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2024年天津市和平区中考二模数学试题
温馨提示：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题)、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟．
祝你考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．
2．本卷共12题，共36分．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 估计的值在（ ）
A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间
【答案】D
【解析】
【分析】根据算术平方根的意义估算即可解答．
【详解】解：，
，即，
故选：D．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，理解算术平方根的意义是正确解答的关键．
2. 下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，理解三视图的定义是解题的关键．
从正面看得到主视图，据此判定即可．
【详解】从正面看，上层有1个正方形，下层有3个正方形，
∴它的主视图是：
故选：A．
3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，利用轴对称图形的概念逐一进行识别即可．
【详解】A．不是轴对称图形，该选项不符合题意；
B．是轴对称图形，该选项符合题意；
C． 不是轴对称图形，该选项不符合题意；
D． 不是轴对称图形，该选项不符合题意；
故选：B．
4. 苏步青是国际公认的几何学家，中国著名教育家，中国科学院院士，是我国微分几何学派的创始人．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约公里的行星命名为“苏步青星”．将数据用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
科学记数法的表现形式为，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数，表示时关键是要正确确定及的值．
【详解】解：数据用科学记数法表示为，
故选：B．
5. 计算的结果为（ ）
A. B. C. 2 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查的是有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题的关键．
先将减法转化为加法，然后再按照加法法则计算即可．
【详解】解：，
故选：C．
6. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据，反比例函数经过第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，据此进行作答即可．
【详解】解：∵反比例函数，
∴，
∴反比例函数经过第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
∵点都在反比例函数的图象上，
∴，
故选：C．
7. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先整理，再进行二次根式的混合运算，即可作答．
【详解】解：依题意，
故选：B．
8. 若是方程的两个根，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
先整理为一般形式，再根据根与系数的关系判定即可．
【详解】方程整理为：，
∵是方程的两个根，
∴，，
故选：A．
9. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用平方差公式通分，再约分化简即可．
【详解】解：，
故选A．
【点睛】本题考查分式的化简及平方差公式，属于基础题，掌握通分、约分等基本步骤是解题的关键．
10. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线与相交于点，若，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了作角平分线以及角平分线的性质．利用基本作图得到由作法得平分，然后根据角平分线的性质求解．
【详解】解：由作法得平分，
∴点P到和的距离相等，
∵，
∴，
∴点D到的距离为的长，即点D到的距离为8，
∴点D到的距离为．
的面积．
故选：C．
11. 如图，在中，，将以点为中心顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握相关的知识是解题的关键．
根据旋转的性质证是等边三角形，根据等边三角形的性质，结合平行线的判定求解即可．
【详解】∵将以点为中心顺时针旋转得到，，
∴，，
∴，
∴等边三角形，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
12. 如图，四边形的两条对角线，相交于点，点在线段上，且，若．有下列结论：①的取值范围是；②的长有两个不同的值满足四边形的面积为12；③四边形面积最大值为．其中，正确结论的个数有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解一元二次方程，二次函数的性质等知识点，利用三角形的三边关系可判定①，先表示出，再利用二次函数的性质可判定③，解的方程，可判定②，进而可得答案，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【详解】∵ 在中，，
∴，
∴，
故①正确，符合题意；
∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴当时，四边形面积有最大值为，
故③正确，符合题意；
当时，
解方程得：或，
∴的长有两个不同的值满足四边形的面积为12，
故②正确，符合题意；
故选：D．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）．
2．本卷共13题，共84分．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 不透明袋子中装有个球，其中有个红球、个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，则它是黑球的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率公式计算即可
【详解】∵共有个球，其中黑色球个
∴从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键．
14. 计算的结果是________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的乘法．根据平方差公式计算即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：5．
