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2023-2024学年三明市初中毕业班第二次教学质量监测
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
4．考试结束，考生必须将答题卡交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各数中，无理数是（ ）
A. B. 1 C. 0 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查无理数的概念，常见的无理数有：开不尽方的数，消不掉的数，具有一定规律的无限不循环小数，这是解题的关键．
根据无理数的概念判定即可．
【详解】A． 是无理数，符合题意；
B． 1是整数，属于有理数，不符合题意；
C． 0是整数，属于有理数，不符合题意；
D． 是整数，属于有理数，不符合题意；
故选：A．
2. 某运动会颁奖台如图所示，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了判断简单组合体的三视图，旨在考查学生的空间想象能力．
【详解】解：由图可知：该组合体的俯视图为B，
故选：B ．
3. 某校对学生到校方式进行调查并绘制如下统计图，若该校学生总数600人，则骑车到校的学生有（ ）
A. 120人 B. 150人 C. 210人 D. 270人
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图，读懂扇形统计图是解题的关键．
观察扇形统计图可得，骑车到校占，结合该校学生总数600人求解即可．
【详解】（人）.
故选：B．
4. 一元一次不等式组的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
【详解】解：解不等式得，
解不等式得，
∴不等式组的解集为：，
故选D．
5. 瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一，如图所示的图形是某瓷器上的纹饰，该图形是轴对称图形，其对称轴的条数为（ ）
A 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形的相关概念，根据图形的两部分折叠后能够完全重合确定对称轴是解题的关键．
根据轴对称图形的概念确定对称轴，画图求解即可．
【详解】如图所示：由4条对称轴，
故选：C．
6. 实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示，在这四个数中，绝对值最小的数是（ ）
A. a B. b C. c D. d
【答案】C
【解析】
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离的大小确定结论．
【详解】解：由图可知：c到原点O的距离最短，
所以在这四个数中，绝对值最小的数是c；
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的定义、实数大小比较问题，熟练掌握绝对值最小的数就是到原点距离最小的数．
7. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】题考查去括号、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键．
【详解】解：A. ，原计算错误；
B. ，原计算错误；
C. ，原计算错误；
D. ，计算正确；
故选D．
8. 某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（ ）
A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系
C. 反比例函数关系 D. 二次函数关系
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形周长找出关于x和y的等量关系即可解答．
【详解】解：根据题意得：
，
∴，
∴y与x满足的函数关系是一次函数；
故选：B．
【点睛】本题通过矩形的周长考查一次函数的定义，解题的关键是理清实际问题中的等量关系准确地列式．
9. 为半圆O的直径，现将一块含30°的直角三角板如图放置，30°角的顶点P在半圆上，斜边经过点B，一条直角边交半圆O于点Q．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，扇形的弧长公式，构造扇形求弧长是解题的关键．
连接，根据圆周角定理求的度数，根据扇形的弧长公式求解即可．
【详解】连接，如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：C．
10. 如图，在中，，，把绕点A逆时针旋转得到，点D与点B对应，点D恰好落在上，过E作交的延长线于点F，连接并延长交于点G，连接交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】连接，可证四边形是矩形，，即可判断①③；根据①③结论可推出垂直平分，进而可得是等腰直角三角形，从而可判断②；根据条件无法证明④的准确性．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，，
∴
由题意得：
∴
∴
∴
∵，
∴
∴四边形是矩形，
∴，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴点是的中点
即：，故①正确；
∵,
∴
∵
∴
∴
同理可证
∴，故③正确；
∵
∴垂直平分
∴
∵
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴，故②正确；
根据条件无法证明，
故选：B．
【点睛】本题综合考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、斜中半定理等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效．
2．作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 计算：______.
【答案】4
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法直接计算即可.
详解】解：.
【点睛】本题是对二次根式计算的考查，熟练掌握二次根式乘法是解决本题的关键.
