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第一章
§1.2　常用逻辑用语
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.
2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.
课标要求
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
落实主干知识
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的　　　条件，q是p的　　　条件
p是q的　　　　　　条件 p q且q p
p是q的　　　　　　条件 p q且q p
p是q的　　　条件 p q
p是q的　　　　　　　　　条件 p q且q p
充分
必要
充分不必要
必要不充分
充要
既不充分也不必要
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“　　”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“　　”表示.


3.全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 _____________ _____________
否定 x∈M，綈p(x) _______________
x∈M，p(x)
x∈M，p(x)
x∈M，綈p(x)
1.充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}.
(1)若p是q的充分条件，则A B；
(2)若p是q的充分不必要条件，则A?B；
(3)若p是q的必要不充分条件，则B?A；
(4)若p是q的充要条件，则A＝B.
2.含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”.
3.命题p与p的否定的真假性相反.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.(　　)
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.(　　)
(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件.(　　)
(4)命题“ x∈R， ”是真命题.(　　)
×
√
√
√
2.(必修第一册P30例4(1)改编)(多选)已知命题p： x∈R，x＋2≤0，则下列说法正确的是
A.p是真命题 B.綈p： x∈R，x＋2>0
C.綈p是真命题 D.綈p： x∈R，x＋2>0
当x＝0时，x＋2≤0不成立，故p是假命题，故A错误；
由含量词命题的否定可知，p： x∈R，x＋2≤0的否定为綈p： x∈R，x＋2>0，故D正确，B错误；
綈p是真命题，故C正确.
√
√
3.(必修第一册P22T2(5)改编)设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
4.已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为__________.
(－∞，3)
由题意知，x∈A x∈B，x∈B x∈A，即A?B，所以a<3.
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第二部分
探究核心题型
例1　(1)(2023·葫芦岛模拟)已知向量n为平面α的一个法向量，向量m为直线l的一个方向向量，则m∥n是l⊥α的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
题型一　充分、必要条件的判定
√
当m∥n时，l⊥α，
当l⊥α时，m∥n，
综上所述，m∥n是l⊥α的充要条件.
(2)在等比数列{an}中，“a1>0，且公比q>1”是“{an}为递增数列”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
当a1>0，且q>1时，有an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)>0，所以an＋1>an(n∈N*)，即{an}为递增数列；当{an}为递增数列时，即对一切n∈N*，有an＋1>an恒成立，所以an＋1－an＝a1qn－1(q－1)>0，但a1<0且00，且q>1.则“a1>0，且公比q>1”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件.
充分、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据p q，q p是否成立进行判断.
(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止.
跟踪训练1　(1)(2024·贵阳模拟)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)，则“φ＝ ”是“f(x)是奇函数”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
f(x)是奇函数等价于cos(－2x＋φ)＝－cos(2x＋φ)，
即cos(－2x＋φ)＝cos(π－2x－φ)，
故－2x＋φ＝π－2x－φ＋2kπ，k∈Z，
(2)当命题“若p，则q”为真命题，则“由p可以推出q”，即一旦p成立，q就成立，p是q成立的充分条件.也可以这样说，若q不成立，那么p一定不成立，q对p成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立，
所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件.
例2　在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件；②“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要条件这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题.
问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}.
(1)当a＝2时，求A∩B；
题型二　充分、必要条件的应用
由(x＋1)(x－3)<0，
解得－1所以B＝{x|－1当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}，
所以A∩B＝{x|2≤x<3}.
(2)若________，求实数a的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
选①“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A B，
选②“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要条件，则A B，
充分不必要条件的等价形式
p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件.
微拓展
典例　已知命题p：|x|≤1，q：x＜a，若綈q是綈p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为____________.
(1，＋∞)
由|x|≤1，即－1≤x≤1，由题意知p是q的充分不必要条件，所以a＞1.
求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
跟踪训练2　从①“充分不必要条件”，②“必要不充分条件”这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并解答下列问题：已知集
合A＝ ，B＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}.
(1)若m＝3，求A∪B；
依题意，得2－2≤2x≤25，
解得－2≤x≤5，即A＝{x|－2≤x≤5}，
当m＝3时，解不等式x2－4x－5≤0，
得－1≤x≤5，即B＝{x|－1≤x≤5}，
所以A∪B＝{x|－2≤x≤5}.
(2)若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________，求正实数m的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
选①，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0，
解不等式x2－4x＋4－m2≤0，
得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}，
因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，
则有A?B，
所以正实数m的取值范围是m≥4.
