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(共82张PPT)
第一章
§1.3　等式性质与不等式性质
1.掌握等式性质.
2.会比较两个数的大小.
3.理解不等式的性质，并能简单应用.
课标要求
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
落实主干知识
1.两个实数比较大小的方法
作差法
(a，b∈R).
a－b>0 a b，
a－b＝0 a b，
a－b<0 a b
>
<
＝
2.等式的性质
性质1　对称性：如果a＝b，那么 ；
性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么 ；
性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么 .
b＝a
a＝c
3.不等式的性质
性质1　对称性：a>b ；
性质2　传递性：a>b，b>c ；
性质3　可加性：a>b a＋c>b＋c；
性质4　可乘性：a>b，c>0 ；a>b，c<0 ；
性质5　同向可加性：a>b，c>d ；
性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ；
性质7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2).
ba>c
ac>bc
aca＋c>b＋d
ac>bd
不等式的两类常用性质
(1)倒数性质
(2)有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
①真分数的性质
②假分数的性质
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a(　　)
(2)若 >1，则b>a.(　　)
(3)同向不等式具有可加性和可乘性.(　　)
(4)若 ，则b×
√
×
×
2.(必修第一册P43T8改编)已知非零实数a，b满足a√
对于A，当a对于B，当a<0对于C，当ab2，故C错误；
对于D，当a3.(必修第一册P43T10改编)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了.请将这一事实表示成一个不等式为
_________.
∵b>a>0，m>0，∴a－b<0，
4.(必修第一册P42T5改编)已知2(－2,1)
因为－2返回
第二部分
探究核心题型
题型一　数(式)的大小比较
例1　(1)(多选)下列不等式中正确的是
A.x2－2x>－3(x∈R)
B.a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R)
C.a2＋b2>2(a－b－1)
√
√
∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，
∴x2－2x>－3，故A正确；
a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b).
∵(a－b)2≥0，a＋b的符号不确定，
∴a3＋b3与a2b＋ab2的大小不确定，故B错误；
∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误；
(2)若正实数a，b，c满足cA.aaC.ab√
∵c是正实数，且c<1，∴0由c∴ab比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.
跟踪训练1　(1)若ln a>ln b，则
√
因为ln a>ln b，所以a>b>0，
因为a－b>0，函数y＝xa－b在(0，＋∞)上单调递增，
所以πa－b>3a－b，故C错误；
其中a－b>0，ab＋1>0，ab>0，
M>N
∴M>N.
显然f(x)是R上的减函数，
∴f(2 023)>f(2 024)，即M>N.
例2　(1)若实数a，b满足a题型二　不等式的基本性质
√
由a由a由a－b>0，所以|a|>|b|，故C错误；
由a|b|>0，
(2)(多选)已知a，b，c为实数，则下列说法正确的是
A.若a>b，则ac2>bc2
B.若a>b，则a＋c>b＋c
√
√
√
当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误；
由不等式的可加性可知，B正确；
若a>b>c>0，则a－b>0，b＋c>0，
若a>b>c>0，则a－b>0，a－c>0，b－c>0，且a－c>a－b，
又b>c>0，
判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证.
(2)利用特殊值法排除错误选项.
(3)作差法.
(4)构造函数，利用函数的单调性.
跟踪训练2　(1)设a，b，c，d为实数，且cA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
由a满足a当a－c所以“a(2)(多选)若a>b>0，则下列不等式中正确的是
A.
B.－a2<－ab
C.ln|a－1|>ln|b－1|
D.2a－b>1
√
√
√
因为a>b>0，－a<0，所以－a2<－ab，故B正确；
因为a－b>0，所以2a－b>20＝1，故D正确.
例3　(1)已知0A.2C.2√
题型三　不等式性质的综合应用
因为－1又0若将条件改为“－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1”，求x－2y的范围.
设x－2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
∴x－2y＝(m＋n)x＋(m－n)y，
∵－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1，
即－4≤x－2y≤2.
