资源简介

2024年中考数学精选压轴题之三角形全等
一、选择题
1．（2024·咸宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，，且，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·台州开学考）如图所示，在四边形中，，是对角线，是等边三角形，，，，则的长为．（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·长沙月考）如图，正方形的对角线、相交于点O，平分交于点E.过点E作，交于点F，若四边形的面积为1，则的长为（　　）
A． B．1 C． D．2
4．（2024八下·三水期中）如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为6；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　）个
A．5 B．4 C．3 D．2
5．（2020·仙桃）如图，已知 和 都是等腰三角形， ， 交于点F，连接 ，下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ .其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2024八下·荆州月考）如图，已知△ABC中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为1，，之间的距离为2，则的值是（　　）
A．10 B．13 C．20 D．26
7．（2023·温州模拟）将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形，记的面积为，四边形的面积为.若，，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024·昌吉模拟）如图，正方形，点在边上，且，，垂足为，且交于点，与交于点，延长至，使，连接，有如下结论：；；；．上述结论中，正确的个数是（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
9．（2024八下·汕头开学）如图，在等边△PQB中，点A为PQ上一动点（不与P，Q重合），再以AB为边作等边△ABC，连接PC.有以下结论：①PB平分∠ABC；②AQ=CP；③PC//QB；④PB=PA+PC；⑤当 BC⊥BQ时，△ABC的周长最小，其中一定正确的有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②③④⑤
10．（2024八上·景县期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC中点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点M．过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，则下列结论正确的有（　　）（请填序号）
①△ACD≌△CBF；②∠BDM＝∠ADC；③连接AF，则有△ACF是等边三角形；④连接DF，则有AB垂直平分DF．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④
11．（2023八上·嘉祥月考）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q连接PQ．以下五个结论正确的是（　　）
① ；②PQ∥AE； ③ ；④ ；⑤
A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
12．（2024八上·长沙期末）如图，已知，点是的平分线上的一上定点，点，分别在射线和射线上，且.下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；①当时，的周长最小；④当时，也平行于.其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．（2024·武汉模拟） 如图，在矩形中，是的中点，连接，将沿着翻折得到，交于点，延长，相交于点，若，，则　 　．
14．（2024九下·萧山月考）如图，在中，D为斜边的中点，点E在边上，将沿叠至． 若的延长线经过点D，平分，，则的值为　 　，的长为　 　．
15．（2020八上·江汉月考）如图，已知在四边形ABCD内，DB＝DC，∠DCA＝60°，∠DAC＝78°，∠CAB＝24°，则∠ACB＝　 　.
16．（2024八上·盐田期末）如图，在长方形中，，，点E为上一点，将沿翻折至，延长交于点O，交的延长线于点G，且，则的长为　 　．
17．（2024九下·福田开学考）如图，正方形ABCD中，点E．F分别在边BC，CD上，AB=6，，连接BD交AF于点N，交AE于点M，若，则DN为　 　．
18．（2024八上·老河口期末） 如图， 在 中， 平分 ， 点 在 的延长线上， ， 若 ， 则 的度数为　 　．
三、解答题
19．（2024八下·台州开学考）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D、E是直线AB上两点．∠DCE＝45°
（1）当CE⊥AB时，点D与点A重合，显然DE2＝AD2+BE2（不必证明）；
（2）如图，当点D不与点A重合时，求证：DE2＝AD2+BE2；
（3）当点D在BA的延长线上时，（2）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．
20．（2024八下·湖北月考）在中，，点为边的中点，点在边上．
（1）若，，如图，求的长；
（2）过点作与边交于点如图，试探究：线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论．
21．（2024·孝南模拟） 已知和都是等腰三角形，且，，若点D在边上运动时，总保持，连接与交于点F．
（1）①如图1，当点D为边中点时，则的值为 ▲ ；
②如图2，当点D不为边中点时，求证：；
（2）如图3，当点D在边上运动中恰好使得时，若，，求的长．
22．（2024八下·道县月考）中，，，点是直角边所在直线上一点，连接，以为直角边向上作等腰，，，过点作，垂足为．
（1）如图1，当点在线段上，且时，请你通过观察、测量、猜想，直接写出　 　；　 　；
（2）如图2，当点在线段的延长线上，且时：
①请你由观察、猜想直接写出_▲_；
②请你规范、严谨的证明：．
（3）如图3，当点在线段的延长线上，且时，点为线段上任意一点，以为斜边向上做等腰，，，连接，已知，请你直接写出当长度最短时，线段的值为　 　．
23．（2024八下·开州开学考）如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°．
（1）如图 1，当点 C 在 AD 上时，∠BAC＝90°，连接 CE，若∠ABC＝30°，求∠CED 的度数；
（2）如图 2，当点 C 在 AD 上时，∠BAC＝90°，延长 BC 交 DE 于 M，连接 AM，求证：AM 平分∠CME；
（3）如图 3，若∠BAC≠90°，连接 BE、CD，F 为 BE 中点，连接 AF，请猜想线段 AF、CD 之间的数量关 系，并证明你的猜想．
24．（2024·渝中模拟）如图，为的中线，以为直角边在其右侧作直角，，与交于点F，．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，若将绕点C逆时针旋转得到，连接、，探究、的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若，，，直线上有一点M，连接，将沿着翻折到所在的平面内得到，取的中点P，连接，当最小时，请直接写出的面积．
25．（2024八上·南充期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠BCD＝60°，AB＝AD，BC＝DC，在边BC、DC所在直线上分别有E、F两点，且始终有.
（1）如图1，当E、F在BC、DC上，AE＝AF时，求证：BE＋DF＝EF；
（2）如图2，当E、F在BC、DC上，AE≠AF时，（1）问中的结论是否仍成立请说理；
（3）如图3，当E、F在边BC、DC的延长线上时，直接写出BE、DF、EF之间的数量关系，不必证明.
26．（2024八上·新都期末）在中，，点是边上一点，连接，过点作直线的垂线，垂足为点
（1）如图1，若于点，求证：；
（2）如图2，在线段上截取，连接交于点，求证：；
（3）如图3，若点为的中点，点是线段延长线上的一点，连接，求，，的数量关系
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，交直线AD于点C，
∵A（-1，3），
∴AD=3，OA=1，
∵BC⊥y轴，AD⊥x轴，
∴AD⊥BC，
∴∠ADO=∠BCA=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵∠BAO=90°，
∴∠BAC+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠CBA，
在△ADO与△BCA中，
∵∠BCA=∠ADO=90°，∠ABC=∠OAD，AB=AO，
∴△ABC≌△OAD（AAS）
∴BC=AD=3，AC=OD=1，
∴CD=AD+AC=4，
∵∠ADO=∠DOE=∠OEC=∠ECD=90°，
∴四边形DOEC是矩形，
∴CE=DO=1，
∴BE=BC-CE=2，
∴点B(2，4).
故答案为：B.
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，交直线AD于点C，根据点A的坐标易得AD=3，OA=1，然后用AAS判断出△ABC≌△OAD，得BC=AD=3，AC=OD=1，则CD=AD+AC=4，进而证四边形DOEC是矩形，得CE=DO=1，则BE=BC-CE=2，从而即可得出点B的坐标.
2．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：线段CD饶点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接DE，AE，如图：
∴△DCE是等边三角形，
∴∠CDE=60°，
∵∠ADC=30°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°.
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠DCE.
即∠ACE=∠BCD.
∵AC=BC，∠ACE=∠BCD，EC=DC，
∴△ACE≌△BCD(SAS)
∴AE=BD=5，DE=DC.
又∵AD=3，
∴DE=DC=4.
故答案为：B.
【分析】线段CD饶点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接DE，AE，于是可得等边三角形△DCE，根据等边三角形的性质可证明△ACE≌△BCD，从而得AE=BD=5，DE=DC.由和∠CDE=60°，可得∠ADE=90°，于是可利用勾股定理求得DE长，问题得到解决..
3．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：四边形ABCD是正方形，
AB=AD=CD，
平分 ，
AB=BE=AD，
，
四边形的面积为1，
故答案为：C.
【分析】先利用ASA证明，进而得到，再根据从而求解.