选②，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0，
解不等式x2－4x＋4－m2≤0，
得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}，
因为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，
则有B?A，
于是得－2<2－m<2＋m≤5或－2≤2－m<2＋m<5，
解得0所以正实数m的取值范围是0命题点1　含量词的命题的否定
例3　(1)(多选)下列说法正确的是
A.“正方形是菱形”是全称量词命题
B. x∈R，exC.命题“ x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“ x∈R，x2－2x＋3≠0”
D.命题“ x>1，都有2x＋1>5”的否定为“ x≤1，使得2x＋1≤5”
√
题型三　全称量词与存在量词
√
√
对于A，“正方形是菱形”等价于“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题，故A正确；
对于B，当x＝1时，e对于C，命题“ x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“ x∈R，x2－2x＋3≠0”，故C正确；
对于D，命题“ x>1，都有2x＋1>5”的否定为“ x>1，使得2x＋1≤5”，故D不正确.
(2)写出“所有实数都不是无理数”的否定形式：______________________.
至少有一个实数是无理数
命题点2　含量词的命题的真假判断
例4　(多选)下列命题中的真命题是
A. x∈R,2x－1>0
B. x∈N*，(x－1)2>0
C. x∈R，lg x<1
D. x∈R，tan x＝2
√
√
√
指数函数的值域为(0，＋∞)，
所以 x∈R,2x－1>0，故A正确；
当x＝1时，(x－1)2＝0，所以 x∈N*，(x－1)2>0是假命题，故B错误；
当x＝1时，lg x＝0<1，所以 x∈R，lg x<1，故C正确；
函数y＝tan x的值域为R，所以 x∈R，tan x＝2，故D正确.
命题点3　含量词的命题的应用
例5　(1)若命题“ x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是
A.(－∞，0] B.(－∞，1]
C.(－∞，2] D.(－∞，5]
√
由“ x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题可知，
不等式m≤x2＋1，对 x∈[－1,2]恒成立，
因此只需m≤(x2＋1)min，x∈[－1,2]，
易知函数y＝x2＋1在x∈[－1,2]上的最小值为1，所以m≤1.
即实数m的取值范围是(－∞，1].
(2)(多选)命题p： x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题，则实数m的取值可以是
A.－1 B.0 C.1 D.2
√
√
√
若命题p： x∈R，x2＋2x＋2－m<0为真命题，
则Δ＝22－4(2－m)＝4m－4>0，解得m>1，
所以当命题p： x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题时，m≤1，
符合条件的为A，B，C选项.
含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.
(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围.
跟踪训练3　(1)下列命题为真命题的是
A.任意两个等腰三角形都相似
B.所有的梯形都是等腰梯形
C. x∈R，x＋|x|≥0
D. x∈R，x2－x＋1＝0
√
对于A，任意两个等腰三角形不一定相似，故A错误；
对于B，所有的梯形都是等腰梯形是假命题，故B错误；
对于C，因为 x∈R，|x|≥－x，即x＋|x|≥0，故C正确；
(2)(多选)已知命题p： x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，命题q： x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≤0，则下列说法正确的是
A.命题p的否定是“ x∈[0,1]，不等式2x－2B.命题q的否定是“ x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≥0”
C.当命题p为真命题时，1≤m≤2
D.当命题q为假命题时，a<4
√
√
√
命题p的否定是“ x∈[0,1]，不等式2x－2命题q的否定是“ x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4>0”，故B错误；
若命题p为真命题，则当x∈[0,1]时，(2x－2)min≥m2－3m，即m2－3m＋2≤0，解得1≤m≤2，故C正确；
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课时精练
一、单项选择题
1.命题“ x>0，sin x－x≤0”的否定为
A. x≤0，sin x－x>0 B. x>0，sin x－x≤0
C. x>0，sin x－x>0 D. x≤0，sin x－x>0
√
由题意知命题“ x>0，sin x－x≤0”为存在量词命题，
其否定为全称量词命题，即 x>0，sin x－x>0.
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2.下列命题中，p是q的充分条件的是
A.p：ab≠0，q：a≠0 B.p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0
C.p：x2>1，q：x>1
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对于C，x2>1 x>1或x<－1 x>1，故p不是q的充分条件；
3.设λ∈R，则“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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若直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行，
则3(1－λ)－λ(λ－1)＝0，解得λ＝1或λ＝－3，
经检验，当λ＝1或λ＝－3时，两直线平行.
即“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的充分不必要条件.
4.已知p： >1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是
A.[0，＋∞) B.[1，＋∞)
C.(－∞，0] D.(－∞，1]
√
记A＝{x|0m}，
若p是q的充分条件，
则A是B的子集，所以m≤0，
所以实数m的取值范围是(－∞，0].