(2)为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群.已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该微信群人数的最小值为
A.20 B.22 C.26 D.28
√
设教师人数为x，家长人数为y，女学生人数为z，男学生人数为t，x，y，z，t∈N*，
则y≥x＋1，z≥y＋1≥x＋2，t≥z＋1≥y＋2≥x＋3，则x＋y＋z＋t≥4x＋6，
又教师人数的两倍多于男学生人数，
∴2x>x＋3，解得x>3，
当x＝4时，x＋y＋z＋t≥22，此时微信群人数的最小值为22.
利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点
(1)必须严格运用不等式的性质.
(2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
跟踪训练3　(1)(多选)已知1≤a≤2,3≤b≤5，则
A.a＋b的取值范围为[4,7]
B.b－a的取值范围为[2,3]
C.ab的取值范围为[3,10]
√
√
因为1≤a≤2,3≤b≤5，
所以4≤a＋b≤7，－2≤－a≤－1,1≤b－a≤4，
所以a＋b的取值范围为[4,7]，b－a的取值范围为[1,4]，
故A正确，B错误；
因为1≤a≤2,3≤b≤5，
√
原式分子和分母同时除以x，
返回
课时精练
一、单项选择题
1.已知a，b∈R，则“ ”是“ln a>ln b”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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√
若“ln a>ln b”，则a>b>0，
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A.m≥n B.m>n
C.m≤n D.m1
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√
当且仅当a＝b＝1时，等号成立，
即m≥n.
3.已知a>b，则下列不等式一定成立的是
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√
取a＝1，b＝－2，满足a>b，显然有 ，a2项A，C，D都不正确；
指数函数y＝2x为增函数，若a>b，则必有2a>2b，B正确.
4.已知a1
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√
因为a因为a0，所以ac1
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5.若c>b>a>0，则
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√
2ln b＝ln b2，ln a＋ln c＝ln ac，b2与ac大小不能确定，故B错误；
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令c＝1，则logac＝logbc＝0，故D错误.
6.已知m5＝4，n8＝9，0.9p＝0.8，则正数m，n，p的大小关系为
A.p>m>n B.m>n>p
C.m>p>n D.p>n>m
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由m5＝4，得m＝
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由n8＝9，得n＝ ，
由0.9p＝0.8，得p＝log0.90.8>log0.90.81＝2，
于是得p>m>n，
所以正数m，n，p的大小关系为p>m>n.
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二、多项选择题
7.下列结论中不正确的是
A.若ac2>bc2，则a>b
B.若 ，则a>b
C.若a>b，c>d，则ac>bd
D.若2a－b>1，则a1
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√
√
ac2>bc2，不等式两边除以c2(c≠0)，则a>b，故A正确；
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取a＝1，b＝0，c＝0，d＝－1，满足a>b，c>d，又ac＝bd，故C错误；
取a＝2，b＝1，满足2a－b>1，
又a>b，故D错误.
8.已知实数x，y满足－3A.－1C.－3√
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√
√
因为－3则－5<5x<10，即－1又－4<－2x－4y<6，－1<2x－y<4，
所以－5<－5y<10，即－21
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三、填空题
9.已知a>0，－11
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ab因为a>0，－1所以ab<0,0故ab10.若a，b同时满足下列两个条件：
①a＋b>ab；② .
请写出一组a，b的值__________________________.
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a＝－1，b＝2(答案不唯一)
容易发现，若将①式转化为②式，需使(a＋b)ab<0，
即a＋b与ab异号，显然应使a＋b>0，ab<0，
当a<0，b>0时，要使a＋b>0，则|a|<|b|，可取a＝－1，b＝2；
当a>0，b<0时，要使a＋b>0，则|a|>|b|，可取a＝2，b＝－1.
综上，取任意两个异号的实数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案.
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11.若－1取值范围为__________.
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∵－11
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12.已知a>b>c,2a＋b＋c＝0，则 的取值范围是____________.
(－3，－1)
因为a>b>c,2a＋b＋c＝0，故a>0，c<0，
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四、解答题
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∵c－d>0，
又a>b>0，
∴a－c>b－d>0，b－a<0，c－d<0，
又e<0，
14.已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
(1)求实数a的取值范围；
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由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，得－4≤(a＋b)＋(a－b)≤6，
故实数a的取值范围为[－2,3].
(2)求3a－2b的取值范围.
