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第一章
§1.1　集　合
1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.
2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.
3.会求两个集合的并集、交集与补集.
4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.
课标要求
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
落实主干知识
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：　　　　、　　　　、　　　　.
(2)元素与集合的关系是　　　或　　　　，用符号　或　表示.
(3)集合的表示法：　　　　、　　　　、　　　　.
确定性
互异性
无序性
属于
不属于
∈

列举法
描述法
图示法
(4)常见数集的记法
集合 非负整数集(或自然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集
符号 ___ N*(或N＋) ___ ___ ___
N
Z
Q
R
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中　　　　　　　都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作　　　(或B A).
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且　　　，就称集合A是集合B的真子集，记作　　　(或B?A).
(3)相等：若A B，且　　　，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .空集是　　　　　的子集，是　　　　　　　的真子集.
任意一个元素
A B
x A
A?B
B A
任何集合
任何非空集合
3.集合的基本运算
表示 运算 集合语言 图形语言 记法
并集 ________________ ______
交集 ________________ ______
补集 ________________ ____
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
{x|x∈U，且x A}
UA
1.若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集.
2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.A∩B＝A A B，A∪B＝A B A.
4. U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}.(　　)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(　　)
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(　　)
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B) (A∪B).(　　)
√
×
×
×
2.(必修第一册P14T4改编)设集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2A.{x|2C.{x|2因为 RA＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|2√
3.(必修第一册P35T9改编)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝________.
2
因为A∪B＝A，所以B A，所以a＋2∈A.
当a＋2＝3，即a＝1时，A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；
当a＋2＝a2时，a＝－1(舍去)或a＝2，此时A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，符合题意.综上，实数a＝2.
4.(必修第一册P9T5改编)已知集合A＝{x|0[2，＋∞)
因为B A，所以利用数轴分析法(如图)，可知a≥2.
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第二部分
探究核心题型
例1　(1)(2023·长春模拟)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|x＋y＝0}，则A∩B的子集个数为
A.1 B.2 C.3 　 D.4
√
题型一　集合的含义与表示
集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆上的所有点，
集合B＝{(x，y)|x＋y＝0}表示直线x＋y＝0上的所有点，
因为直线x＋y＝0经过圆心(0,0)，
所以直线与圆相交，
所以A∩B的元素个数为2，
则A∩B的子集个数为4.
(2)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m的值为
A.2 B.3 C.0 D.－2
√
因为集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，
则m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m∈{0,2,3}.
当m＝0时，集合A中的元素不满足互异性；
当m＝2时，m2－3m＋2＝0，集合A中的元素不满足互异性；
当m＝3时，A＝{0,3,2}，符合题意.综上所述，m＝3.
解决集合含义问题的关键点
(1)一是确定构成集合的元素.
(2)确定元素的限制条件.
(3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.
跟踪训练1　(1)(2023·苏州模拟)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y
|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为
A.3 B.4 C.5 D.6
√
因为集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，所以C＝{5,6,7,8}.即C中元素的个数为4.
(2)若含有3个实数的集合既可表示成 ，又可表示成{a2，a＋b,0}，则a2 024＋b2 024＝________.
1
此时两集合分别是{a,1,0}，{a，a2,0}，
则a2＝1，解得a＝1或a＝－1.
当a＝1时，不满足互异性，故舍去；
当a＝－1时，满足题意.
所以a2 024＋b2 024＝(－1)2 024＋02 024＝1.
例2　(1)(2023·海口质检)已知集合A＝{x|x>5}，B＝{x|1－log2x<0}，则
A.A B B.B A
C.A∩B＝ D.A∪B＝R
因为集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|1－log2x<0}＝{x|x>2}，
所以A B.
√
题型二　集合间的基本关系
(2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B A，则实数a的取值范围是
√
∵B A，
∴①若B＝ ，即ax＋1≤0无解，此时a＝0，满足题意.
②若B≠ ，即ax＋1≤0有解，
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
跟踪训练2　(1)已知集合M＝{x|y＝ ，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是
A.M?N B.N?M
C.M RN D.N RM
√
因为M＝{x|y＝ ，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以N?M.
(2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1254
{m|m≤－2或－1≤m≤2}
易得A＝{x|－2≤x≤5}.
若x∈Z，则A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A中含有8个元素，
∴A的非空真子集的个数为28－2＝254.
①当m－1≥2m＋1，即m≤－2时，B＝ ，B A；
②当m>－2时，B＝{x|m－1综上所述，m的取值范围是{m|m≤－2或－1≤m≤2}.