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5.下列说法正确的是
A.“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题
B.“xy>0”是“x＋y>0”的充要条件
C.命题“ x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“ x∈R，x2＋1<0”
D.若“1　取值范围是[1,3]
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当x＝－2，y＝－1时，xy>0，但x＋y＝－3<0，不是充要条件，B错误；
命题“ x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“ x∈R，x2＋1≤0”，C错误；
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6.设p：关于x的不等式x2＋ax＋1>0对一切x∈R恒成立，q：对数函数y＝log(4－3a)x在(0，＋∞)上单调递减，那么p是q的
A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
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若关于x的不等式x2＋ax＋1>0对一切x∈R恒成立，则Δ＝a2－4<0，即－21
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7.已知命题p： x∈R，ax2＋2ax－4≥0为假命题，则实数a的取值范围是
A.－4C.－4命题p： x∈R，ax2＋2ax－4≥0为假命题，即命题綈p： x∈R，ax2＋2ax－4<0为真命题，
当a＝0时，－4<0恒成立，符合题意；
当a≠0时，则a<0且Δ＝(2a)2＋16a<0，即－4综上可知，－41
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8.(2023·新高考全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙： 为等差数列，则
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
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方法一　甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，
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则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，
有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，
两式相减得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，
即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立，
因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
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方法二　甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，
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即Sn＝nS1＋n(n－1)D，
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，
上边两式相减得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，
所以an＝a1＋2(n－1)D，
当n＝1时，上式成立，
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又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数，
因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
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二、多项选择题
9.下列命题是真命题的是
A. a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数
B. x∈R，函数y＝sin x＋cos x＋ 的值恒为正数
C. x∈R，2x＜x2
D. x∈(0，＋∞)， ＞
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当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故A为真命题；
当x∈(2,4)时，2x＜x2，故C为真命题；
当x＝ 时， ∈(0,1)， ＝1，∴ ，故D为假命题.
10.下列命题中正确的是
A.“A∪B＝A”是“B A”的充分不必要条件
B.“方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根”的充要条件是“m<0”
C.“幂函数y＝ 为反比例函数”的充要条件是“m＝0”
D.“函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是
　“1≤m≤3”
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对于A，由A∪B＝A可得B A，故充分性成立，
由B A可得A∪B＝A，故必要性成立，所以“A∪B＝A”是“B A”的充要条件，故A错误；
对于B，方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根，设为x1，x2，
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当m<0时，Δ＝(m－3)2－4m>0，x1x2＝m<0，则方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根，满足充分性，
所以“方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根”的充要条件是“m<0”，故B正确；
对于C，若幂函数y＝ 　 为反比例函数，
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当m＝0时，函数y＝x－1为幂函数，也为反比例函数，满足充分性，
所以“幂函数y＝ 为反比例函数”的充要条件是“m＝0”，故C正确；
对于D，若函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调，则1所以“函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是“1≤m≤3”，故D正确.
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三、填空题
11.在△ABC中，“∠A＝∠B”是“sin A＝sin B”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
充要
在△ABC中，∠A＝∠B a＝b sin A＝sin B，
故“∠A＝∠B”是“sin A＝sin B”的充要条件.
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12.为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明：
______________________.
存在一个素数不是奇数
因为命题“所有的素数都是奇数”是假命题，则命题“存在一个素数不是奇数”为真命题，所以为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明存在一个素数不是奇数.
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13.设p：4x－3<1，q：x－2a－1<0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是___________.
由4x－3<1，解得x<1，即p：x<1，记A＝{x|x<1}；
由x－(2a＋1)<0，解得x<2a＋1，
即q: x<2a＋1，记B＝{x|x<2a＋1}，
因为p是q的充分不必要条件，所以A?B，即2a＋1>1，
解得a>0，
所以a的取值范围是(0，＋∞).
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(0，＋∞)
14.《墨子·经说上》上说：“小故，有之不必然，无之必不然，体也，若有端，大故，有之必然，若见之成见也.”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指的是逻辑中的__________________.
(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)
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必要不充分条件
由“小故，有之不必然，无之必不然”，
知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件，
故“小故”是逻辑中的必要不充分条件.
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15.已知等比数列{an}的首项为1，则“a2 021A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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√
设等比数列的公比为q，
若a2 021则a2 021－a2 024<0，即a2 021(1－q3)<0.
因为a1＝1>0，所以a2 021＝a1q2 020>0，所以q3>1，所以q>1；
若a2 023因为a1＝1>0，所以a2 023＝a1q2 022>0，
所以q2－1>0，解得q>1或q<－1.
所以“a2 0211
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16.已知函数f(x)＝x＋ ，g(x)＝2x＋a，若 x1∈ ， x2∈[2,3]，使得
f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是___________.
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依题意知f(x)max≤g(x)max.