4．【答案】C
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
由旋转的性质得∠OBO'=60°，OB=O'B，
∴∠ABC=∠OBO'，
∴∠ABO'=∠OBC，
在和中，
，
，
．
可以由绕点逆时针旋转得到，故①正确；
如图1，连接，根据旋转的性质可知是等边三角形，
点与的距离为8，故②错误；
在中，，，，
是直角三角形，．
面积，
又等边面积，
四边形的面积为，故④错误；
，故③正确；
如图2，过作交的延长线于，
，
，
，
，
，
，故⑤正确，
综上，正确的有①③⑤，共3个.
故答案为：C.
【分析】先用SAS证明，根据旋转的性质可得①正确；根据旋转的性质可知是等边三角形，则点与的距离为8，故②错误；根据四边形的面积等边面积面积，进行计算即可得出④错误；由可得③正确；过作交的延长线于，求出，然后根据计算，可得⑤正确．
5．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，
∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
AB=AC， ∠BAD=∠CAE，AD=AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
故①正确；
∵△BAD≌△CAE
∴∠ABF=∠ACF
∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF
∴∠ACF+∠BGA=90°，
∴∠BFC=90°
故②正确；
分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N
∵△BAD≌△CAE
∴S△BAD=S△CAE，
∴
∵BD=CE
∴AM=AN
∴ 平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD.
故③错误；
∵ 平分∠BFE，
∴
故④正确.
故答案为C.
【分析】①证明△BAD≌△CAE，再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE，根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN，即AF平分∠BFE，即可判定；④由AF平分∠BFE结合 即可判定.
6．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：分别过A、C作l3的垂线AE、CF，垂足分别为E、F，CF交l2于M，如图所示：
∴∠AEB=∠BFC=90°.
∴∠CBF+∠BCF=90°，
∵，
∴∠CBF+∠ABE=90°，
∴∠BCF=∠ABE，
又∵AB=BC，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴BE=FC，BF=AE.
∵，之间的距离为1，，之间的距离为2，
∴FC=CM+FM=1+2=3，AE=2，
∴BE=FC=3，BF=AE=2.
∴.
∴.
∴.
故答案为：D
【分析】作辅助线构建平行线的距离，由已知得：FC=1+2=3，AE=2，根据AAS证明△AEB≌△BFC，得BE=FC=3，先由勾股定理求得AB=BC长，再由勾股定理求得AC2的长.
7．【答案】D
【知识点】三角形的面积；菱形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接、，，
由题意可知：，，，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证：，
则：，
∴四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴C，F，H在同一直线上，
又∵，
∴，
∵
∴，则，
∴四边形是正方形，
∴D，G，F在同一直线上；A，E，G在同一直线上；B，H，E在同一直线上；
设，
则，，
∵，即：，
∴，（负值已舍去）
∴，
故答案为：D.
【分析】连接GF、HF、HE，由题意可得DE=CG=BF=AH，DG=CF=BH=AE，∠ADE=∠DCG=∠CBF=∠BAH，∠DAE=∠CDG=∠BCF=∠ABH，根据正方形的性质可得∠ADC=∠DCB=∠CBA=∠BAD=90°，推出∠EDG=∠GCF，利用SAS证明△EDG≌△GCF，同理可证△EDG≌△GCF≌△FBH≌△HAE，得到EG=GF=FH=HE，推出四边形EGFH为菱形，根据全等三角形的性质可得∠BHC=∠CFG=∠DGE=∠AEH=90°，得到四边形EGFH为正方形，设DG=CF=BH=AE=x，根据三角形的面积公式表示出S1、S2，结合可得x的值，然后根据S阴影=4S1进行计算.
8．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】
解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故正确；
作于，设，，则，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∵，，
∴
∵，
∴，故正确；
设的面积为，
∵，
∴，，
∴的面积为，的面积为，
∴的面积的面积，
∴，故错误；
综上正确，共个，
故答案为：C
【分析】根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质结合题意对①②③④逐一判断，进而即可求解。
9．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵点A为上一动点（不与P，Q重合），，
∴与不一定相等，故①错误；
∵和都为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴②③④都正确，
根据垂线段最短可知，当时，最小，的周长最小，
此时，∴，
即当时，的周长最小，故⑤正确．
故答案为：D．
【分析】根据点A为上一动点（不与P，Q重合），，可知与不一定相等，可判断①；证明出，可得，即可推出，，即可判断出②③④，根据垂线段最短可知，当时，最小，即可判断⑤．
10．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
故①正确；
，，
，
，
，
∴
D为中点，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
故②正确；
连接，
，
，
在中，，
，
不可能是等边三角形，
故③错误；
，
，，
点M、B在线段的垂直平分线上，
垂直平分，
故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．
故答案为：B.
【分析】根据ASA证明，根据SAS证明，得出，即可证明；由得出，根据，得出，证明不可能是等边三角形；由得出，，可以说明点M、B在线段的垂直平分线上，证明垂直平分。
11．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠DCE=∠ACB=60°，
∴∠DCE+∠BCD=∠ACB+∠BCD，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE≌△ACD中，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴BE=AD，
故结论①正确；
由△BCE≌△ACD得
∠CBE=∠CAD，
又∵∠DCE=∠ACB=60°，
∴∠BCD=180°-60°-60°=60°，
∴∠BCQ=∠ACP=60°，
在△BCQ和△ACP中，
∴△BCQ≌△ACP(AAS)，
∴CQ=CP，
又∵∠PCQ=60°，
∴△CPQ为等边三角形，
∴∠DCE=∠PQC=60°，
∴AE∥PQ，
故结论②正确；
在△BCQ和△ACP中，
∴△BCQ≌△ACP(AAS)，
∴BQ=AP，
∴结论③正确；
∵∠CPQ=∠PCQ=60°，DE=DC，
∴∠CPD>60°，
∴DC≠DP，
又∵DE=DC，
∴DP≠DE，
故结论④不正确；
∵∠AOB=∠EAD+∠OEA=∠EAD+∠CDA=∠ECD=60°，
故结论⑤正确.
综上所述，正确的结论有：①②③⑤.
故答案为：C.
【分析】①根据SAS判断出△BCE≌△ACD，即可判断出AD=BE.
②首先根据AAS得到△BCQ≌△ACP，即可判断出CP=CQ，然后根据∠PCQ=60°，可得△PCQ 为等边三角形，所以∠DCE=∠PQC60°，根据平行线的判定方法得PQ∥AE，即可得②正确.
③根据AAS得△BCQ≌△ACP，从而可得AP=BQ .
④首先根据∠CPQ=∠PCQ=60°，DE=DC，可得∠DPC> 60°，从而得出DP≠DC，再根据DE=DC，即可判断出DP≠DE.
⑤∠AOB=∠EAD+∠OEA=∠EAD+∠CDA=∠ECD=60°，可得⑤正确.
12．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1所示，连接，作于，于，
∵点D是的平分线上的一个定点，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形；①正确；
∵，
∴，
∵点D是的平分线上的一个定点，
∴四边形的面积是一个定值，②正确；
∵的周长为，
当时，最短，即等边的周长最小，③正确；
如图2所示，当时，
∴，
∴是等边三角形，
∵是等边三角形，
∴与重合，与交于点；④错误；
故答案为：C
【分析】连接，作于，于，先根据角平分线的性质得到，进而进行角的运算得到，再运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而个等边三角形的判定即可判断①；根据三角形全等的性质得到，进而结合定点即可判断②；从而结合题意得到的周长为，再根据垂线段最短即可判断③；根据平行线的性质得到，进而根据等边三角形的判定与性质结合题意即可判断④。
13．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理的应用；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
是的中点，
，
由折叠的性质可得：，，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
设，则，，
在中，，即，
解得：，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
故答案为：．
【分析】连接，由折叠的性质可得，，，得出，然后证明，可得，设，则，，利用勾股定理构建方程，求出，设，则，再次利用勾股定理构建方程求解即可．
14．【答案】；
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）取AB的中点H，连结DH，
∵D为斜边AC的中点，
∴DH是△ABC的中位线，
∴DH=BC，DH∥BC，
∵AB⊥BC，
∴DH⊥AB，
由折叠性质可得BC=FC，BE=EF=1，∠DFC=∠B=90°，
∵D为斜边AC的中点，
∴S△ADE=S△CDE，
∴AE·DH=DE·CF
∴AE=2DE，
∴=；
（2）设DF=x，BC=CF=y，则DE=DE+EF=x+1，
∴AE=2DE=2x+2，AB=AE+BE=2x+3，
过点A作AT⊥ED交ED的延长线于T，
∴∠T=∠CFD=90°，
又∵AD=CD，∠ADT=∠CDF
∴△ADT≌△CDF(AAS)
∴DT=DF=x，AT=CF=y，∠DAT=DCF，
∵CF平分∠BCA，
∴∠BCA+2∠DCF=90°，
∵∠CAB+∠ACB=90°，∠BCA+2∠DCF= 90°，
∵∠CAB+∠TAD+∠AET= 90°，
∴∠CAB+∠DCF+∠AET= 90°，
∴∠AET=∠TAD，又∠T=∠T，
∴△ADT∽△TEA，
=，即=，
∴y2=2x2+x，
在Rt△ATE中，AT2+ET2=AE2，
∴y2+(2x+1)2=(2x+2)2，
∴2x2-3x-3=0，
解得：
x1=，x2=（舍）.
