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确山二高 年级 学科共案
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【教学主题】曲线运动
【教学目标】1.是曲线运动，学会确定曲线运动速度的方向。
2.什么是合运动，分运动。
【知识梳理】一、曲线运动
1．速度的方向
质点在某一点的速度方向就是曲线在这一点的 ．
2．运动的性质
做曲线运动的物体，速度的 时刻在改变，所以曲线运动一定是 运动．
3．曲线运动的条件
(1)运动学角度：物体的 方向跟速度方向不在同一条直线上．
(2)动力学角度：物体所受 的方向跟速度方向不在同一条直线上．
二、运动的合成与分解
1．基本概念
2．分解原则
根据运动的 分解，也可采用正交分解法．
3．遵循的规律
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循____________定则．
(1)如果各分运动在同一直线上，需选取正 ( http: / / www.21cnjy.com )方向，与正方向同向的量取＋号，与正方向反向的量取－号，从而将矢量运算简化为__________ 运算．
(2)两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图所示．
【典型例题】
1．(曲线运动的性质)下面说法中正确的是(　　)
A．做曲线运动的物体速度方向必定变化
B．速度变化的运动必定是曲线运动
C．加速度恒定的运动不可能是曲线运动
D．加速度变化的运动必定是曲线运动
解析：做曲线运动的物体速度大小不一定变化，但速度方向必定变化，A正确；速度变化的运动可能是速度大小在变，方向不变，物体做直线运动，B错误；加速度恒定的运动可能是匀变速直线运动，也可能是匀变速曲线运动，C错误；加速度变化的运动可能是变加速直线运动，也可能是变加速曲线运动，D错误．
答案：A
2.(曲线运动的轨迹与速度及合力的关系)质点仅在恒力F的作用下，在xOy平面内由坐标原点运动到A点的轨迹如图所示，经过A点时速度的方向与x轴平行，则恒力F的方向可能沿(　　)
A．x轴正方向　 B．x轴负方向
C．y轴正方向 D．y轴负方向
解析：质点做曲线运动时所受合力一定指向曲线 ( http: / / www.21cnjy.com )的内侧(凹侧)，选项B、C错误；由于初速度与合力初状态时不共线，所以质点末速度不可能与合力共线，选项A错误，选项D正确．
答案：D
3.(运动的合成与分解)如图所示，一块橡皮 ( http: / / www.21cnjy.com )用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度(　　)
A．大小和方向均不变
B．大小不变，方向改变
C．大小改变，方向不变
D．大小和方向均改变
解析：橡皮在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀速直线运动，其合运动仍是匀速运动，其速度大小和方向均不变，A正确．
答案：A
4．(关联速度问题)(多选 ( http: / / www.21cnjy.com ))如图所示，做匀速直线运动的小车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和小车速度的大小分别为vB、vA，则(　　)
A．vA>vB
B．vAC．绳的拉力等于B的重力
D．绳的拉力大于B的重力
解析：小车A向左运动的过程中，小车的速 ( http: / / www.21cnjy.com )度是合速度，可分解为沿绳方向与垂直于绳方向的速度，如图所示，由图可知vB＝vAcos θ，则vB答案：AD
例1　如图所示为质点做匀变速曲线运 ( http: / / www.21cnjy.com )动轨迹的示意图，且质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．质点经过C点的速率比D点的大
B．质点经过A点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90°
C．质点经过D点时的加速度比B点的大
D．质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小
思路点拨　质点做匀变速曲线运动，合力恒定，可以由D点的运动情况得到质点的合力方向．
解析　质点做匀变速曲线运动，所以合 ( http: / / www.21cnjy.com )力不变，则加速度不变；在D点，加速度应指向轨迹的凹侧且与速度方向垂直，则在C点加速度的方向与速度方向成钝角，故质点由C到D速度在变小，即vC>vD，选项A正确．
答案　A
2．(多选)一质量为2 kg的物体在5个共点 ( http: / / www.21cnjy.com )力作用下做匀速直线运动．现同时撤去其中大小分别为10 N和15 N的两个力，其余的力保持不变．下列关于此后该物体运动的说法中，正确的是(　　)
A．可能做匀减速直线运动，加速度大小为10 m/s2
