资源简介

2024年吕梁市中考模拟考试题（卷）
数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
3．考试结束后，只收回答题卡．
第Ⅰ卷　选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1. 计算的结果是（）
A. B. C. D. 1
2. 国际数学家大会是由国际数学联盟（）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，它是全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的奥林匹克盛会．如图所示是第24届国际数学家大会会标，该会标取自于我国数学家赵爽注解《周髀算经》中的弦图．与该弦图有着密切关系的数学文化是（）
A. 无理数的发现 B. 圆周率的估算 C. 勾股定理的证明 D. 黄金分割比
3. 下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
4. 下面几何体都是由6个大小相同的小正方体组成的，其中主视图和左视图相同的几何体是（）
A. B.
C. D.
5. 化简分式正确结果是（）
A. B. C. D.
6. 不等式组的解集为（）
A. B. C. D.
7. 2024年3月21日是第12个“世界森林日”，今年主题是“森林与创新”．据统计，截止2023年12月底，我省森林面积超过5542万亩，森林蓄积量达亿立方米，碳汇能力明显提升．数据亿立方米用科学记数法表示为（）
A. 立方米 B. 立方米
C. 立方米 D. 立方米
8. 将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的函数关系表达式为（）
A. B.
C. D.
9. 已知反比例函数，下列描述不正确的是（）
A. 图象位于第二、四象限
B. 若点，是该函数图象上两点，且，则
C. 图象必经过点
D. 当时，x的取值范围是
10. 如图，为的直径，C，D是上两点，且，若，则的度数可以表示为（）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷　非选择题（共90分）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 计算的结果是______．
12. 某农科所为了解A，B两种小麦产量的稳定情况，在A，B两个品种中各随机抽取了8个样本进行了统计分析，统计结果（千粒质量：）如下表所示：
样本 1 2 3 4 5 6 7 8
A品种 44.6 45.3 45.3 44.2 44.4 45.7 44.7 45.8
B品种 42.5 45.2 45.5 43.1 45.4 46.8 44.6 46.9
根据统计表，A，B两个品种中，产量较为稳定是______品种．
13. 图1所示是第十九届亚洲运动会会徽，名为“潮涌”，其主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会太阳图形六个元素组成．现将本届亚运会会徽扇面抽象为图2所示扇形的一部分（阴影部分），若其半径，，圆心角，则图中阴影部分的面积等于______．
14. 窗格是中国传统建筑装饰的重要构成因素，是中国传统建筑文化的重要组成部分．图1就是由大小相等的圆弧型“青瓦”组成的一个窗格图案．图2是部分窗格截面示意图，将其放置在平面直角坐标系中，点，，均为弧的端点，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______．
15. 如图，将直角三角形纸片（）折叠，使点C的对应点与斜边的中点O重合，折痕为．若，，则折痕的长度为______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：
（2）解方程：
17. 如图，已知四边形是平行四边形．
（1）实践与操作：利用尺规作的平分线，交边于E．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）猜想与证明：试猜想线段，和的数量关系，并加以证明．
18. 为培养学生的民族自豪感，传播正能量，形成知我国家版图，爱我美丽中国的良好氛围，某校举办了“美丽中国·国家版图知识竞赛”活动．为了解此次竞赛中学生成绩的分布情况，抽取了部分学生的成绩绘制成了如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（不完整）：
（1）请将频数分布直方图和扇形统计图补充完整；
（2）在抽取的样本中，学生成绩的中位数落在______范围之内．（填出下面选项中的数字代号）；
①；②；③；④；⑤
（3）在这次竞赛活动中，全体学生竞赛成绩平均数是分，小宇的测试成绩是分，由此小宇认为自己的成绩高于一半学生的成绩．你觉得小宇的认识正确吗？请说明理由．
（4）下图显示的是此次竞赛中的一道试题，小宇在解答此题时，若在四幅地图中，随机选择其中的两幅地图，请用画树状图或列表法，求出小宇选择的两幅地图对应的省份都与我省相邻的概率．（提示：与我省相邻的省份有内蒙古、陕西、河南、河北）