命题点1　集合的运算
例3　(1)(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x| <4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于
√
题型三　集合的基本运算
所以M＝{x|0≤x<16}；
因为N＝{x|3x≥1}，
(2)(多选)已知M，N均为实数集R的子集，且N∩( RM)＝ ，则下列结论中正确的是
A.M∩( RN)＝ B.M∪( RN)＝R
C.( RM)∪( RN)＝ RM D.( RM)∩( RN)＝ RM
√
√
∵N∩( RM)＝ ，∴N M，
如图，若N是M的真子集，则M∩( RN)≠ ，故A错误；
由N M可得M∪( RN)＝R，故B正确；
由N M可得 RN RM，故C错误，D正确.
命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围)
例4　(1)(多选)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能为
√
√
√
由题意知A＝{x|x2＋x－6＝0}，
由x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3，所以A＝{2，－3}，
因为A∪B＝A，所以B A，当B＝ 时，m＝0，满足题意；
(2)(2024·本溪模拟)设集合A＝{x|xa}，若A∩( RB)＝A，则实数a的取值范围为
A.[0,1] B.[0,1)
C.(0,1) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
√
因为B＝{x|x>a}，
所以 RB＝{x|x≤a}，
又A∩( RB)＝A，所以A RB，
又A＝{x|x解得0≤a≤1，即实数a的取值范围为[0,1].
对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.
跟踪训练3　(1)(多选)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|1A.( RA)∪B＝{x|0≤x<3}
B.( RA)∩B＝{x|1C.A∩B＝{x|2D.A∩B是{x|2√
√
√
由x2－2x>0，得x<0或x>2，所以A＝{x|x<0或x>2}，所以 RA＝{x|0≤x≤2}，
对于A，因为B＝{x|1对于B，因为B＝{x|1对于C，因为A＝{x|x<0或x>2}，B＝{x|1对于D，因为A∩B＝{x|2(2)已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|xA.(－∞，1] B.(－∞，2]
C.[1，＋∞) D.[2，＋∞)
√
因为集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x则a－1≤1，解得a≤2.
例5　(多选)群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“·”是G上的一个代数运算，即对所有的a，b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：① a，b，c∈G，有(a·b)·c＝a·(b·c)；② e∈G，使得 a∈G，有e·a＝a·e＝a；③ a∈G， b∈G，使a·b＝b·a＝e，则称G关于“·”构成一个群.
题型四　集合的新定义问题
则下列说法正确的有
A.G＝{－1,0,1}关于数的乘法构成群
√
√
对于A，若G＝{－1,0,1}，则对所有的a，b∈G，有a·b∈{1,0，－1}＝G，
满足乘法结合律，即①成立，满足②的e为1，
但当a＝0时，不存在b∈G，使得a·b＝b·a＝e＝1，即③不成立，故A错误；
对于C，若G＝R，则对所有的a，b∈R，有a＋b∈R，
满足加法结合律，即①成立，满足②的e为0，
a∈R， b＝－a∈R，使a＋b＝b＋a＝0，即③成立，故C正确；
集合新定义问题的“三定”
(1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素.
(2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集或补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题.
(3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素.
跟踪训练4　(多选)设A为非空实数集，若对任意x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集.下列叙述中，正确的为
A.集合A＝{－2，－1,0,1,2}为封闭集
B.集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集
C.封闭集一定是无限集
D.若A为封闭集，则一定有0∈A
√
√
对于A，在集合A＝{－2，－1,0,1,2}中，－2－2＝－4不在集合A中，∴集合A不是封闭集，故A错误；
对于B，集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}，设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z，
∴x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy＝4k1k2∈A，
∴集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集，故B正确；
对于C，封闭集不一定是无限集，如：{0}为封闭集，故C错误；
对于D，若A为封闭集，则取x＝y，得x－y＝0∈A，故D正确.
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课时精练
一、单项选择题
1.(2022·全国乙卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足 UM＝{1,3}，则
A.2∈M B.3∈M C.4 M D.5 M
√
由题意知M＝{2,4,5}.
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2.(2023·新高考全国Ⅰ)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N等于
A.{－2，－1,0,1} B.{0,1,2}
C.{－2} D.{2}
√
方法一　因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，
而M＝{－2，－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－2}.
方法二　因为M＝{－2，－1,0,1,2}，将－2，－1，0,1,2代入不等式
x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N＝{－2}.
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3.(2024·南京模拟)集合A＝{x∈N|1A.2 B.4 C.8 D.16
√
A＝{x∈N|11
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4.已知全集U，若集合A和集合B都是U的非空子集，且满足A∪B＝B，则下列集合中表示空集的是
A.( UA)∩B B.A∩B
C.( UA)∩( UB) D.A∩( UB)
√
由Venn图表示集合U，A，B如图，
由图可得( UA)∩B＝ BA，A∩B＝A，( UA)∩( UB)＝ UB，A∩( UB)＝ .