B．可能做匀速圆周运动，向心加速度大小为5 m/s2
C．可能做匀变速曲线运动，加速度大小可能为5 m/s2
D．一定做匀变速直线运动，加速度大小可能为10 m/s2
解析：物体在5个共点力作用 ( http: / / www.21cnjy.com )下处于平衡状态，合力为零，当撤去10 N和15 N的两个力时，剩余3个力的合力与这两个力的合力等大反向，即撤去力后5 N≤F合≤25 N，2.5 m/s2≤a合≤12.5 m/s2，由于剩余3个力的合力方向与原速度方向不一定在一条直线上，所以可能做匀变速曲线运动，也可能做匀变速直线运动，A、C正确．
答案：AC
1．合运动与分运动的关系
2.两直线运动的合运动的性质和轨迹，由两分运动的性质及合初速度与合加速度的方向关系决定．
(1)根据合加速度判定合运动是匀变速运动还是非匀变速运动，若合加速度不变则为匀变速运动；若合加速度变化(包括大小或方向)则为非匀变速运动．
(2)根据合加速度方向与合初速度方向判定合运动是直线运动还是曲线运动，若合加速度与合初速度的方向在同一直线上则为直线运动，否则为曲线运动．
例2　 (2015年襄阳模拟)物体在直角坐标系xOy所在的平面内由O点开始运动，其沿坐标轴方向的两个分速度随时间变化的图象分别如图甲、乙所示，则对该物体运动过程的描述正确的是(　　)
A．物体在0～3 s做直线运动
B．物体在3～4 s做直线运动
C．物体在3～4 s做曲线运动
D．物体在0～3 s做变加速运动
思路点拨
解析　物体在0～3 s内 ( http: / / www.21cnjy.com )，沿x轴方向做匀速直线运动，沿y轴方向做匀加速直线运动，两运动合成，一定做曲线运动，且加速度恒定，A、D错误；物体在3～4 s内两个方向的分运动都是匀减速运动，因在3～4 s内，合速度与合加速度方向共线，故做直线运动，B正确，C错误．
答案　B　
3．一质量为2 kg的物体在如图甲所示 ( http: / / www.21cnjy.com )的xOy平面上运动，在x轴方向上的vt图象和在y轴方向上的xt图象分别如图乙、丙所示，下列说法正确的是(　　)
A．前2 s内物体做匀变速曲线运动
B．物体的初速度为8 m/s
C．2 s末物体的速度大小为8 m/s
D．前2 s内物体所受的合力为16 N
答案：A
4．(多选)如图所示的直角三角板紧贴在 ( http: / / www.21cnjy.com )固定的刻度尺上方，使三角板沿刻度尺水平向右匀速运动的同时，一支铅笔从三角板直角边的最下端由静止开始沿此边向上做匀加速直线运动．下列关于铅笔笔尖的运动及其所留下的痕迹的判断中正确的是(　　)
A．笔尖留下的痕迹是一条抛物线
B．笔尖留下的痕迹是一条倾斜的直线
C．在运动过程中，笔尖运动的速度方向始终保持不变
D．在运动过程中，笔尖运动的加速度方向始终不变
解析：以笔尖初始位置为坐标原点，沿刻度尺方向建立x轴，沿垂直刻度尺方向建立y轴，此运动为类平抛运动，利用运动的合成与分解可知，A、D正确．
答案：AD
1． °关联 ±速度
绳、杆等有长度的物体，在运动过程中 ( http: / / www.21cnjy.com )，如果两端点的速度方向不在绳、杆所在直线上，两端的速度通常是不一样的，但两端点的速度是有联系的，称之为 °关联 ±速度．
2．绳(杆)相关联物体的速度
例3　(2015年大同模拟)如图所示，开 ( http: / / www.21cnjy.com )始时A、B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好以速度vA沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动，则在下列的vt图象中，最接近物体B的运动情况的是(　　)
思路点拨　(1)根据物体A下落速度的效果分解A的速度．
(2)根据连接A、B绳的长度不变，分析B的速度与A的分速度的关系．
解析　如图所示，与物体A相连的绳端速 ( http: / / www.21cnjy.com )度vA分解为沿绳伸长方向的速度v1和垂直于绳方向的速度v2，则物体B的速度vB＝v1＝vAsin θ，在t＝0时刻θ＝0，vB＝0，C、D错误；之后随θ增大，sin θ增大，B的速度增大，但开始时θ变化快，速度增加得快，图线的斜率大，若绳和杆足够长，则物体B的速度趋近于A的速度，A正确，B错误．
答案　A
模型构建
在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线 ( http: / / www.21cnjy.com )运动的合运动仍是匀速直线运动，其中一个速度大小和方向都不变，另一个速度大小不变，方向在180°范围内(在速度不变的分运动所在直线的一侧)变化．我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究．这样的运动系统可看作 °小船渡河模型 ±．
模型特点
1．船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
2．三种速度：船在静水中的速度v1、水的流速v2、船的实际速度v.