12. 如图，，点E，F分别在直线，上，，，则的度数为______．
【答案】##60度
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，角的运算，掌握平行线的性质是解题的关键．
根据平行线的性质求的度数，根据角的和差求的度数即可．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在平面直角坐标系中，点与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为α，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，求角的正弦值，勾股定理，过点A作轴于B，则，由勾股定理得到，则．
【详解】解；如图所示，过点A作轴于B，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 已知点，都在反比例函数的图象上，且，则k的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象及性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
根据反比例函数图象上两个点的横坐标的大小关系和纵坐标的大小关系，确定图象的性质，根据图象的性质确定k的取值范围．
【详解】∵，，
∴第一象限内，函数图象从左到右下降，
∴，
解得：．
故答案为：．
15. 小亮学习物理《电流和电路》后设计如图所示的一个电路图，其中，，分别表示三个可开闭的开关，“”表示小灯泡，“”表示电池．当随机闭合开关，，中的两个，小灯泡发光的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用树形图法求概率，画树状图，共有种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有种，再由概率公式求解即可．
【详解】画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有种，
∴小灯泡发光的概率为
16. 点，在二次函数的图象上，若，时，都有，则m的取值范围是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查抛物线的对称性，先求出中点的位置，然后根据两点不关于对称轴对称得到关于m的不等式，解题即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，即
∵，
∴点，不关于对称轴对称，
∴，的中点在对称轴的左边或右边，
即或，
解得：或，
故答案为：或．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解不等式，并把它的解集表示在数轴上．
【答案】，在数轴上表示见解析
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为即可．
【详解】解：去分母得：，
去括号得，
移项得：，
合并得：，
系数化为得：，
在数轴上表示为：
18. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查异分母分式的加减法，掌握异分母分式的加减法的法则是解题的关键．
先通分，再加减，最后约分即可．
【详解】
．
19. 如图，在中，，边与相切于点D，边，与分别交于点M，N．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查圆的切线的性质，圆心角、弦、弧的关系，等腰三角形的性质，正确作辅助组是解题的关键．
连接，根据切线的性质证，根据等腰三角形的性质证，根据圆心角、弦、弧的关系即可得出结论．
【详解】连接，如图所示，
∵与相切于点D，
∴，
∵，
∴，
∴．
20. 某校期末评价成绩是由完成作业、半期检测、期末考试三项成绩构成的，如果期末评价成绩80分以上（含80分），则评为“优秀”．下表是宁婧和李唐两位同学的成绩记录：
完成作业 半期检测 期末考试
宁婧 90 76 80
李唐 82 70
（1）若按三项成绩的平均分记为期末评价成绩，请计算宁婧的期末评价成绩；
（2）若将完成作业、半期检测、期末考试三项成绩按2：3：5的比例来确定期末评价成绩．李唐在期末考试中至少考多少分才能达到优秀？（成绩为整数）
【答案】（1）分
（2）分
【解析】
【分析】（1）直接利用算术平均数的定义求解可得；
（2）根据加权平均数的定义计算可得．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
【小问1详解】
解：宁婧期末评价成绩为：分，
答：宁婧的期末评价成绩为分．
【小问2详解】
解：设李唐在期末考试成绩为分，列不等式为：
，
解得，
∵x为整数，
∴x至少为，
答：李唐在期末考试中至少考分才能达到优秀．
21. 如图，已知，，，A为斜边上一点．
（1）求作：以点O为中心，A为一个顶点的正方形（点A，B，C，D按顺时针排列）；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接DN，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查尺规作图—作垂线，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握基本作图是解题的关键．
（1）作射线，过O点作AO的垂线，然后以O为圆心,OA长为半径作弧交射线和AO的垂线于点C、B、D，然后依次连接即可得到正方形；
（2）证明，得到，进而证明结论．
【小问1详解】
解：如图，四边形即为所作；
【小问2详解】
证明：∵，，
∴
由作图可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
22. 随着电动汽车的迅猛发展，我国已成为全球最大的电动汽车市场，在很多高速公路服务区里既有加油站同时又配有充电桩．
（1）在某个服务区，电动汽车的充电桩数量是燃油汽车加油枪数量的1.5倍，统计发现：在1个小时内，平均每个充电桩可以为2辆电动汽车充电，平均一个加油枪可以为10辆燃油汽车加油，这样在这1小时内可以为104辆汽车提供充电、加油服务．那么这个服务区的充电桩和加油枪分别有多少个？
（2）一般情况下，在高速公路上行驶时电动汽车平均每公里所耗电费比燃油汽车平均每公里所耗油费少0.6元．若两位车主在服务区分别花60元给电动汽车充电、花300元给燃油汽车加油，电动汽车可行驶的里程与燃油汽车可行驶的里程相等，那么电动汽车在高速路上行驶时平均每公里所耗电费为多少元？
【答案】（1）这个服务区的充电桩有个，加油枪分别有个
（2）电动汽车在高速路上行驶时平均每公里所耗电费为元
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程 组的应用，分式方程的应用，找出等量关系并列出方程是解题的关键．