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5.(2024·绵阳模拟)已知A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，若B A，则m等于
A.0或4 B.1或4 C.0 D.4
√
∵ B A且A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，∴m＝4或m＝m2，
当m＝4时，A＝{1,4,16}，B＝{1,4}，满足题意；
当m＝m2时，得m＝0或m＝1，
当m＝0时，A＝{1,4,0}，B＝{1,0}，满足题意；
当m＝1时，代入集合中，不满足集合的互异性.综上，m可取0,4.
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6.已知M，N均为R的子集，若存在x使得x∈M，且x RN，则
A.M∩N≠ B.M N
C.N M D.M＝N
因为x RN，所以x∈N，又因为x∈M，所以x∈M∩N，故M∩N≠ ，故A正确；
由于题目条件是存在x，所以不能确定集合M，N之间的包含关系，故B，C，D错误.
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7.已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－x>0}，则图中的阴影部分表示的集合为
A.(－∞，1]∪(2，＋∞) B.(－∞，0)∪(1,2)
C.[1,2) D.(1,2]
B＝{x|x2－x>0}＝{x|x<0或x>1}，由题意可知阴影部分对应的集合为 U(A∩B)∩(A∪B)，
所以A∩B＝{x|12}，
所以 U(A∩B)∩(A∪B)＝(－∞，1]∪(2，＋∞).
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8.设集合I＝{1,3,5,7}，若非空集合A同时满足：①A I；②|A|≤min(A)(其中|A|表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为
A.7 B.8 C.9 D.10
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当|A|＝1时，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}；
当|A|＝2时，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3,5}，{3,7}，{5,7}；
当|A|＝3时，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3,5,7}，
综上所述，I的所有“好子集”的个数为8.
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二、多项选择题
9.已知I为全集，集合M，N I，若M N，则
A.M∪N＝N B.M∩N＝N
C. IM IN D.( IN)∩M＝
因为M N，则M∪N＝N，M∩N＝M，则A正确，B错误；
又I为全集，集合M，N I，则 IM IN，( IN)∩M＝ ，C错误，D正确.
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10.已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，且A∪B＝A，则实数a的取值可以是
A.－1 B.0 C.1 D.2
A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，集合B表示关于x的方程ax＝1的解集，
因为A∪B＝A，所以B A，
当a＝0时方程ax＝1无解，此时B＝ ，符合题意；
当B＝{1}时，a＝1；当B＝{－1}时，－a＝1，解得a＝－1，
综上可得a＝0或±1.
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三、填空题
11.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为________.
4
根据题意，A∩B的元素是x＋y＝8上满足x，y∈N*且y≥x的点，即点(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4).
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12.已知集合A＝{1,2,3}，B＝{m,4,5}，且A∪B中的所有元素的和为12，则m＝________.
－3
当m＝1或m＝2或m＝3时，A∪B＝{1,2,3,4,5}，
所有元素的和为15，不符合题意；
当m≠1且m≠2且m≠3时，A∪B＝{1,2,3,m,4,5}，
由题意得1＋2＋3＋m＋4＋5＝12，所以m＝－3.
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13.高三某班共有55人，其中有14人参加了球类比赛，16人参加了田径比赛，4人既参加了球类比赛，又参加了田径比赛，则该班这两项比赛都没有参加的人数是________.
由题意画出Venn图，如图所示，
由Venn图知，参加比赛的人数为26，
所以该班这两项比赛都没有参加的人数是29.
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14.对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg(9－x2)}，则B－A＝___________，A*B＝__________________.
由题意得A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3所以A－B＝{x|x≥3}，B－A＝{x|－3因此A*B＝{x|x≥3}∪{x|－31
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{x|－3{x|－315.(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2 000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝ ，M中的每一个元素小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割.
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下列选项中可能成立的是
A.M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，(M，N)是一个戴德金分割
B.M没有最大元素，N有一个最小元素
C.M有一个最大元素，N有一个最小元素
D.M没有最大元素，N也没有最小元素
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对于A，因为M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，M∪N＝{x|x≠0}≠Q，故A错误；
对于B，设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；
对于C，若M有一个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时满足M∪N＝Q，M∩N＝ ，故C错误；
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16.设集合M＝{1,2,3，…，12}，现对M的任一非空子集A，令xA为A中最大数与最小数之和，则所有这样的xA的算术平均值为________.
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集合M的非空子集共有(212－1)个，
其中，最小值为1的子集可视为{2,3，…，12}的子集与集合{1}的并集，共有211个，
同上可知，最小值为2的子集共有210个，最小值为3的子集共有29个，…，最小值为12的子集共有20个.
最大值为12的子集可视为{1,2,3，…，11}的子集与集合{12}的并集，共有211个，
同上可知，最大值为11的子集共有210个，最大值为10的子集共有29个，…，最大值为1的子集共有20个.
