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潍坊市高考模拟考试
数学
2024．4
本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2 已知随机变量，且，则（ ）
A. B. C. D.
3. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，，，则（ ）
A. B.
C D.
5. 在平面直角坐标系内，将曲线：绕原点逆时针方向旋转角得到曲线，若是一个函数的图象，则可以为（ ）
A B. C. D.
6. 如图，圆台的上、下底面半径分别为，，且，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ）
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
8. 已知P为抛物线上的一动点，过P作圆的切线，切点分别为A，B，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知椭圆：的焦点分别为，，P为上一点，则（ ）
A. 的焦距为 B. 的离心率为
C. 的周长为 D. 面积的最大值为
10. 定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（ ）
A B. C. D.
11. 已知向量，，为平面向量，，，，，则（ ）
A. B. 的最大值为
C. D. 若，则的最小值为
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 已知命题：，，则为___________．
13. 请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式__________．
①；②至少有两个零点；③有最小值．
14. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，其外接圆半径为1，，则的面积为_______；当A取得最大值时，则________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求实数a，b的值；
（2）求的单调区间和极值．
16. 某市2017年至2023年城镇居民人均可支配收入如下表，将其绘制成散点图（如下图），发现城镇居民人均可支配收入y（单位：万元）与年份代号x具有线性相关关系．
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023
年份代号 1 2 3 4 5 6 7
人均可支配收入 3.65 3.89 4.08 430 4.65 4.90 5.12
（1）求y关于x的线性回归方程，并根据所求回归方程，预测2024年该市城镇居民人均可支配收入；
（2）某分析员从2017年至2023年人均可支配收入中，任取3年的数据进行分析，记其中人均可支配收入超过4.5万的年份个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
参考数据及公式：，，，．
17. 如图1，在平行四边形中，，，E为的中点，将沿折起，连结，，且，如图2．
（1）求证：图2中的平面平面；
（2）在图2中，若点在棱上，直线与平面所成的角的正弦值为，求点到平面的距离．
18. 已知双曲线：的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1．
（1）求的方程；
（2）过上一点作的切线，与的两条渐近线分别交于R，S两点，为点关于坐标原点的对称点，过作的切线，与的两条渐近线分别交于M，N两点，求四边形的面积．
（3）过上一点Q向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，是否存在点Q，满足，若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
19. 数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，…．如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列．
（1）已知数列满足，．
（ⅰ）求，，；
（ⅱ）证明：是一阶等比数列；
（2）已知数列为二阶等比数列，其前5项分别为，求及满足为整数的所有n值．潍坊市高考模拟考试
数学
2024．4
本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先解分式与根式不等式，再求交集即可.
【详解】，
，故.
故选：C
2. 已知随机变量，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性求解即可.
【详解】由题意可知其均值为3，2和4关于3对称，
所以，
因此.
故选：C
3. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移变换和周期变换的原则求解即可.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，
得，
再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，
得.
故选：B
4. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数和指数函数单调性并结合中间量0和1即可比较大小.
【详解】，，，
所以，
故选：A.
5. 在平面直角坐标系内，将曲线：绕原点逆时针方向旋转角得到曲线，若是一个函数的图象，则可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数满足条件数形结合分析即可.
【详解】曲线图像如图所示，其图像为轴右侧的半圆，
根据函数的定义在函数定义域内任意的值都有唯一的值与其对应，
反映到图像上就是在其定义域内作与轴垂直的直线，与函数图像有一个交点，
因此四个选项仅逆时针旋转满足条件.
故选：C.
6. 如图，圆台的上、下底面半径分别为，，且，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，然后代入圆台的侧面积公式求解即可.
【详解】如图所示，作出轴截面，
分别为上下底面圆的圆心，为侧面切点，为内切球球心，
则为的中点，
，
因为，所以，
则
过点作，垂足为，
则，
在中，由勾股定理得，
即，解得或，
因为，所以，，故，
所以圆台的侧面积为.
故选：D.
7. 已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ）
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
【答案】C
【解析】
【分析】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象，进而数形结合判断即可.
【详解】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示.
因为函数关于原点对称的图象与图象有三个交点，故图象上关于原点对称的点有3对.