（1）基本关系：电动汽车的充电桩数量=燃油汽车加油枪数量×1.5，充电桩的数量×2+加油枪数量，据此列方程组求解即可；
（2）根据电动汽车可行驶的里程与燃油汽车可行驶的里程相等建立分式方程，求解即可．
【小问1详解】
解：设这个服务区的充电桩有个，加油枪分别有个，根据题意列方程，
，
解得：，
答：这个服务区的充电桩有个，加油枪分别有个．
【小问2详解】
解：电动汽车在高速路上行驶时平均每公里所耗电费为元，则燃油汽车平均每公里所耗油费元，根据题意列方程，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：电动汽车在高速路上行驶时平均每公里所耗电费为元．
23. 综合实践：阅读下列材料，解答问题．
任务：如图①，一块锐角三角形木料，现要测量边上的高． 工具：如图②，一把刻度尺（宽度为，两端受损，可测量长度大于的各边长）．
小明的测量过程如下： 步骤一：如图③，测得； 步骤二：在边上测得； 步骤三：测得（点E在边上）； 步骤四：测得．
小颖的测量过程如下： 步骤一：测得； 步骤二：如图④，将刻度尺的一边与边重叠，另一边与边交点为D，测得．
（1）小明的测量方法是通过测量操作得到，由此判定就是边上的高．小明判定是边上的高用到的几何知识是______；
（2）请根据小颖的测量方法和所得到的数据，求出边上的高（结果用含字母t，a，b的式子表示）；
（3）请你利用所提供的工具，设计另一种测量方案，写出测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示．（说明：操作、说理思路相同的方案视为同一种方案）
【答案】（1）直径所对的圆周角是直角
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图的应用和设计，掌握平行线分线段成比例定理是解答本题的关键．
（1）以D为圆心，长为半径作圆D，连接，利用直径所对的圆周角是直角解题即可；
（2）作于点E，交直尺另一边于F点，根据平行线分线段成比例得到，代入数值计算即可；
（3）用直尺测量三角形的三边长，，，作于点，利用勾股定理
【小问1详解】
解：连接，以D为圆心，长为半径作圆D，
，
∴、E在圆D上，且是直径，
∴，即是边上的高；
判定是边上高用到的几何知识是：直径所对的圆周角是直角；
故答案为：直径所对的圆周角是直角；
【小问2详解】
作于点E，交直尺另一边于F点，则，
根据直尺对边平行得到，即，
解得：；
【小问3详解】
解：用直尺测量三角形的三边长，，，作于点，
设，则，
∴，即，
解得：，
∴．
24. 在中，点E在上，将沿翻折得到．
（1）如图①，的延长线与的交点为点G．求证：；
（2）如图②，的延长线恰好经过点B，若F为的中点．求证：；
（3）如图③，交于点P，若，∠，．求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得到，根据翻折得到，进而得到，即可证明结论；
（2）由折叠得到，根据F为的中点得到，根据三角形的外角得到，然后得到，即可得到结论；
（3）如图，过点P作于点G，设，则，，延长交的延长线于点H，则，根据得到，求出，然后根据勾股定理列方程解题即可．
【小问1详解】
证明：∵是平行四边形，
∴，，
∴，
由折叠可得：，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：由（1）可得，
由折叠可得：，，
∵F为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
如图，过点P作于点G，
∵是平行四边形，，
∴是菱形，，
∴，，
∴，
设，则，，
延长交的延长线于点H，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
解得：，，
在中，，
即，
解得（舍），，
∴
25. 已知抛物线：的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧）．
（1）若点P的坐标为，求证：；
（2）将抛物线绕点旋转，，得到抛物线，抛物线的顶点为Q，与x轴相交于C，D两点（点C在点D左侧）．
①若，且点P在抛物线上，当时，抛物线最低点的纵坐标为，求抛物线的解析式；
②若点B在点M左侧，，且，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）① ②四边形是矩形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设抛物线的解析式为，可以得到，即可解题；
（2）由题可得抛物线的顶点坐标为，根据对称得到抛物线的顶点坐标为，则抛物线的解析式为，把代入可得，然后利用二次函数的增减性解题即可；
（3）根据题意得到点B的坐标为，点A的坐标为，对称轴为，然后求出顶点，，然后根据勾股定理和旋转求出，即可判断四边形的形状．
【小问1详解】
证明：设抛物线的解析式为，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①∵，
∴抛物线的对称轴为，这时，纵坐标为，
即抛物线的顶点坐标为，
又∵抛物线绕点旋转，得到抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的解析式为，
∵点P在抛物线上，
∴，解得，
代入可得，
∵，在对称轴左边，y随x的增大而减小，
即当时，最低点的纵坐标为，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
②四边形是矩形，理由为：
对于抛物线，令，则，
∴，
又∵点B在点M左侧，，
∴，
∴点B的坐标为，点A的坐标为，对称轴为，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
∴顶点坐标为，；
又∵抛物线绕点旋转，得到抛物线，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，，
∴，
∴四边形矩形．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，矩形的判定，能根据二次函数的图像和性质求出二次函数的顶点坐标是解题的关键．2023-2024学年三明市初中毕业班第二次教学质量监测
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
4．考试结束，考生必须将答题卡交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各数中，无理数是（ ）
A. B. 1 C. 0 D.
2. 某运动会颁奖台如图所示，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 某校对学生到校方式进行调查并绘制如下统计图，若该校学生总数600人，则骑车到校的学生有（ ）
