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单元复习
第二十一章　一元二次方程
知识要点
知识点1　一元二次方程的概念
一元二次方程的一般式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
对点训练
1.填空：
(1)若关于x的方程(m＋1)x2－2x＋3＝0是一元二次方程，则m的取值范围是___________；
(2)一元二次方程3x2＋2x＝1化为一般形式为______________.二次项系数为________，一次项为________，常数项为________.
m≠－1
3x2＋2x－1＝0 　
3　
2x　
－1 　
知识要点
知识点2　一元二次方程的根
使一元二次方程等号左右两边相等的未知数的值．
对点训练
2．已知关于x的方程x2－4x＋2m－1＝0的一个根是－1，则m＝________.
－2 　
知识要点
知识点3　根的判别式、根与系数的关系
(1)根的判别式：Δ＝b2－4ac，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根；当Δ≥0时，方程有实数根．
(2)根与系数的关系：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
对点训练
3．(1)一元二次方程x2－2x＋3＝0的根的情况是 (　　)
A．有两个不等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
(2)一元二次方程2x2－8x－1＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝________，x1x2＝________.
B 　
4
－
知识要点
知识点4　一元二次方程的解法
(1)直接开方法：x2＝p；(x＋m)2＝p(p≥0)；
(2)配方法：a＝1，b＝偶数；
(3)公式法：x＝(Δ＝b2－4ac≥0)；
(4)因式分解法：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法．
对点训练
4．用适当的方法解下列方程：
(1)x2＝3；　　　 (2)x2－4x－5＝0.
解：x2＝9，
∴x＝±3.
解：(x－5)(x＋1)＝0，
x－5＝0，或x＋1＝0，
∴x1＝5，x2＝－1.
知识要点
知识点5　实际问题与一元二次方程
(1)增长率问题、病毒传播问题；
(2)面积问题；
(3)循环问题；
(4)销售问题；
(5)数字问题；
(6)动点问题．
对点训练
5．有长为30 m的篱笆，如图所示，一面靠墙(墙足够长)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．当花圃的面积是72 m2时，则AB＝__________.
4 m或6 m 　
核心练习
1．解下列方程：
(1)x2－x－3＝0；　　　
解：∵a＝1，b＝－1，c＝－3，
∴Δ＝(－1)2－4×(－3)×1＝1＋12＝13.
∴x＝＝±.
∴x1＝，x2＝.
1．解下列方程：
(2)3x(x－4)＝x－4.
解：3x(x－4)－(x－4)＝0，
(x－4)(3x－1)＝0，
x－4＝0，或3x－1＝0，
∴x1＝4，x2＝.
2．已知关于x的方程x2＋ax＋a－5＝0.
(1)若方程的一个根为3，求a的值及该方程的另一个根．
解：(1)把x＝3代入方程，得32＋3a＋a－5＝0，
解得a＝－1.
∴方程为x2－x－6＝0，
解得x1＝3，x2＝－2.
即方程的另一个根是－2.
2．已知关于x的方程x2＋ax＋a－5＝0.
(2)求证：无论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
(2)证明：∵Δ＝a2－4(a－5)＝a2－4a＋20＝a2－4a＋4＋16＝(a－2)2＋16>0，
∴无论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
3．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋k－1＝0有实数根．
(1)求k的取值范围；
解：(1)根据题意，得Δ＝(－4)2－4(k－1)≥0，
解得k≤5.
3．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋k－1＝0有实数根．
(2)若此方程的两实数根x1，x2满足＝10，求k的值．
(2)由题意，得x1＋x2＝4，x1x2＝k－1.
＝10，
∴(x1＋x2)2－2x1x2＝42－2(k－1)＝10，
解得k＝4.
满足条件k≤5，故k的值是4.
4．由于流感的影响，口罩的需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元．
(1)求出这两次价格上调的平均增长率；
解：(1)设这两次价格上调的平均增长率为x.
依题意，得＝16.9，
解得x1＝0.3＝30%，x2＝－2.3(不符合题意，舍去)．
答：这两次价格上调的平均增长率为30%.
4．由于流感的影响，口罩的需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元．
(2)在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包．当销售额为315元，且让顾客获得更大的优惠时，应该降价多少元？
(2)设每包应该降价m元．
依题意，得
(10－m)(30＋5m)＝315，
整理，得m2－4m＋3＝0，
解得m1＝1，m2＝3.
又∵要让顾客获得更大的
优惠，
∴m的值为3.
答：每包应该降价3元．

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