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又g(x)＝2x＋a在[2,3]上单调递增，
返回§1.2　常用逻辑用语
课标要求　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．
知识梳理
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M，綈p(x) x∈M，綈p(x)
常用结论
1．充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若p是q的充分条件，则A B；
(2)若p是q的充分不必要条件，则A?B；
(3)若p是q的必要不充分条件，则B?A；
(4)若p是q的充要条件，则A＝B.
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．
3．命题p与p的否定的真假性相反．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．(　√　)
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(　√　)
(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(　√　)
(4)命题“ x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题．(　×　)
2．(必修第一册P30例4(1)改编)(多选)已知命题p： x∈R，x＋2≤0，则下列说法正确的是(　　)
A．p是真命题
B．綈p： x∈R，x＋2>0
C．綈p是真命题
D．綈p： x∈R，x＋2>0
答案　CD
解析　当x＝0时，x＋2≤0不成立，故p是假命题，故A错误；由含量词命题的否定可知，p： x∈R，x＋2≤0的否定为綈p： x∈R，x＋2>0，故D正确，B错误；綈p是真命题，故C正确．
3．(必修第一册P22T2(5)改编)设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
4．已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为________．
答案　(－∞，3)
解析　由题意知，x∈A x∈B，x∈B x∈A，即A?B，所以a<3.
题型一　充分、必要条件的判定
例1　(1)(2023·葫芦岛模拟)已知向量n为平面α的一个法向量，向量m为直线l的一个方向向量，则m∥n是l⊥α的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　当m∥n时，l⊥α，
当l⊥α时，m∥n，
综上所述，m∥n是l⊥α的充要条件．
(2)在等比数列{an}中，“a1>0，且公比q>1”是“{an}为递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　当a1>0，且q>1时，有an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)>0，所以an＋1>an(n∈N*)，即{an}为递增数列；当{an}为递增数列时，即对一切n∈N*，有an＋1>an恒成立，所以an＋1－an＝a1qn－1(q－1)>0，但a1<0且00，且q>1.则“a1>0，且公比q>1”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．
思维升华　充分、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据p q，q p是否成立进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．
(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止．
跟踪训练1　(1)(2024·贵阳模拟)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)，则“φ＝”是“f(x)是奇函数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　f(x)是奇函数等价于cos(－2x＋φ)＝－cos(2x＋φ)，
即cos(－2x＋φ)＝cos(π－2x－φ)，
故－2x＋φ＝π－2x－φ＋2kπ，k∈Z，
所以φ＝＋kπ，k∈Z.
则“φ＝”是“f(x)是奇函数”的充分不必要条件．
(2)当命题“若p，则q”为真命题，则“由p可以推出q”，即一旦p成立，q就成立，p是q成立的充分条件．也可以这样说，若q不成立，那么p一定不成立，q对p成立也是很必要的．王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立，
所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件．
题型二　充分、必要条件的应用
例2　在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件；②“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要条件这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题．
问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．
(1)当a＝2时，求A∩B；
(2)若________，求实数a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解　(1)由(x＋1)(x－3)<0，
解得－1所以B＝{x|－1当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}，
所以A∩B＝{x|2≤x<3}．
(2)选①“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A B，所以解得－1选②“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要条件，则A B，所以解得－1充分不必要条件的等价形式
p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件．
典例　已知命题p：|x|≤1，q：x＜a，若綈q是綈p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________________________________________________________________________．
答案　(1，＋∞)
解析　由|x|≤1，即－1≤x≤1，由题意知p是q的充分不必要条件，所以a＞1.
思维升华　求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
跟踪训练2　从①“充分不必要条件”，②“必要不充分条件”这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并解答下列问题：已知集合A＝，B＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}．
(1)若m＝3，求A∪B；
(2)若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________，求正实数m的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解　(1)依题意，得2－2≤2x≤25，
解得－2≤x≤5，即A＝{x|－2≤x≤5}，
当m＝3时，解不等式x2－4x－5≤0，
得－1≤x≤5，即B＝{x|－1≤x≤5}，
所以A∪B＝{x|－2≤x≤5}．
(2)选①，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0，
解不等式x2－4x＋4－m2≤0，
得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}，
因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，
则有A?B，
于是得或解得m>4或m≥4，即有m≥4，
所以正实数m的取值范围是m≥4.
选②，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0，
解不等式x2－4x＋4－m2≤0，
得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}，
因为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，
则有B?A，
于是得－2<2－m<2＋m≤5或－2≤2－m<2＋m<5，
解得0所以正实数m的取值范围是0题型三　全称量词与存在量词
命题点1　含量词的命题的否定
例3　(1)(多选)下列说法正确的是(　　)
A．“正方形是菱形”是全称量词命题
B． x∈R，exC．命题“ x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“ x∈R，x2－2x＋3≠0”
D．命题“ x>1，都有2x＋1>5”的否定为“ x≤1，使得2x＋1≤5”
答案　ABC
解析　对于A，“正方形是菱形”等价于“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题，故A正确；
对于B，当x＝1时，e对于C，命题“ x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“ x∈R，x2－2x＋3≠0”，故C正确；
对于D，命题“ x>1，都有2x＋1>5”的否定为“ x>1，使得2x＋1≤5”，故D不正确．
(2)写出“所有实数都不是无理数”的否定形式：________________________.