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所以M的所有非空子集中的最小值之和为211＋2×210＋3×29＋…＋12×20，
最大值之和为12×211＋11×210＋10×29＋…＋20，
所以xA的算术平均值为
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16§1.1　集　合
课标要求　1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．
知识梳理
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或 表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 非负整数 集(或自 然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A B(或B A)．
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A)．
(3)相等：若A B，且B A，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
表示 运算 集合语言 图形语言 记法
并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B
交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B
补集 {x|x∈U，且x A} UA
常用结论
1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．
2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．A∩B＝A A B，A∪B＝A B A.
4． U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．(　×　)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　×　)
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(　×　)
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B) (A∪B)．(　√　)
2．(必修第一册P14T4改编)设集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2A．{x|2B．{x|7C．{x|2D．{x|2答案　C
解析　因为 RA＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|23．(必修第一册P35T9改编)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝________.
答案　2
解析　因为A∪B＝A，所以B A，所以a＋2∈A.当a＋2＝3，即a＝1时，A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；当a＋2＝a2时，a＝－1(舍去)或a＝2，此时A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，符合题意．综上，实数a＝2.
4．(必修第一册P9T5改编)已知集合A＝{x|0答案　[2，＋∞)
解析　因为B A，所以利用数轴分析法(如图)，可知a≥2.
题型一　集合的含义与表示
例1　(1)(2023·长春模拟)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|x＋y＝0}，则A∩B的子集个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　D
解析　集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆上的所有点，
集合B＝{(x，y)|x＋y＝0}表示直线x＋y＝0上的所有点，
因为直线x＋y＝0经过圆心(0,0)，
所以直线与圆相交，
所以A∩B的元素个数为2，
则A∩B的子集个数为4.
(2)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m的值为(　　)
A．2 B．3 C．0 D．－2
答案　B
解析　因为集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，
则m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m∈{0,2,3}．
当m＝0时，集合A中的元素不满足互异性；
当m＝2时，m2－3m＋2＝0，集合A中的元素不满足互异性；
当m＝3时，A＝{0,3,2}，符合题意．
综上所述，m＝3.
思维升华　解决集合含义问题的关键点
(1)一是确定构成集合的元素．
(2)确定元素的限制条件．
(3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
跟踪训练1　(1)(2023·苏州模拟)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
答案　B
解析　因为集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，所以C＝{5,6,7,8}．即C中元素的个数为4.
(2)若含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成{a2，a＋b,0}，则a2 024＋b2 024＝________.
答案　1
解析　因为＝{a2，a＋b,0}，
显然a≠0，所以＝0，即b＝0；
此时两集合分别是{a,1,0}，{a，a2,0}，
则a2＝1，解得a＝1或a＝－1.
当a＝1时，不满足互异性，故舍去；
当a＝－1时，满足题意．
所以a2 024＋b2 024＝(－1)2 024＋02 024＝1.
题型二　集合间的基本关系
例2　(1)(2023·海口质检)已知集合A＝{x|x>5}，B＝{x|1－log2x<0}，则(　　)
A．A B B．B A
C．A∩B＝ D．A∪B＝R
答案　A
解析　因为集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|1－log2x<0}＝{x|x>2}，
所以A B.
(2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B A，则实数a的取值范围是(　　)
A.
B.
C．(－∞，－1)∪[0，＋∞)
D.∪(0,1)
答案　A
解析　∵B A，
∴①若B＝ ，即ax＋1≤0无解，此时a＝0，满足题意．
②若B≠ ，即ax＋1≤0有解，
当a>0时，可得x≤－，要使B A，
则需要解得0当a<0时，可得x≥－，要使B A，
则需要解得－≤a<0，
综上，实数a的取值范围是.
思维升华　(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
跟踪训练2　(1)已知集合M＝{x|y＝，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是(　　)
A．M?N B．N?M
C．M RN D．N RM
答案　B
解析　因为M＝{x|y＝，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以N?M.
(2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1答案　254　{m|m≤－2或－1≤m≤2}
解析　易得A＝{x|－2≤x≤5}．
若x∈Z，则A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A中含有8个元素，
∴A的非空真子集的个数为28－2＝254.
①当m－1≥2m＋1，即m≤－2时，B＝ ，B A；
②当m>－2时，B＝{x|m－1因此，要使B A，则需解得－1≤m≤2.
综上所述，m的取值范围是{m|m≤－2或－1≤m≤2}．
题型三　集合的基本运算
命题点1　集合的运算
例3　(1)(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于(　　)
A．{x|0≤x<2} B.
C．{x|3≤x<16} D.
答案　D
解析　因为M＝{x|<4}，
所以M＝{x|0≤x<16}；
因为N＝{x|3x≥1}，
所以N＝.
所以M∩N＝.
