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2023-2024学年辽宁省沈阳市高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.与角终边相同的角是( )
A. B. C. D.
2.已知，，，若，则( )
A. B. C. D.
3.在扇形中，，且弦，则扇形的面积为( )
A. B. C. D.
4.在梯形中，，，则( )
A. B. C. D.
5.在与中，已知，，，若≌，则( )
A. B.
C. D.
6.小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是( )
A. 越小越费力，越大越省力
B. 始终有
C. 当时，
D. 当时，
7.若，且，，，则，，的大小是( )
A. B. C. D.
8.已知，其中，其部分图象如图，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
10.已知向量，，，则( )
A. 在上的投影数量是
B. 在上的投影向量是
C. 与夹角的正弦值是
D.
11.设函数其中，，若在上具有单调性，且，则( )
A.
B.
C.
D. 当时，
12.在中，，，，则( )
A. 的周长是 B. 边上的中线长
C. 边上的角平分线长 D. 边上的高长
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若，满足条件的的集合是______．
14.将函数的图象上各点向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的，得到的图象的函数解析式是______．
15.已知，则 ______．
16.在中，为边上的任一点，若，，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，，已知点的坐标为，求的值；
若，求的坐标．
18.本小题分
如图，在平行四边形中，点为中点，点在上，．
设，，用，表示向量；
求证：，，三点共线．
19.本小题分
已知，，求满足，的点的坐标；
设，为单位向量，且，向量与共线，求的最小值．
20.本小题分
在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，求的面积．
21.本小题分
已知在上是单调函数，函数的图象关于点中心对称，且对任意的，都有．
求解析式；
若函数在上有两个零点，，求值．
22.本小题分
已知，，分别为中角，，的对边，为的重心，为边上的
中线．
若的面积为，且，，求的长；
若，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
与角终边相同的角是．
故选：．
直接由终边相同角的定义求解．
本题考查终边相同角的表示方法，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，，
则，，
，
则，解得．
故选：．
结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设扇形的圆心角大小为，半径为，扇形的面积为
，且弦，
可得：，，
扇形的面积为．
故选：．
由已知可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可计算得解．
本题主要考查了扇形的面积公式的应用，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
又，，
，，，
则．
故选：．
由题意得到，根据向量垂直和模长公式即可求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由已知得有唯一解，，，，
因为≌，
由正弦定理可知，即，
即，有唯一解，
在同一坐标系内分别作出曲线，和水平直线，
它们必须有唯一的交点，所以或，
解得或．
故选：．
由正弦定理可得的表达式，再由角的范围，由与的图象可得的范围．
本题考查三角函数的性质的应用，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，由于，又由，则四边形为菱形，
则有，
对于，由于不变，则越小越省力，越大越费力，A错误；
对于，由于，B错误；
对于，当时，，C正确；
对于，当时，，D错误．
故选：．
根据题意，由向量的平行四边形法则可得，由此分析选项，即可得答案．
本题考查向量的加法，涉及向量的模，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为若，且，，，
若，则，，显然不符合题意，
若时，，
所以，，，
由题意可得，，可看成与，的交点的横坐标，
结合函数的图象可知，．
故选：．
由题意可知，，，，，可看成与，的交点的横坐标，结合函数图象即可求解．
本题考查了两角和与差的三角函数，重点考查了同角三角函数的关系，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意可得，函数图象关于对称，
故，，，
又，，且，
所以，
所以．
故选：．
由已知先求出函数的一条对称轴，结合对称性求出周期，进而可求，结合特殊点可求，从而可求，把代入即可求解．
本题主要考查了由部分函数的性质求解的图象，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：．
直接利用三角函数的诱导公式分析四个选项得答案．
本题考查三角函数的诱导公式，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以，，
即，所以，
对于，在上的投影数量是，故A正确；
对于，在上的投影向量是，故B错误；
对于，，所以，故C错误；
对于，因为，所以，故D正确．
故选：．
由平面向量的数量积运算计算可得，由投影向量计算可判断，；由夹角求法可判断；由数量积运算计算可判断．