答案　至少有一个实数是无理数
命题点2　含量词的命题的真假判断
例4　(多选)下列命题中的真命题是(　　)
A． x∈R,2x－1>0
B． x∈N*，(x－1)2>0
C． x∈R，lg x<1
D． x∈R，tan x＝2
答案　ACD
解析　指数函数的值域为(0，＋∞)，
所以 x∈R,2x－1>0，故A正确；
当x＝1时，(x－1)2＝0，所以 x∈N*，(x－1)2>0是假命题，故B错误；
当x＝1时，lg x＝0<1，所以 x∈R，lg x<1，故C正确；
函数y＝tan x的值域为R，所以 x∈R，tan x＝2，故D正确．
命题点3　含量词的命题的应用
例5　(1)若命题“ x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．(－∞，2] D．(－∞，5]
答案　B
解析　由“ x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题可知，
不等式m≤x2＋1，对 x∈[－1,2]恒成立，
因此只需m≤(x2＋1)min，x∈[－1,2]，
易知函数y＝x2＋1在x∈[－1,2]上的最小值为1，所以m≤1.
即实数m的取值范围是(－∞，1]．
(2)(多选)命题p： x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题，则实数m的取值可以是(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案　ABC
解析　若命题p： x∈R，x2＋2x＋2－m<0为真命题，
则Δ＝22－4(2－m)＝4m－4>0，解得m>1，
所以当命题p： x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题时，m≤1，
符合条件的为A，B，C选项．
思维升华　含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．
(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围．
跟踪训练3　(1)下列命题为真命题的是(　　)
A．任意两个等腰三角形都相似
B．所有的梯形都是等腰梯形
C． x∈R，x＋|x|≥0
D． x∈R，x2－x＋1＝0
答案　C
解析　对于A，任意两个等腰三角形不一定相似，故A错误；对于B，所有的梯形都是等腰梯形是假命题，故B错误；对于C，因为 x∈R，|x|≥－x，即x＋|x|≥0，故C正确；对于D，因为 x∈R，x2－x＋1＝2＋≥>0，故D错误．
(2)(多选)已知命题p： x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，命题q： x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≤0，则下列说法正确的是(　　)
A．命题p的否定是“ x∈[0,1]，不等式2x－2B．命题q的否定是“ x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≥0”
C．当命题p为真命题时，1≤m≤2
D．当命题q为假命题时，a<4
答案　ACD
解析　命题p的否定是“ x∈[0,1]，不等式2x－20”，故B错误；若命题p为真命题，则当x∈[0,1]时，(2x－2)min≥m2－3m，即m2－3m＋2≤0，解得1≤m≤2，故C正确；若命题q为假命题，则 x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4>0为真命题，即a课时精练
一、单项选择题
1．命题“ x>0，sin x－x≤0”的否定为(　　)
A． x≤0，sin x－x>0
B． x>0，sin x－x≤0
C． x>0，sin x－x>0
D． x≤0，sin x－x>0
答案　C
解析　由题意知命题“ x>0，sin x－x≤0”为存在量词命题，
其否定为全称量词命题，即 x>0，sin x－x>0.