19. 阅读下面科普小材料，解决提出的问题：
二氧化碳捕集与封存技术（　　　，简称），是指通过碳捕捉技术，将工业和有关能源产业所生产的二氧化碳分离出来，再通过碳储存手段将二氧化碳储存起来．利用碳捕集与封存技术，可以有效减少二氧化碳的排放．以利用化石能源生产氢气为例，每生产1吨氢气，使用碳捕集与封存技术所排放的二氧化碳的质量，仅仅是使用传统技术排放二氧化碳质量的．若排放吨二氧化碳，使用碳捕集与封存技术，可比使用传统技术多生产氢气吨．
任务：请根据上述材料信息，求出在使用化石能源生产氢气时，利用碳捕集与封存技术生产1吨氢气所排放二氧化碳的质量．
20. 项目化学习
项目主题：为学校图书馆设计无障碍通道．
项目背景：2023年6月28日，我国颁布《中华人民共和国无障碍环境建设法》．某校“综合与实践”小组以“为学校图书馆设计无障碍通道”为主题展开项目学习．
研究步骤：（1）查阅资料得知，无障碍通道有三种类型：直线形、直角形、折返形；
（2）实地测量图书馆门口场地的大小；
（3）为了方便师生出入图书馆，并尽量减少通道对师生其它通行的影响，研讨认为设计折返形无障碍通道比较合适．
设计方案：“综合与实践”小组为该校图书馆设计的无障碍通道如图2所示，其中为地面所在水平线，和是无障碍通道，并且，立柱，均垂直于地面，米，米．
解决问题：若原台阶坡道的长度（线段的长度）为5米，坡角的度数为，，求出无障碍通道的总长（线段和的和）为多少米？（结果保留根号．参考数据：，，）
21. 阅读与思考：请阅读下面小论文，并完成相应学习任务．
关于同一种正多边形的平面密铺
平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖．
对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是，若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺．图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．
对于一些不规则的多边形，全等三角形或全等四边形也可以进行平面密铺．图4就是利用全等的四边形设计出的平面密铺图案．
对于不规则的凸五边形，迄今为止发现了15种能用于平面密铺的五边形．德国数学家莱因哈特（1895—1941）凭借其出色的平面几何功底与直觉，从1918年开始，陆续发现了前5种五边形密铺方式．2015年，美国华盛顿大学数学教授卡西·曼夫妇发现了第15种能用于平面密铺的五边形．图5就是利用不规则的凸五边形得到的一种密铺图案．
学习任务：
（1）填空：上面小论文中提到“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是”，其中体现的数学思想主要是______．（填出字母代号即可）
A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想
（2）图3中角1的度数是______．
（3）除“正三角形”“正四边形”外，请再写出一种可以进行密铺的正多边形：______．
（4）图6是图5中的一个基本图形，其中，，并且．求证．
22. 综合与实践
问题情境：
数学活动课上，老师提出如下数学问题：如图1，将矩形纸片以点C为中心顺时针方向旋转，当点A的对应点E落在的延长线上时，求证．
数学思考：
（1）请你解决老师提出的问题．
深入探究：
（2）“智慧小组”在解决老师提出的问题后，在图1的基础上又提出新的问题：如图2，过点F作，垂足为M．过点G作，垂足为N．试猜想线段，，的数量关系，并说明理由．请你解决该问题．
（3）“创新小组”受到“智慧小组”的启发，在图2的基础上连接，得到图3．并且提出：若，．求的长．请你思考该问题，并直接写出结果．
23. 综合与探究：如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点是第一象限内二次函数图象上的动点，过点P作x轴的平行线，与直线交于点M，与直线交于点E．过点P作直线的平行线，与直线交于点N．直线与直线交于点D．
（1）请直接写出点A，B，C的坐标及直线的函数关系表达式；
（2）当时，求出m的值；
（3）在点P运动的过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出线段的最大值；若不存在，请说明理由．2024年吕梁市中考模拟考试题（卷）
数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
3．考试结束后，只收回答题卡．
第Ⅰ卷　选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1. 计算的结果是（）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理数的减法，根据减法法则计算即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
解：原式，
，
故选：．
