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专题3 最佳视角 米勒定理【讲】
【典例1】．（江苏省南通市2023年高三下学期阶段联合调研）如图，摩天轮的半径为，它的最低点距地面的高度忽略不计．地上有一长度为的景观带，它与摩天轮在同一竖直平面内，且．点从最低点处逆时针转动到最高点处，记．
（1）当时，求点距地面的高度；
（2）试确定的值，使得取得最大值．
【典例2】．（2023·安徽池州·模拟预测）年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长即可见角最大后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问题我们把地球表面抽象为平面，悬杆抽象为线段或直线上两点，，则上述问题可以转化为如下的数学模型：如图，一条直线垂直于一个平面，直线有两点，位于平面的同侧，求平面上一点，使得最大建立如图所示的平面直角坐标系设，两点的坐标分别为，，设点的坐标为，当最大时，（ ）
A． B． C． D．
【典例3】德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也称“米勒定理”）：若点是的边上的两个定点，C是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点C时，最大．在平面直角坐标系中，已知点，，点F是y轴负半轴的一个动点，当最大时，的外接圆的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
上面三道考题，都与视角的最大值有关．用通俗的语言表述如下：
如图，树顶离地面，树上另一点离地面，在离地面的处看此树，离此树多远时视角最大？
这就是几何史上著名的米勒问题．
米勒（Johannes Miller），德国数学家．1471年，他向诺德尔教授提出了以下有趣问题：
在地球表面的什么位置，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大）？
在他的诞生地法兰克王国哥尼斯堡，这个问题被称为雷奇奥莫塔努斯极大值问题，此问题作为载入世界数学史的100个著名极值问题之一，非常引人注目．
米勒问题的数学模型如下．
如图1，设是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使最大．
其结论是：点为过两点且与射线相切的圆的切点．
事实上，如图2，在射线上除点外，取点，连接，其中交圆于点，连接，
易知．
由圆幂定理得，则．
图1 图2
【精细化解析 典例1】
第一步：利用题中所给条件结合直角三角形的性质求解；
（1）由题意得，从而当时，．即点距地面的高度为．
第二步：建立直角坐标系，利用米勒定理列式求解即可．
（2）建立如图所示的平面直角坐标系，由米勒定理知，过两点作与圆外切的圆，切点即为满足条件的点，此时设，则，即，解得，此时．
[精细化解析 典例2]
第一步：利用直角三角形的性质求得正切值；
由题意可知是锐角，且，
而，
第二步：由正切的和差角公式和基本不等式求解即可.
所以，
而 ，当且仅当 ，即时取等号，
因为是锐角，
所以当时，最大，此时最大.
故选：
【精细化解析 典例3】
第一步：由米勒定理知的外接圆与轴负半轴相切求解；
由米勒定理知当最大时，的外接圆与轴负半轴相切，此时圆心位于第四象限，
第二步：由点和的坐标得出半径和圆心横坐标，由圆上点到圆心的距离为半径列出方程，得出，即可写出圆的方程．
因为点，，所以圆心在直线上，
又圆与轴负半轴相切，所以圆的半径为3，设圆心为，，
则，解得，又，所以
所以的外接圆的方程是，故选：A．
类型1 在非直角坐标系中求最佳（视角最大）位置
例1 “第七届全国画院美术作品展”在郑州美术馆展出．已知某油画作品高、宽，画的底部离地（如图）．有一名身高为的游客从正面观赏它（该游客头顶到眼睛的距离为），设该游客与墙的距离为，视角为．为使观赏视角最大，应为______.
思路 本题可以采用代数法和几何法求解．
解析 方法一 设，则，
所以，
当且仅当，即时取等号．
所以当该游客与墙的距离为时，观赏视角最大．
方法二 由题意知．
由米勒定理可知当时，最大，即，
解得或（舍去）．
升华 “视角最大”（定长线段的两端点与定直线上的动点连线所成的角最大）问题有两种处理方法．
代数法：借助正切函数，转化为求分式函数的最大值；
几何法：借助切割线定理，确定过定长线段的端点且与定直线相切的圆的切点．
【类题1-1】
1．某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β

（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值
（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大
【类题1-2】
2．如图，一楼房高为米，某广告公司在楼顶安装一块宽为米的广告牌，为拉杆，广告牌的倾角为，安装过程中，一身高为米的监理人员站在楼前观察该广传牌的安装效果：为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方：设米，该监理人员观察广告牌的视角.
（1）试将表示为的函数；
（2）求点的位置，使取得最大值.