随堂演练
1．(多选)关于物体所受合力的方向，下列说法正确的是(　　)
A．物体做速率逐渐增加的直线运动时，其所受合力的方向一定与速度方向相同
B．物体做变速率曲线运动时，其所受合力的方向一定改变
C．物体做变速率圆周运动时，其所受合力的方向一定指向圆心
D．物体做匀速率曲线运动时，其所受合力的方向总是与速度方向垂直
解析：由匀加速直线运动的条件知 ( http: / / www.21cnjy.com )，A正确；平抛运动的速率变化，但合力不变，B错误；只有匀速圆周运动的合力始终指向圆心，与速度的方向垂直，C错误，D正确．
答案：AD
2.(多选)(2013年高考上海卷)如 ( http: / / www.21cnjy.com )图所示为在平静海面上两艘拖船A、B拖着驳船C运动的示意图．A、B的速度分别沿着缆绳CA、CB方向，A、B、C不在一条直线上．由于缆绳不可伸长，因此C的速度在CA、CB方向的投影分别与A、B的速度相等，由此可知C的(　　)
A．速度大小可以介于A、B的速度大小之间
B．速度大小一定不小于A、B的速度大小
C．速度方向可能在CA和CB的夹角范围外
D．速度方向一定在CA和CB的夹角范围内
解析：C的速度在CA、CB方向的投影分别与 ( http: / / www.21cnjy.com )A、B的速度相等，C的速度大小一定不小于A、B的速度大小，A错误，B正确；C的速度方向一定在CA和CB的夹角范围内，C错误，D正确．
答案：BD
3．(2015年吉林重点中学 ( http: / / www.21cnjy.com )模拟)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是(　　)
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力有关
D．运动员着地速度与风力无关
解析：水平风力不会影响竖直方向的运动， ( http: / / www.21cnjy.com )所以运动员下落时间与风力无关，A、C错误；运动员落地时竖直方向的速度是确定的，水平风力越大，落地时水平分速度越大，运动员着地时的合速度越大，有可能对运动员造成伤害，B正确，D错误．
答案：B
4．(多选)一物体运动规律是x＝3t2 (m)，y＝4t2 (m)，则下列说法中正确的是(　　)
A．物体在x轴和y轴方向上都是初速度为零的匀加速直线运动
B．物体的合运动是初速度为零、加速度为5 m/s2的匀加速直线运动
C．物体的合运动是初速度为零、加速度为10 m/s2的匀加速直线运动
D．物体的合运动是加速度为5 m/s2的曲线运动
解析：由x＝3t2及y＝4t2知物体在 ( http: / / www.21cnjy.com )x、y方向上的初速度为0，加速度分别为ax＝6 m/s2，ay＝8 m/s2，故合加速度a＝＝10 m/s2，A、C正确，B、D错误．
答案：AC
5．(2014年高考四川卷)有一条两岸平 ( http: / / www.21cnjy.com )直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：设河岸宽为d，船速为u，则根据渡河时间关系得∶＝k，解得u＝，所以B选项正确．
答案：B
课时作业
一、选择题
1．(2015年天水模拟)对质点运动来讲，以下说法中正确的是(　　)
A．加速度恒定的运动可能是曲线运动
B．运动轨迹对任何观察者来说都是不变的
C．当质点的加速度逐渐减小时，其速度也一定逐渐减小
D．作用在质点上的所有力消失后，质点运动的速度将不断减小
解析：加速度恒定的运动可能是曲线运动，如平抛运动，A正确；运动轨迹对不同的观察者来说可能不同，如匀速水平飞行的飞机上落下的物体，相对地面做平抛运动，相对飞机上的观察者做自由落体运动，B错误；当质点的速度方向与加速度方向同向时，即使加速度减小，速度仍增加，C错误；作用于质点上的所有力消失后，质点的速度将不变，D错误．
答案：A
2．一物体由静止开始自由下落，一小段时间后突然受一恒定水平向右的风力的影响，但着地前一段时间内风力突然停止，则其运动的轨迹可能是(　　)
解析：当有水平向右的风时，会产生水平向右的加速度，风力停止时，合力向下，且轨迹不能急折，再结合“合力的方向指向曲线的凹侧”，故C项正确．
答案：C