AB=2x+3=，
故答案为：，.
【分析】（1）取AB的中点H，连结DH，根据中位线、折叠性质，通过等底同高三角形面积相等得S△ADE=S△CDE，由等面积法即可求解；
（2）设DF=x，表示出DE=x+1，AE=2x+2，AB=2x+3，根据AAS判断出△ADT≌△CDF，得到DT=DF=x，AT=CF=y，证△ADT∽△TEA，由相似三角形对应边可得y2=2x2+x，在Rt△ATE中，AT2+ET2=AE2，勾股定理即可求解。
15．【答案】18°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；全等三角形的应用；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长CA至点E，使得CE=CD，连接DE，
∵∠DCA=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE=CD=BD，∠E=60°，
又∵∠DAC＝78°，∠CAB＝24°，
∴∠DAE=180°-∠DAC=102°，∠DAB=∠DAC+∠CAB=102°，
又∵AD=AD，
∴△DAE≌△DAB(SAS)
∴∠ABD=∠E=60°，
又∵∠BFC=∠DCF+∠CDF=∠FAB+∠ABF=24°+60°=84°，
∴∠CDF=∠BFC-∠FCD=84°-60°=24°，
又∵DB=DC，
∴∠DCB=∠DBC=(180°-∠BDC)÷2=78°，
∴∠ACB=∠BCD-∠FCD=18°，
∴∠ .
故答案为：18°.
【分析】题目难度较大，只是初步用含参字母表示角度关系不能探索出该结果，则需利用特殊的角度关系进行构造，①60°的构造等边，②78°，24°，两角和为102°，与78°成互补关系；从而构造等边引出等角得出全等，后用三角形内角和或其推论即可推出其它角的读数.
16．【答案】或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D=∠DAB=∠ABC=90°，AD=BC=8，AB=CD=6.
由折叠可得：△BCE≌△FCE，
∴EF=EB，BC=CF=8，∠B=∠CFE=90°.
∵在△AGO和△FEO中，
∴△AGO≌△FEO（AAS）.
∴AO=OF，OG=OE，
∴OF+OG=OA+OE，即GF=AE.
设BE长为x，则AG=EF=BE=x，GF=AE=6-x.
在Rt△GDC中，DG2+DC2=GC2，
即（8+x）2+62=（8+6-x）2，
解得：
故答案为：或.
【分析】由折叠得到：EF=BE，FC=BC，∠B=∠CFE=90°.可证明△AGO≌△FEO，从而得到OG=OE，AO=FO，从而得到AE=GF.设BE=x，则AE=6-x，GC=8+6-x=14-x，最终在Rt△DGC中利用勾股定理求得x的值.
17．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，延长CB到F'，使BF'=DF，连接AF'.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD=6，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADF=90°，AB//DC.
∴∠ABF'=90°=∠ADF.
又∵BF'=DF，
∴△ABF'≌△ADF（SAS），
∴∠BAF'=∠DAF，AF'=AF.
∵∠DAF+∠EAF+∠EAB=∠DAB=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAF'+∠EAB=45°，即∠EAF'=45°。
在△EAF和△EAF'中，
AF=AF'，∠EAF=∠EAF'，AE=AE
∴△EAF≌△EAF'（SAS），
∴EF=EF'=DF+BE.
∵DC=BC=6，CE=4，设DF=a，
∴BE=BC-EC=2，FC=DC-DF=6-a，EF=2+a.
在Rt△EFC中，EF2=EC2+FC2，
∴（2+a）2=42+（6-a）2，解得a=3，即DF=3.
∵AB=AD=6，
∴BD=.
∵DC//AB，
∴△DFN∽△BAN.
∴，
即，解得DN=.
故答案为：
【分析】第1步要求DN长，DN在一般图形△DFN中，所以通过全等或者相似来求。本题中△DFN和△BAN相似，且已知正方形边长AB长，还可以求出BD的长，可以利用相似建立比例关系求得DN，而要求DN，需要先求DF；
第2步在Rt△EFC中，有EF2=EC2+FC2，已知EC=4，FC=6-DF，只要能表示出EF，就可以求出DF长；第3步已知∠DAB=90°，∠EAF=45°，可以延长CB到F'，使BF'=DF，连接AF'，得到△ABF'，可证得△ABF'和△ADF全等，于是有AF=AF'，∠DAF=∠BAF'，从而得∠EAF=∠EAF'=45°，于是可证得△AEF≌△AEF'，得到EF=EF'=BE+BF'=BE+DF；因为BE=6-EC=2，所以EF=2+DF.利用EF2=EC2+FC2可以求得DF长，代入即可求得DN长.
18．【答案】50
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，延长CA到O，使AO=AB，连接OE，
∵∠BAC=30°，∠EAC=75°，
∴∠OAE=180°-∠EAC=105°，∠BAE=∠BAC+∠EAC=105°，
∴∠OAE=∠BAE，
∵AO=AB，AE=AE，
∴△AOE≌△ABE（SAS），
∴∠B=∠O，
∵，
∴CE=AO+AC=OC，
∴∠O=∠CEO，
∴∠O+∠CEO+∠OCE=∠B+∠BAC+∠B+∠B=180°，
∴∠B=50°.
故答案为：50°.
【分析】延长CA到O，使AO=AB，连接OE，用SA证明△AOE≌△ABE，可得∠B=∠O，根据线段和差及已知可推出CE=OC，由等边对等角得∠O=∠CEO，再利用三角形内角和及三角形外角的性质即可求解.
19．【答案】（1）解：∵CE⊥AB， AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴AE＝BE，
∵点D与点A重合，
∴AD＝0，
∴DE2＝AD2+BE2；
（2）解：过点A作AF⊥AB，使AF＝BE，连接DF，CF，如图：
∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝45°，
∴∠FAC＝45°，
∴△CAF≌△CBE（SAS），
∴CF＝CE，∠ACF＝∠BCE，
∵∠ACB＝90°，∠DCE＝45°，
∴∠ACD+∠BCE＝∠ACB﹣∠DCE＝90°﹣45°＝45°，
∵∠ACF＝∠BCE，
∴∠ACD+∠ACF＝45°，
即∠DCF＝45°，
∴∠DCF＝∠DCE，
又∵CD＝CD，
∴△CDF≌△CDE（SAS），
∴DF＝DE，
∵在Rt△ADF中，AD2+AF2＝DF2，
∴AD2+BE2＝DE2；
（3）解：结论仍然成立；如图，
证明：过点A作AF⊥AB，使AF＝BE，连接DF，CF，
∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝45°，
∴∠FAC＝45°，
∴△CAF≌△CBE（SAS），
∴CF＝CE，∠ACF＝∠BCE，
∵∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠ACF+∠ACE＝90°，即∠FCE＝90°，
∵∠DCE＝45°，
∴∠DCF＝45°，
∴∠DCF＝∠DCE，
又∵CD＝CD，
∴△CDF≌△CDE（SAS），
∴DF＝DE，
∵在Rt△ADF中，AD2+AF2＝DF2，
∴AD2+BE2＝DE2．

【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得AE=BE，由点D与点A重合可知AD=0，结论即可得证；
（2）过点A作AF⊥AB，使AF＝BE，连接DF，CF，利用SAS证明△CAF≌△CBE，可得CF=CE，∠ACF＝∠BCE，再利用 ∠DCE＝45° 可证得∠DCF＝∠DCE，于是有△CDF≌△CDE，由全等三角形的性质得DF=DE.在Rt△ADF中利用勾股定理，即可得到结论；
（3）过点A作AF⊥AB，使AF＝BE，连接DF，CF，利用SAS证明△CAF≌△CBE，可得CF=CE，∠ACF＝∠BCE.由∠ACF＝∠BCE可证得∠FCE＝90°，由∠DCE＝45°可得∠DCF＝∠DCE，于是有△CDF≌△CDE.由全等三角形的性质得DF=DE.在Rt△ADF中利用勾股定理，即可得到结论.