故选：C
8. 已知P为抛物线上的一动点，过P作圆的切线，切点分别为A，B，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将题目转化为求的最大值，则构建出，再根据勾股定理并结合二次函数性质即可求出角度最大值.
【详解】因为，则求的最大值即求最大值，
由题得圆心坐标，半径，设，则在中，，易知 ，
则最大时，最小，
设，，且，
则，
即时，，此时取得最大值，，
结合得此时，则.
故选：B.
二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知椭圆：的焦点分别为，，P为上一点，则（ ）
A. 的焦距为 B. 的离心率为
C. 的周长为 D. 面积的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据椭圆方程求出，再结合椭圆的性质逐一判断即可.
【详解】设椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为，
则，故，
所以的焦距为，故A正确；
的离心率为，故B正确；
的周长为，故C错误；
对于D，当点位于椭圆的上下顶点时，的面积最大，
最大值为，故D正确.
故选：ABD.
10. 定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据计算公式结合收敛点的定义判断即可.
【详解】对A，由可得数列，，，…不合题意，故A错误；
对B，由可得数列，，，…
则存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故B正确；
对C，由可得数列，，，…不满足题意，故C错误；
对D，由可得数列…
因为，
存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故D正确；
故选：BD
11. 已知向量，，为平面向量，，，，，则（ ）
A. B. 的最大值为
C. D. 若，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A，设，根据可得，从而可得的范围；对B，化简，根据点到圆上的点的距离求解最大值即可；对C，化简，再结合满足圆的方程求范围即可；对D，根据满足圆的方程进行三角换元求解最值即可.
【详解】对A，设，根据有，
即，为圆心为，半径为的圆，又的几何意义为原点到圆上的距离，则，故A错误；
对B，
，则转化为求圆上的点到的距离最大值，
为，故B正确；
对C，，因为，故，故C正确；
对D，因，故，
又因为，故，
，
故当时，取最小值取最小值，故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 已知命题：，，则为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断即可.
【详解】由特称命题的否定为全称命题可得为.
故答案为：
13. 请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式__________．
①；②至少有两个零点；③有最小值．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】举例二次函数，验证其满足题意即可.
【详解】取，其对称轴为，满足①，
令，解得或2，满足②至少有两个零点，
，当，，满足③有最小值.
故答案为：（答案不唯一）.
14. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，其外接圆半径为1，，则的面积为_______；当A取得最大值时，则________．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】空1：利用正弦定理和三角形面积公式得，再利用诱导公式和两角和的正弦公式和二倍角公式即可得，则得到三角形面积；空2：利用正弦定理和面积公式得，再利用余弦定理和基本不等式即可求出答案.
【详解】由正弦定理得，则，
则.
，
，
则，
，，
则，
当且仅当时取等，
因为，则最小时，最大，
取等时，，即，即，
即，即，即.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题第一空的关键是利用三角恒等变换对题目给的等式化简得，第二空的关键是利用余弦定理和基本不等式从而得到角最大时的临界状态.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求实数a，b的值；
（2）求的单调区间和极值．
【答案】（1），
（2）单调递增区间是，，单调递减区间是，极大值为，极小值为.
【解析】
【分析】（1）求导根据导数的几何意义求解即可；
（2）求导分析导函数的正负区间进而求解极值即可.
【小问1详解】
由题可得，
由题意，故，
又，故.
【小问2详解】
由（1）可得，
令可得或，令可得，
故的单调递增区间是，，单调递减区间是.
则的极大值为，极小值为.
16. 某市2017年至2023年城镇居民人均可支配收入如下表，将其绘制成散点图（如下图），发现城镇居民人均可支配收入y（单位：万元）与年份代号x具有线性相关关系．
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023
年份代号 1 2 3 4 5 6 7
人均可支配收入 3.65 3.89 4.08 4.30 4.65 4.90 5.12
（1）求y关于x的线性回归方程，并根据所求回归方程，预测2024年该市城镇居民人均可支配收入；
（2）某分析员从2017年至2023年人均可支配收入中，任取3年的数据进行分析，记其中人均可支配收入超过4.5万的年份个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
参考数据及公式：，，，．
【答案】（1），5.37 万元
（2）分布列见解析，期望为.
【解析】
【分析】（1）求出相关数据，代入公式得到回归直线方程，并代入即可；
（2）首先得到 的可能取值为 0,1,2,3，分步列出分布列，计算期望即可.