(2)(多选)已知M，N均为实数集R的子集，且N∩( RM)＝ ，则下列结论中正确的是(　　)
A．M∩( RN)＝
B．M∪( RN)＝R
C．( RM)∪( RN)＝ RM
D．( RM)∩( RN)＝ RM
答案　BD
解析　∵N∩( RM)＝ ，∴N M，
如图，若N是M的真子集，则M∩( RN)≠ ，故A错误；
由N M可得M∪( RN)＝R，故B正确；
由N M可得 RN RM，故C错误，D正确．
命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围)
例4　(1)(多选)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能为(　　)
A．－ B. C．0 D．－
答案　BCD
解析　由题意知A＝{x|x2＋x－6＝0}，
由x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3，
所以A＝{2，－3}，
因为A∪B＝A，所以B A，
当B＝ 时，m＝0，满足题意；
当B≠ 时，B＝，
－＝2或－＝－3，
解得m＝－或m＝，
综上，m＝0或－或.
(2)(2024·本溪模拟)设集合A＝{x|xa}，若A∩( RB)＝A，则实数a的取值范围为(　　)
A．[0,1] B．[0,1)
C．(0,1) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
答案　A
解析　因为B＝{x|x>a}，
所以 RB＝{x|x≤a}，
又A∩( RB)＝A，所以A RB，
又A＝{x|x解得0≤a≤1，即实数a的取值范围为[0,1]．
思维升华　对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
跟踪训练3　(1)(多选)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|1A．( RA)∪B＝{x|0≤x<3}
B．( RA)∩B＝{x|1C．A∩B＝{x|2D．A∩B是{x|2答案　ACD
解析　由x2－2x>0，得x<0或x>2，
所以A＝{x|x<0或x>2}，
所以 RA＝{x|0≤x≤2}，
对于A，因为B＝{x|1所以( RA)∪B＝{x|0≤x<3}，所以A正确；
对于B，因为B＝{x|1所以( RA)∩B＝{x|1对于C，因为A＝{x|x<0或x>2}，B＝{x|1所以A∩B＝{x|2对于D，因为A∩B＝{x|2所以A∩B是{x|2(2)已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|xA．(－∞，1] B．(－∞，2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
答案　B
解析　因为集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x则a－1≤1，解得a≤2.
题型四　集合的新定义问题
例5　(多选)群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“·”是G上的一个代数运算，即对所有的a，b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：① a，b，c∈G，有(a·b)·c＝a·(b·c)；② e∈G，使得 a∈G，有e·a＝a·e＝a；③ a∈G， b∈G，使a·b＝b·a＝e，则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有(　　)
A．G＝{－1,0,1}关于数的乘法构成群
B．G＝∪{x|x＝m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群
C．实数集关于数的加法构成群
D．G＝{m＋n|m，n∈Z}关于数的加法构成群
答案　CD
解析　对于A，若G＝{－1,0,1}，则对所有的a，b∈G，有a·b∈{1,0，－1}＝G，
满足乘法结合律，即①成立，满足②的e为1，
但当a＝0时，不存在b∈G，使得a·b＝b·a＝e＝1，即③不成立，故A错误；
对于B，因为a＝∈G，且b＝3∈G，但a·b＝×3＝ G，故B错误；
对于C，若G＝R，则对所有的a，b∈R，有a＋b∈R，
满足加法结合律，即①成立，满足②的e为0，
a∈R， b＝－a∈R，使a＋b＝b＋a＝0，即③成立，故C正确；
对于D，若G＝{m＋n|m，n∈Z}，
则对所有的a＝m1＋n1，b＝m2＋n2∈G，
有a＋b＝(m1＋m2)＋(n1＋n2)∈G， a，b，c∈G，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)成立，即①成立，
当a＝b＝0时，a＋b＝0，满足②的e＝0，即②成立，
a＝m＋n∈G， b＝－m－n∈G，使a＋b＝b＋a＝0，即③成立，故D正确．
思维升华　集合新定义问题的“三定”
(1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素．
(2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集或补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题．
(3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素．
跟踪训练4　(多选)设A为非空实数集，若对任意x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集．下列叙述中，正确的为(　　)
A．集合A＝{－2，－1,0,1,2}为封闭集
B．集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集
C．封闭集一定是无限集
D．若A为封闭集，则一定有0∈A
答案　BD
解析　对于A，在集合A＝{－2，－1,0,1,2}中，
－2－2＝－4不在集合A中，∴集合A不是封闭集，故A错误；
对于B，集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}，
设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z，
∴x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy＝4k1k2∈A，
∴集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集，故B正确；
对于C，封闭集不一定是无限集，如：{0}为封闭集，故C错误；
对于D，若A为封闭集，则取x＝y，得x－y＝0∈A，故D正确．
课时精练
一、单项选择题
1．(2022·全国乙卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足 UM＝{1,3}，则(　　)
A．2∈M B．3∈M C．4 M D．5 M
答案　A
解析　由题意知M＝{2,4,5}．
2．(2023·新高考全国Ⅰ)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N等于(　　)
A．{－2，－1,0,1} B．{0,1,2}
C．{－2} D．{2}
答案　C
解析　方法一　因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，
而M＝{－2，－1,0,1,2}，
所以M∩N＝{－2}．
方法二　因为M＝{－2，－1,0,1,2}，将－2，－1，0,1,2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，
所以M∩N＝{－2}．
3．(2024·南京模拟)集合A＝{x∈N|1A．2 B．4 C．8 D．16
答案　B
解析　A＝{x∈N|14．已知全集U，若集合A和集合B都是U的非空子集，且满足A∪B＝B，则下列集合中表示空集的是(　　)
A．( UA)∩B B．A∩B
C．( UA)∩( UB) D．A∩( UB)
答案　D
解析　由Venn图表示集合U，A，B如图，
由图可得( UA)∩B＝ BA，A∩B＝A，( UA)∩( UB)＝ UB，A∩( UB)＝ .
