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专题1 参数范围 数形结合【讲】
（2022年高考全国乙卷理科第15题）
【典例1】记函数的最小正周期为．若为的零点，则的最小值为______．
（2022年高考全国甲卷理科第11题）
【典例2】设函数在区间上恰有3个极值点和2个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】已知函数，若在区间上有且仅有4个零点和1个极大值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
上面三个问题的共同特点是，根据题设条件，确定函数或中的取值范围或最值．第1题中的函数与零点（对称中心）和周期性相关，第2题和第3题中的函数与零点（对称中心）和极值点（对称轴）相关．
根据函数的图象特征，我们可以得到单调性、周期性、对称轴（最值点）、对称中心（零点）之间的关系，有以下结论．
1．单调区间与周期的关系
若是周期函数的单调递增（减）区间，则（为函数的最小正周期，，下同），即函数单调区间的长度不超过最小正周期的二分之一．
2．对称中心（零点）与周期的关系
函数的零点可通过求得．
（1）任意两个零点（对称中心）间的距离为．
（2）若函数在区间上没有零点，则．
3．对称轴（极值点）与周期的关系
函数图象的对称轴方程可通过解关于的方程求得．
（1）任意两条对称轴间的距离为；
（2）任意一个对称中心到一条对称轴的距离为．
4．单调区间与对称轴（极值点）的关系
（1）若函数在处取得极大值，则函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）若函数在处取得极小值，则函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
5．最值与最值点
函数的值域为，当时，取最大值，当时，取最小值．
【精细化解析 典例1】
第一步：首先表示出，根据求出；
因为，
所以最小正周期，
又，所以，即，
第二步：根据为函数的零点，求出的表达式；
因为为的零点，所以，解得，
第三步：根据一次函数的最值，求解的最小值.
因为，所以当时，．故答案为3．
[精细化解析 典例2]
第一步：利用换元思想，画出简图；
依题意可得，因为，所以，
的图象如图．
第二步：根据限制条件，利用图形确定范围，此时特别注意端点值的取舍；
要使在区间上恰有3个极值点和2个零点，
则由图知，
第三步：求解不等式，明确参数范围.
解得，即．故选C．
【精细化解析 典例3】
第一步：利用换元思想，画出简图；
因为，所以，
的图象如图．
第二步：根据限制条件，利用图形确定范围，此时特别注意端点值的取舍；
在区间上有且仅有4个零点和1个极大值点，
即在区间上有且仅有4个零点和1个极大值点．
由图知，
第三步：求解不等式，明确参数范围.
解得，故的取值范围是．故选A．
类型1 单调性与
例1．已知函数在上单调递增，则满足条件的的最大值为______．
【思路】 先对函数化简变形，求出其单调递增区间为，从而由题意可得，解不等式组可求得结果．
【解析】 ，
由，得，
所以的单调递增区间为．
由题意知，，
所以，所以．
因为在上单调递增，所以，即，所以．
当时，，从而；当时，；当时，．
所以．
【升华】 给定在某个区间上的单调性，求参数的取值范围或最值，通常有以下三种思路．
思路1 （1）根据函数的单调递增（减）区间的条件，
即，
解出，
令，其中；
（2）已知函数的单调区间是区间的子集，即，列出不等式组（*）；
（3）根据单调区间的长度不会超过半个周期，得到（**）；
（4）结合（*）和（**）的公共部分，确定参数的取值范围或最值．
思路2 （1）根据，求得，令区间；
（2）区间是函数的单调递增（减）区间的子集，即，列出不等式组（*）；
（3）根据单调区间的长度不会超过半个周期，得到（**）；
（4）结合（*）和（**）的公共部分，确定参数的取值范围或最值．
思路3 （1）求导得，
令，求出的范围；
（2）令，根据区间是区间的子集，即，列出不等式组（*）；
（3）根据单调区间的长度不会超过半个周期，得到（**）；
（4）结合（*）和（**）的公共部分，确定参数的取值范围或最值．
【类题1-1】
1．已知函数在区间上单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【类题1-2】
2．函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【类题1-3】
3．已知函数，当时，取得最大值，且在区间上为减函数，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
类型2 零点（对称中心）与
例2. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在上有且只有3个零点，则的取值范围是______．
【思路 】根据，求出的范围，结合的图象可解．
【解析】 依题意得，，
所以
由得．
的图象如图．
若函数在上有且只有3个零点，
则由图知，得，
故的取值范围是．
【升华 】正弦函数的零点可表示为，每一个与轴的交点都是正弦函数的对称中心，相邻两个对称中心间的距离为半个周期．
若函数在区间上有零点，则，若函数在区间上没有零点，则．
【类题2-1】
4．已知函数的图象向右平移个单位长度得y=g(x)的图象，若函数g(x)的图象与直线在上恰有两个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【类题2-2】
5．设函数，已知在有且仅有5个零点，则（ ）
A．在有且仅有3个极大值点
B．在有且仅有2个极小值点
C．在单调递增
D．ω的取值范围是
【类题2-3】
6．若在内无零点，则的取值范围为 .
