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专题2 点点距离 构造函数【讲】
【典例1】.（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知实数，，，满足，则的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【典例2】.（2022年广东省一模第16题）已知直线与函数的图象分别交于点，则的最小值为______.
【典例3】.（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）实数满足，，的最小值是（ ）
A. B. C. D.
上述问题都是求分别在两曲线上的点的连线长度的最小值，即已知点在曲线上，点在曲线上，求两曲线和上的点连线长度的最小值.
当与分别是一条直线方程与一条曲线（圆锥曲线，指数、对数曲线）方程时，它们之间的距离的最小值，可以通过解析法（切线平移）、方程法（判别式）、三角法（三角换元）等高中核心知识求解.
当与是曲线方程与曲线方程组合时，需要结合题设条件，利用曲线的定义和几何性质求解.
根据问题的结构特征，挖掘出动点的轨迹，找到动点所隐藏的直线或曲线，然后利用曲线的性质进行等价转化，这是解决这类问题的关键.
【精细化解析 典例1】
第一步：将的最小值转化为直线上的点与函数上的点间距离最小值的平方，
由已知，
则，即为直线上的点，
为函数上的点，
则，
第二步：由导数的几何意义求函数的切线，从而得解.
设与相切，由，
则，可得，所以切点为，则，
则切点到直线的距离为，
所以最小值为2.
故选：B.
[精细化解析 典例2]
第一步：作出图象，平移直线与曲线相切；
如图，由和的图象可知，平移直线与的图象相切，过切点作直线与两函数图象分别交于点，此时最小，
第二步：利用导数求出切点坐标，求出弦长.
由得
，则，故.
【精细化解析 典例3】
第一步：先根据指对结构调整变形已知方程，再构造函数，得到函数零点为0；
化简已知得，
，即，
令，原式化简为，
令，则，所以在R上单调递增，
又，所以有唯一零点，所以，此方程有唯一根为0，
即，即，
第二步：构造函数与，则表示曲线上的点到直线的距离的平方.
分别设与，
则表示曲线上的点到直线的距离的平方，
下面求上与平行的切线，
因为，所以，
当时，，解得：，所以切点为，
所以到直线距离为：，
此距离即为曲线上的点到直线的距离的最小值，
所以的最小值为2.
故选：C.
类型1 曲线上的点到直线的距离的最小值
例1 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
思路 将问题转化为直线与曲线上的点的距离最小值，先利用导数的几何意义求的斜率为1的切线的切点坐标，再应用点线距离公式求最小距离，即可得的范围.
解析 设，则的几何意义是直线上的点与曲线上的点的距离.
将直线平移到与曲线相切，此时切点到直线的距离最小.
而，令，则，可得，
此时，点到直线的距离为，故，所以.故选B.
升华 曲线上的点到直线的距离的最小值，可以通过解析法（切线平移）、方程法（联立方程，判别式等于零）、三角法（曲线的参数方程）求解.
【类题1-1】
1．已知a，，曲线，若两条曲线在区间上至少有一个公共点，则的最小值为 ．
【类题1-2】
2．已知实数满足，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【类题1-3 】
3．若实数，，，满足，则的最小值为 .
类型2 两曲线上点之间的距离的最小值
例2 （23-24高三上·山东青岛·期末）已知动点P，Q分别在圆和曲线上，则的最小值为 .
【答案】
【分析】先得到圆心在上，半径为，故的最小值等于的最小值减去半径，由反函数可知，的最小值等于到直线的距离的最小值的2倍，求导得到在点处的切线与平行，求出到的距离最小值，得到答案.
【详解】由题意得，即圆心在上，半径为，
故的最小值等于的最小值减去半径，
设，由于与关于对称，
的最小值等于到直线的距离的最小值的2倍，
由，可得，令，解得，
故在点处的切线与平行，此时到的距离最小，
最小值为，
故的最小值为，
则的最小值等于.
故答案为：
升华 两曲线上点的距离最值问题，处理思路如下：
①设出两点的坐标，利用两点间距离公式表达出距离，结合基本不等式或求导，得到函数最值；
②利用几何关系，找到取最小距离的位置或点的坐标，进行求解.
【类题1-1】
4．若均为任意实数，且，则的最小值为（ ）
A． B．18
C． D．
【类题1-2】
5．已知直线分别与函数和交于、两点，则、之间的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【类题1-3 】
6．设，其中，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
类型3 曲线上的点到两定点距离之和的最值
例3 已知实数满足条件，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
思路 ，问题转化为椭圆上的点到点与点的距离之和的最小值，可利用椭圆的定义，依据三点共线得到最小值.
解析 如图，点在椭圆上，且待求式表示点到点与点的距离之和，即，其中是椭圆的右焦点，左焦点为.
，
又因为，
于是.故选C.
升华 曲线上的点到定点距离的最值问题，或曲线上的点到两定点距离之和的最值问题，可利用圆、椭圆、双曲线或抛物线的定义进行等价转化.
【类题1-1】
7．已知，为实数，代数式的最小值是 .