5．(2024·绵阳模拟)已知A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，若B A，则m等于(　　)
A．0或4 B．1或4
C．0 D．4
答案　A
解析　∵ B A且A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，
∴m＝4或m＝m2，
当m＝4时，A＝{1,4,16}，B＝{1,4}，满足题意；
当m＝m2时，得m＝0或m＝1，
当m＝0时，A＝{1,4,0}，B＝{1,0}，满足题意；
当m＝1时，代入集合中，不满足集合的互异性．
综上，m可取0,4.
6．已知M，N均为R的子集，若存在x使得x∈M，且x RN，则(　　)
A．M∩N≠ B．M N
C．N M D．M＝N
答案　A
解析　因为x RN，所以x∈N，又因为x∈M，所以x∈M∩N，故M∩N≠ ，故A正确；由于题目条件是存在x，所以不能确定集合M，N之间的包含关系，故B，C，D错误．
7.已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－x>0}，则图中的阴影部分表示的集合为(　　)
A．(－∞，1]∪(2，＋∞) B．(－∞，0)∪(1,2)
C．[1,2) D．(1,2]
答案　A
解析　B＝{x|x2－x>0}＝{x|x<0或x>1}，由题意可知阴影部分对应的集合为 U(A∩B)∩(A∪B)，所以A∩B＝{x|12}，所以 U(A∩B)∩(A∪B)＝(－∞，1]∪(2，＋∞)．
8．设集合I＝{1,3,5,7}，若非空集合A同时满足：①A I；②|A|≤min(A)(其中|A|表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
答案　B
解析　当|A|＝1时，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}；
当|A|＝2时，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3,5}，{3,7}，{5,7}；
当|A|＝3时，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3,5,7}，
综上所述，I的所有“好子集”的个数为8.
二、多项选择题
9．已知I为全集，集合M，N I，若M N，则(　　)
A．M∪N＝N B．M∩N＝N
C． IM IN D．( IN)∩M＝
答案　AD
解析　因为M N，则M∪N＝N，M∩N＝M，则A正确，B错误；
又I为全集，集合M，N I，则 IM IN，( IN)∩M＝ ，C错误，D正确．
10．已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，且A∪B＝A，则实数a的取值可以是(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案　ABC
解析　A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，集合B表示关于x的方程ax＝1的解集，
因为A∪B＝A，所以B A，
当a＝0时方程ax＝1无解，此时B＝ ，符合题意；
当B＝{1}时，a＝1；当B＝{－1}时，－a＝1，解得a＝－1，
综上可得a＝0或±1.
三、填空题
11．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为________．
答案　4
解析　根据题意，A∩B的元素是x＋y＝8上满足x，y∈N*且y≥x的点，即点(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)．
12．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{m,4,5}，且A∪B中的所有元素的和为12，则m＝________.
答案　－3
解析　当m＝1或m＝2或m＝3时，A∪B＝{1,2,3,4,5}，
所有元素的和为15，不符合题意；
当m≠1且m≠2且m≠3时，A∪B＝{1,2,3，m,4,5}，
由题意得1＋2＋3＋m＋4＋5＝12，所以m＝－3.
13．高三某班共有55人，其中有14人参加了球类比赛，16人参加了田径比赛，4人既参加了球类比赛，又参加了田径比赛，则该班这两项比赛都没有参加的人数是________．
答案　29
解析　由题意画出Venn图，如图所示，
由Venn图知，参加比赛的人数为26，
所以该班这两项比赛都没有参加的人数是29.
14．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg(9－x2)}，则B－A＝________，A*B＝________.