小问1详解】
由题意得，，
，
，
，
故，
，
故回归方程为，
又因为2024年的年份编号为8，将代入，解得，
预测2024年该市城镇居民人均可支配收入为5.37万元;
【小问2详解】
由图表知，人均可支配收入超过4.5万的年份有3年，
故的可能取值为0，1，2，3，则，
，
，
，
故随机变量的分布列为：
0 1 2 3
故.
17. 如图1，在平行四边形中，，，E为的中点，将沿折起，连结，，且，如图2．
（1）求证：图2中的平面平面；
（2）在图2中，若点在棱上，直线与平面所成的角的正弦值为，求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，利用勾股定理证明，再根据线面垂直的判定定理证得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证；
（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【小问1详解】
连接，
由题意，
则为等边三角形，
由余弦定理得，所以，
则，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面；
【小问2详解】
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，
则，
设，
故，
，
因为轴垂直平面，故可取平面的一条法向量为，
所以，
化简得，解得或（舍去），
所以，
设平面的法向量为，
则有，可取，
所以点到平面的距离为．
18. 已知双曲线：的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1．
（1）求的方程；
（2）过上一点作的切线，与的两条渐近线分别交于R，S两点，为点关于坐标原点的对称点，过作的切线，与的两条渐近线分别交于M，N两点，求四边形的面积．
（3）过上一点Q向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，是否存在点Q，满足，若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）或或或
【解析】
【分析】（1）根据双曲线的基本量关系，结合右焦点到一条渐近线的距离为1求解即可；
（2）设直线，联立双曲线方程可得交点坐标，再根据点到直线的距离结合弦长公式与三角形面积公式求解即可；
（3）设，可得，再结合可得，进而根据点到线的距离公式，结合双曲线的方程求解即可.
【小问1详解】
因为双曲线实轴长为，故，，的一条渐近线方程为，
则，故双曲线的方程为.
【小问2详解】
由题意可知四边形为平行四边形，其面积，
由题意可得直线的斜率存在，设直线，且，
联立，消去并整理得，
因直线与双曲线相切，故，
得，即，所以，直线方程为.
设直线与的交点为，与的交点为，
联立，得，同理得，
则，
因为原点到直线的距离，
所以，所以.
【小问3详解】
设，则，不妨设到直线的距离为：
，同理，
所以①
又因为②，
由①②解得或，
当时，解得，
又，则，解得，
同理有或或，
所以存在点或或或满足.
【点睛】方法点睛：
（1）弦长公式；
（2）设双曲线上一点，则可得为定值
19. 数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，…．如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列．
（1）已知数列满足，．
（ⅰ）求，，；
（ⅱ）证明：是一阶等比数列；
（2）已知数列为二阶等比数列，其前5项分别为，求及满足为整数的所有n值．
【答案】（1）（ⅰ），，；（ⅱ）证明见解析
（2）当时，为整数.
【解析】
【分析】（1）（ⅰ）根据的定义，结合通项公式求解即可；（ⅱ）根据递推公式构造即可证明；
（2）由题意的二阶等差数列为等比数列，设公比为，可得，结合进而可得，从而分析为整数当且仅当为整数，再根据二项展开式，结合整除的性质分析即可.
【小问1详解】
（ⅰ）由，易得，……
由一阶等差数列的定义得：
，，.
（ⅱ）因为，所以当时有，
所以，即，
即，又因为，故是以1为首项，2为公比的等比数列，
即是一阶等比数列.
【小问2详解】
由题意的二阶等差数列为等比数列，设公比为，
则，，所以.
由题意，所以，
所以，
即.
所以为整数当且仅当为整数.
由已知时符合题意，时不合题意，
当时，，
所以原题等价于为整数，
因为①，
显然含质因子3，所以必为9的倍数，
设，则，将代入①式，
当为奇数时，为偶数，①式为2的倍数；
当为偶数时，为奇数，为偶数，①式为2的倍数，
又因为2与9互质，所以①为整数.
综上，当时，为整数.
【点睛】方法点睛：
（1）新定义的题型需要根据定义列出递推公式，结合等比等差的性质求解；
（2）考虑整除时，可考虑根据二项展开式进行讨论分析.

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