2．下列命题中，p是q的充分条件的是(　　)
A．p：ab≠0，q：a≠0
B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0
C．p：x2>1，q：x>1
D．p：a>b，q：>
答案　A
解析　对于A，ab≠0 a≠0，故p是q的充分条件；对于B，a2＋b2≥0 a≥0且b≥0，故p不是q的充分条件；对于C，x2>1 x>1或x<－1 x>1，故p不是q的充分条件；对于D，当a>b时，若b，故p不是q的充分条件．
3．设λ∈R，则“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行，
则3(1－λ)－λ(λ－1)＝0，解得λ＝1或λ＝－3，
经检验，当λ＝1或λ＝－3时，两直线平行．
即“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的充分不必要条件．
4．已知p：>1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是(　　)
A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，1]
答案　C
解析　由>1可得x(x－1)<0，解得0记A＝{x|0m}，
若p是q的充分条件，
则A是B的子集，所以m≤0，
所以实数m的取值范围是(－∞，0]．
5．下列说法正确的是(　　)
A．“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题
B．“xy>0”是“x＋y>0”的充要条件
C．命题“ x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“ x∈R，x2＋1<0”
D．若“1答案　D
解析　是无理数，x2＝2是有理数，A错误；
当x＝－2，y＝－1时，xy>0，但x＋y＝－3<0，不是充要条件，B错误；
命题“ x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“ x∈R，x2＋1≤0”，C错误；
“16．设p：关于x的不等式x2＋ax＋1>0对一切x∈R恒成立，q：对数函数y＝log(4－3a)x在(0，＋∞)上单调递减，那么p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　若关于x的不等式x2＋ax＋1>0对一切x∈R恒成立，则Δ＝a2－4<0，即－27．已知命题p： x∈R，ax2＋2ax－4≥0为假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．－4C．－4答案　C
解析　命题p： x∈R，ax2＋2ax－4≥0为假命题，即命题綈p： x∈R，ax2＋2ax－4<0为真命题，
当a＝0时，－4<0恒成立，符合题意；
当a≠0时，则a<0且Δ＝(2a)2＋16a<0，即－4综上可知，－48．(2023·新高考全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则(　　)
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案　C
解析　方法一　甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，
则Sn＝na1＋d，＝a1＋d＝n＋a1－，－＝，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，
即－＝＝为常数，设为t，
即＝t，
则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，
有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，
两式相减得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，
即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立，
因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件．
方法二　甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，
即Sn＝na1＋d，
则＝a1＋d＝n＋a1－，
因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，
设数列的公差为D，
则－＝D，＝S1＋(n－1)D，
即Sn＝nS1＋n(n－1)D，
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，
上边两式相减得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，
所以an＝a1＋2(n－1)D，
当n＝1时，上式成立，
又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数，
因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件．
二、多项选择题
9．下列命题是真命题的是(　　)
A． a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数
B． x∈R，函数y＝sin x＋cos x＋的值恒为正数
C． x∈R,2x＜x2
D． x∈(0，＋∞)，x＞
答案　AC
解析　当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故A为真命题；y＝sin x＋cos x＋＝sin＋，当sin＝－1时，y＝0，故B为假命题；当x∈(2,4)时，2x＜x2，故C为真命题；当x＝时，∈(0,1)，＝1，∴，故D为假命题．
10．下列命题中正确的是(　　)
A．“A∪B＝A”是“B A”的充分不必要条件
B．“方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根”的充要条件是“m<0”
C．“幂函数y＝为反比例函数”的充要条件是“m＝0”
D．“函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是“1≤m≤3”
答案　BCD
解析　对于A，由A∪B＝A可得B A，故充分性成立，
由B A可得A∪B＝A，故必要性成立，所以“A∪B＝A”是“B A”的充要条件，故A错误；
对于B，方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根，设为x1，x2，
则解得m<0，满足必要性，
当m<0时，Δ＝(m－3)2－4m>0，x1x2＝m<0，则方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根，满足充分性，
所以“方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根”的充要条件是“m<0”，故B正确；
对于C，若幂函数y＝为反比例函数，则解得m＝0，满足必要性，
当m＝0时，函数y＝x－1为幂函数，也为反比例函数，满足充分性，
所以“幂函数y＝为反比例函数”的充要条件是“m＝0”，故C正确；
对于D，若函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调，则1所以“函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是“1≤m≤3”，故D正确．
三、填空题
11．在△ABC中，“∠A＝∠B”是“sin A＝sin B”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
答案　充要
解析　在△ABC中，∠A＝∠B a＝b sin A＝sin B，
故“∠A＝∠B”是“sin A＝sin B”的充要条件．
12．为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明：________________.
答案　存在一个素数不是奇数
解析　因为命题“所有的素数都是奇数”是假命题，则命题“存在一个素数不是奇数”为真命题，所以为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明存在一个素数不是奇数．
13．设p：4x－3<1，q：x－2a－1<0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
答案　(0，＋∞)
解析　由4x－3<1，解得x<1，即p：x<1，记A＝{x|x<1}；
由x－(2a＋1)<0，解得x<2a＋1，
即q: x<2a＋1，记B＝{x|x<2a＋1}，
因为p是q的充分不必要条件，所以A?B，即2a＋1>1，
解得a>0，
所以a的取值范围是(0，＋∞)．
14．《墨子·经说上》上说：“小故，有之不必然，无之必不然，体也，若有端，大故，有之必然，若见之成见也．”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指的是逻辑中的________________．(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)
答案　必要不充分条件
解析　由“小故，有之不必然，无之必不然”，
知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件，
故“小故”是逻辑中的必要不充分条件．
15．已知等比数列{an}的首项为1，则“a2 021A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　设等比数列的公比为q，
若a2 021则a2 021－a2 024<0，即a2 021(1－q3)<0.