2. 国际数学家大会是由国际数学联盟（）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，它是全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的奥林匹克盛会．如图所示是第24届国际数学家大会会标，该会标取自于我国数学家赵爽注解《周髀算经》中的弦图．与该弦图有着密切关系的数学文化是（）
A. 无理数的发现 B. 圆周率的估算 C. 勾股定理的证明 D. 黄金分割比
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理的证明．
解：“弦图”说明了直角三角形三边之间的关系，它解决的数学问题是勾股定理的证明，
故选：C．
3. 下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
解：A、，原式计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选；A．
4. 下面几何体都是由6个大小相同的小正方体组成的，其中主视图和左视图相同的几何体是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了简单组合体的三视图，分别画出四个选项中简单组合体的三视图即可．
A、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意；
B、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意；
C、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意；
D、左视图为，主视图为，左视图与主视图相同，故此选项符合题意；
故选D．
5. 化简分式的正确结果是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的除法运算，将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解．
解：
故选：B．
6. 不等式组的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出其公共部分即可．
解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
故选：D．
7. 2024年3月21日是第12个“世界森林日”，今年的主题是“森林与创新”．据统计，截止2023年12月底，我省森林面积超过5542万亩，森林蓄积量达亿立方米，碳汇能力明显提升．数据亿立方米用科学记数法表示为（）
A. 立方米 B. 立方米
C. 立方米 D. 立方米
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
解：亿立方米，
故选：A．
8. 将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的函数关系表达式为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移规律，“上加下减，左加右减”即可求解．
解：将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，
得到的抛物线的函数关系表达式为即，
故选：C．
9. 已知反比例函数，下列描述不正确的是（）
A. 图象位于第二、四象限
B. 若点，是该函数图象上两点，且，则
C. 图象必经过点
D. 当时，x的取值范围是
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例数的性质，根据解析式得出其图象在第二、四象限，进而逐项分析判断，即可求解．
解：A、反比例函数，图象位于第二、四象限，故该选项正确，不符合题意；
B、不明确是否在同一个象限，无法比较的大小，故该选项不正确，符合题意；
C、∵，当时，，则图象必经过点，故该选项正确，不符合题意；
D、当时，，当时，x的取值范围是，故该选项正确，不符合题意；
故选：B．
10. 如图，为的直径，C，D是上两点，且，若，则的度数可以表示为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由圆周角定理得，由平行线的性质得到，再根据三角形的外角定理以及等腰三角形的等边对等角即可求解．
解：∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形外角定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
第Ⅱ卷　非选择题（共90分）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 计算的结果是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的运算法则进行计算，即可求解．
解：
，
故答案为：．
12. 某农科所为了解A，B两种小麦产量的稳定情况，在A，B两个品种中各随机抽取了8个样本进行了统计分析，统计结果（千粒质量：）如下表所示：
样本 1 2 3 4 5 6 7 8