15. 计算的结果为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查整式的乘法运算．根据题意，由单项式乘单项式的运算法则即可．
【详解】解：．
故答案为：．
16. 若直线（a为常数）经过点，则它与轴的交点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴交点问题，通过一次函数所经过点求一次函数的解析式是解题的关键．
把点代入，求出直线的解析式，再建立方程求解即可．
【详解】解：把点代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
令，则，
解得：，
∴直线与轴的交点坐标为
故答案为：．
17. 如图，正方形的边长为4，点在边上，，作等腰直角三角形．
（1）的长为______．
（2）若为AF的中点，连接DM，则DM的长为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】1）在上取一点，使，构造等腰直角、，从而可得，
（2）延长交延长线于点，可得等腰直角，为中位线，由此即可解题．
【详解】解：（1）在上取一点，使，
在正方形的边长为4，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵在等腰直角中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
（2）延长交延长线于点，
由（1）：，，
∴,
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为（1），（2）．
【点睛】本题是正方形与三角形的综合，主要考查了三角形全等、正方形的性质、勾股定理，利用一线三垂直作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
18. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，是圆的直径，且点在格点上，圆与网格线相交于点和点．
（1）______（度）；
（2）在上找一点，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______．
【答案】 ①. ②. 延长与网格线相交于点，连接，与网格线相交于点，连接与圆相交于点；取与网格线的交点，连接并延长与圆相交于点，连接与相交于点，则点即为所求
【解析】
【分析】本题考查了圆周角，中位线，作图等知识点，熟练运用这些知识点是解题的关键．
（1）用直径所对的圆周角为直角可解．
（2）延长与网格线相交于点，即为的中点，连接，与网格线相交于点，即为的中点，故是的中位线，连接与圆相交于点，即，取与网格线的交点，即圆心为点，连接并延长与圆相交于点，即为直径，连接，即，故，，与相交于点，则点即为所求．
【详解】（1）由于是圆的直径，直径所对的圆周角为直角，
所以．
（2）延长与网格线相交于点，即为的中点，
连接，与网格线相交于点，即为的中点，
连接与圆相交于点，
故是的中位线，即，
取与网格线的交点，即圆心为点，
连接并延长与圆相交于点，即为直径，
连接，即，故，
由于，
故，
与相交于点，即，则点即为所求．
．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得______；
（2）解不等式②，得______；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为______．
【答案】（1）
（2）
（3）画图见解析 （4）
【解析】
【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，一元一次不等式组的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；
（1）先去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；
（2）移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；
（3）在数轴上利用大于向右，小于向左，结合实心点，表示不等式的解集即可；
（4）利用数轴确定不等式的解集的公共部分即可．
【小问1详解】
解：解不等式①，得
，
∴，
∴，
小问2详解】
解不等式②，得
，
∴；
【小问3详解】
在数轴上表示两个不等式的解集如下：
【小问4详解】
原不等式组的解集为．
20. 为了解某校九年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了名学生的实验操作得分（满分为10分），根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为______图①中m的值为______；
（2）求统计的这组学生实验操作得分数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据统计的这组九年级学生的理化生实验操作得分的样本数据，若该校九年级共有800名学生，估计该校九年级学生的理化生实验操作得分不低于9分的学生人数．
【答案】（1）40，15
（2）这组数据的平均数是8.3，众数是9，中位数是8
（3）该校800名初中学生中，得分不低于9分的学生人数约为380
【解析】
【分析】（1）根据扇形统计图和条形统计图中6分的数据，可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和得分为7分的人数即可求出m；
（2）根据条形统计图中的数据，可以得到这40个样本数据平均数、众数、中位数；
（3）总人数乘以得分不低于9分的学生人数的所占比例即可．
【小问1详解】
解：（人，
，
，
故答案为：40，15；
【小问2详解】
解：（分，
在这组数据中，9出现了12次，次数最多，
众数是9分，
将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第20，21名学生的分数都是8分，
中位数是（分，
即这40个样本数据平均数、众数、中位数分别是8.3分，9分，8分．
【小问3详解】
解：（名）
答： 该校九年级学生的理化生实验操作得分不低于9分的学生人数为380．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21. 已知是半圆的直径，是的中点．
（1）如图①，若，求和的大小；
（2）如图②，过点作半圆的切线，过点作与相交于点，若，求的长．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的相关运算以及圆周角定理，切线性质，内接四边形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先得出结合圆周角定理，得出，再运用内接四边形对角互补进行列式，即可作答．
（2）由切线性质得出结合圆周角定理得出运用等边对等角以及三角形内角和，则根据三角函数列式，即可作答．
【小问1详解】
解： 是半圆的直径，
是的中点，
四边形是圆内接四边形，
【小问2详解】
解：如图，连接
过点作半圆的切线，
由（1）可知.