A. 120人 B. 150人 C. 210人 D. 270人
4. 一元一次不等式组的解集为（ ）
A. B. C. D.
5. 瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一，如图所示的图形是某瓷器上的纹饰，该图形是轴对称图形，其对称轴的条数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
6. 实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示，在这四个数中，绝对值最小的数是（ ）
A. a B. b C. c D. d
7. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（ ）
A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系
C. 反比例函数关系 D. 二次函数关系
9. 为半圆O的直径，现将一块含30°的直角三角板如图放置，30°角的顶点P在半圆上，斜边经过点B，一条直角边交半圆O于点Q．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，，把绕点A逆时针旋转得到，点D与点B对应，点D恰好落在上，过E作交的延长线于点F，连接并延长交于点G，连接交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效．
2．作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11 计算：______.
12. 如图，，点E，F分别在直线，上，，，则的度数为______．
13. 如图，在平面直角坐标系中，点与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为α，则的值为______．
14. 已知点，都在反比例函数图象上，且，则k的取值范围是______．
15. 小亮学习物理《电流和电路》后设计如图所示的一个电路图，其中，，分别表示三个可开闭的开关，“”表示小灯泡，“”表示电池．当随机闭合开关，，中的两个，小灯泡发光的概率是______．
16. 点，在二次函数的图象上，若，时，都有，则m的取值范围是______．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解不等式，并把它的解集表示在数轴上．
18. 化简：．
19. 如图，在中，，边与相切于点D，边，与分别交于点M，N．求证：．
20. 某校期末评价成绩是由完成作业、半期检测、期末考试三项成绩构成的，如果期末评价成绩80分以上（含80分），则评为“优秀”．下表是宁婧和李唐两位同学的成绩记录：
完成作业 半期检测 期末考试
宁婧 90 76 80
李唐 82 70
（1）若按三项成绩的平均分记为期末评价成绩，请计算宁婧的期末评价成绩；
（2）若将完成作业、半期检测、期末考试三项成绩按2：3：5的比例来确定期末评价成绩．李唐在期末考试中至少考多少分才能达到优秀？（成绩为整数）
21. 如图，已知，，，A为斜边上一点．
（1）求作：以点O为中心，A为一个顶点的正方形（点A，B，C，D按顺时针排列）；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接DN，求证：．
22. 随着电动汽车的迅猛发展，我国已成为全球最大的电动汽车市场，在很多高速公路服务区里既有加油站同时又配有充电桩．
（1）在某个服务区，电动汽车的充电桩数量是燃油汽车加油枪数量的1.5倍，统计发现：在1个小时内，平均每个充电桩可以为2辆电动汽车充电，平均一个加油枪可以为10辆燃油汽车加油，这样在这1小时内可以为104辆汽车提供充电、加油服务．那么这个服务区的充电桩和加油枪分别有多少个？
（2）一般情况下，在高速公路上行驶时电动汽车平均每公里所耗电费比燃油汽车平均每公里所耗油费少0.6元．若两位车主在服务区分别花60元给电动汽车充电、花300元给燃油汽车加油，电动汽车可行驶的里程与燃油汽车可行驶的里程相等，那么电动汽车在高速路上行驶时平均每公里所耗电费为多少元？
23 综合实践：阅读下列材料，解答问题．
任务：如图①，一块锐角三角形木料，现要测量边上的高． 工具：如图②，一把刻度尺（宽度为，两端受损，可测量长度大于的各边长）．
小明的测量过程如下： 步骤一：如图③，测得； 步骤二：在边上测得； 步骤三：测得（点E在边上）； 步骤四：测得．
小颖的测量过程如下： 步骤一：测得； 步骤二：如图④，将刻度尺的一边与边重叠，另一边与边交点为D，测得．
（1）小明的测量方法是通过测量操作得到，由此判定就是边上的高．小明判定是边上的高用到的几何知识是______；
（2）请根据小颖的测量方法和所得到的数据，求出边上的高（结果用含字母t，a，b的式子表示）；
（3）请你利用所提供的工具，设计另一种测量方案，写出测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示．（说明：操作、说理思路相同的方案视为同一种方案）
24. 在中，点E在上，将沿翻折得到．
（1）如图①，的延长线与的交点为点G．求证：；
（2）如图②，的延长线恰好经过点B，若F为的中点．求证：；
（3）如图③，交于点P，若，∠，．求的长．
25. 已知抛物线：的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧）．
（1）若点P的坐标为，求证：；
（2）将抛物线绕点旋转，，得到抛物线，抛物线的顶点为Q，与x轴相交于C，D两点（点C在点D左侧）．
①若，且点P在抛物线上，当时，抛物线最低点的纵坐标为，求抛物线的解析式；
②若点B在点M左侧，，且，判断四边形形状，并说明理由．

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