答案　{x|－3解析　由题意得A＝{x|x≥0}，B＝{x|－315．(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2 000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝ ，M中的每一个元素小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．下列选项中可能成立的是(　　)
A．M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，(M，N)是一个戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M没有最大元素，N也没有最小元素
答案　BD
解析　对于A，因为M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，M∪N＝{x|x≠0}≠Q，故A错误；对于B，设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；对于C，若M有一个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时满足M∪N＝Q，M∩N＝ ，故C错误；对于D，设M＝{x∈Q|x<}，N＝{x∈Q|x≥}，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确．
16．设集合M＝{1,2,3，…，12}，现对M的任一非空子集A，令xA为A中最大数与最小数之和，则所有这样的xA的算术平均值为________．
答案　13
解析　集合M的非空子集共有(212－1)个，
其中，最小值为1的子集可视为{2,3，…，12}的子集与集合{1}的并集，共有211个，
同上可知，最小值为2的子集共有210个，最小值为3的子集共有29个，…，最小值为12的子集共有20个．
最大值为12的子集可视为{1,2,3，…，11}的子集与集合{12}的并集，共有211个，
同上可知，最大值为11的子集共有210个，最大值为10的子集共有29个，…，最大值为1的子集共有20个．
所以M的所有非空子集中的最小值之和为211＋2×210＋3×29＋…＋12×20，
最大值之和为12×211＋11×210＋10×29＋…＋20，
所以xA的算术平均值为
＝＝＝13.一、单项选择题
1．(2022·全国乙卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足 UM＝{1,3}，则(　　)
A．2∈M B．3∈M C．4 M D．5 M
2．(2023·新高考全国Ⅰ)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N等于(　　)
A．{－2，－1,0,1} B．{0,1,2}
C．{－2} D．{2}
3．(2024·南京模拟)集合A＝{x∈N|1A．2 B．4 C．8 D．16
4．已知全集U，若集合A和集合B都是U的非空子集，且满足A∪B＝B，则下列集合中表示空集的是(　　)
A．( UA)∩B B．A∩B
C．( UA)∩( UB) D．A∩( UB)
5．(2024·绵阳模拟)已知A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，若B A，则m等于(　　)
A．0或4 B．1或4
C．0 D．4
6．已知M，N均为R的子集，若存在x使得x∈M，且x RN，则(　　)
A．M∩N≠ B．M N
C．N M D．M＝N
7.已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－x>0}，则图中的阴影部分表示的集合为(　　)
A．(－∞，1]∪(2，＋∞) B．(－∞，0)∪(1,2)
C．[1,2) D．(1,2]
8．设集合I＝{1,3,5,7}，若非空集合A同时满足：①A I；②|A|≤min(A)(其中|A|表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
二、多项选择题
9．已知I为全集，集合M，N I，若M N，则(　　)
A．M∪N＝N B．M∩N＝N
C． IM IN D．( IN)∩M＝
10．已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，且A∪B＝A，则实数a的取值可以是(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
三、填空题
11．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为________．
12．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{m,4,5}，且A∪B中的所有元素的和为12，则m＝________.
13．高三某班共有55人，其中有14人参加了球类比赛，16人参加了田径比赛，4人既参加了球类比赛，又参加了田径比赛，则该班这两项比赛都没有参加的人数是________．
14．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg(9－x2)}，则B－A＝________，A*B＝________.
15．(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2 000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝ ，M中的每一个元素小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．下列选项中可能成立的是(　　)
A．M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，(M，N)是一个戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M没有最大元素，N也没有最小元素
16．设集合M＝{1,2,3，…，12}，现对M的任一非空子集A，令xA为A中最大数与最小数之和，则所有这样的xA的算术平均值为________．
1．A　2.C　3.B　4.D　5.A　6.A
7．A　[B＝{x|x2－x>0}＝{x|x<0或x>1}，由题意可知阴影部分对应的集合为 U(A∩B)∩(A∪B)，所以A∩B＝{x|12}，所以 U(A∩B)∩(A∪B)＝(－∞，1]∪(2，＋∞)．]
8．B　[当|A|＝1时，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}；
当|A|＝2时，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3,5}，{3,7}，{5,7}；
当|A|＝3时，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3,5,7}，
综上所述，I的所有“好子集”的个数为8.]
9．AD　[因为M N，则M∪N＝N，M∩N＝M，则A正确，B错误；
又I为全集，集合M，N I，则 IM IN，( IN)∩M＝ ，C错误，D正确．]
10．ABC　[A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，
集合B表示关于x的方程ax＝1的解集，
因为A∪B＝A，所以B A，
当a＝0时方程ax＝1无解，此时B＝ ，符合题意；
当B＝{1}时，a＝1；当B＝{－1}时，－a＝1，解得a＝－1，
综上可得a＝0或±1.]
11．4　12.－3　
13．29
解析　由题意画出Venn图，如图所示，
由Venn图知，参加比赛的人数为26，
所以该班这两项比赛都没有参加的人数是29.