在Rt中，，
22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量建筑物的高度．
如图，建筑物前有个斜坡，已知在同一条水平直线上．
某学习小组在处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，广告牌．
（1）求点到地面距离长；
（2）设建筑物的高度为（单位：）；
①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）；
②求建筑物的高度（取取1.7，结果取整数）
【答案】（1）的长为
（2）①的长为；②建筑物的高度约为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
（1）在中，利用30度角的性质求解即可；
（2）①在中，求出，在中，求出，进而可表示线段的长；
②过点作，垂足为，可得，从而，在中，构建方程即可求解．
【小问1详解】
由题意得
在中，，
．即的长为．
【小问2详解】
①在中，，
在中，由，得．
．即HE的长为
②如图，过点作，垂足为．
根据题意，，
四边形是矩形．
，
∴．
在中，，
．即，
（m）．
答：建筑物的高度约为．
23. 已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校．小明从学校出发，匀速骑行到达书店，在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆，在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校，回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校．下面图中表示时间，表示离学校的距离．图象反映了这个过程中小明离学校的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
小明离开学校的时间/
小明离学校的距离/
②填空：小明从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为______；
③填空：当小明离学校的距离为时，他离开学校的时间为______；
④当时，请直接写出小明离学校的距离y关于时间x的函数解析式；
（2）当小明到达书店前时，同学小红从书店出发匀速直接前往陈列馆，如果小红步行的速度为 ，那么她在前往陈列馆的途中遇到小明时离学校的距离是多少？（直接写出结果即可）
【答案】（1）①，，；②；③或；④
（2）
【解析】
【分析】（1）①分析图像，求解途中速度，另求解，由图象知、是的值；
②分析图像可知匀小明从陈列馆回学校途中，减速前的骑行路程和时间，则速度可求；
③由图可知有和两种情况，求出每段图像中小明的速度，则确定其离开的时间；
④用待定系数法求解时的函数解析式，结合①与图像可确定时的函数解析式；
（2）设小红步行的时间为，利用小明小红相遇时从陈列馆出发的距离相等列方程，确定，从而求解小红在前往陈列馆的途中遇到小明时离学校的距离．
【小问1详解】
解：①由图象可知：
小明从学校出发，匀速骑行到达书店，途中速度是，
∴时，；
由图象知，时，，
时，，
故答案为：，，；
②由图象可知：
小明从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为，
故答案为：；
③由图可知：当小明离学校的距离为3km时，有两种情况：
若时， ，
若时，速度为km/h，
，
他离开学校的时间为或，
故答案为：或；
④由①知时，函数解析式为，
时，函数解析式为，
时，设函数解析式为，将带入解析式中得
解得，
∴时函数解析式为，
∴时函数解析式为；
【小问2详解】
设小红步行的时间为，则：
解得，
她在前往陈列馆的途中遇到小明时离学校的距离是．
【点睛】本题考查行程问题，涉及一次函数的实际应用、解一元一次方程、解二元一次方程组、待定系数法求解析式等，解题的关键是读懂题意，能从图象获取有用的信息．
24. 将一个矩形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，点，点，点与轴相交于点，点在边AD上（点Q不与点A，D重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点Q，并与轴相交于点，且，点，的对应点分别为点．
（1）如图①，当点落在线段上时，求的大小和点的坐标；
（2）设，纸片折叠后与矩形重叠部分的面积为．
①如图②，若折叠后与矩形的重叠部分是四边形时，与边相交于点，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围；
②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1），
（2）①，其中t的取值范围是；②
【解析】
【分析】本题考查矩形的折叠问题，解直角三角形，二次函数的应用，正确画出图形，恰当分类是解题的关键．
（1）根据折叠的性质和的直角三角形的性质直接求解即可；
（2）①利用，表示，即可求出的长；分两种情况考虑极端值：当点落在边上时，点在上时，分别画图求解即可；
②分三种情况：，，，分别画图，构造二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
由折叠的性质可得：，，
∴，
∴，
在中，，，
∵，
∴，，
∴点的坐标为：；
【小问2详解】
①∵，
∴，
由折叠的性质可得：，，
∴，
∴，
在中，，，
∴
当点落在边上时，作于点，如图所示，
由折叠的性质可得：，，
∴，
∴，，
∴此时，，
当点在上时，如图所示，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴若折叠后与矩形的重叠部分是四边形时，的取值范围是：；
②当时，设交轴于点，如图所示，
此时就是折叠后与矩形的重叠部分，
∵，，
∴；
当时，设交轴于点， 交于点，如图所示，
此时，重合部分是五边形，
，，
∴，，，
∴，
∴
∴当时，的最大值，
当时，设交于点，如图所示，
此时，重叠部分是，
，，
∴，，
∴，，
∴
，
∵，
∴当时，求的取值范围：．
25. 已知抛物线（为常数，）的顶点为，与轴相交于A，B两点（点A在点的左侧），与轴相交于点．直线是常数，且）与抛物线相交于点，与相交于点．
（1）若
①求点和点的坐标；
②若抛物线的对称轴与相交于点，当时，求的值；
（2）若点的坐标为，过点作，垂足为，过点作轴，垂足为，当直线经过点，且，求抛物线的解析式．
【答案】（1）①点的坐标为，点点的坐标为；②的值为2
（2）抛物线的解析式为
【解析】
【分析】（1）①把解析式化为顶点式，即可求出点P的坐标，再求出当时，x的值即可求出点B的坐标；②先求出直线的解析式为，再求出点的坐标为，点的坐标为．则,其中且.再求出，则，解方程即可得到答案；
（2）如图，抛物线的对称轴与轴的交点为，过点作，垂足为.先利用待定系数法求出．则；证明，得到．再证明四边形是平行四边形，推出，即．则．可得．进而得到．则，．求出．即．则，解方程得到点的坐标为．再求出．解直角三角形得到．则．可得，解方程即可求出抛物线的解析式为．
【小问1详解】
解：①由，得拋物线的解析式为．
，
点的坐标为．
当时，．解得．
点点的坐标为．
②当时，．
点点的坐标为．
设直线BC的解析式为，
有
解得
直线的解析式为．
直线与拋物线相交于点，与相交于点，
点的坐标为，点的坐标为．
,其中且.