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设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b，
∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
∴－4≤3a－2b≤11，即3a－2b的取值范围为[－4,11].
15.(多选)已知实数a，b，c满足a>b>c，且abc＝1，则下列说法正确的是
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16.(2023·湖北黄石二中模拟)购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，分两次购买这种物品，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则________种购物策略比较经济.
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乙
设第一次和第二次购物时价格分别为p1元/千克，p2元/千克，
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比较两次购物的平均价格
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则甲策略的平均价格不小于乙策略的平均价格，所以用乙购物策略比较经济.§1.3　等式性质与不等式性质
课标要求　1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．
知识梳理
1．两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R)．
2．等式的性质
性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a；
性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
3．不等式的性质
性质1　对称性：a>b b性质2　传递性：a>b，b>c a>c；
性质3　可加性：a>b a＋c>b＋c；
性质4　可乘性：a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac性质5　同向可加性：a>b，c>d a＋c>b＋d；
性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ac>bd；
性质7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
常用结论
不等式的两类常用性质
(1)倒数性质
①a>b，ab>0 <；
②a；
③a>b>0,0；
④0(2)有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
①真分数的性质
<，>(b－m>0)；
②假分数的性质
>，<(b－m>0)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a(2)若>1，则b>a.(　×　)
(3)同向不等式具有可加性和可乘性．(　×　)
(4)若>，则b2．(必修第一册P43T8改编)已知非零实数a，b满足aA．ln a
C．a2答案　D
解析　对于A，当ab2，故C错误；对于D，当a3．(必修第一册P43T10改编)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示成一个不等式为________．
答案　<
解析　<.
证明：－＝＝，
∵b>a>0，m>0，∴a－b<0，
∴<0，∴<.
4．(必修第一册P42T5改编)已知2答案　(－2,1)
解析　因为－2题型一　数(式)的大小比较
例1 (1)(多选)下列不等式中正确的是(　　)
A．x2－2x>－3(x∈R)
B．a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R)
C．a2＋b2>2(a－b－1)
D．若a>b>0，则a2－b2>－
答案　AD
解析　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，
∴x2－2x>－3，故A正确；
a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．
∵(a－b)2≥0，a＋b的符号不确定，
∴a3＋b3与a2b＋ab2的大小不确定，故B错误；
∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误；
a2－b2－＝(a－b)(a＋b)－
＝(a－b)>0，故选项D正确．
(2)若正实数a，b，c满足cA．aaC．ab答案　C
解析　∵c是正实数，且c<1，∴0由c∵＝aa－b>1，
∴ab∵＝a,0<<1，a>0，
∴a<1，即aa综上可知，ab思维升华　比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
跟踪训练1　(1)若ln a>ln b，则(　　)
A.>
B.<
C．πa－b<3a－b
D．a－b>－
答案　D
解析　因为ln a>ln b，所以a>b>0，
－＝＝<0，
所以<，故A错误；
－＝ ＝，无法确定符号，故B错误；
因为a－b>0，函数y＝xa－b在(0，＋∞)上单调递增，
所以πa－b>3a－b，故C错误；
a－b－＝a－b－＝a－b＋
＝(a－b)＝，
其中a－b>0，ab＋1>0，ab>0，
所以a－b－>0，a－b>－，故D正确．
(2)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________．
答案　M>N
解析　方法一　∵M－N＝－
＝
＝
＝>0.
∴M>N.
方法二　令f(x)＝
＝＝＋，
显然f(x)是R上的减函数，
∴f(2 023)>f(2 024)，即M>N.