类型3 极值点（对称轴）与
例3．将函数图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数，函数的部分图象如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【思路】易知，根据题意得到，计算得到答案．
【解析】 由已知得函数，由的图象过点以及该点在图象上的位置知，则．因为，所以．
因为在上恰有一个最大值和一个最小值，所以，
所以．故选C．
【升华 】正弦函数的极值点就是其图象与对称轴的交点的横坐标，可以通过导函数等于零求得．极值点也是单调递增区间与单调递减区间的分界点．
【类题3-1】
7．已知函数，若在上恰有个极值点，则的取值范围是 .
【类题3-2】
8．已知函数在上仅有一个最值，且为最大值，则实数的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
【类题3-3】
9．已知函数，为的一个零点，为图象的一条对称轴，且在内不单调，则的最小值为 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】化简，利用单调区间，得到关于不等式，即可求解.
【详解】化简得
因为在区间上单调，所以即
令
所以或或
所以的取值范围是.
故选:C
【点睛】本题考查三角函数的化简，三角函数的性质，属于中档题.
2．A
【分析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到或，由在上单调递减可以得到，算出的大致范围，验证即可.
【详解】由题意知：或
∴或
∴或
∵在上单调递减，∴
∴

①当时，取知
此时，当时，
满足在上单调递减，∴符合
取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合
当时，，舍去，当时，也舍去
②当时，取知
此时，当时，
，此时在上单调递增，舍去
当时，，舍去，当时，也舍去
综上：或2，.
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析.
3．B
【分析】由当时，取得最大值，求出函数的单调减区间，结合题目所给减区间可解.
【详解】由题意得，当时，取最大值，
则当时，取最小值，
则的单调减区间为
又在上为减函数，则，使得
解得，则，故．
当时，，则，故的最大值为6．
故选：B．
4．B
【分析】由函数的平移可得，结合三角函数的图象与性质可得满足的不等式，即可得解.
【详解】由题意，，
当时，，
因为函数g(x)的图象与直线在上恰有两个交点，
则
或，，
又，所以.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是对正弦函数图象与性质的准确把握，结合正弦函数的图象与性质求得满足的不等式.
5．ACD
【分析】由在有且仅有5个零点，可得可求出的范围，然后逐个分析判断即可.
【详解】因为在有且仅有5个零点，如图所示，

所以，所以，所以D正确，
对于AB，由函数在上的图象可知，在有且仅有3个极大值点，有3个或2个极小值点，所以A正确，B错误，
对于C，当时，，
因为，所以，所以 ，
所以在单调递增，所以C正确，
故选：ACD
6．
【分析】求出函数的零点，根据函数在内无零点，列出满足条件的不等式，从而求的取值范围.
【详解】因为函数在内无零点，
所以，所以；
由，得，
所以或，
由，得；由，得；由，得，
因为函数在内无零点，
所以或或，
又因为，所以的取值范围为.
故答案为：.
7．
【分析】根据三角函数的图象与性质，求得函数的极值点为，再由在上恰有个极值点，得到，即可求解.
【详解】由题意，令，即，
解得，
所以函数的极值点为，
又在上恰有个极值点，
所以这三个极值点只能是在，
所以有，解得.
所以实数的取值范围是.
故答案为.
【点睛】本题主要考查了三角还函数的图象与性质的应用，以及函数极值点的定义的应用，其中解答熟练应用三角函数的图象与性质，得到关于实数的不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
8．C
【分析】根据正弦函数的图象，可得关于参数的不等式，求得的范围，从而得出结论.
【详解】因为函数，
在上仅有一个最值，且为最大值，
，
令，求得，
对比选项可知，即实数的值不可能为，
故选：C.
9．
【分析】由零点和对称轴可构造方程组求得和，根据得，为取最小值依次代入和，利用代入检验法确定在内是否单调，由此确定的最小值.
【详解】是的一个零点，；
是的一条对称轴，；
由得：，
，，；
，；
当时，，当时，，
在内单调，不合题意；
当时，，当时，，
，在内不单调，符合题意；
的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据三角函数的性质求解函数解析式，解题关键是能够根据整体对应的方式，对应五点作图法可构造方程组求得和的取值，进而采用赋值法验证的取值，根据函数单调性确定结果.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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