.2（万元）；
方案（2）比规定日期多用6天，显然不符合要求；
方案（3）：1.2×3+0.5×6＝6.6（万元）．
∵7.2＞6.6，
∴在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．
【变式10-3】（2023秋 松滋市期末）松滋临港贸易公司现有480吨货物，准备外包给甲、乙两个车主来完成运输任务，已知甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，而乙车主每天运输的吨数是甲车主的1.5倍，公司需付甲车主每天800元运输费，乙车主每天运输费1200元，同时公司每天要付给发货工人200元工资．
（1）求甲、乙两个车主每天各能运输多少吨货物？
（2）公司制定如下方案，可以单独由甲乙任意一个车主完成，也可以由两车主合作完成．请你通过计算，帮该公司选择一种既省钱又省时的外包方案．
【解题思路】（1）设甲车主每天能运输x吨货物，则乙车主每天能运输1.5x吨货物，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据工作时间＝工作总量÷工作效率及总费用＝每日所需费用×运输天数，分别求出甲车主单独完成、乙车主单独完成及甲、乙两车主合作完成所需时间及总费用，比较后即可得出结论．
【解答过程】解：（1）设甲车主每天能运输x吨货物，则乙车主每天能运输1.5x吨货物，
根据题意得：10，
解得：x＝16，
经检验，x＝16是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝24．
答：甲车主每天能运输16吨货物，乙车主每天能运输24吨货物．
（2）甲车主单独完成所需时间为480÷16＝30（天），
乙车主单独完成所需时间为480÷24＝20（天），
甲、乙两车主合作完成所需时间为480÷（16+24）＝12（天），
甲车主单独完成所需费用为30×（800+200）＝30000（元），
乙车主单独完成所需费用为20×（1200+200）＝28000（元），
甲、乙两车主合作完成所需费用为12×（800+1200+200）＝26400（元）．
∵30000＞28000＞26400，30＞20＞12，
∴该公司选择由两车主合作完成既省钱又省时．

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