题型二　不等式的基本性质
例2　(1)若实数a，b满足aA．a＋b>0 B．a－b<0
C．|a|<|b| D.>
答案　B
解析　由a由a由a－b>0，所以|a|>|b|，故C错误；
由a|b|>0，
所以<，故D错误．
(2)(多选)已知a，b，c为实数，则下列说法正确的是(　　)
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若a>b，则a＋c>b＋c
C．若a>b>c>0，则>
D．若a>b>c>0，则>
答案　BCD
解析　当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误；
由不等式的可加性可知，B正确；
若a>b>c>0，则a－b>0，b＋c>0，
∴－＝＝>0，
∴>，故C正确；
若a>b>c>0，则a－b>0，a－c>0，b－c>0，且a－c>a－b，
∴>>0，
又b>c>0，
由可乘性知，>，故D正确．
思维升华　判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证．
(2)利用特殊值法排除错误选项．
(3)作差法．
(4)构造函数，利用函数的单调性．
跟踪训练2　(1)设a，b，c，d为实数，且cA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由a满足a当a－c所以“a(2)(多选)若a>b>0，则下列不等式中正确的是(　　)
A.<
B．－a2<－ab
C．ln|a－1|>ln|b－1|
D．2a－b>1
答案　ABD
解析　因为a>b>0，>0，所以>，
即<，故A正确；
因为a>b>0，－a<0，所以－a2<－ab，故B正确；
若a＝，b＝，ln|a－1|＝ln|b－1|＝ln，故C不正确；
因为a－b>0，所以2a－b>20＝1，故D正确．
题型三　不等式性质的综合应用
例3　(1)已知0A．2C．2答案　D
解析　因为－1又0延伸探究　若将条件改为“－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1”，求x－2y的范围．
解　设x－2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
∴x－2y＝(m＋n)x＋(m－n)y，
∴解得
∴x－2y＝－(x＋y)＋(x－y)，
∵－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1，
∴－1≤－(x＋y)≤，－3≤(x－y)≤，
∴－4≤－(x＋y)＋(x－y)≤2，
即－4≤x－2y≤2.
(2)为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群．已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该微信群人数的最小值为(　　)
A．20 B．22 C．26 D．28
答案　B
解析　设教师人数为x，家长人数为y，女学生人数为z，男学生人数为t，x，y，z，t∈N*，
则y≥x＋1，z≥y＋1≥x＋2，t≥z＋1≥y＋2≥x＋3，则x＋y＋z＋t≥4x＋6，
又教师人数的两倍多于男学生人数，
∴2x>x＋3，解得x>3，
当x＝4时，x＋y＋z＋t≥22，此时微信群人数的最小值为22.
思维升华　利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点
(1)必须严格运用不等式的性质．
(2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．
跟踪训练3　(1)(多选)已知1≤a≤2,3≤b≤5，则(　　)
A．a＋b的取值范围为[4,7]
B．b－a的取值范围为[2,3]
C．ab的取值范围为[3,10]
D.的取值范围为
答案　AC
解析　因为1≤a≤2,3≤b≤5，
所以4≤a＋b≤7，－2≤－a≤－1,1≤b－a≤4，
所以a＋b的取值范围为[4,7]，b－a的取值范围为[1,4]，
故A正确，B错误；
因为1≤a≤2,3≤b≤5，
所以3≤ab≤10，≤≤，≤≤，
所以ab的取值范围为[3,10]，的取值范围为，故C正确，D错误．
(2)已知2A. B.
C. D.
答案　B
解析　原式分子和分母同时除以x，
得＝，
由条件得2<－2y<6，<<，
所以<－<，即<－<3，
所以<1－<4，所以<<.
课时精练
一、单项选择题
1．已知a，b∈R，则“>”是“ln a>ln b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　若“>”，取a＝1，b＝0，但是ln b无意义，
所以由“>”推不出“ln a>ln b”，
若“ln a>ln b”，则a>b>0，
所以>，
所以由“ln a>ln b”可推出“> ”，
所以“>”是“ln a>ln b”的必要不充分条件．
2．已知a>0，b>0，设m＝a－2＋2，n＝2－b，则(　　)
A．m≥n B．m>n
C．m≤n D．m答案　A
解析　由题意可知，m－n＝a－2＋2－2＋b＝(－1)2＋(－1)2≥0，
当且仅当a＝b＝1时，等号成立，
即m≥n.