【类题1-2】
8．已知，则的最小值为（ ）
A． B．3
C． D．6
【类题1-3 】
9．的最小值为（ ）
A．5 B． C．6 D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】由题意两条曲线在区间上至少有一个公共点，得到有解，转化为关于a，b的直线方程，得到表示原点到点的距离的平方，转化为，巧换元，构造函数，利用函数的单调性质，求出最值．
【详解】曲线，
，
，
，
于是可以看作关于a，b的直线方程，
则是该直线上的点，
表示原点到点的距离的平方，
设原点到直线的距离为d，
根据点到直线的距离公式得到，
，
令，则，则，
，
设，
可知函数在上为减函数，
当时，，
当时，最小值为．
故答案为:．
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于，根据点到直线距离公式，结合题意，得到，利用换元法，进行求解即可.
2．D
【分析】设是曲线的点，是直线的点，可看成曲线C上的点到直线l上的点的距离的平方，通过求函数到直线的最小距离，即可得到本题答案.
【详解】由题，得，
设是曲线的点，是直线的点，
可看成曲线C上的点到直线l上的点的距离的平方，
对求导得，令，得，
所以曲线C上的点到直线l的距离最小，
该点到直线l的距离为，
因此的最小值为.
故选：D
【点睛】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用问题，其中涉及转化和化归思想的运用.
3．2
【分析】由，，故可理解为曲线上一点与直线上一点间的距离的平方，采用数形结合和对函数求导可知，函数在处的切线方程与直线之间的距离的平方为我们要求的的最小值.
【详解】由，，故可理解为曲线上一点与直线上一点间的距离的平方，对于函数，令，故可得，即函数在处的切线方程为，切线方程与直线平行，则函数在处的切线方程与直线之间的距离，故的最小值为.
故答案为：2.
4．A
【分析】把转化为点与点的距离的平方，设切点，得到，即，设，根据导数的几何意义，得到切点的坐标为，结合两点间的距离公式，即可求解.
【详解】由，可得在以为圆心，以1为半径的圆上，
又由表示点与点的距离的平方，
设过切点的切线与过的法线垂直，可得，
整理得，
设，可得，
所以函数在上单调递增，且，
所以切点为，则圆心与切点的距离为，
可得的最小值为.
故选：A.
【点睛】方法点睛：本题考查了两点间距离公式几何意义的理解和应用，利用导函数求曲线上一点到圆上距离最值，利用导数判断函数单调性，进而确定解的唯一性.
5．B
【解析】直线与两曲线分别联解求出、两点坐标，计算得到函数表达式，对函数求导研究单调性，求出最小值
【详解】联立求解得，得到
，设，则
令，
所以在在上单增，在上单减，
故选：B.
【点睛】本题考查函数的最值.
求函数最值的五种常用方法：
单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值
图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值
基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值
导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值
换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值
6．B
【分析】由表示两点与点的距离，而点在抛物线上，抛物线的焦点，准线为，则表示与的距离和与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得表示与的距离和加上1，画出图象，当三点共线时，可求得最小值.
【详解】详解：由题意，，
由表示两点与点的距离，
而点在抛物线上，抛物线的焦点，准线为，
则表示与的距离和与准线的距离的和加上1，
由抛物线的定义可得表示与的距离和加上1，
由图象可知三点共线时，且为曲线的垂线，此时取得最小值，
即为切点，设，
由，可得，
设，则递增，且，可得切点，
即有，则的最小值为，
故选：B.
7．
【分析】利用两点间的距离公式的几何意义，将代数问题转化为几何问题求解，即可得到答案；
【详解】如图所示，

构造点，，，，
，
分别作关于轴的对称点，关于轴的对称点，连接，，，，，
，
当且仅当，分别为与轴 轴的交点时，等号成立，
故答案为：.
8．C
【解析】将问题转化为“点到点的距离加上点到点的距离加上点到点的距离之和的最小值”，采用分类讨论的方法并画出辅助图示求解出最小值.
【详解】因为表示点到点的距离，表示点到点的距离，
表示点到点的距离，设，
则表示的长度和，
显然当点与点在轴的非负半轴上，对应原式的结果更小，
当均不在坐标原点，如下图所示：
考虑到求解最小值，所以，设关于原点的对称点为，
所以；
当其中一个在坐标原点，如下图所示：
此时分别有，，
所以；
当都在坐标原点时，，
综上可知：的最小值为，
故选：C.
【点睛】思路点睛：求解形如的式子的最小值思路：
（1）先将问题转化为点到点的距离之和问题；
（2）画出图示，必要时借助点关于直线的对称点知识进行分析；
（3）根据距离之和的最小值得到原式的最小值.
9．C
【分析】设，对要求的式子进行变形，看作抛物线的右半部分上一点P与的距离加上P到抛物线焦点的距离之和的最小值，根据抛物线性质进行求解.
【详解】设，则，则曲线为抛物线的右半部分．抛物线的焦点为，设点到准线l：的距离为d，点P为抛物线的右半部分上一点，设P到准线l：的距离为，
则
．
故选：C
【点睛】本题难点在于要对题干中的代数式进行转化为抛物线的相关知识点进行求解距离的最值问题，利用数形结合思想和抛物线的性质进行求解.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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