抛物线的对称轴与相交于点,
点的坐标为.
．即，解得（舍），．
的值为2．
【小问2详解】
解：如图，抛物线的对称轴与轴的交点为，过点作，垂足为.
点在抛物线上，其中，
．得．
抛物线的解析式为．
∴点，其中且．
顶点的坐标为．
．
当时，．
点点的坐标为．
，
∴在中，．
轴，轴，
．
又∵．
四边形是平行四边形．
．
∴，即．
．
∴在中，．
．
又轴，
．
中，，
∴．
轴，
∴在中，．
．即．
，
．即，
解得（舍）.
点的坐标为．
．
轴，轴，
．
．
在中，．
．
．
∴，
解得（舍），．
抛物线的解析式为．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解直角三角形等等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2024年天津市和平区中考二模数学试题
温馨提示：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题)、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟．
祝你考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．
2．本卷共12题，共36分．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 估计的值在（ ）
A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间
2. 下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 苏步青是国际公认的几何学家，中国著名教育家，中国科学院院士，是我国微分几何学派的创始人．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约公里的行星命名为“苏步青星”．将数据用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
5. 计算的结果为（ ）
A. B. C. 2 D. 8
6. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
8. 若是方程的两个根，则（ ）
A. B.
C. D.
9. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线与相交于点，若，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，在中，，将以点为中心顺时针旋转得到，点A，B对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12. 如图，四边形的两条对角线，相交于点，点在线段上，且，若．有下列结论：①的取值范围是；②的长有两个不同的值满足四边形的面积为12；③四边形面积最大值为．其中，正确结论的个数有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）．
2．本卷共13题，共84分．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 不透明袋子中装有个球，其中有个红球、个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，则它是黑球的概率是______．
14. 计算的结果是________．
15. 计算的结果为______．
16. 若直线（a为常数）经过点，则它与轴的交点坐标为______．
17. 如图，正方形的边长为4，点在边上，，作等腰直角三角形．
（1）的长为______．
（2）若为AF的中点，连接DM，则DM的长为______．
18. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，是圆的直径，且点在格点上，圆与网格线相交于点和点．
（1）______（度）；
（2）在上找一点，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得______；
（2）解不等式②，得______；
（3）把不等式①和②解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为______．
20. 为了解某校九年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了名学生的实验操作得分（满分为10分），根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为______图①中m的值为______；
（2）求统计这组学生实验操作得分数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据统计的这组九年级学生的理化生实验操作得分的样本数据，若该校九年级共有800名学生，估计该校九年级学生的理化生实验操作得分不低于9分的学生人数．
21. 已知是半圆的直径，是的中点．
（1）如图①，若，求和的大小；
（2）如图②，过点作半圆的切线，过点作与相交于点，若，求的长．
22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量建筑物的高度．
如图，建筑物前有个斜坡，已知同一条水平直线上．
某学习小组在处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，广告牌．
（1）求点到地面距离的长；
（2）设建筑物的高度为（单位：）；
①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）；
②求建筑物的高度（取取1.7，结果取整数）
23. 已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校．小明从学校出发，匀速骑行到达书店，在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆，在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校，回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校．下面图中表示时间，表示离学校的距离．图象反映了这个过程中小明离学校的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
小明离开学校的时间/
小明离学校的距离/
②填空：小明从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为______；
③填空：当小明离学校的距离为时，他离开学校的时间为______；
④当时，请直接写出小明离学校距离y关于时间x的函数解析式；
（2）当小明到达书店前时，同学小红从书店出发匀速直接前往陈列馆，如果小红步行的速度为 ，那么她在前往陈列馆的途中遇到小明时离学校的距离是多少？（直接写出结果即可）
24. 将一个矩形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，点，点，点与轴相交于点，点在边AD上（点Q不与点A，D重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点Q，并与轴相交于点，且，点，的对应点分别为点．
（1）如图①，当点落在线段上时，求的大小和点的坐标；
（2）设，纸片折叠后与矩形的重叠部分的面积为．
①如图②，若折叠后与矩形的重叠部分是四边形时，与边相交于点，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围；
②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
25. 已知抛物线（为常数，）的顶点为，与轴相交于A，B两点（点A在点的左侧），与轴相交于点．直线是常数，且）与抛物线相交于点，与相交于点．
（1）若
①求点和点的坐标；
②若抛物线的对称轴与相交于点，当时，求的值；
（2）若点的坐标为，过点作，垂足为，过点作轴，垂足为，当直线经过点，且，求抛物线的解析式．

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