14．{x|－3{x|－3解析　由题意得A＝{x|x≥0}，B＝{x|－315．BD　[对于A，因为M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，M∪N＝{x|x≠0}≠Q，故A错误；对于B，设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；对于C，若M有一个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时满足M∪N＝Q，M∩N＝ ，故C错误；对于D，设M＝{x∈Q|x<}，N＝{x∈Q|x≥}，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确．]
16．13
解析　集合M的非空子集共有(212－1)个，其中，最小值为1的子集可视为{2,3，…，12}的子集与集合{1}的并集，共有211个，
同上可知，最小值为2的子集共有210个，最小值为3的子集共有29个，…，最小值为12的子集共有20个．
最大值为12的子集可视为{1,2,3，…，11}的子集与集合{12}的并集，共有211个，
同上可知，最大值为11的子集共有210个，最大值为10的子集共有29个，…，最大值为1的子集共有20个．
所以M的所有非空子集中的最小值之和为211＋2×210＋3×29＋…＋12×20，
最大值之和为12×211＋11×210＋10×29＋…＋20，
所以xA的算术平均值为
＝
＝＝13.§1.1　集　合
课标要求　1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．
知识梳理
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：______________、____________、____________.
(2)元素与集合的关系是________或________，用符号____________或____________表示．
(3)集合的表示法：__________、____________、____________.
(4)常见数集的记法
集合 非负整数 集(或自 然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集
符号 N*(或N＋)
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中________________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作______(或B A)．
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且________，就称集合A是集合B的真子集，记作________(或B?A)．
(3)相等：若A B，且________，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .空集是__________的子集，是____________的真子集．
3．集合的基本运算
表示 运算 集合语言 图形语言 记法
并集
交集
补集
常用结论
1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．
2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．A∩B＝A A B，A∪B＝A B A.
4． U(A∩B)＝( UA)∪( UB)，
U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．(　　)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　)
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(　　)
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B) (A∪B)．(　　)
2．(必修第一册P14T4改编)设集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2A．{x|2B．{x|7C．{x|2D．{x|23．(必修第一册P35T9改编)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝________.
4．(必修第一册P9T5改编)已知集合A＝{x|0题型一　集合的含义与表示
例1　(1)(2023·长春模拟)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|x＋y＝0}，则A∩B的子集个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m的值为(　　)
A．2 B．3 C．0 D．－2
跟踪训练1　(1)(2023·苏州模拟)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
(2)若含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成{a2，a＋b,0}，则a2 024＋b2 024＝________.
题型二　集合间的基本关系
例2　(1)(2023·海口质检)已知集合A＝{x|x>5}，B＝{x|1－log2x<0}，则(　　)
A．A B B．B A
C．A∩B＝ D．A∪B＝R
(2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B A，则实数a的取值范围是(　　)
A.
B.
C．(－∞，－1)∪[0，＋∞)
D.∪(0,1)
思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
跟踪训练2　(1)已知集合M＝{x|y＝，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是(　　)
A．M?N B．N?M
C．M RN D．N RM
(2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1题型三　集合的基本运算
命题点1　集合的运算
例3　(1)(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于(　　)
A．{x|0≤x<2} B.
C．{x|3≤x<16} D.
(2)(多选)已知M，N均为实数集R的子集，且N∩( RM)＝ ，则下列结论中正确的是(　　)
A．M∩( RN)＝
B．M∪( RN)＝R
C．( RM)∪( RN)＝ RM
D．( RM)∩( RN)＝ RM
命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围)
例4　(1)(多选)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能为(　　)
A．－ B. C．0 D．－
(2)(2024·本溪模拟)设集合A＝{x|xa}，若A∩( RB)＝A，则实数a的取值范围为(　　)
A．[0,1] B．[0,1)
C．(0,1) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
跟踪训练3　(1)(多选)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|1A．( RA)∪B＝{x|0≤x<3}
B．( RA)∩B＝{x|1C．A∩B＝{x|2D．A∩B是{x|2(2)已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|xA．(－∞，1] B．(－∞，2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
题型四　集合的新定义问题
例5　(多选)群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“·”是G上的一个代数运算，即对所有的a，b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：① a，b，c∈G，有(a·b)·c＝a·(b·c)；② e∈G，使得 a∈G，有e·a＝a·e＝a；③ a∈G， b∈G，使a·b＝b·a＝e，则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有(　　)
A．G＝{－1,0,1}关于数的乘法构成群
B．G＝∪{x|x＝m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群
C．实数集关于数的加法构成群
D．G＝{m＋n|m，n∈Z}关于数的加法构成群
跟踪训练4　(多选)设A为非空实数集，若对任意x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集．下列叙述中，正确的为(　　)
A．集合A＝{－2，－1,0,1,2}为封闭集
B．集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集
C．封闭集一定是无限集
D．若A为封闭集，则一定有0∈A

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