因为a1＝1>0，所以a2 021＝a1q2 020>0，
所以q3>1，所以q>1；
若a2 023即a2 023(1－q2)<0.
因为a1＝1>0，所以a2 023＝a1q2 022>0，
所以q2－1>0，解得q>1或q<－1.
所以“a2 02116．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若 x1∈， x2∈[2,3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　依题意知f(x)max≤g(x)max.
∵f(x)＝x＋在上单调递减，
∴f(x)max＝f ＝.
又g(x)＝2x＋a在[2,3]上单调递增，
∴g(x)max＝8＋a，因此≤8＋a，则a≥.一、单项选择题
1．命题“ x>0，sin x－x≤0”的否定为(　　)
A． x≤0，sin x－x>0
B． x>0，sin x－x≤0
C． x>0，sin x－x>0
D． x≤0，sin x－x>0
2．下列命题中，p是q的充分条件的是(　　)
A．p：ab≠0，q：a≠0
B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0
C．p：x2>1，q：x>1
D．p：a>b，q：>
3．设λ∈R，则“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知p：>1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是(　　)
A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，1]
5．下列说法正确的是(　　)
A．“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题
B．“xy>0”是“x＋y>0”的充要条件
C．命题“ x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“ x∈R，x2＋1<0”
D．若“16．设p：关于x的不等式x2＋ax＋1>0对一切x∈R恒成立，q：对数函数y＝log(4－3a)x在(0，＋∞)上单调递减，那么p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知命题p： x∈R，ax2＋2ax－4≥0为假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．－4C．－48．(2023·新高考全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则(　　)
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
二、多项选择题
9．下列命题是真命题的是(　　)
A． a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数
B． x∈R，函数y＝sin x＋cos x＋的值恒为正数
C． x∈R,2x＜x2
D． x∈(0，＋∞)，x＞
10．下列命题中正确的是(　　)
A．“A∪B＝A”是“B A”的充分不必要条件
B．“方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根”的充要条件是“m<0”
C．“幂函数y＝为反比例函数”的充要条件是“m＝0”
D．“函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是“1≤m≤3”
三、填空题
11．在△ABC中，“∠A＝∠B”是“sin A＝sin B”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
12．为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明：________________.
13．设p：4x－3<1，q：x－2a－1<0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
14．《墨子·经说上》上说：“小故，有之不必然，无之必不然，体也，若有端，大故，有之必然，若见之成见也．”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指的是逻辑中的________________．(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)
15．已知等比数列{an}的首项为1，则“a2 021A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
16．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若 x1∈， x2∈[2,3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是________．
1．C　2.A　3.A　4.C　5.D　6.C
7．C　[命题p： x∈R，ax2＋2ax－4≥0为假命题，即命题綈p： x∈R，ax2＋2ax－4<0为真命题，
当a＝0时，－4<0恒成立，符合题意；
当a≠0时，则a<0且Δ＝(2a)2＋16a<0，即－4综上可知，－48．C　[方法一　甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，
则Sn＝na1＋d，＝a1＋d＝n＋a1－，－＝，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，
即－＝＝为常数，
设为t，即＝t，
则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，有
Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，
两式相减得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，
即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立，
因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件．
方法二　甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，
即Sn＝na1＋d，
则＝a1＋d＝n＋a1－，
因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，
设数列的公差为D，
则－＝D，＝S1＋(n－1)D，
即Sn＝nS1＋n(n－1)D，
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，
上边两式相减得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，所以an＝a1＋2(n－1)D，
当n＝1时，上式成立，
又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数，
因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件．]
9．AC　[当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故A为真命题；y＝sin x＋cos x＋＝sin＋，当sin＝－1时，y＝0，故B为假命题；当x∈(2,4)时，2x＜x2，故C为真命题；当x＝时，∈(0,1)，＝1，∴，故D为假命题．]
10．BCD　[对于A，由A∪B＝A可得B A，故充分性成立，
由B A可得A∪B＝A，故必要性成立，所以“A∪B＝A”是“B A”的充要条件，故A错误；
对于B，方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根，设为x1，x2，
则解得m<0，满足必要性，
当m<0时，Δ＝(m－3)2－4m>0，x1x2＝m<0，则方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根，满足充分性，
所以“方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根”的充要条件是“m<0”，故B正确；
对于C，若幂函数y＝为反比例函数，则
解得m＝0，满足必要性，
当m＝0时，函数y＝x－1为幂函数，也为反比例函数，满足充分性，
所以“幂函数y＝为反比例函数”的充要条件是“m＝0”，故C正确；
对于D，若函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调，则1所以“函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是“1≤m≤3”，故D正确．]
11．充要
解析　在△ABC中，∠A＝∠B a＝b sin A＝sin B，故“∠A＝∠B”是“sin A＝sin B”的充要条件．
12．存在一个素数不是奇数
解析　因为命题“所有的素数都是奇数”是假命题，则命题“存在一个素数不是奇数”为真命题，所以为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明存在一个素数不是奇数．
13．(0，＋∞)
14．必要不充分条件
15．A　[设等比数列的公比为q，
若a2 021即a2 021(1－q3)<0.
