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经典好题1 积常和小 和常积大【讲】
【典例1】（2024上·天津河北·高三统考期末）已知，则的最小值为________
【典例2】（2023上·湖北荆门·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）已知，，，则的最小值为________
【典例3】（2024上·江苏扬州·高三统考）已知，且，则的最小值为________
上面三个问题的共同特点是，根据题设条件，求解和或积的最值.第1题中的积为定值，求和的最小值，第2题函数的和与积的关系，利用基本不等式求解积的范围，第3题对已知式子变形，然后利用基本不等式求解和的范围即可.
1.基本不等式可用于解决两类最值问题：一是求积为常数的两正变数之和的最小值；二是求和为常数的两正变数之积的最大值.解决这两类问题都需等号能取到.
2.要熟悉基本不等式的变式和推广，这对提高解题能力是有帮助的，常见的基本不等式的变式和推广有：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧等.
对于以上各式，要明了其成立的条件和取“＝”的条件.
3.在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等.“一正”是指使用均值不等式的各项（必要时，还要考虑常数项）必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值.
4.基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形（拆补）、配凑、常数代换、运算（指数、对数运算、平方等）构造“和”或者“积”，使之为定值.
5.基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数（式）的大小或证明不等式，解决问题的关键是抓住不等式两边的结构特征，找准利用基本不等式的切入点.
【精细化解析 典例1】
第一步：将函数变形；
因为，所以
第二步：根据基本不等式求解最值；
，
第三步：检验等号是否成立，求解函数最值.
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为.故答案为：.
[精细化解析 典例2]
第一步：将等式变式，利用基本不等式建立不等关系；
已知，，又，所以，且
因为，所以，
第二步：根据二次不等式求解；
整理得，解得或（舍）
第三步：检验等号是否成立，求解最值.
当且仅当，即时，的最小值为.故答案为：.
【精细化解析 典例3】
第一步：利用已知等式化简求解，得到x，y关系
由，可得，
因为，可得，
第二步：根据基本不等式求解最值；
则
，
第三步：检验等号是否成立，求解最值.
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.故答案为：.
类型1 给定值求和的最小值
例1 （2024上·辽宁沈阳·高三沈阳联考期末）设，，，则的最小值为（　　）
A. B. C. D.
【思路】先将与相乘，变为积定的形式，利用基本不等式可以求出最小值.
【详解】，，
.
当且仅当即，时等号成立，
所以的最小值为.故选：D.
【升华】求型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决.
【类题1-1】
1．已知且,则的最小值为
A． B． C．5 D．9
【类题1-2】
2．若正数，满足，则的最小值为 ．
【类题1-3】
3．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
类型2 给定值求积的最大值
例2 （2023上·河南·高三南阳联考）若，且，则的最大值为________
【思路】由基本不等式计算即可.
【详解】因为，所以，
当且仅当，即时等号成立.故答案为：
【升华】求型最值问题，常运用或来进行求解，有时要注意对题干条件变形为求解乘积范围的形式.
【类题1-1】
4．已知，为正实数，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【类题1-2】
5．已知正数，满足，则的最大值为 ．
【类题1-3】
6．已知，，，则的最小值为 .
类型3 求参数范围
例3 （2024上·浙江宁波·高三联考期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（　　）
A.12 B.24 C. D.
【思路】令，不等式变形为，求出的最小值，从而得到实数的最大值.
【详解】，，变形为，令，
则转化为，
即，
其中
当且仅当，即时取等号，可知.故选：B
【升华】一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住几个常见的有关不等式的等价命题：（1）a＞f（x）恒成立 a＞f（x）max；（2）a＜f（x）恒成立 a＜f（x）min；（3）a＞f（x）有解 a＞f（x）min；（4）a＜f（x）有解 a＜f（x）max.
【类题1-1】
7．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【类题1-2】
8．若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是 .
【类题1-3】
9．已知正数满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
类型4 实际应用
例4 （河北省沧衡八校联盟2023-2024学年高三上学期期中考试）为了减少碳排放，某企业采用新工艺，将生产中产生的二氧化碳转化为一种化工产品.已知该企业每月的处理量最少为30吨，最多为400吨.月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系近似地表示为.
（1）该企业每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？
（2）该企业每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低是多少元？
【思路】（1）由二次函数单调性得到函数最值；
（2）得到每吨的平均处理成本，利用基本不等式求出最值.
【详解】（1）该企业的月处理成本，
因为，在上单调递减，在上单调递增，
所以该企业每月处理量为300吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是19800元.
（2）因为，
所以每吨的平均处理成本.
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，
即该企业每月处理量为360吨时，每吨的平均处理成本最低，为60元.
【升华】建立关于x的函数关系式是解决本题的关键，在运用基本不等式求最小值时，除了“一正，二定，三相等”以外，在最值的求法中，使用基本不等式次数要尽量少，最好是在最后一步使用基本不等式，如果必须使用几次，就需要查看这几次基本不等式等号成立的条件是否有矛盾，有矛盾则应调整解法.
【类题1-1】
10．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.设箱体的长度为米，高度为米.现有制箱材料60平方米.问当，各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值.
