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2024年初中学业水平考试第一次模拟考数学科试题
考试时间：120分钟，满分120分
温馨提示：请将答案写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 的绝对值是（ ）
A. 3 B. C. D.
2. 在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的是（ ）
A. B. C. D.
3. 式子化简后的结果是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图所示，直线，则（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，点B、F、C、E都在一条直线上，，，添加下列一个条件后，仍无法判断的是（ ）
A. B. C. D.
6. 《生日歌》是我们熟悉的歌曲，以下是摘自生日歌简谱的部分旋律，当中出现的音符的中位数是（　　）
A. 1 B. 2 C. 5 D. 6
7. 如图，是的直径，弦交于点，连接．若，则的度数是（　　）
A B. C. D.
8. 某机械长今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年平均增长率为x，那么x满足方程（　　）
A.
B.
C.
D.
9. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的一元一次不等式的解集为（　　）
A. B. C. D.
10. 如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 数据60600用科学记数法表示应为______．
12. 点关于原点的对称点Q的坐标为______．
13. 计算：______．
14. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为______．
15. 如图，某品牌扫地机器人形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是______．
16. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cosα＝，则线段CE的最大值为_____．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. 计算：．
18. 计算：．
19. 劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：
劳动时间t（单位：小时） 频数
12
a
26
16
4
（1）　　， ；
（2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在范围学生有多少人？
（3）劳动时间在范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是二名女生的概率.
20. 我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
21. 如图，一次函数的图象与函数的图象交于点和点B．
（1）求n的值；
（2）若，根据图象直接写出当时x的取值范围；
（3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，若的面积为1，求点P的坐标．
22. 有一建筑的一面墙近似呈抛物线形，该抛物线的水平跨度顶点P的高度为4m，建立如图所示平面直角坐标系．现计划给该墙面安装门窗，已经确定需要安装矩形门框（点B，C在抛物线上，边在地面上），针对窗框的安装设计师给出了两种设计方案如图：
方案一：在门框的两边加装两个矩形窗框（点G，H在抛物线上），；
方案二：在门框的上方加装一个矩形的窗框（点G，H在抛物线上），．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若要求门框的高度为3m，判断哪种方案透光面积（窗框和门框的面积和）较大？（窗框与门框的宽度忽略不计）
23. 已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点，与交于点，点为的延长线上一点，且．
（1）求证：是的切线：
（2）求证：；
（3）若的半径为10，，求的长．
24. 已知：如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，点C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延长DC交EF于点M．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．
解答下列问题：
（1）当t为何值时，点M在线段CQ垂直平分线上？
（2）连接PQ，作QN⊥AF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值；
（3）连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（4）点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．2024年初中学业水平考试第一次模拟考数学科试题
考试时间：120分钟，满分120分
温馨提示：请将答案写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 的绝对值是（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的定义，根据绝对值的定义，数轴上的数离开原点之间的距离叫做这个数的绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即可得出结果．
【详解】解：，
的绝对值是3，
故选：A．
2. 在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依次找到主视图、左视图和俯视图形状都相同的图形即可．
【详解】解：A、圆台的主视图和左视图相同，都是梯形，俯视图是圆环，故选项不符合题意；
B、三棱柱的主视图和左视图、俯视图都不相同，故选项不符合题意；
C、球的三视图都是大小相同的圆，故选项符合题意．
D、圆锥的三视图分别为等腰三角形，等腰三角形，含圆心的圆，故选项不符合题意；
故选C.