A品种 44.6 45.3 45.3 44.2 44.4 45.7 44.7 45.8
B品种 42.5 45.2 45.5 43.1 45.4 46.8 44.6 46.9
根据统计表，A，B两个品种中，产量较为稳定是______品种．
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，先求出二者的平均数，再求出二者的方差，根据方差越小越稳定即可得到答案．
解：A产品的平均数为，
B产品的平均数为，
A产品的方差为：
；
B产品的方差为：
；
∵，
∴产量较为稳定是A品种，
故答案为：A．
13. 图1所示是第十九届亚洲运动会会徽，名为“潮涌”，其主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成．现将本届亚运会会徽扇面抽象为图2所示扇形的一部分（阴影部分），若其半径，，圆心角，则图中阴影部分的面积等于______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的关键．由扇形面积的计算方法，根据进行计算即可．
解：∵，
∴
由题意可知，
故答案为：．
14. 窗格是中国传统建筑装饰的重要构成因素，是中国传统建筑文化的重要组成部分．图1就是由大小相等的圆弧型“青瓦”组成的一个窗格图案．图2是部分窗格截面示意图，将其放置在平面直角坐标系中，点，，均为弧的端点，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化，平移的性质，先求得，进而根据平移的性质，即可求解．
解：如图所示，
∵点的坐标为，
∴
∴
∴
∵点的坐标为，则圆弧型“青瓦”的高为
根据平移可得的纵坐标为
∴，
故答案为：．
15. 如图，将直角三角形纸片（）折叠，使点C的对应点与斜边的中点O重合，折痕为．若，，则折痕的长度为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，三角形中位线定理，取中点H，连接，则，由三角形中位线定理得到，则，由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理得，解方程得到同理可得，则．
解：如图所示，取中点H，连接，则
∵点O为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质可得，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
如图所示，取中点G，连接，则，
同理可得，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
，
∴．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，负整数指数幂，有理数的混合计算：
（1）先计算负整数指数幂，再根据有理数的四则运算法则求解即可；
（2）先去括号，然后移项，再利用配方法解方程即可．
解：（1）
；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
17. 如图，已知四边形是平行四边形．
（1）实践与操作：利用尺规作的平分线，交边于E．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）猜想与证明：试猜想线段，和的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）见解析（2），证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，作角平分线；
（1）根据题意作的平分线，交边于E；
（2）根据平行四边形的性质可得，，，进而根据平行线的性质，角平分线的定义，得出，根据等角对等边得出，即可得证．
【小问1】
解：如图所示，射线即为所求作图形，
【小问2】
，证明如下
四边形是平行四边形
，，
，
∵平分，
，
，
，
，
．
18. 为培养学生的民族自豪感，传播正能量，形成知我国家版图，爱我美丽中国的良好氛围，某校举办了“美丽中国·国家版图知识竞赛”活动．为了解此次竞赛中学生成绩的分布情况，抽取了部分学生的成绩绘制成了如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（不完整）：
（1）请将频数分布直方图和扇形统计图补充完整；
（2）在抽取的样本中，学生成绩的中位数落在______范围之内．（填出下面选项中的数字代号）；
①；②；③；④；⑤
（3）在这次竞赛活动中，全体学生竞赛成绩的平均数是分，小宇的测试成绩是分，由此小宇认为自己的成绩高于一半学生的成绩．你觉得小宇的认识正确吗？请说明理由．
（4）下图显示的是此次竞赛中的一道试题，小宇在解答此题时，若在四幅地图中，随机选择其中的两幅地图，请用画树状图或列表法，求出小宇选择的两幅地图对应的省份都与我省相邻的概率．（提示：与我省相邻的省份有内蒙古、陕西、河南、河北）
【答案】（1）见解析（2）③
（3）不正确，理由见解析
（4）
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，平均数与中位数的意义，画树状图法求概率；