20．【答案】（1）解：连接，
，且点为边的中点，
是线段的垂直平分线．
．
设，则．
在中，．
解得：，即．
在中，，
在中，．
.
（2）解：延长到，使得，连接、，如图：
点为的中点，
，
又．
在△MAE和△MBF中
∴．
，．
直线垂直．
．
在中，，
．
在中，．
．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）连接AD，证得MD是线段的垂直平分线，可得AD=BD，设AD=x，在中利用勾股定理求出x的值，再在中利用勾股定理求出AB的值，最后在中，再次利用勾股定理即可求得MD的长.
（2）延长到，使得，连接、，根据中点定义得AM=BM，利用SAS证明△MAE≌△MBF，得AE=BF；利用线段垂直平分线性质证得DE=DF；证明△BDF是直角三角形，利用勾股定理得DF，DB，BF的关系，即可得线段、、三者之间的数量关系.
21．【答案】（1）解：①
②证明：由①知，．
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，，
∴，，
∴．
∴，即．
∴．
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）①解：∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
∵，点D为的中点，
∴．
∴．
又∵，
∴垂直平分，
∴．
∵点D为的中点，
∴．
∴．
故答案为：；
【分析】（1）①根据等边对等角和题目已知条件可得∠B=∠BCA=∠ADE=∠AED，由三角形内角和是180°，得∠BAC=∠DAE，故∠BAD=∠CAE；根据等腰三角形三线合一可得∠BAD=∠CAD，等量代换∠DAC=∠CAE，AD=AE，三线合一AF垂直平分DE，再根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等可得CD=CE，即可得到；
②利用SAS证得△BAD≌△CAE，再根据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）先利用两直线平行内错角相等得到，等量代换，再由同位角相等，两直线平行可得AB∥DE，进而由两组对边平行的四边形是平行四边形证得四边形ABDE为平行四边形，由平行四边形对边相等得到DE=AB=5；，公共角∠B，由两组角对应相等的两个三角形相似得到，相似三角形对应边成比例，即可求出BD长，进而求出CD、AE、BD的长，再根据得到，代入即可求出DF长.
22．【答案】（1）6；2
（2）解：①∵∠ACD＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∵∠ADE＝90°，
∴∠EDF+∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠EDF，
∵∠ACD＝∠EFD＝90°，AD＝DE，
∴△ACD≌△DFE，
∴EF=CD=2，
故答案为：2；
②证明：∵∠ACD＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∵∠ADE＝90°，
∴∠EDF+∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠EDF，
∵∠ACD＝∠EFD＝90°，AD＝DE，
∴△ACD≌△DFE，
∴DF=AC，
∵BC=AC，
∴DF=BC，
∴CD＝BF．
（3）4.8
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，．
故答案为：6；2；
（3）解：补全图形，作，取中点O，连接、、，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当时，长度最短，如图所示，
此时，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
∴．
【分析】（1）证明，得出，即可；
（2）同（1）证明，得出，即可；
（3）补全图形，作，可求，，当时，长度最短，设直线交于点S，证，得出，利用等积法求出即可．
23．【答案】（1）解：，，
，
，，
，
，
，
，，
，
；
（2）证明：如图2：过点作于点，过点作于点，
由（1）知，
，，
，
，
平分；
（3）解：，理由如下：
如图3，延长到，使，连接，
，
为中点，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先根据三角形全等的判定与性质证明，进而得到，再结合题意进行角的运算即可求解；
（2）过点作于点，过点作于点，进而根据三角形全等的性质得到，，再根据三角形的面积结合角平分线的判定即可求解；
（3）延长到，使，连接，进而得到，再结合题意证明即可得到，，从而根据平行线的判定与性质得到，进而结合题意证明得到即可求解。
24．【答案】（1）解：在中，∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下，
倍长至点H使得，连接、、，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵在中，，，，
∴，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
设，与交于点K，
∵，
∴，
∴在四边形中，，
∴结合，可得为等边三角形，
∴；
（3）解：
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（3）∵，，，
∴在中，，，
∴，即，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，即是等边三角形，
∴，，
∴在中，，
根据翻转可知：，
∵的中点为P点，
∴，
∴可知点P在以F为圆心，长为半径的圆上，
如图，
即可知当点A、P、F三点共线，且点P在线段上时，最小，
如图，过F点作于S点，过P点作于T点，
∵，，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
即当最小时，．
【分析】（1）先求出，根据，可得，进而可得，解直角三角形即可求解；
（2）倍长至点H使得，连接、、，证明， ，即有，，进而可得，设，与交于点K，根据，可得，，进而得出为等边三角形，即可求解；
（3）先证明是等边三角形，即在中，，根据翻转可知：，结合的中点为P点，可得，即可知点P在以F为圆心，长为半径的圆上，当点A、P、F三点共线，且点P在线段上时，最小，过F点作于S点，过P点作于T点，则得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
25．【答案】（1）证明：连接AC
在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC（SSS）
∴∠B＝∠D
∵∠BAD＝120°，∠BCD＝60°
∴∠B＋∠D＝360°－120°－60°＝180°
∴∠B＝∠D＝90°
在Rt△ABE和Rt△ADF中
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）
∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF
∵∠EAF＝60°
∴∠BAE＋∠DAF＝120°－60°＝60°
△AEF是等边三角形
∴AE＝EF，∠BAE＝∠DAF＝30°
∴AE＝2BE
∴AE＝BE＋DF
∴BE＋DF＝EF．
其它方法：如连接BD，证△ABE是含30°的直角三角形．
（2）解：结论仍然成立，理由如下：
证明：延长CB到G使得BG＝DF，连接AG．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°（已证），AB＝AD
∴△ABG≌△ADF（SAS）
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF
∵∠EAF＝60°，∠BAD＝120°
∴∠GAE＝∠FAE＝60°
∴△GAE≌△FAE（SAS）
∴EF＝EG
∴EF＝EG＝BE＋BG＝BE＋DF
（3）解：数量关系为：DF－BE＝EF
【知识点】三角形全等的判定；三角形的综合
【解析】【解答】（3）在DF上截取DG＝BE，连接AG，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°（已证）
∴∠ABE＝∠ADG＝90°
∵AB＝AD
∴△ADG≌△ABE（SAS）
∴AG＝AE，DG＝BE，∠BAE＝∠DAG
∵∠EAF＝60°，∠BAD＝120°
∴∠EAF＝∠GAF＝60°
∴△AEF≌△AGF（SAS）
∴EF＝GF
∴GF＝DF－DG＝DF－BE
∴DF－BE＝EF .
【分析】（1）连接AC，先利用“SSS”证出△ABC≌△ADC，可得∠B＝∠D，再利用“HL”证出Rt△ABE≌Rt△ADF，可得 BE＝DF，∠BAE＝∠DAF ，再证出△AEF是等边三角形，可得 AE＝EF，∠BAE＝∠DAF＝30° ，再利用含30°角的直角三角形的性质可得 AE＝2BE ，最后利用线段的和差及等量代换可得BE＋DF＝EF；
（2）延长CB到G使得BG＝DF，连接AG，先利用“SAS”证出 △GAE≌△FAE 可得 EF＝EG ，再利用线段的和差及等量代换可得 EF＝EG＝BE＋BG＝BE＋DF ；
（3）在DF上截取DG＝BE，连接AG，先利用“SAS”证出△AEF≌△AGF，可得EF＝GF，再利用线段的和差及等量代换可得DF－BE＝EF .