【类题1-3 】
3．1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即视角最大，视角是指由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角），这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山上的铁塔，塔高，山高，此人站在对塔“最大视角”（忽略人身高）的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为（ ）
A． B．
C． D．
类型2 在直角坐标系中或通过建立直角坐标系求最佳（视角最大）位置
例2 在中，内角所对的边分别为，且满足，则的最大值为______.
解析 建立平面直角坐标系，设．
由得，解得，
所以点在直线上．
由米勒定理可知，当且仅当过点的圆与直线相切时，角最大，此时最大．如图，设直线与轴的交点为，
则由切割线定理知，
，
故，
，即所求最大值为．
升华 在平面直角坐标系中，通过坐标法求解米勒问题，充分体现了数形结合思想．
【类题1-1】
4．在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴的正半轴上移动，当取最大值时，点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【类题1-2】
5．如图，是两个新建小区，到公路的垂直距离分别为，且，中国移动决定在线段两点之间找一个点P建立一个信号塔（P不与重合），当P对两地的张角越大时，信号的辐射范围越大．
①当为直角时， ；
②当 ，信号的辐射范围最大．
【类题1-3 】
6．在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴上，其横坐标为，且是首项为1、公比为2的等比数列，记，.
（1）若，求点的坐标；
（2）若点的坐标为，求的最大值及相应的值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）124m.（2）55m.
【详解】(1)由及AB＋BD＝AD，得，解得H＝＝124.
因此，算出的电视塔的高度H是124m.
(2)由题设知d＝AB，得tanα＝.
由AB＝AD－BD＝，得tanβ＝，
所以tan(α－β)＝，
当且仅当d＝，即d＝＝55时，上式取等号．所以当d＝55时，tan(α－β)最大．因为0<β<α<，则0<α－β<，所以当d＝55时，α－β最大．故所求的d是55m.
2．（1）；（2）当米时，取得最大值.
【分析】（1）作，垂足为；作，垂足为，交于；作，垂足为；在和分别用表示出和，根据，利用两角和差正切公式可求得结果；（2）根据（1）的结论，设，可得，利用基本不等式可求得时，取最大值，又在上单调递增，可知时，最大，从而可得到结果.
【详解】（1）作，垂足为；作，垂足为，交于；作，垂足为，如下图所示：
在中，
在中，
监理人员必须在的右侧
综上所述：
（2）由（1）可得：
令，则
（当且仅当，即时取等号）
当，即时，取最大值
又且在上单调递增 最大时，最大
当米时，取得最大值
【点睛】本题考查函数模型的实际应用问题，涉及到两角和差正切公式的应用、利用基本不等式求解函数的最值问题；关键是能够建立起准确的函数模型，在求解最值时，将函数化为符合基本不等式的形式；易错点是忽略了函数模型中定义域的要求.
3．B
【分析】设此时视角为，塔底离地面高度为，塔顶离地面高度为，根据题意，，然后利用两角差的正切值公式求得，进而利用同角三角函数关系求得“最大视角”的正弦值.
【详解】由米勒问题的解答可知，此人应站在离塔水平距离为处观察，
设此时视角为，塔底离地面高度为，塔顶离地面高度为，
则，则，
故.
故选：B
4．C
【分析】由平面几何知识可知，当过、两点的圆与轴相切时，切点即为所求点，再由切割线定理可求得点的横坐标.
【详解】当过、两点的圆与轴相切时，切点即为所求点.
易得过、两点的直线方程为，其与轴交点为，易得，，由切割线定理得，所以，进而可得，点的横坐标为3.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是确定点的位置.
5． 1或2##2或1 ##
【分析】（1）设，，当时，，代入式子求解即可；（2）当时，，通过换元，将式子变形，对正切函数求最值即可得到答案.
【详解】设，
，
①当时，
，
解得或2，所以此时或；
②当时，，
由题意，张角要达到最大，，
令取负数时，
对应的是钝角，时，，
当且仅当时取等，由正切函数单调性可知，
此时张角为达到最大．
即.
故答案为：1或2；
6．（1）点的坐标为或（2）当时，最大，其最大值为
【分析】（1）设,根据题意可知,根据可知.进而由正切的差角公式表示出.即可解关于的方程,求得点的坐标.
（2）表示出点的坐标及,即可表示出.结合基本不等式,即可求得的最大值.进而由正切函数的单调性求得的最大值及相应的值.
【详解】（1）设,根据题意,
由,知
而
所以,解得或
故点的坐标为或
（2）由题意,点的坐标为,
.
因为,所以
当且仅当,即时等号成立
易知,在上为增函数
因此,当时,最大,其最大值为
【点睛】本题考查了等比数列通项公式的应用,正切函数差角公式的用法及基本不等式的综合应用,属于中档题.
答案第1页，共2页
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