（1）根据的人数除以占比得出总人数，进而求得的占比为，的人数人，补全统计图，即可求解；
（2）根据中位数的定义，即可求解；
（3）根据平均数受极端值的影响，即可求解；
（4）根据画树状图法求概率，即可求解．
【小问1】
解：总人数为：人
的占比为：，
的人数为人，
补全统计图，如图所示，
【小问2】
解：，
∴在抽取的样本中，学生成绩的中位数落在范围内，
故答案为：③．
【小问3】
小宇的认识不正确；因为平均数受到极端值的影响较大，虽然小宇的竞赛成绩高于全体学生的竞赛成绩的平均数，但小宇的成绩不一定高于一半学生的成绩
【小问4】
根据题意，画出树状图如图所示，
根据树状图可知，所有可能出现的结果有12种，并且每种结果出现的可能性都相等，其中选出的两个字母对应的省份都与我省都相邻的结果出现了6种：，，，，，
所以小宇选择两幅地图对应的省份都与我省相邻的概率．
19. 阅读下面科普小材料，解决提出的问题：
二氧化碳捕集与封存技术（　　　，简称），是指通过碳捕捉技术，将工业和有关能源产业所生产的二氧化碳分离出来，再通过碳储存手段将二氧化碳储存起来．利用碳捕集与封存技术，可以有效减少二氧化碳的排放．以利用化石能源生产氢气为例，每生产1吨氢气，使用碳捕集与封存技术所排放的二氧化碳的质量，仅仅是使用传统技术排放二氧化碳质量的．若排放吨二氧化碳，使用碳捕集与封存技术，可比使用传统技术多生产氢气吨．
任务：请根据上述材料信息，求出在使用化石能源生产氢气时，利用碳捕集与封存技术生产1吨氢气所排放的二氧化碳的质量．
【答案】在使用化石能源生产氢气时，利用碳捕集与封存技术生产1吨氢气所排放的二氧化碳的质量为吨．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程应用，设使用传统技术生产1吨氢气所排放的二氧化碳的质量为吨，依题意，列出分式方程，解方程并检验，即可求解．
解：设使用传统技术生产1吨氢气所排放的二氧化碳的质量为吨，依题意，
解得：
经检验，是分式方程的解，
当时，
答：在使用化石能源生产氢气时，利用碳捕集与封存技术生产1吨氢气所排放的二氧化碳的质量为吨．
20. 项目化学习
项目主题：为学校图书馆设计无障碍通道．
项目背景：2023年6月28日，我国颁布《中华人民共和国无障碍环境建设法》．某校“综合与实践”小组以“为学校图书馆设计无障碍通道”为主题展开项目学习．
研究步骤：（1）查阅资料得知，无障碍通道有三种类型：直线形、直角形、折返形；
（2）实地测量图书馆门口场地的大小；
（3）为了方便师生出入图书馆，并尽量减少通道对师生其它通行的影响，研讨认为设计折返形无障碍通道比较合适．
设计方案：“综合与实践”小组为该校图书馆设计的无障碍通道如图2所示，其中为地面所在水平线，和是无障碍通道，并且，立柱，均垂直于地面，米，米．
解决问题：若原台阶坡道的长度（线段的长度）为5米，坡角的度数为，，求出无障碍通道的总长（线段和的和）为多少米？（结果保留根号．参考数据：，，）
【答案】米
【解析】
【分析】延长，，交于点H，过点B作于点K，证明四边形为矩形，得出，解直角三角形求出（米），得出，根据等腰三角形的性质得出米，根据勾股定理求出（米），得出结果即可．
解：延长，，交于点H，过点B作于点K，如图所示：
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵米，，
∴（米），
∴米，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴米，
∴（米），
在中，根据勾股定理得：
（米），
∴米．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
21. 阅读与思考：请阅读下面小论文，并完成相应学习任务．
关于同一种正多边形的平面密铺
平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖．
对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是，若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺．图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．
对于一些不规则的多边形，全等三角形或全等四边形也可以进行平面密铺．图4就是利用全等的四边形设计出的平面密铺图案．
对于不规则的凸五边形，迄今为止发现了15种能用于平面密铺的五边形．德国数学家莱因哈特（1895—1941）凭借其出色的平面几何功底与直觉，从1918年开始，陆续发现了前5种五边形密铺方式．2015年，美国华盛顿大学数学教授卡西·曼夫妇发现了第15种能用于平面密铺的五边形．图5就是利用不规则的凸五边形得到的一种密铺图案．
学习任务：
（1）填空：上面小论文中提到“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是”，其中体现的数学思想主要是______．（填出字母代号即可）
A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想