本题考查平面向量的数量积与夹角，涉及投影向量，向量垂直等，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为在上具有单调性，
所以，
所以，
因为，
所以的图象关于对称，且关于对称，
所以，，
所以，
故时，，B错误；
，
因为，即，，，
所以，C正确；
所以，
所以，
所以，A正确；
所以，
当时，，，D错误．
故选：．
由已知结合正弦及余弦函数的单调性，对称性及周期性分别求出，，再由特殊点的三角函数值可求，进而可求，再由余弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了由部分函数的性质求的解析式，还考查了余弦函数性质的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为在中，，，，
所以由余弦定理可得，
所以的周长是，故A正确；
设边上的中线为，则，
两边平方，可得，解得，故B错误；
设边上的角平分线为，，
则，又，
所以，在中，由余弦定理，可得，
可得，解得或，故C错误；
设边上的高为，
因为，，，，
所以，解得，故D正确．
故选：．
由题意利用余弦定理可得的值，即可判断；
设边上的中线为，则，两边平方，利用平面向量数量积的运算可求，即可判断；
设边上的角平分线为，利用角平分线的性质可求，在中，由余弦定理可得的值，即可判断；
设边上的高为，利用三角形的面积公式即可判断．
本题考查了余弦定理，平面向量数量积的运算，角平分线的性质以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
13.【答案】或，
【解析】解：，
则，，解得，，
又，则满足条件的的集合是．
故答案为：或，．
利用正弦函数的图象求解即可．
本题考查三角函数的应用，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：函数的图象上各点向左平移个单位长度，得到函数的图象，再把横坐标缩短为原来的，得到函数的图象．
故答案为：．
直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出结果．
本题考查的知识点：函数图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由，得，
即，
．
故答案为：．
由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值．
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：设的内角，，的对边分别为，，，
因为，
所以，
又由余弦定理可得，
所以，可得，
可得，即，即，
所以由余弦定理，
可得，
所以．
故答案为：．
化简已知等式可得，结合余弦定理可得，可求，从而利用同角三角函数基本关系式即可求解的值．
本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
17.【答案】解：点的坐标为，可得，，
所以．
，，
．
的坐标
【解析】利用三角函数的定义，求解，，求解的值．
通过，利用诱导公式求解的坐标．
本题考查三角函数的定义，诱导公式的应用，是基础题．
18.【答案】解：由，可得，
则
；
证明：由题意，
，
则，所以，且与有公共点，
所以，，三点共线．
【解析】结合图形，根据平面向量的线性运算即可求解；
根据平面向量的线性运算可得，即可证明三点共线．
本题考查平面向量的线性运算，考查三点共线的证明，属基础题．
19.【答案】解：设点坐标为，则，
，解得或，
即点的坐标为或；
由向量与共线，令，
则，
而向量为单位向量，且，
于是得当且仅当时取“”，
所以的最小值为．
【解析】设点坐标为，则，利用平面向量数量积和模长公式即可求解；
令，则，利用向量的模长公式和二次函数的性质即可求解．
本题考查了平面向量数量积和模长的计算，属于中档题．
20.【答案】解：，
，即，
，
，
；
，，
由正弦定理，可得，可得，
为锐角，，
，
的面积．
【解析】由题意利用余弦定理可求的值，结合，即可求解的值；
由题意利用正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用两角和的正弦公式可求的值，进而利用三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦公式以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
21.【答案】解：因为函数的图象关于点中心对称，
所以，，
因为对任意的，都有且在上是单调函数，
故，，
得，，
又，
所以，
所以，
因为，
所以，；
若函数在上有两个零点，，
则与关于对称，即，
故．
【解析】由已知结合正弦函数的对称性及单调性即可求解，，进而可求函数解析式；
结合正弦函数的对称性可求，代入即可求解．
本题主要考查了由部分函数的性质求解的解析式，还考查了正弦函数对称性的应用，属于中档题．
22.【答案】解：因为点是的重心，是中线，所以，
由，可得，结合为中点，得．
因为，，
所以，即，解得，
因此中，，，
可得，
因为中，，，
所以，
可得舍负．
若，则是以为斜边的直角三角形，可得，
设，则，，
由，可得，即，
由，得，即．
相加，得，
所以，即，
由余弦定理，得，
因为，所以，当且仅当时，等号成立．
因此，当中，时，有最小值．
【解析】根据三角形重心的性质与中线的性质，算出，利用面积公式列式算出，从而得出是边长为的等边三角形，由此得到中，，且，进而利用余弦定理算出边的长；
由直角三角形的性质，得到，设，则，，利用向量数量积的运算性质，推导出，然后利用余弦定理算出，最后根据基本不等式求出的最小值．
本题主要考查利用正弦定理与余弦定理解三角形、三角形的重心的性质、向量数量积的运算性质、利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．
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