3．(多选)(2015年潍坊模拟)河水的流速 ( http: / / www.21cnjy.com )与离河岸距离的关系如图甲所示，船在静水中速度与时间的关系如图乙所示．若要使船以最短时间渡河，则(　　)
A．船渡河的最短时间是100 s
B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度是5 m/s
解析：当船头指向垂直于河岸时，船的渡河时间最短，其时间t＝＝ s＝100 s，A、B正确；因河水流速是变化的，所以船在河水中的航线是一条曲线，当船行驶至河中央时，船速最大，最大速度v1＝ m/s＝5 m/s，C错误，D正确
答案：ABD
4．(多选)(2015年德州模拟)物 ( http: / / www.21cnjy.com )体在光滑水平面上受三个水平恒力(不共线)作用处于平衡状态，如图所示，当把其中一个水平恒力撤去时(其余两个力保持不变)，物体将(　　)
A．一定做匀加速直线运动
B．可能做匀变速直线运动
C．可能做曲线运动
D．一定做曲线运动
解析：物体原来受三个力作用处于平衡状态，现在撤掉其中一个力，则剩下两个力的合力与撤掉的力等大反向，即撤掉一个力后，合力为恒力，如果物体原来静止，则撤掉一个力后将做匀加速直线运动，A错误，B正确；如果物体原来做匀速直线运动，撤掉一个力后，若速度的方向与合力的方向不共线，则物体做曲线运动，若速度的方向与合力的方向共线，则物体将做匀变速直线运动，C正确，D错误．
答案：BC
5.如图所示，在一次消防演习中，消防队 ( http: / / www.21cnjy.com )员要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人．为了节省救援时间，当消防车匀速前进的同时，人沿倾斜的梯子匀加速向上运动，则关于消防队员的运动，下列说法中正确的是(　　)
A．消防队员做匀加速直线运动
B．消防队员做匀变速曲线运动
C．消防队员做变加速曲线运动
D．消防队员水平方向的速度保持不变
解析：由于消防队员同时参与两个分运动，由 ( http: / / www.21cnjy.com )两分运动的特点可知，其合运动为匀变速运动，但轨迹为曲线，故B正确；消防队员在水平方向的速度增大，D错误．
答案：B
6．(多选)质量为2 kg的物体在xOy平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象分别如图甲、乙所示，下列说法正确的是(　　)
A．物体的初速度为5 m/s
B．物体所受的合力为3 N
C．物体初速度的方向与合力方向垂直
D．2 s末质点速度大小为6 m/s
解析：由图象可知，vx＝v0x＋a ( http: / / www.21cnjy.com )t＝(3＋1.5t)m/s，vy＝4 m/s，物体的初速度v0＝＝5 m/s，A正确；物体的加速度a＝1.5 m/s2，由F＝ma，得F＝3 N，沿x方向，B正确；物体初速度的方向与合力方向夹角为α，如图所示，C错误；由题图甲可知2 s末vx＝6 m/s，v＝＝ m/s，D错误．
答案：AB
7．一小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽为150 m，水流速度为4 m/s的河流中渡河，则该小船(　　)
A．能到达正对岸
B．渡河的时间可能少于50 s
C．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200 m
D．以最短位移渡河时，位移大小为150 m
解析：因为小船在静水中的速度小于水流 ( http: / / www.21cnjy.com )速度，所以小船不能到达正对岸，故A错误；当船头与河岸垂直时渡河时间最短，最短时间t＝＝50 s，故渡河时间不能少于50 s，故B错误；以最短时间渡河时，沿水流方向位移x＝v水t＝200 m，故C正确；当v船与实际运动方向垂直时渡河位移最短，设此时船头与河岸的夹角为θ，则cos θ＝，故渡河位移s＝＝200 m，故D错误．
答案：C
8．(2015年蚌埠模拟)如图所示，水平面上固定一个与水平面夹角为θ的斜杆A，另一竖直杆B以速度v水平向左做匀速直线运动，则从两杆开始相交到最后分离的过程中，两杆交点P的速度方向和大小分别为(　　)
A．水平向左，大小为v
B．竖直向上，大小为vtanθ