26．【答案】（1）证明：，
，
又，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：如图2，过点A作交的延长线于点F，
同（1）可证，
，，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
又，
；
（3）解：，理由如下：
如图3，过点D作交的延长线于点H，连接，，
，点为的中点，
，，
，，
，，
在和中，
，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；三角形的综合
【解析】【分析】（1）先利用角的运算求出，再利用“AAS”证出，可得；
（2）过点A作交的延长线于点F，先利用“AAS”证出，可得，再结合，可得；
（3）过点D作交的延长线于点H，连接，，先利用“ASA”证出，可得，， 再利用勾股定理及等量代换可得。
1 / 12024年中考数学精选压轴题之三角形全等
一、选择题
1．（2024·咸宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，，且，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，交直线AD于点C，
∵A（-1，3），
∴AD=3，OA=1，
∵BC⊥y轴，AD⊥x轴，
∴AD⊥BC，
∴∠ADO=∠BCA=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵∠BAO=90°，
∴∠BAC+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠CBA，
在△ADO与△BCA中，
∵∠BCA=∠ADO=90°，∠ABC=∠OAD，AB=AO，
∴△ABC≌△OAD（AAS）
∴BC=AD=3，AC=OD=1，
∴CD=AD+AC=4，
∵∠ADO=∠DOE=∠OEC=∠ECD=90°，
∴四边形DOEC是矩形，
∴CE=DO=1，
∴BE=BC-CE=2，
∴点B(2，4).
故答案为：B.
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，交直线AD于点C，根据点A的坐标易得AD=3，OA=1，然后用AAS判断出△ABC≌△OAD，得BC=AD=3，AC=OD=1，则CD=AD+AC=4，进而证四边形DOEC是矩形，得CE=DO=1，则BE=BC-CE=2，从而即可得出点B的坐标.
2．（2024八下·台州开学考）如图所示，在四边形中，，是对角线，是等边三角形，，，，则的长为．（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：线段CD饶点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接DE，AE，如图：
∴△DCE是等边三角形，
∴∠CDE=60°，
∵∠ADC=30°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°.
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠DCE.
即∠ACE=∠BCD.
∵AC=BC，∠ACE=∠BCD，EC=DC，
∴△ACE≌△BCD(SAS)
∴AE=BD=5，DE=DC.
又∵AD=3，
∴DE=DC=4.
故答案为：B.
【分析】线段CD饶点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接DE，AE，于是可得等边三角形△DCE，根据等边三角形的性质可证明△ACE≌△BCD，从而得AE=BD=5，DE=DC.由和∠CDE=60°，可得∠ADE=90°，于是可利用勾股定理求得DE长，问题得到解决..
3．（2024八下·长沙月考）如图，正方形的对角线、相交于点O，平分交于点E.过点E作，交于点F，若四边形的面积为1，则的长为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：四边形ABCD是正方形，
AB=AD=CD，
平分 ，
AB=BE=AD，
，
四边形的面积为1，
故答案为：C.
【分析】先利用ASA证明，进而得到，再根据从而求解.
4．（2024八下·三水期中）如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为6；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　）个
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
由旋转的性质得∠OBO'=60°，OB=O'B，
∴∠ABC=∠OBO'，
∴∠ABO'=∠OBC，
在和中，
，
，
．
可以由绕点逆时针旋转得到，故①正确；
如图1，连接，根据旋转的性质可知是等边三角形，
点与的距离为8，故②错误；
在中，，，，
是直角三角形，．
面积，
又等边面积，
四边形的面积为，故④错误；
，故③正确；
如图2，过作交的延长线于，
，
，
，
，
，
，故⑤正确，
综上，正确的有①③⑤，共3个.
故答案为：C.
【分析】先用SAS证明，根据旋转的性质可得①正确；根据旋转的性质可知是等边三角形，则点与的距离为8，故②错误；根据四边形的面积等边面积面积，进行计算即可得出④错误；由可得③正确；过作交的延长线于，求出，然后根据计算，可得⑤正确．
5．（2020·仙桃）如图，已知 和 都是等腰三角形， ， 交于点F，连接 ，下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ .其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，
∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
AB=AC， ∠BAD=∠CAE，AD=AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
故①正确；
∵△BAD≌△CAE
∴∠ABF=∠ACF
∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF
∴∠ACF+∠BGA=90°，
∴∠BFC=90°
故②正确；
分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N
∵△BAD≌△CAE
∴S△BAD=S△CAE，
∴
∵BD=CE
∴AM=AN
∴ 平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD.
故③错误；
∵ 平分∠BFE，
∴
故④正确.
故答案为C.
【分析】①证明△BAD≌△CAE，再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE，根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN，即AF平分∠BFE，即可判定；④由AF平分∠BFE结合 即可判定.
6．（2024八下·荆州月考）如图，已知△ABC中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为1，，之间的距离为2，则的值是（　　）
A．10 B．13 C．20 D．26
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：分别过A、C作l3的垂线AE、CF，垂足分别为E、F，CF交l2于M，如图所示：
∴∠AEB=∠BFC=90°.
∴∠CBF+∠BCF=90°，
∵，
∴∠CBF+∠ABE=90°，
∴∠BCF=∠ABE，
又∵AB=BC，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴BE=FC，BF=AE.
∵，之间的距离为1，，之间的距离为2，
∴FC=CM+FM=1+2=3，AE=2，
∴BE=FC=3，BF=AE=2.
∴.
∴.
∴.
故答案为：D
【分析】作辅助线构建平行线的距离，由已知得：FC=1+2=3，AE=2，根据AAS证明△AEB≌△BFC，得BE=FC=3，先由勾股定理求得AB=BC长，再由勾股定理求得AC2的长.
7．（2023·温州模拟）将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形，记的面积为，四边形的面积为.若，，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；菱形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接、，，
由题意可知：，，，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证：，
则：，
∴四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴C，F，H在同一直线上，
又∵，
∴，
∵
∴，则，
∴四边形是正方形，
∴D，G，F在同一直线上；A，E，G在同一直线上；B，H，E在同一直线上；
设，
则，，
∵，即：，
∴，（负值已舍去）
∴，
故答案为：D.
【分析】连接GF、HF、HE，由题意可得DE=CG=BF=AH，DG=CF=BH=AE，∠ADE=∠DCG=∠CBF=∠BAH，∠DAE=∠CDG=∠BCF=∠ABH，根据正方形的性质可得∠ADC=∠DCB=∠CBA=∠BAD=90°，推出∠EDG=∠GCF，利用SAS证明△EDG≌△GCF，同理可证△EDG≌△GCF≌△FBH≌△HAE，得到EG=GF=FH=HE，推出四边形EGFH为菱形，根据全等三角形的性质可得∠BHC=∠CFG=∠DGE=∠AEH=90°，得到四边形EGFH为正方形，设DG=CF=BH=AE=x，根据三角形的面积公式表示出S1、S2，结合可得x的值，然后根据S阴影=4S1进行计算.
8．（2024·昌吉模拟）如图，正方形，点在边上，且，，垂足为，且交于点，与交于点，延长至，使，连接，有如下结论：；；；．上述结论中，正确的个数是（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】
解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故正确；
作于，设，，则，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∵，，
∴
∵，
∴，故正确；
设的面积为，
∵，
∴，，
∴的面积为，的面积为，
∴的面积的面积，
∴，故错误；
综上正确，共个，
故答案为：C
【分析】根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质结合题意对①②③④逐一判断，进而即可求解。
9．（2024八下·汕头开学）如图，在等边△PQB中，点A为PQ上一动点（不与P，Q重合），再以AB为边作等边△ABC，连接PC.有以下结论：①PB平分∠ABC；②AQ=CP；③PC//QB；④PB=PA+PC；⑤当 BC⊥BQ时，△ABC的周长最小，其中一定正确的有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②③④⑤
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵点A为上一动点（不与P，Q重合），，
∴与不一定相等，故①错误；
∵和都为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴②③④都正确，
根据垂线段最短可知，当时，最小，的周长最小，
此时，∴，
即当时，的周长最小，故⑤正确．
故答案为：D．
【分析】根据点A为上一动点（不与P，Q重合），，可知与不一定相等，可判断①；证明出，可得，即可推出，，即可判断出②③④，根据垂线段最短可知，当时，最小，即可判断⑤．
10．（2024八上·景县期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC中点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点M．过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，则下列结论正确的有（　　）（请填序号）
①△ACD≌△CBF；②∠BDM＝∠ADC；③连接AF，则有△ACF是等边三角形；④连接DF，则有AB垂直平分DF．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
故①正确；
，，
，
，
，
∴
D为中点，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
故②正确；
连接，
，
，
在中，，
，
不可能是等边三角形，
故③错误；
，
，，
点M、B在线段的垂直平分线上，
垂直平分，
故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．
故答案为：B.