3．已知a>b，则下列不等式一定成立的是(　　)
A.< B．2a>2b
C．a2>b2 D．|a|>|b|
答案　B
解析　取a＝1，b＝－2，满足a>b，显然有>，a2指数函数y＝2x为增函数，若a>b，则必有2a>2b，B正确．
4．已知aA．abbc
C.< D.<1
答案　C
解析　因为a因为a0，所以ac因为a<0因为a－b，所以c－a>c－b>0，所以>1，故D项错误．
5．若c>b>a>0，则(　　)
A．abbc>acbb B．2ln bC．a－>b－ D．logac>logbc
答案　A
解析　由于＝ab－cbc－b＝b－c>1，所以abbc>acbb成立，故A正确；
2ln b＝ln b2，ln a＋ln c＝ln ac，b2与ac大小不能确定，故B错误；
由于a－－＝(a－b)<0，故C错误；
令c＝1，则logac＝logbc＝0，故D错误．
6．已知m5＝4，n8＝9，0.9p＝0.8，则正数m，n，p的大小关系为(　　)
A．p>m>n B．m>n>p
C．m>p>n D．p>n>m
答案　A
解析　由m5＝4，得m＝<，
由n8＝9，得n＝，
因此，＝>1，
即>m>n，
由0.9p＝0.8，得p＝log0.90.8>log0.90.81＝2，
于是得p>m>n，
所以正数m，n，p的大小关系为p>m>n.
二、多项选择题
7．下列结论中不正确的是(　　)
A．若ac2>bc2，则a>b
B．若<，则a>b
C．若a>b，c>d，则ac>bd
D．若2a－b>1，则a答案　BCD
解析　ac2>bc2，不等式两边除以c2(c≠0)，则a>b，故A正确；
取a＝－1，b＝1，满足<，
又a取a＝1，b＝0，c＝0，d＝－1，满足a>b，c>d，又ac＝bd，故C错误；
取a＝2，b＝1，满足2a－b>1，
又a>b，故D错误．
8．已知实数x，y满足－3A．－1C．－3答案　ABD
解析　因为－3则－5<5x<10，即－1又－4<－2x－4y<6，－1<2x－y<4，
所以－5<－5y<10，即－2x＋y＝∈(－2,2)，故C错误；
x－y＝∈(－1,3)，故D正确．
三、填空题
9．已知a>0，－1答案　ab解析　因为a>0，－1所以ab<0,0故ab10．若a，b同时满足下列两个条件：
①a＋b>ab；②>.
请写出一组a，b的值________．
答案　a＝－1，b＝2(答案不唯一)
解析　容易发现，若将①式转化为②式，需使(a＋b)ab<0，
即a＋b与ab异号，显然应使a＋b>0，ab<0，
当a<0，b>0时，要使a＋b>0，则|a|<|b|，可取a＝－1，b＝2；
当a>0，b<0时，要使a＋b>0，则|a|>|b|，可取a＝2，b＝－1.
综上，取任意两个异号的实数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案．
11．若－1答案　　
解析　∵－1∴1<2a<7，即又t＝2a＋b＝(a＋b)＋(a－b)，
∴－＋1<(a＋b)＋(a－b)<＋2，
即t∈.
12．已知a>b>c,2a＋b＋c＝0，则的取值范围是________．
答案　(－3，－1)
解析　因为a>b>c,2a＋b＋c＝0，故a>0，c<0，
所以<0,1>>，2＋＋＝0，
所以＝－－2，
所以有1>－2－>，
解不等式得－3<<－1，
故的取值范围是(－3，－1)．
四、解答题
13．(1)设a>b>0，比较与的大小；
(2)已知a>b>0，c.
(1)解　∵a>b>0，∴>0，>0，
∴＝＝1＋>1，
∴>.
(2)证明　∵c－d>0，
又a>b>0，
∴a－c>b－d>0，b－a<0，c－d<0，
又e<0，
∴－＝＝＝>0，
∴>.