C．沿A杆斜向上，大小为
D．沿A杆斜向上，大小为vcos θ
解析：两杆的交点P参与了两个分运动：与 ( http: / / www.21cnjy.com )B杆一起以速度v水平向左的匀速直线运动和沿B杆竖直向上的匀速运动，交点P的实际运动方向沿A杆斜向上，如图所示，则交点P的速度大小为vP＝，故C正确．
答案：C
9．如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA＝OB.若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为(　　)
A．t甲＜t乙 B．t甲＝t乙
C．t甲＞t乙 D．无法确定
解析：设OA＝OB＝l，人在 ( http: / / www.21cnjy.com )静水中的速度和水流速度分别是v1、v2，则甲往复的时间为t甲＝＋，即t甲＝；乙往复的时间为t乙＝＝，所以t甲－t乙 ＝＞0，所以t甲＞t乙，C正确．
答案：C
10．质量m＝4 kg的质点静止在光滑水平面上的直角坐标系的原点O处，先用沿＋x轴方向的力F1＝8 N作用了2 s，然后撤去F1；再用沿＋y轴方向的力F2＝24 N作用了1 s，则质点在这3 s内的轨迹为(　　)
解析：由F1＝max得ax ( http: / / www.21cnjy.com )＝2 m/s2，质点沿x轴匀加速运动了2 s，x1＝axt＝4 m，vx1＝axt1＝4 m/s；之后质点受F2作用而做类平抛运动，ay＝＝6 m/s2，质点再经过1 s，沿x轴运动的位移x2＝vx1t2＝4 m，沿＋y方向运动位移y2＝ayt＝3 m，对照图线可知D项正确．
答案：D
二、非选择题
11．如图所示，一艘轮船正在以v＝4 m/ ( http: / / www.21cnjy.com )s的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速度都相同，其大小为v1＝3 m/s，行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同．某时刻发动机突然熄火，轮船牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终未发生变化．求：
(1)发动机未熄火时，轮船相对于静水行驶的速度大小；
(2)发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值．
解析：(1)发动机未熄火时，轮船运动速度v与水流速度v1方向垂直，如图所示．
故得此时船相对于静水的速度v2的大小为
v2＝＝ m/s＝5 m/s，
又设v与v2的夹角为θ，则cos θ＝＝0.8.
(2)熄火前，船的牵引力沿v2的方向，水的阻 ( http: / / www.21cnjy.com )力与v2的方向相反，熄火后，牵引力消失，在阻力作用下，v2逐渐减小，但其方向不变，当v2与v1的矢量和与v2的方向垂直时，轮船的合速度最小，如(1)中图所示，
vmin＝v1cos θ＝3×0.8 m/s＝2.4 m/s.
答案：(1)5 m/s　(2)2.4 m/s
12．如图所示为一次洪灾中德国联邦国防军的直 ( http: / / www.21cnjy.com )升机在小城洛伊宝根运送沙袋的情景．该直升机A用长度足够长的悬索(重力可忽略不计)系住一质量m＝50 kg的沙袋B，直升机A和沙袋B以v0＝10 m/s的速度一起沿水平方向匀速运动，某时刻开始将沙袋放下，在5 s时间内，B在竖直方向上移动的距离以y＝t2(单位：m)的规律变化，g取10 m/s2.求在5 s末沙袋B的速度大小及位移大小．
解析：沙袋在水平方向上做匀速直线运动，v0＝10 m/s.
在竖直方向上沙袋的位移y＝t2，即沙袋在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝2 m/s2，
沙袋5 s末在竖直方向上的速度为vy＝at＝10 m/s，
合速度v＝＝10 m/s.
竖直方向上的位移y＝at2＝25 m，
水平方向上的位移x＝v0t＝50 m，
合位移s＝＝25 m.
答案：10 m/s　25 m

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