【分析】根据ASA证明，根据SAS证明，得出，即可证明；由得出，根据，得出，证明不可能是等边三角形；由得出，，可以说明点M、B在线段的垂直平分线上，证明垂直平分。
11．（2023八上·嘉祥月考）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q连接PQ．以下五个结论正确的是（　　）
① ；②PQ∥AE； ③ ；④ ；⑤
A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠DCE=∠ACB=60°，
∴∠DCE+∠BCD=∠ACB+∠BCD，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE≌△ACD中，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴BE=AD，
故结论①正确；
由△BCE≌△ACD得
∠CBE=∠CAD，
又∵∠DCE=∠ACB=60°，
∴∠BCD=180°-60°-60°=60°，
∴∠BCQ=∠ACP=60°，
在△BCQ和△ACP中，
∴△BCQ≌△ACP(AAS)，
∴CQ=CP，
又∵∠PCQ=60°，
∴△CPQ为等边三角形，
∴∠DCE=∠PQC=60°，
∴AE∥PQ，
故结论②正确；
在△BCQ和△ACP中，
∴△BCQ≌△ACP(AAS)，
∴BQ=AP，
∴结论③正确；
∵∠CPQ=∠PCQ=60°，DE=DC，
∴∠CPD>60°，
∴DC≠DP，
又∵DE=DC，
∴DP≠DE，
故结论④不正确；
∵∠AOB=∠EAD+∠OEA=∠EAD+∠CDA=∠ECD=60°，
故结论⑤正确.
综上所述，正确的结论有：①②③⑤.
故答案为：C.
【分析】①根据SAS判断出△BCE≌△ACD，即可判断出AD=BE.
②首先根据AAS得到△BCQ≌△ACP，即可判断出CP=CQ，然后根据∠PCQ=60°，可得△PCQ 为等边三角形，所以∠DCE=∠PQC60°，根据平行线的判定方法得PQ∥AE，即可得②正确.
③根据AAS得△BCQ≌△ACP，从而可得AP=BQ .
④首先根据∠CPQ=∠PCQ=60°，DE=DC，可得∠DPC> 60°，从而得出DP≠DC，再根据DE=DC，即可判断出DP≠DE.
⑤∠AOB=∠EAD+∠OEA=∠EAD+∠CDA=∠ECD=60°，可得⑤正确.
12．（2024八上·长沙期末）如图，已知，点是的平分线上的一上定点，点，分别在射线和射线上，且.下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；①当时，的周长最小；④当时，也平行于.其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1所示，连接，作于，于，
∵点D是的平分线上的一个定点，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形；①正确；
∵，
∴，
∵点D是的平分线上的一个定点，
∴四边形的面积是一个定值，②正确；
∵的周长为，
当时，最短，即等边的周长最小，③正确；
如图2所示，当时，
∴，
∴是等边三角形，
∵是等边三角形，
∴与重合，与交于点；④错误；
故答案为：C
【分析】连接，作于，于，先根据角平分线的性质得到，进而进行角的运算得到，再运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而个等边三角形的判定即可判断①；根据三角形全等的性质得到，进而结合定点即可判断②；从而结合题意得到的周长为，再根据垂线段最短即可判断③；根据平行线的性质得到，进而根据等边三角形的判定与性质结合题意即可判断④。
二、填空题
13．（2024·武汉模拟） 如图，在矩形中，是的中点，连接，将沿着翻折得到，交于点，延长，相交于点，若，，则　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理的应用；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
是的中点，
，
由折叠的性质可得：，，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
设，则，，
在中，，即，
解得：，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
故答案为：．
【分析】连接，由折叠的性质可得，，，得出，然后证明，可得，设，则，，利用勾股定理构建方程，求出，设，则，再次利用勾股定理构建方程求解即可．
14．（2024九下·萧山月考）如图，在中，D为斜边的中点，点E在边上，将沿叠至． 若的延长线经过点D，平分，，则的值为　 　，的长为　 　．
【答案】；
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）取AB的中点H，连结DH，
∵D为斜边AC的中点，
∴DH是△ABC的中位线，
∴DH=BC，DH∥BC，
∵AB⊥BC，
∴DH⊥AB，
由折叠性质可得BC=FC，BE=EF=1，∠DFC=∠B=90°，
∵D为斜边AC的中点，
∴S△ADE=S△CDE，
∴AE·DH=DE·CF
∴AE=2DE，
∴=；
（2）设DF=x，BC=CF=y，则DE=DE+EF=x+1，
∴AE=2DE=2x+2，AB=AE+BE=2x+3，
过点A作AT⊥ED交ED的延长线于T，
∴∠T=∠CFD=90°，
又∵AD=CD，∠ADT=∠CDF
∴△ADT≌△CDF(AAS)
∴DT=DF=x，AT=CF=y，∠DAT=DCF，
∵CF平分∠BCA，
∴∠BCA+2∠DCF=90°，
∵∠CAB+∠ACB=90°，∠BCA+2∠DCF= 90°，
∵∠CAB+∠TAD+∠AET= 90°，
∴∠CAB+∠DCF+∠AET= 90°，
∴∠AET=∠TAD，又∠T=∠T，
∴△ADT∽△TEA，
=，即=，
∴y2=2x2+x，
在Rt△ATE中，AT2+ET2=AE2，
∴y2+(2x+1)2=(2x+2)2，
∴2x2-3x-3=0，
解得：
x1=，x2=（舍）.
AB=2x+3=，
故答案为：，.
【分析】（1）取AB的中点H，连结DH，根据中位线、折叠性质，通过等底同高三角形面积相等得S△ADE=S△CDE，由等面积法即可求解；
（2）设DF=x，表示出DE=x+1，AE=2x+2，AB=2x+3，根据AAS判断出△ADT≌△CDF，得到DT=DF=x，AT=CF=y，证△ADT∽△TEA，由相似三角形对应边可得y2=2x2+x，在Rt△ATE中，AT2+ET2=AE2，勾股定理即可求解。
15．（2020八上·江汉月考）如图，已知在四边形ABCD内，DB＝DC，∠DCA＝60°，∠DAC＝78°，∠CAB＝24°，则∠ACB＝　 　.
【答案】18°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；全等三角形的应用；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长CA至点E，使得CE=CD，连接DE，
∵∠DCA=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE=CD=BD，∠E=60°，
又∵∠DAC＝78°，∠CAB＝24°，
∴∠DAE=180°-∠DAC=102°，∠DAB=∠DAC+∠CAB=102°，
又∵AD=AD，
∴△DAE≌△DAB(SAS)
∴∠ABD=∠E=60°，
又∵∠BFC=∠DCF+∠CDF=∠FAB+∠ABF=24°+60°=84°，
∴∠CDF=∠BFC-∠FCD=84°-60°=24°，
又∵DB=DC，
∴∠DCB=∠DBC=(180°-∠BDC)÷2=78°，
∴∠ACB=∠BCD-∠FCD=18°，
∴∠ .
故答案为：18°.
【分析】题目难度较大，只是初步用含参字母表示角度关系不能探索出该结果，则需利用特殊的角度关系进行构造，①60°的构造等边，②78°，24°，两角和为102°，与78°成互补关系；从而构造等边引出等角得出全等，后用三角形内角和或其推论即可推出其它角的读数.
16．（2024八上·盐田期末）如图，在长方形中，，，点E为上一点，将沿翻折至，延长交于点O，交的延长线于点G，且，则的长为　 　．
【答案】或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D=∠DAB=∠ABC=90°，AD=BC=8，AB=CD=6.
由折叠可得：△BCE≌△FCE，
∴EF=EB，BC=CF=8，∠B=∠CFE=90°.
∵在△AGO和△FEO中，
∴△AGO≌△FEO（AAS）.
∴AO=OF，OG=OE，
∴OF+OG=OA+OE，即GF=AE.
设BE长为x，则AG=EF=BE=x，GF=AE=6-x.
在Rt△GDC中，DG2+DC2=GC2，
即（8+x）2+62=（8+6-x）2，
解得：
故答案为：或.
【分析】由折叠得到：EF=BE，FC=BC，∠B=∠CFE=90°.可证明△AGO≌△FEO，从而得到OG=OE，AO=FO，从而得到AE=GF.设BE=x，则AE=6-x，GC=8+6-x=14-x，最终在Rt△DGC中利用勾股定理求得x的值.