【类题1-2】
11．拉鲁湿地国家级自然保护区位于西藏自治区首府拉萨市西北角，是国内最大的城市湿地自然保护区，也是世界上海拔最高、面积最大的城市天然湿地．其中央有一座凉亭，凉亭的俯瞰图的平面图是如图所示的正方形结构，其中EFIJ和GHKL为两个相同的矩形，俯瞰图白色部分面积为20平方米．现计划对下图平面正方形染色，在四个角区域（即图中阴影部分）用特等颜料，造价为200元/平方米，中间部分即正方形MNPQ区域使用一等颜料，造价为150元/平方米，在四个相同的矩形区域即EFNM，GHPN，PQJI，MQKL用二等颜料，造价为100元/平方米．
(1)设总造价为W元，MN的边长为x米，AB的边长为y米，试建立W关于x的函数关系式；
(2)计划至少要投入多少元，才能完成平面染色．
类型5 与其它章节知识的交汇
例5 （安徽省名校联盟2024届高三上学期联考））已知函数，若实数满足，则的最大值为（　　）
A. B. C. D.
【思路】首先对进行变形，构造函数，，推得其对称中心为，且上在单调递增，再结合对称性和单调性将转化为，再利用基本不等式求解的最大值.
【详解】由，
记，，
则，，
且单调递增，单调递增，
则与都关于中心对称且为上的增函数，
所以，
故关于中心对称且为上增函数，
则由，得，可得，
记，
则，
可得，当且仅当，即取等号，
故的最大值为.
故选：C.
【升华】解决本题的关键是求得的对称中心，从而得到，的关系，进而利用基本不等式求解最值.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些函数最值问题、不等式恒成立及不等式的证明、几何中的运算问题等，还可以用于求代数式的最值或取值范围.如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解.
【类题1-1】
12．已知，且，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【类题1-2】
13．如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则 ，若，，则的最小值为 .
【类题1-3】
14．已知椭圆和双曲线有相同的焦点，它们的离心率分别为，点为它们的一个交点，且.当取最小值时，的值为 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】由,得，化简，利用基本不等式，即可求解．
【详解】由，且,则，
所以，
当且仅当时，即时取得等号，
所以的最小值为，故选D．
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，以及合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
2．
【分析】变形后，利用基本不等式求出最小值.
【详解】正数，满足，
依题意，，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为．
故答案为：．
3．D
【分析】
借助基本不等式中“1”的妙用即可得.
【详解】
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D.
4．D
【分析】利用基本不等式中“和定积最大”的方法即可求解.
【详解】因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D
5．
【分析】利用基本不等式求得的最大值.
【详解】因为，所以，
当且仅当时，等号成立．故的最大值为4．
故答案为：
6．25
【分析】根据基本不等式列不等关系，结合一元二次不等式求解即可得答案.
【详解】已知，，又，所以，且
因为，所以，
整理得，解得或（舍）
当且仅当，即时，的最小值为.
故答案为：.
7．D
【分析】利用基本不等式“1”的代换求不等式左侧最小值，结合恒成立得到不等式，解一元二次不等式求参数范围
【详解】因为，且，
所以
，当且仅当时取等号，
又因为恒成立，
所以，解得.
所以实数的取值范围是.
故选：D
8．
【分析】分离参变量，利用基本不等式求解函数最值即可求解.
【详解】因为，所以由得，
因为关于x的不等式在区间上有解，所以，
当时，，当时，，
当且仅当时，等号成立，
综上的最大值为1，
故，即实数a的取值范围是.
故答案为：.
9．A
【分析】由，可得，进而可得，即，再根据“1”的整体代换求出的最小值，进而可求出答案.
【详解】因为，所以，
又，所以，所以，
所以，
又，当且仅当时等号成立，
所以，解得.
故选：A.
10．米，米；立方米
【分析】根据面积列出方程，据此条件利用均值不等式解出的范围即可得解.
【详解】由题意，，即，，
所以，即，
解得，当且仅当，即时等号成立，
因为，所以.
即当，各为6米，3米时，该沉淀箱的体积最大，最大为36立方米.
11．(1)
(2)元
【分析】（1）根据已知条件及矩形正方形的面积公式即可建立函数关系式；
（2）利用基本不等式求最小值，确定取值条件即可.
【详解】（1）由题意得，阴影部分的面积为，
，化简得，
显然，所以．
则
，
故W关于x的函数关系式．
（2），
当且仅当时，即时，W有最小值，
所以当米时，元，
故计划至少要投入元，才能完成平面染色．
12．A
【分析】利用基本不等式，结合已知条件，即可得出答案.
【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，
故选：A．
13．
【分析】根据向量的加减运算，以为基底，表示出，和已知等式比较，即可得的值，求得的值；结合已知用表示，结合三点共线可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得的最小值.
【详解】在中，，，则，
故
，
故；
又，而，，
所以，则，
又三点共线，所以，结合已知可知，
故，
当且仅当，结合，即时，取等号；
即的最小值为，
故答案为：；
【点睛】结论点睛：若，则三点共线.
14．
【分析】根据椭圆、双曲线的定义用表示，结合余弦定理可得，再利用“1”的灵活运用以及基本不等式分析求解.
【详解】设椭圆方程为，双曲线方程为：.
不妨设点为第一象限的交点，
由题意知：，则，
由余弦定理得：，
即，
整理得，则，
可得
，
当且仅当时取等号，
可得，解得.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值或范围．
2．焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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