【点睛】本题考查了三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．
3. 式子化简后的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方运算法则、同底数幂的乘法法则分别计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
，
故选：．
4. 如图所示，直线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质求出，再利用两直线平行内错角相等即可求出．
【详解】，，
，
直线，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握和运用这些性质是解题关键．
5. 如图，点B、F、C、E都在一条直线上，，，添加下列一个条件后，仍无法判断的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．全等三角形的判定中，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
【详解】解：A．当，，时，依据可得；
B．当，，时，依据可得；
C．当，，F时，不能得出；
D．当，，时，依据可得．
故选C．
6. 《生日歌》是我们熟悉的歌曲，以下是摘自生日歌简谱的部分旋律，当中出现的音符的中位数是（　　）
A. 1 B. 2 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查中位数的定义，掌握一组数据从小到大排列后居于中间的一个数或两个数的平均数是解题的关键．
【详解】解：当中出现的音符从低到高排列：1、1、2、5、5、5、5、5、5、6、6、7，
因此中位数为，
故选：C．
7. 如图，是的直径，弦交于点，连接．若，则的度数是（　　）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是，可得，由，可得，进而可得．
【详解】解：连接，
∵AB是的直径，
∴，
，
，
．
故选D．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．
8. 某机械长今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x，那么x满足方程（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题，设出未知数，分别表示明年、后年生产的零件数量，根据“明后两年共生产零件132万个”即可列出方程．
【详解】解：根据题意得明年生产零件为（万个），后年生产零件为（万个），
由题意得．
故选：C
9. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的一元一次不等式的解集为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：当时，，得，
要使得，只需，即：一次函数在的图象的下方，
由函数图象可知，关于x的不等式的解集为，
故选：C．
10. 如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分三种情形∶ ①当0＜x≤2时， 重叠部分为△CDG，②当2＜x≤4时，重叠部分为四边形AGDC，③当4＜x≤8时，重叠部分为△BEG，分别计算即可．
【详解】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，
在等边△ABC中，∠ACB＝60°，
在Rt△DEF中，∠F＝30°，
∴∠FED＝60°，
∴∠ACB＝∠FED，
∴ACEF，
在等边△ABC中，AM⊥BC，
∴BM＝CM＝BC＝2，AM＝BM＝2，
∴S△ABC＝BC AM＝4，
①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，
由题意可得CD＝x，DG＝x
∴S＝CD DG＝x2；
②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，
由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG＝（4﹣x），
∴S＝S△ABC﹣S△BDG＝4﹣×（4﹣x）×（4﹣x），
∴S＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣4）2+4，
③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，
此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，
由题意可得CD＝x，则CE＝x﹣4，DB＝x﹣4，
∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x，
∴BM＝4﹣x
在Rt△BGM中，GM＝（4﹣x），
∴S＝BE GM＝（8﹣x）×（4﹣x），
∴S＝（x﹣8）2，
综上，选项A的图像符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了特殊三角形的性质，二次函数的图形等知识，灵活运用所学知识解决问题，利用割补法求多边形的面积是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 数据60600用科学记数法表示应为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：．
故答案为：．
12. 点关于原点的对称点Q的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为，
故答案为：．
13. 计算：______．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则是解题的关键．
先根据平方差公式和二次根式乘法法则计算，再计算加减即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：7．
14. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了多边形内角与外角．设这个多边形的边数为，根据内角和公式以及多边形的外角和为即可列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：设这个多边形的边数为，则该多边形的内角和为，
依题意得：，
解得：，
这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
15. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是正多边形和圆的知识，理解弧三角形的概念、掌握正多边形的中心角的求法是解题的关键．
根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可．
【详解】解：如图：
∵是正三角形，
∴，
∴的长为： ，
∴“莱洛三角形”的周长=．
故答案为：．
16. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cosα＝，则线段CE的最大值为_____．
【答案】6.4
【解析】
【分析】作AG⊥BC于G，如图，根据等腰三角形的性质得BG＝CG，再利用余弦的定义计算出BG＝8，则BC＝2BG＝16，设BD＝x，则CD＝16﹣x，证明△ABD∽△DCE，利用相似比可表示出CE＝﹣x2+x，然后利用二次函数的性质求CE的最大值.
【详解】解：作AG⊥BC于G，如图，
∵AB＝AC，
∴BG＝CG，
∵∠ADE＝∠B＝α，
∴cosB＝cosα＝＝，
∴BG＝×10＝8，
∴BC＝2BG＝16，
设BD＝x，则CD＝16﹣x，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，即α+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴∠CDE＝∠BAD，
而∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴，即，
∴CE＝﹣x2+x
＝﹣（x﹣8）2+6.4，
当x＝8时，CE最大，最大值为6.4.