17．（2024九下·福田开学考）如图，正方形ABCD中，点E．F分别在边BC，CD上，AB=6，，连接BD交AF于点N，交AE于点M，若，则DN为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，延长CB到F'，使BF'=DF，连接AF'.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD=6，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADF=90°，AB//DC.
∴∠ABF'=90°=∠ADF.
又∵BF'=DF，
∴△ABF'≌△ADF（SAS），
∴∠BAF'=∠DAF，AF'=AF.
∵∠DAF+∠EAF+∠EAB=∠DAB=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAF'+∠EAB=45°，即∠EAF'=45°。
在△EAF和△EAF'中，
AF=AF'，∠EAF=∠EAF'，AE=AE
∴△EAF≌△EAF'（SAS），
∴EF=EF'=DF+BE.
∵DC=BC=6，CE=4，设DF=a，
∴BE=BC-EC=2，FC=DC-DF=6-a，EF=2+a.
在Rt△EFC中，EF2=EC2+FC2，
∴（2+a）2=42+（6-a）2，解得a=3，即DF=3.
∵AB=AD=6，
∴BD=.
∵DC//AB，
∴△DFN∽△BAN.
∴，
即，解得DN=.
故答案为：
【分析】第1步要求DN长，DN在一般图形△DFN中，所以通过全等或者相似来求。本题中△DFN和△BAN相似，且已知正方形边长AB长，还可以求出BD的长，可以利用相似建立比例关系求得DN，而要求DN，需要先求DF；
第2步在Rt△EFC中，有EF2=EC2+FC2，已知EC=4，FC=6-DF，只要能表示出EF，就可以求出DF长；第3步已知∠DAB=90°，∠EAF=45°，可以延长CB到F'，使BF'=DF，连接AF'，得到△ABF'，可证得△ABF'和△ADF全等，于是有AF=AF'，∠DAF=∠BAF'，从而得∠EAF=∠EAF'=45°，于是可证得△AEF≌△AEF'，得到EF=EF'=BE+BF'=BE+DF；因为BE=6-EC=2，所以EF=2+DF.利用EF2=EC2+FC2可以求得DF长，代入即可求得DN长.
18．（2024八上·老河口期末） 如图， 在 中， 平分 ， 点 在 的延长线上， ， 若 ， 则 的度数为　 　．
【答案】50
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，延长CA到O，使AO=AB，连接OE，
∵∠BAC=30°，∠EAC=75°，
∴∠OAE=180°-∠EAC=105°，∠BAE=∠BAC+∠EAC=105°，
∴∠OAE=∠BAE，
∵AO=AB，AE=AE，
∴△AOE≌△ABE（SAS），
∴∠B=∠O，
∵，
∴CE=AO+AC=OC，
∴∠O=∠CEO，
∴∠O+∠CEO+∠OCE=∠B+∠BAC+∠B+∠B=180°，
∴∠B=50°.
故答案为：50°.
【分析】延长CA到O，使AO=AB，连接OE，用SA证明△AOE≌△ABE，可得∠B=∠O，根据线段和差及已知可推出CE=OC，由等边对等角得∠O=∠CEO，再利用三角形内角和及三角形外角的性质即可求解.
三、解答题
19．（2024八下·台州开学考）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D、E是直线AB上两点．∠DCE＝45°
（1）当CE⊥AB时，点D与点A重合，显然DE2＝AD2+BE2（不必证明）；
（2）如图，当点D不与点A重合时，求证：DE2＝AD2+BE2；
（3）当点D在BA的延长线上时，（2）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．
【答案】（1）解：∵CE⊥AB， AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴AE＝BE，
∵点D与点A重合，
∴AD＝0，
∴DE2＝AD2+BE2；
（2）解：过点A作AF⊥AB，使AF＝BE，连接DF，CF，如图：
∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝45°，
∴∠FAC＝45°，
∴△CAF≌△CBE（SAS），
∴CF＝CE，∠ACF＝∠BCE，
∵∠ACB＝90°，∠DCE＝45°，
∴∠ACD+∠BCE＝∠ACB﹣∠DCE＝90°﹣45°＝45°，
∵∠ACF＝∠BCE，
∴∠ACD+∠ACF＝45°，
即∠DCF＝45°，
∴∠DCF＝∠DCE，
又∵CD＝CD，
∴△CDF≌△CDE（SAS），
∴DF＝DE，
∵在Rt△ADF中，AD2+AF2＝DF2，
∴AD2+BE2＝DE2；
（3）解：结论仍然成立；如图，
证明：过点A作AF⊥AB，使AF＝BE，连接DF，CF，
∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝45°，
∴∠FAC＝45°，
∴△CAF≌△CBE（SAS），
∴CF＝CE，∠ACF＝∠BCE，
∵∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠ACF+∠ACE＝90°，即∠FCE＝90°，
∵∠DCE＝45°，
∴∠DCF＝45°，
∴∠DCF＝∠DCE，
又∵CD＝CD，
∴△CDF≌△CDE（SAS），
∴DF＝DE，
∵在Rt△ADF中，AD2+AF2＝DF2，
∴AD2+BE2＝DE2．

【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得AE=BE，由点D与点A重合可知AD=0，结论即可得证；
（2）过点A作AF⊥AB，使AF＝BE，连接DF，CF，利用SAS证明△CAF≌△CBE，可得CF=CE，∠ACF＝∠BCE，再利用 ∠DCE＝45° 可证得∠DCF＝∠DCE，于是有△CDF≌△CDE，由全等三角形的性质得DF=DE.在Rt△ADF中利用勾股定理，即可得到结论；
（3）过点A作AF⊥AB，使AF＝BE，连接DF，CF，利用SAS证明△CAF≌△CBE，可得CF=CE，∠ACF＝∠BCE.由∠ACF＝∠BCE可证得∠FCE＝90°，由∠DCE＝45°可得∠DCF＝∠DCE，于是有△CDF≌△CDE.由全等三角形的性质得DF=DE.在Rt△ADF中利用勾股定理，即可得到结论.
20．（2024八下·湖北月考）在中，，点为边的中点，点在边上．
（1）若，，如图，求的长；
（2）过点作与边交于点如图，试探究：线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）解：连接，
，且点为边的中点，
是线段的垂直平分线．
．
设，则．
在中，．
解得：，即．
在中，，
在中，．
.
（2）解：延长到，使得，连接、，如图：
点为的中点，
，
又．
在△MAE和△MBF中
∴．
，．
直线垂直．
．
在中，，
．
在中，．
．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）连接AD，证得MD是线段的垂直平分线，可得AD=BD，设AD=x，在中利用勾股定理求出x的值，再在中利用勾股定理求出AB的值，最后在中，再次利用勾股定理即可求得MD的长.
（2）延长到，使得，连接、，根据中点定义得AM=BM，利用SAS证明△MAE≌△MBF，得AE=BF；利用线段垂直平分线性质证得DE=DF；证明△BDF是直角三角形，利用勾股定理得DF，DB，BF的关系，即可得线段、、三者之间的数量关系.
21．（2024·孝南模拟） 已知和都是等腰三角形，且，，若点D在边上运动时，总保持，连接与交于点F．
（1）①如图1，当点D为边中点时，则的值为 ▲ ；
②如图2，当点D不为边中点时，求证：；
（2）如图3，当点D在边上运动中恰好使得时，若，，求的长．
【答案】（1）解：①
②证明：由①知，．
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，，
∴，，
∴．
∴，即．
∴．
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）①解：∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
∵，点D为的中点，
∴．
∴．
又∵，
∴垂直平分，
∴．
∵点D为的中点，
∴．
∴．
故答案为：；
【分析】（1）①根据等边对等角和题目已知条件可得∠B=∠BCA=∠ADE=∠AED，由三角形内角和是180°，得∠BAC=∠DAE，故∠BAD=∠CAE；根据等腰三角形三线合一可得∠BAD=∠CAD，等量代换∠DAC=∠CAE，AD=AE，三线合一AF垂直平分DE，再根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等可得CD=CE，即可得到；
②利用SAS证得△BAD≌△CAE，再根据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）先利用两直线平行内错角相等得到，等量代换，再由同位角相等，两直线平行可得AB∥DE，进而由两组对边平行的四边形是平行四边形证得四边形ABDE为平行四边形，由平行四边形对边相等得到DE=AB=5；，公共角∠B，由两组角对应相等的两个三角形相似得到，相似三角形对应边成比例，即可求出BD长，进而求出CD、AE、BD的长，再根据得到，代入即可求出DF长.