因为a1＝1>0，
所以a2 021＝a1q2 020>0，
所以q3>1，所以q>1；
若a2 023即a2 023(1－q2)<0.
因为a1＝1>0，
所以a2 023＝a1q2 022>0，
所以q2－1>0，解得q>1或q<－1.
所以“a2 02116.
解析　依题意知f(x)max≤g(x)max.
∵f(x)＝x＋在上单调递减，
∴f(x)max＝f ＝.
又g(x)＝2x＋a在[2,3]上单调递增，
∴g(x)max＝8＋a，
因此≤8＋a，则a≥.§1.2　常用逻辑用语
课标要求　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．
知识梳理
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的____________条件，q是p的____________条件
p是q的____________条件 p q且q p
p是q的____________条件 p q且q p
p是q的____________条件 p q
p是q的________________条件 p q且q p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“__________”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“________”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记
否定 x∈M，綈p(x)
常用结论
1．充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若p是q的充分条件，则A B；
(2)若p是q的充分不必要条件，则A?B；
(3)若p是q的必要不充分条件，则B?A；
(4)若p是q的充要条件，则A＝B.
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．
3．命题p与p的否定的真假性相反．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．(　　)
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(　　)
(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(　　)
(4)命题“ x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题．(　　)
2．(必修第一册P30例4(1)改编)(多选)已知命题p： x∈R，x＋2≤0，则下列说法正确的是(　　)
A．p是真命题
B．綈p： x∈R，x＋2>0
C．綈p是真命题
D．綈p： x∈R，x＋2>0
3．(必修第一册P22T2(5)改编)设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为________________________.
题型一　充分、必要条件的判定
例1　(1)(2023·葫芦岛模拟)已知向量n为平面α的一个法向量，向量m为直线l的一个方向向量，则m∥n是l⊥α的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)在等比数列{an}中，“a1>0，且公比q>1”是“{an}为递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
思维升华 充分、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据p q，q p是否成立进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．
(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止．
跟踪训练1　(1)(2024·贵阳模拟)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)，则“φ＝”是“f(x)是奇函数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)当命题“若p，则q”为真命题，则“由p可以推出q”，即一旦p成立，q就成立，p是q成立的充分条件．也可以这样说，若q不成立，那么p一定不成立，q对p成立也是很必要的．王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题型二　充分、必要条件的应用
例2　在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件；②“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要条件这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题．
问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．
(1)当a＝2时，求A∩B；
(2)若________，求实数a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
充分不必要条件的等价形式
p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件．
典例　已知命题p：|x|≤1，q：x＜a，若綈q是綈p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________________________________________________________________________．
跟踪训练2　从①“充分不必要条件”，②“必要不充分条件”这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并解答下列问题：已知集合A＝，B＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}．
(1)若m＝3，求A∪B；
(2)若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________，求正实数m的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
题型三　全称量词与存在量词
命题点1　含量词的命题的否定
例3　(1)(多选)下列说法正确的是(　　)
A．“正方形是菱形”是全称量词命题
B． x∈R，exC．命题“ x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“ x∈R，x2－2x＋3≠0”
D．命题“ x>1，都有2x＋1>5”的否定为“ x≤1，使得2x＋1≤5”
(2)写出“所有实数都不是无理数”的否定形式：
________________________________________________________________________.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
命题点2　含量词的命题的真假判断
例4　(多选)下列命题中的真命题是(　　)
A． x∈R,2x－1>0
B． x∈N*，(x－1)2>0
C． x∈R，lg x<1
D． x∈R，tan x＝2
命题点3　含量词的命题的应用
例5　(1)若命题“ x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．(－∞，2] D．(－∞，5]
(2)(多选)命题p： x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题，则实数m的取值可以是(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
跟踪训练3　(1)下列命题为真命题的是(　　)
A．任意两个等腰三角形都相似
B．所有的梯形都是等腰梯形
C． x∈R，x＋|x|≥0
D． x∈R，x2－x＋1＝0
(2)(多选)已知命题p： x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，命题q： x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≤0，则下列说法正确的是(　　)
A．命题p的否定是“ x∈[0,1]，不等式2x－2B．命题q的否定是“ x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≥0”
C．当命题p为真命题时，1≤m≤2
D．当命题q为假命题时，a<4

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