故答案为：6.4.
【点睛】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定及性质，利用二次函数的性质求最值问题，正确掌握各知识并综合运用解题是关键.
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据有理数的乘方，负指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，进行计算即可求解．
【详解】解：
18. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先计算括号内的加法，再计算除法即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和顺序是解题的关键．
19. 劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：
劳动时间t（单位：小时） 频数
12
a
26
16
4
（1）　　， ；
（2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在范围的学生有多少人？
（3）劳动时间在范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是二名女生的概率.
【答案】（1）80，22
（2）160人 （3）
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图、频数分布表、用样本估计总体、画树状图或列表法求概率，读懂题意是解答的关键．
（1）根据劳动时间在范围的频数除以其所占的百分比求解m值，再用m值减去其他劳动范围内的频数可求解a值；
（2）用该校总人数乘以样本中劳动时间在范围所占的比例求解即可；
（3）画树状图得到所有的等可能的结果，再找出满足条件的结果，进而利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，，，
故答案为：80，22；
【小问2详解】
解：（人），
答：估计劳动时间在范围的学生有160人；
【小问3详解】
解：画树状图，如图：
共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好是两名女生的有2种，
∴抽取的2名学生恰好是二名女生的的概率为．
20. 我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．
（1）求甲、乙两种奖品单价；
（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【答案】（1）甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元；（2）购买甲种奖品20件，乙种奖品40件时总费用最少，最少费用为800元．
【解析】
【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，根据题意列方程组求出x、y的值即可得答案；
（2）设总费用为w元，购买甲种奖品为m件，根据甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的可得m的取值范围，根据需甲、乙两种奖品共60件可得购买乙种奖品为（60-m）件，根据（1）中所求单价可得w与m的关系式，根据一次函数的性质即可得答案．
【详解】（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，
∵1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元，
∴，
解得：，
答：甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元．
（2）设总费用为w元，购买甲种奖品为m件，
∵需甲、乙两种奖品共60件，
∴购买乙种奖品为（60-m）件，
∵甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元，
∴w=20m+10（60-m）=10m+600，
∵甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，
∴m≥（60-m），
∴20≤m≤60，
∵10>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=20时，w有最小值，最小值为10×20+600=800（元），
∴购买甲种奖品20件，乙种奖品40件时总费用最少，最少费用为800元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用，正确得出等量关系及不等关系列出方程组及不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
21. 如图，一次函数的图象与函数的图象交于点和点B．
（1）求n的值；
（2）若，根据图象直接写出当时x的取值范围；
（3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，若的面积为1，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
（1）将点代入一次函数，求出的值，得点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可得到答案；
（2）求出点B的坐标，由函数的图像即可得到取值范围；
（3）设，根据三角形面积公式即可得到答案．
【小问1详解】
解：将点代入一次函数，
，
故，
将代入反比例函数，
得；
【小问2详解】
解：由（1）得，
联立一次函数和反比例函数，得
，
解得，
故，
由图像可知，的取值范围为；
【小问3详解】
解：设，且，交x轴于点M，如图；
，
，
，
解得，
点P坐标为或．
22. 有一建筑的一面墙近似呈抛物线形，该抛物线的水平跨度顶点P的高度为4m，建立如图所示平面直角坐标系．现计划给该墙面安装门窗，已经确定需要安装矩形门框（点B，C在抛物线上，边在地面上），针对窗框的安装设计师给出了两种设计方案如图：