22．（2024八下·道县月考）中，，，点是直角边所在直线上一点，连接，以为直角边向上作等腰，，，过点作，垂足为．
（1）如图1，当点在线段上，且时，请你通过观察、测量、猜想，直接写出　 　；　 　；
（2）如图2，当点在线段的延长线上，且时：
①请你由观察、猜想直接写出_▲_；
②请你规范、严谨的证明：．
（3）如图3，当点在线段的延长线上，且时，点为线段上任意一点，以为斜边向上做等腰，，，连接，已知，请你直接写出当长度最短时，线段的值为　 　．
【答案】（1）6；2
（2）解：①∵∠ACD＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∵∠ADE＝90°，
∴∠EDF+∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠EDF，
∵∠ACD＝∠EFD＝90°，AD＝DE，
∴△ACD≌△DFE，
∴EF=CD=2，
故答案为：2；
②证明：∵∠ACD＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∵∠ADE＝90°，
∴∠EDF+∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠EDF，
∵∠ACD＝∠EFD＝90°，AD＝DE，
∴△ACD≌△DFE，
∴DF=AC，
∵BC=AC，
∴DF=BC，
∴CD＝BF．
（3）4.8
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，．
故答案为：6；2；
（3）解：补全图形，作，取中点O，连接、、，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当时，长度最短，如图所示，
此时，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
∴．
【分析】（1）证明，得出，即可；
（2）同（1）证明，得出，即可；
（3）补全图形，作，可求，，当时，长度最短，设直线交于点S，证，得出，利用等积法求出即可．
23．（2024八下·开州开学考）如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°．
（1）如图 1，当点 C 在 AD 上时，∠BAC＝90°，连接 CE，若∠ABC＝30°，求∠CED 的度数；
（2）如图 2，当点 C 在 AD 上时，∠BAC＝90°，延长 BC 交 DE 于 M，连接 AM，求证：AM 平分∠CME；
（3）如图 3，若∠BAC≠90°，连接 BE、CD，F 为 BE 中点，连接 AF，请猜想线段 AF、CD 之间的数量关 系，并证明你的猜想．
【答案】（1）解：，，
，
，，
，
，
，
，，
，
；
（2）证明：如图2：过点作于点，过点作于点，
由（1）知，
，，
，
，
平分；
（3）解：，理由如下：
如图3，延长到，使，连接，
，
为中点，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先根据三角形全等的判定与性质证明，进而得到，再结合题意进行角的运算即可求解；
（2）过点作于点，过点作于点，进而根据三角形全等的性质得到，，再根据三角形的面积结合角平分线的判定即可求解；
（3）延长到，使，连接，进而得到，再结合题意证明即可得到，，从而根据平行线的判定与性质得到，进而结合题意证明得到即可求解。
24．（2024·渝中模拟）如图，为的中线，以为直角边在其右侧作直角，，与交于点F，．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，若将绕点C逆时针旋转得到，连接、，探究、的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若，，，直线上有一点M，连接，将沿着翻折到所在的平面内得到，取的中点P，连接，当最小时，请直接写出的面积．
【答案】（1）解：在中，∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下，
倍长至点H使得，连接、、，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵在中，，，，
∴，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
设，与交于点K，
∵，
∴，
∴在四边形中，，
∴结合，可得为等边三角形，
∴；
（3）解：
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（3）∵，，，
∴在中，，，
∴，即，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，即是等边三角形，
∴，，
∴在中，，
根据翻转可知：，
∵的中点为P点，
∴，
∴可知点P在以F为圆心，长为半径的圆上，
如图，
即可知当点A、P、F三点共线，且点P在线段上时，最小，
如图，过F点作于S点，过P点作于T点，
∵，，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
即当最小时，．
【分析】（1）先求出，根据，可得，进而可得，解直角三角形即可求解；
（2）倍长至点H使得，连接、、，证明， ，即有，，进而可得，设，与交于点K，根据，可得，，进而得出为等边三角形，即可求解；
（3）先证明是等边三角形，即在中，，根据翻转可知：，结合的中点为P点，可得，即可知点P在以F为圆心，长为半径的圆上，当点A、P、F三点共线，且点P在线段上时，最小，过F点作于S点，过P点作于T点，则得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
25．（2024八上·南充期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠BCD＝60°，AB＝AD，BC＝DC，在边BC、DC所在直线上分别有E、F两点，且始终有.
（1）如图1，当E、F在BC、DC上，AE＝AF时，求证：BE＋DF＝EF；
（2）如图2，当E、F在BC、DC上，AE≠AF时，（1）问中的结论是否仍成立请说理；
（3）如图3，当E、F在边BC、DC的延长线上时，直接写出BE、DF、EF之间的数量关系，不必证明.
【答案】（1）证明：连接AC
在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC（SSS）
∴∠B＝∠D
∵∠BAD＝120°，∠BCD＝60°
∴∠B＋∠D＝360°－120°－60°＝180°
∴∠B＝∠D＝90°
在Rt△ABE和Rt△ADF中
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）
∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF
∵∠EAF＝60°
∴∠BAE＋∠DAF＝120°－60°＝60°
△AEF是等边三角形
∴AE＝EF，∠BAE＝∠DAF＝30°
∴AE＝2BE
∴AE＝BE＋DF
∴BE＋DF＝EF．
其它方法：如连接BD，证△ABE是含30°的直角三角形．
（2）解：结论仍然成立，理由如下：
证明：延长CB到G使得BG＝DF，连接AG．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°（已证），AB＝AD
∴△ABG≌△ADF（SAS）
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF
∵∠EAF＝60°，∠BAD＝120°
∴∠GAE＝∠FAE＝60°
∴△GAE≌△FAE（SAS）
∴EF＝EG
∴EF＝EG＝BE＋BG＝BE＋DF
（3）解：数量关系为：DF－BE＝EF
【知识点】三角形全等的判定；三角形的综合
【解析】【解答】（3）在DF上截取DG＝BE，连接AG，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°（已证）
∴∠ABE＝∠ADG＝90°
∵AB＝AD
∴△ADG≌△ABE（SAS）
∴AG＝AE，DG＝BE，∠BAE＝∠DAG
∵∠EAF＝60°，∠BAD＝120°
∴∠EAF＝∠GAF＝60°
∴△AEF≌△AGF（SAS）
∴EF＝GF
∴GF＝DF－DG＝DF－BE
∴DF－BE＝EF .
【分析】（1）连接AC，先利用“SSS”证出△ABC≌△ADC，可得∠B＝∠D，再利用“HL”证出Rt△ABE≌Rt△ADF，可得 BE＝DF，∠BAE＝∠DAF ，再证出△AEF是等边三角形，可得 AE＝EF，∠BAE＝∠DAF＝30° ，再利用含30°角的直角三角形的性质可得 AE＝2BE ，最后利用线段的和差及等量代换可得BE＋DF＝EF；
（2）延长CB到G使得BG＝DF，连接AG，先利用“SAS”证出 △GAE≌△FAE 可得 EF＝EG ，再利用线段的和差及等量代换可得 EF＝EG＝BE＋BG＝BE＋DF ；
（3）在DF上截取DG＝BE，连接AG，先利用“SAS”证出△AEF≌△AGF，可得EF＝GF，再利用线段的和差及等量代换可得DF－BE＝EF .
26．（2024八上·新都期末）在中，，点是边上一点，连接，过点作直线的垂线，垂足为点
（1）如图1，若于点，求证：；
（2）如图2，在线段上截取，连接交于点，求证：；
（3）如图3，若点为的中点，点是线段延长线上的一点，连接，求，，的数量关系
【答案】（1）证明：，
，
又，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：如图2，过点A作交的延长线于点F，
同（1）可证，
，，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
又，
；
（3）解：，理由如下：
如图3，过点D作交的延长线于点H，连接，，
，点为的中点，
，，
，，
，，
在和中，
，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；三角形的综合
【解析】【分析】（1）先利用角的运算求出，再利用“AAS”证出，可得；
（2）过点A作交的延长线于点F，先利用“AAS”证出，可得，再结合，可得；
（3）过点D作交的延长线于点H，连接，，先利用“ASA”证出，可得，， 再利用勾股定理及等量代换可得。
1 / 1

展开更多......

收起↑