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专题3 构造函数 解不等式【讲】
【典例1】．（2024·宁夏·一模）设定义在R上的函数满足对都有，且当时，，若，，，则a、b、c的大小关系是（ ）.
A． B． C． D．
【典例2】．（23-24高三上·河北·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且恒成立，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】.（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
上面三个问题，都是给定抽象函数与其导函数的一个关系式，需要构造一个包含在内的新函数，通过讨论新函数的性质，挖掘出函数具有的性质，从而解决问题．其思维导图如下：
观察分析→逆向思维→构造新函数→研究性质→问题求解．
对于一些简单的问题，可以直接构造新函数；对于有些较为复杂的问题，则需进行结构变形后，才能构造出新函数，构造新函数需要遵循一个原则：当导函数形式是“+”形式时，优先考虑构造型函数；当导函数形式是“-”形式时，优先考虑构造型函数．
较为常见的u与v的组合类型有三种：与组合型，与或组合型，与或组合型．
【精细化解析 典例1】
第一步：根据周期概念判断函数周期；
由，
即为的一个周期，所以，
第二步：构造函数利用导数研究其单调性比大小.
令，
由已知可得时，单调递增，
所以，即C正确 .
故选：C
[精细化解析 典例2]
第一步：构造函数，由导数求得函数单调性；
由，有，
令，则，所以在区间上单调递增．
第二步：利用单调性解不等式.
又，得，所以，
所以，解得．
故选：A
【精细化解析 典例3】
第一步：根据已知条件构造函数，利用导数及题干所给条件求得的单调性；
设，则，
因为函数满足：，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
第二步：利用函数的对称性，可得，对其进行比较即可判断.
又由，
所以关于直线对称，从而，
即，，故A错误；
由，，故B错误；
由，，故C正确；
由，，故D错误.
故选：C.
类型1 与组合型
例1 已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
思路 由得，根据结构，构造函数；由得，根据结构，可构造函数，不难联想到，根据结构，构造函数，再利用单调性比较大小．
解析 因为对恒成立，所以．
设，，
则，．
因为对恒成立，所以，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
因此，，即；
，即，即．
故选AD．
升华 如果给定的不等式中，出现了结构，可考虑构造含与的积或商的函数，利用所构造函数的性质解决问题．
与结构关联的函数原型是，例如，对于不等式，可构造函数．
与结构关联的函数原型是，例如，对于不等式，可构造函数．
与结构关联的函数原型是，例如，对于不等式，可构造函数．
【类题1-1】
1．已知是定义在上的函数的导函数，且，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【类题1-2】
2．已知定义在上的函数满足恒成立（其中为函数的导函数），对于任意实数，，下列不等式错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【类题1-3 】
3．已知奇函数是定义在R上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
类型2 与或组合型
例2 已知定义在R上的函数满足，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
思路 构造函数，利用导数分析函数的单调性，利用函数的单调性可得出，，的大小关系.
解析 构造函数，其中，则，
故为R上的增函数，从而，即，
因此，．
故选A．
升华 如果给定的不等式中，出现了结构，可考虑构造含与的积或商的函数；如果给定的不等式中，出现了结构，可考虑构造含与的积或商的函数，然后，利用所构造函数的性质解决问题．
与结构关联的函数原型是，例如，对于不等式，可构造函数．
与结构关联的函数原型是，例如，对于不等式，可构造函数．
与结构关联的函数原型是，与结构关联的函数原型是．
【类题1-1】
4．已知定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【类题1-2】
5．定义域在R上函数的导函数为，满足，，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【类题1-3】
6．已知函数是连续可导函数，其导函数是，若时，，令，则以下正确的是（ ）
A． B． C． D．T的符号不能确定
类型3 与或组合型
例3 已知可导函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
思路 构造函数，并依据该函数的单调性求不等式的解集．
解析 当时，，则，
故函数在上单调递增，
又因为可导函数是定义在上的奇函数，
则是上的偶函数，且在上单调递减．
由可得，则，．
当时，不等式
可化为．
又函数在上单调递增，有，得，故选D．
升华 如果给定的不等式中出现了结构，可考虑构造含有与（或）的积或商的函数，利用所构造函数的性质解决问题.
与结构关联的函数原型是，与结构关联的函数原型是，与结构关联的函数原型是，与结构关联的函数原型是．
【类题1-1】
7．已知定义在上的奇函数的导函数为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【类题1-2】
8．定义在上的奇函数的导函数为，且.当时，，则不等式的解集为 .
【类题1-3 】
9．已知定义在R上的函数，满足，且任意时，有成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】构造函数，由导数分析函数的单调性，利用单调性比较大小即可.
【详解】令，
则在上为减函数，所以，
则.
故选：A
2．ABC
【分析】根据题意，构造函数，进而结合已知得函数为单调递增函数，再结合函数单调性求解即可.
【详解】由题意，定义在上的函数满足恒成立，即，设函数，则，
所以函数为单调递增函数，
不妨设，则，且，
即，
故C选项错误，D选项正确，
由，故与的大小不能确定，故与大小不能确定,故A,B选项错误；
故选：ABC．
3．A
【分析】构造函数，然后结合已知可判断的单调性及奇偶性，从而可求．
【详解】解：设，由为奇函数，可得，
故为上的奇函数，当时，，
，单调递增，
根据奇函数的对称性可知，在上单调递增，
则不等式可转化为，
即，
即，即．
故选：A
4．A
【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出原不等式的解集.
【详解】构造函数，该函数的定义域为，
则，
所以，函数在上为增函数，且，
由可得，即，解得.
所以，不等式的解集为.
故选：A.
5．BCD
【分析】根据题意构造函数，利用导数判断单调性，即可求解.
【详解】由题意，构造函数，则，
由可知，
所以在R上单调递增，且，
故，即，，A错误；
由可得，故B正确；
当时，，所以，，
所以，，
令，则，
所以单调递增，，即，
所以，，
故C正确；
由可得，故D正确；
故选：BCD
6．A
【分析】时，，令，求导，分析的单调性，由可推出的正负，进而可推出的正负情况，即可求解
【详解】时，，
所以，
令，
则，
因为时，，
所以在上单调递增，
又当时，，
因为时，，，
所以时，，所以，
又因为时，，，
所以时，，所以，
所以，
故选：A
7．B
【分析】令，，得到是奇函数，单调递增，再利用函数的单调性和奇偶性分析判断得解.
【详解】因为，所以
，
令，，则，
所以单调递增，
所以，
所以为奇函数，，
所以，即，
所以A，C错误；
因为，所以，又因为为奇函数，所以，所以B正确；
因为，所以．又因为为奇函数，所以，所以D错误．
故选：B
8．
【分析】令，根据函数的单调性求出不等式的解集即可．
【详解】当时，由，得，得，所以在上递增，
∵为偶函数，∴在上递减，且，
或，
可得或，
所以，的解集为.
【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及解不等式问题，是一道中档题．
9．D
【分析】由题意，得出为定义在R上的偶函数，且在上单调递增，再把不等式转化为，利用单调性求解.
【详解】设，则．
由，得，所以为偶函数．
因为当时，有任意时，有成立，
所以在上单调递增，
又为偶函数，所以在上单调递减，
因为，即，
所以，解得．
故选：D．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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