14．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求3a－2b的取值范围．
解　(1)a＝[(a＋b)＋(a－b)]，
由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，得－4≤(a＋b)＋(a－b)≤6，
∴－2≤[(a＋b)＋(a－b)]≤3，即－2≤a≤3，
故实数a的取值范围为[－2,3]．
(2)设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b，
则解得
∴3a－2b＝(a＋b)＋(a－b)，
∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
∴－≤(a＋b)≤1，－≤(a－b)≤10，
∴－4≤3a－2b≤11，
即3a－2b的取值范围为[－4,11]．
15．(多选)已知实数a，b，c满足a>b>c，且abc＝1，则下列说法正确的是(　　)
A．(a＋c)2>
B.<
C．a2>b2
D．(a2b－1)(ab2－1)>0
答案　ABD
解析　对A，根据abc＝1可得＝ac，故(a＋c)2>，即(a＋c)2>ac，即a2＋ac＋c2>0.因为a2＋ac＋c2＝2＋>0恒成立，故(a＋c)2>成立，故A正确；对B，因为a>b>c，故a－c>b－c>0，故<成立，故B正确；对C，当a＝，b＝－1，c＝－2时，满足a>b>c且abc＝1，但a2>b2不成立，故C错误；对D，因为abc＝1，(a2b－1)(ab2－1)＝＝，因为a>b>c，故>0，故D正确．
16．(2023·湖北黄石二中模拟)购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，分两次购买这种物品，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则________种购物策略比较经济．
答案　乙
解析　设第一次和第二次购物时价格分别为p1元/千克，p2元/千克，
按甲策略，每次购n千克，按这种策略购物时，两次的平均价格x＝＝(元/千克)，
按乙策略，第一次花m元钱，能购买千克物品，第二次仍花m元钱，能购买千克物品，
两次购物的平均价格y＝＝(元/千克)，
比较两次购物的平均价格
x－y＝－＝－＝＝≥0，
则甲策略的平均价格不小于乙策略的平均价格，所以用乙购物策略比较经济．一、单项选择题
1．已知a，b∈R，则“>”是“ln a>ln b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知a>0，b>0，设m＝a－2＋2，n＝2－b，则(　　)
A．m≥n B．m>n
C．m≤n D．m3．已知a>b，则下列不等式一定成立的是(　　)
A.< B．2a>2b
C．a2>b2 D．|a|>|b|
4．已知aA．abbc
C.< D.<1
5．若c>b>a>0，则(　　)
A．abbc>acbb B．2ln bC．a－>b－ D．logac>logbc
6．已知m5＝4，n8＝9，0.9p＝0.8，则正数m，n，p的大小关系为(　　)
A．p>m>n B．m>n>p
C．m>p>n D．p>n>m
二、多项选择题
7．下列结论中不正确的是(　　)
A．若ac2>bc2，则a>b
B．若<，则a>b
C．若a>b，c>d，则ac>bd
D．若2a－b>1，则a8．已知实数x，y满足－3A．－1C．－3三、填空题
9．已知a>0，－110．若a，b同时满足下列两个条件：
①a＋b>ab；②>.
请写出一组a，b的值________．
11．若－112．已知a>b>c,2a＋b＋c＝0，则的取值范围是________．
四、解答题
13．(1)设a>b>0，比较与的大小；
(2)已知a>b>0，c.
14．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求3a－2b的取值范围．
15．(多选)已知实数a，b，c满足a>b>c，且abc＝1，则下列说法正确的是(　　)
A．(a＋c)2>
B.<
C．a2>b2
D．(a2b－1)(ab2－1)>0
16．(2023·湖北黄石二中模拟)购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，分两次购买这种物品，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则________种购物策略比较经济．
1．B　2.A　3.B　4.C　5.A　6.A
7．BCD
8．ABD　[因为－3则－5<5x<10，即－1又－4<－2x－4y<6，－1<2x－y<4，
所以－5<－5y<10，即－2x＋y＝∈(－2,2)，故C错误；
x－y＝∈(－1,3)，故D正确．]
9．ab10．a＝－1，b＝2(答案不唯一)
11.　
12．(－3，－1)
13．(1)解　∵a>b>0，
∴>0，>0，
∴＝＝1＋>1，
∴>.
(2)证明　∵c－d>0，
又a>b>0，
∴a－c>b－d>0，b－a<0，c－d<0，
又e<0，
∴－＝＝＝>0，
∴>.