（2）图3中角1的度数是______．
（3）除“正三角形”“正四边形”外，请再写出一种可以进行密铺的正多边形：______．
（4）图6是图5中的一个基本图形，其中，，并且．求证．
【答案】（1）B（2）
（3）正六边形（4）见解析
【解析】
【分析】题主要考查了平面镶嵌，正多边形的内角和与外角；全等三角形的性质与判定；
（1）根据题意将多边形转化为三角形解决问题，体现的是转化思想，据此，即可求解；
（2）根据正五边形的三个内角的和与周角的差即可求解；
（3）根据平面镶嵌的正多边形的内角能被整除，即可求解；
（4）先证明是等边三角形，进而证明，根据平行线间的距离相等可得，进而根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证．
【小问1】
根据题意，对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，可得体现的数学思想主要是转化思想，
故选：B．
【小问2】
解：，
故答案为：．
【小问3】
解：∵正六边形的每个内角为，依题意，一种可以进行密铺的正多边形：正六边形，
故答案为：正六边形．
【小问4】
如图所示，连接，分别过点作垂足分别为，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
22. 综合与实践
问题情境：
数学活动课上，老师提出如下数学问题：如图1，将矩形纸片以点C为中心顺时针方向旋转，当点A的对应点E落在的延长线上时，求证．
数学思考：
（1）请你解决老师提出的问题．
深入探究：
（2）“智慧小组”在解决老师提出的问题后，在图1的基础上又提出新的问题：如图2，过点F作，垂足为M．过点G作，垂足为N．试猜想线段，，的数量关系，并说明理由．请你解决该问题．
（3）“创新小组”受到“智慧小组”的启发，在图2的基础上连接，得到图3．并且提出：若，．求的长．请你思考该问题，并直接写出结果．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定；
（1）连接，根据矩形是由矩形旋转得到的，得出，进而证明， 根据全等三角形的性质可得，等量代换即可得证；
（2）过点作于点，证明，四边形是矩形，得出，进而即可得证；
（3）根据（2）可得，设，则，勾股定理得出，过点作于点，则四边形是矩形，进而求得，，在中，勾股定理，即可求解．
（1）证明：如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴
∴，
∵矩形是由矩形旋转得到的，
∴
∵
∴
∴
∴
（2）
理由如下：过点作于点
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由（1），
∴，
∴，
∴，
（3）∵，
设，则，
∵
∴
解得：，
∴，
又
∴
如图所示，过点作于点，则四边形是矩形，
∴，，
∴
在中，
23. 综合与探究：如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点是第一象限内二次函数图象上的动点，过点P作x轴的平行线，与直线交于点M，与直线交于点E．过点P作直线的平行线，与直线交于点N．直线与直线交于点D．
（1）请直接写出点A，B，C的坐标及直线的函数关系表达式；
（2）当时，求出m的值；
（3）在点P运动的过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出线段的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）,，，直线的解析式为
（2）当时，m的值为
（3）当时，的最大值为
【解析】
【分析】（1）分别令，求得点的坐标，进而待定系数法求直线的解析式；
（2）根据题意，结合相似三角形的性质得出，设点，则点，点的纵坐标都为，进而表示出，的横坐标，得出，根据建立方程，解方程即可求解；
（3）根据的坐标，先求得的解析式，进而得出，得出，根据相似三角形的性质建立的关系式，根据二次函数的性质，即可求解．
【小问1】
解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，
当时，，则
当时，，解得：
∴,
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为
【小问2】
∵
∴
∵
∴
∴，即，
设点，则点，点纵坐标都为，
代入，得
∴
将代入得，
∴
∴
∴
∵
∴
解得：（舍去）
∴当时，m的值为
【小问3】
如图所示，连接，
∵，，
∴
∴
设直线解析式为，将，，代入
解得：
∴直线的解析式为
∴直线
∵
∴，
∴
∴
∴
∴
∵
∵，二次函数的图象开口向下，
∴当时，的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的性质与判定，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

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