方案一：在门框的两边加装两个矩形窗框（点G，H在抛物线上），；
方案二：在门框的上方加装一个矩形的窗框（点G，H在抛物线上），．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若要求门框的高度为3m，判断哪种方案透光面积（窗框和门框的面积和）较大？（窗框与门框的宽度忽略不计）
【答案】（1）
（2）方案一透光面积较大，见解析
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据点的坐标求出小矩形的边长．
（1）由题意可知，抛物线的顶点P的坐标，设所求抛物线的解析式为，把代入解析式中即可得出答案；
（2）将代入解析式求出A、B两点的坐标，再根据已知条件分别求出方案一和方案二中小矩形的长和宽，求出面积比较即可．
【小问1详解】
解：由题意可知，抛物线的顶点P的坐标，
设所求抛物线的解析式为
把代入解析式中，得，
解得：
所以该抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：当时，
即
解得：，
所以点A的坐标为，点B的坐标为，，
方案一：
，
∵，
∴点E的坐标为，
∴点G的横坐标为1，
当时，
∴
∴
∴
方案二：
∵，
∴点E的坐标为，
∴点G的横坐标为3，
当时，
∴
∴
∵，
∴方案一透光面积较大．
23. 已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点，与交于点，点为的延长线上一点，且．
（1）求证：是的切线：
（2）求证：；
（3）若的半径为10，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出，再证出，即，即可得出是的切线；
（2）连接，由垂径定理得出，得出，再由公共角，证明，得出对应边成比例，即可得出结论；
（3）连接，由圆周角定理得出，由三角函数求出，再根据勾股定理求出，得出，由（2）的结论求出，然后根据勾股定理求出即可．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
，
即，
，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
证明：连接，如图所示，
，
，
，
，
，
．
【小问3详解】
解：连接，如图所示，
是的直径，
，
的半径为10，，
，
，
，
，
，
，
在中，．
【点睛】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数，相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果．
24. 已知：如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，点C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延长DC交EF于点M．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．
解答下列问题：
（1）当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？
（2）连接PQ，作QN⊥AF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值；
（3）连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（4）点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）t＝3；（3）；（4）存在，
【解析】
【分析】（1）由平行线分线段成比例可得，可求CM的长，由线段垂直平分线的性质可得CM＝MQ，即可求解；
（2）利用锐角三角函数分别求出PH=t，QN＝6－t，由矩形的性质可求解；
（3）利用面积的和差关系可得S＝S梯形GMFH﹣S△CMQ﹣S△HFQ，即可求解；
（4）连接PF，延长AC交EF于K，由“SSS”可证△ABC≌△EBF，可得∠E＝∠CAB，可证∠ABC＝∠EKC＝90°，由面积法可求CK的长，由角平分线的性质可求解．
【详解】解：（1）∵AB∥CD，
∴，
∴，
∴CM=，
∵点M在线段CQ的垂直平分线上，
∴CM＝MQ，
∴1×t=，
∴t=；
（2）如图1，过点Q作QN⊥AF于点N，
∵∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，
∴AC10cm，EF10cm，
∵CE＝2cm，CM=cm，
∴EM，
∵sin∠PAH＝sin∠CAB，
∴，
∴，
∴PH=t，
同理可求QN＝6t，
∵四边形PQNH是矩形，
∴PH＝NQ，
∴6tt，
∴t＝3；
∴当t＝3时，四边形PQNH为矩形；
（3）如图2，过点Q作QN⊥AF于点N，
由（2）可知QN＝6t，
∵cos∠PAH＝cos∠CAB，
∴，
∴，
∴AHt，
∵四边形QCGH的面积为S＝S梯形GMFH﹣S△CMQ﹣S△HFQ，
∴S=6×（8t+6+8t）[6﹣（6t）]（6t）（8t+6）=；
（4）存在，
理由如下：如图3，连接PF，延长AC交EF于K，
∵AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，AC＝EF＝10cm，
∴△ABC≌△EBF（SSS），
∴∠E＝∠CAB，
又∵∠ACB＝∠ECK，
∴∠ABC＝∠EKC＝90°，
∵S△CEMEC×CMEM×CK，
∴CK，
∵PF平分∠AFE，PH⊥AF，PK⊥EF，
∴PH＝PK，
∴t＝10﹣2t，
∴t，
∴当t时，使点P在∠AFE的平分线上．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，锐角三角函数，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．

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