14．解　(1)a＝[(a＋b)＋(a－b)]，
由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，
得－4≤(a＋b)＋(a－b)≤6，
∴－2≤[(a＋b)＋(a－b)]≤3，
即－2≤a≤3，
故实数a的取值范围为[－2,3]．
(2)设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b，
则解得
∴3a－2b＝(a＋b)＋(a－b)，
∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
∴－≤(a＋b)≤1，－≤(a－b)≤10，
∴－4≤3a－2b≤11，
即3a－2b的取值范围为[－4,11]．
15．ABD　[对A，根据abc＝1可得＝ac，故(a＋c)2>，即(a＋c)2>ac，即a2＋ac＋c2>0.因为a2＋ac＋c2＝2＋>0恒成立，故(a＋c)2>成立，故A正确；对B，因为a>b>c，故a－c>b－c>0，故<成立，故B正确；对C，当a＝，b＝－1，c＝－2时，满足a>b>c且abc＝1，但a2>b2不成立，故C错误；对D，因为abc＝1，(a2b－1)·(ab2－1)＝＝，因为a>b>c，故>0，故D正确．]
16．乙
解析　设第一次和第二次购物时价格分别为p1元/千克，p2元/千克，
按甲策略，每次购n千克，按这种策略购物时，两次的平均价格x＝＝(元/千克)，
按乙策略，第一次花m元钱，能购买千克物品，第二次仍花m元钱，能购买千克物品，
两次购物的平均价格
y＝＝(元/千克)，
比较两次购物的平均价格
x－y＝－＝－＝＝≥0，
则甲策略的平均价格不小于乙策略的平均价格，所以用乙购物策略比较经济．§1.3　等式性质与不等式性质
课标要求　1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．
知识梳理
1．两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R)．
2．等式的性质
性质1　对称性：如果a＝b，那么________；
性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么__________________________；
性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么____________________________．
3．不等式的性质
性质1　对称性：a>b ____________；
性质2　传递性：a>b，b>c ____________；
性质3　可加性：a>b a＋c>b＋c；
性质4　可乘性：a>b，c>0 ______________________________；
a>b，c<0 ____________；
性质5　同向可加性：a>b，c>d __________________；
性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ____________；
性质7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
常用结论
不等式的两类常用性质
(1)倒数性质
①a>b，ab>0 <；
②a；
③a>b>0,0；
④0(2)有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
①真分数的性质
<，>(b－m>0)；
②假分数的性质
>，<(b－m>0)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a(2)若>1，则b>a.(　　)
(3)同向不等式具有可加性和可乘性．(　　)
(4)若>，则b2．(必修第一册P43T8改编)已知非零实数a，b满足aA．ln a
C．a23．(必修第一册P43T10改编)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示成一个不等式为____________________．
4．(必修第一册P42T5改编)已知2题型一　数(式)的大小比较
例1 (1)(多选)下列不等式中正确的是(　　)
A．x2－2x>－3(x∈R)
B．a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R)
C．a2＋b2>2(a－b－1)
D．若a>b>0，则a2－b2>－
(2)若正实数a，b，c满足cA．aaC．ab思维升华 比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
跟踪训练1 (1)若ln a>ln b，则(　　)
A.> B.<
C．πa－b<3a－b D．a－b>－
(2)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________．
题型二　不等式的基本性质
例2 (1)若实数a，b满足aA．a＋b>0 B．a－b<0
C．|a|<|b| D.>
(2)(多选)已知a，b，c为实数，则下列说法正确的是(　　)
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若a>b，则a＋c>b＋c
C．若a>b>c>0，则>
D．若a>b>c>0，则>
跟踪训练2 (1)设a，b，c，d为实数，且cA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(多选)若a>b>0，则下列不等式中正确的是(　　)
A.<
B．－a2<－ab
C．ln|a－1|>ln|b－1|
D．2a－b>1
题型三　不等式性质的综合应用
例3 (1)已知0A．2C．2延伸探究 若将条件改为“－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1”，求x－2y的范围．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
(2)为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群．已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该微信群人数的最小值为(　　)
A．20 B．22 C．26 D．28
跟踪训练3 (1)(多选)已知1≤a≤2,3≤b≤5，则(　　)
A．a＋b的取值范围为[4,7]
B．b－a的取值范围为[2,3]
C．ab的取值范围为[3,10]
D.的取值范围为
(2)已知2A. B.
C. D.

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