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专题2 图形分割 定理优先【讲】
【典例1】．（福建百校联考2024届高三下学期正月开学考试数学试题）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）过点A作的垂线与的延长线交于点D，，的面积为，求的周长．
【典例2】．（河北省邢台市2024届高三上学期期末调研数学试题）的内角A，，C所对的边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若的角平分线交于点，，，求．
【典例3】（2022年高考全国甲卷文理科第16题）在中，点D在边BC上，，，．当-取得最小值时，______.
如果将以上问题涉及的图形进行提炼，可以发现它们都是“爪子形”：连接三角形一个顶点和其对边上的任意一点所得图形．
如图，D为的边BC上一点，连接AD，被AD一分为二．
“爪子形”在解三角形的问题中经常出现，求解“爪子形”问题的主要思考途径如下．
1．一对邻补角的余弦关系式
①．
2．两个三角形面积的关系式
②．
3．三边三角公式（张角定理）
如图，记，，，，，则有
③．
事实上，由，
得到，
两边同时除以即得③式．
注③式可参见《普通高中教科书数学必修第二册》（北京师范大学出版社2019年4月第1版）第124页复习参考题B组第1题．
4．六边的关系式（斯特瓦尔特（Stewart）定理）
④．
事实上，在和中，分别应用余弦定理，可得
⑤，
⑥．
，并注意到，
可得，
即．
注 斯特瓦尔特定理的若干特例如下．
若AD是的平分线，则有，即，代入④式可得
⑦．
⑦式即为三角形的内角平分线公式．
若AD是BC边上的中线，则有代入④式可得
⑧．
⑧式即为三角形的中线长公式．该结论出现在《普通高中教科书数学必修第二册A版》（人民教育出版社2019年7月第1版）第53页习题6.4第15题．
5．三个直角三角形，，的边角关系如图，过点A作BC边上的高AE，可以得到以下结论．
⑨，
⑩．
6．三个向量间的关系式
如果，即，那么．
与“爪子形”相关的解三角形试题，是高考中高频出现的问题，按照以上途径思考，可以在解法上寻找最简捷的方式，总结解题规律，从整体上认识和把握，做到有的放矢．
【精细化解析 典例1】
第一步：利用正弦定理将条件式角化边，再结合二倍角公式求出得解；
因为，
由正弦定理得．两边除以，
得，
由二倍角公式，有，
整理为，
上式因式分解为，
解得或（舍去），
又由，可得；
第二步：结合边长之比得到面积，然后建立方程求解边长；
（2）由．有，又由，可得，
（3）有，可得，
又由的面积为及，有，
代入，可得，，
又由，有，代入，可得，
第三步：根据余弦定理求解边长，即可求解周长.
在中，由余弦定理，有，
有的周长为．
[精细化解析 典例2]
第一步：利用正弦定理边化角，结合和差公式将展开，然后化简求解；
（1）由及正弦定理，
可得．
因为，
所以．
又，所以，则，
又，所以．
第二步：利用角平分线定理和余弦定理可得，由勾股定理可知；
（2）∵为的平分线，，由内角平分线性质定理，，
又∵，在中，由余弦定理，，
，∴，
第三步：在中，利用勾股定理可解.
又∵，∴，
又∵，∴在中，，∴．
【精细化解析 典例3】
第一步：利用余弦定理建立方程；
设，，，
则在中，，
在中，，
第二步：根据余弦定理得，再对所求式子等价变形；
所以
第三步：利用基本不等式求解最值.
，
当且仅当，即时等号成立，
所以当取最小值时，．
另解： 设，以D为坐标原点，DC为x轴，建立平面直角坐标系，
则，，，所以．
设，则．
令解得．
可知在上单调递减，在上单调递增，
所以在时取得最小值，
所以当取最小值时，．
注 通过建立平面直角坐标系表示出，结合导数求函数的最值即可得解．
类型1 角平分线型
例1（2024上·福建泉州·高三统考期末）的内角所对的边分别为.已知.
（1）若，求；
（2）点是外一点，平分，且，求的面积的取值范围.
【详解】（1）由正弦定理可知，
所以，
所以，由余弦定理，
因为的内角，所以，又，所以.
（2）
由正弦定理，
，
又平分，所以，
因为四边形的内角和为，且，易知，
所以
，①
设，则①，
令，则
，
因为在中，所以，所以，
所以时恒成立，且，时，
，时，则，所以.
【升华】升华 与角平分线相关的“爪子形”问题，一般可借助面积关系、张角定理（③式）、角平分线长公式（⑦式）和角平分线定理等知识求解．解题时，需要结合图形特征具体分析．
【类题1-1】
1．在中，，，是上的点，平分，若，则的面积为 .
【类题1-2】
2．在中，，，，平分交于点则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【类题1-3】
3．已知双曲线的左，右焦点分别为、，点在双曲线上，且，的平分线交轴于点，则（ ）
A． B． C． D．
类型2 中线型
例2 （浙江省新阵地教育联盟浙江十校2024届高三下学期第三次联考（开学考试）数学试题）在中，内角所对的边分别为，且，点是线段的中点，其中，则当取得最大值时，______.
【思路】由正弦定理和题设条件，得到，即，再在和中，由余弦定理化简得到，转化为，令，得到，求得，进而得到的最大值.
【详解】因为，由正弦定理可得，
即，可得，所以，所以，
在中，由余弦定理，
可得，
在中，由余弦定理，
可得，
因为，所以，
两式相加，可得，可得，
即，所以，
令，可得，即，解得，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以，即的最大值为.
故答案为：.
【升华】与中线相关的“爪子形”，一般可借助中点处的两邻补角关系（①式）、三角形的中线长公式（⑧式）、正（余）弦定理等知识求解．
【类题1-1】
4．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，M是的中点，若，则的最大值为 ．
【类题1-2】
5．等腰中，三角形面积等于2，则腰上中线的最小值等于 .
【类题1-3】
6．在△ABC中，，D是BC的中点．若ADBC，则的最大值为 ．
类型3 定比分点（非中点）型
例3（2021年新高考全国Ⅰ卷第19题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，点D在边AC上，．
（1）证明：；
（2）若，求．
思路（1）利用正弦定理求解；
（2）要能找到隐含条件：和互补，从而列出等式关系求解．
解析（1）方法一由正弦定理知，R为外接圆的半径，
所以，，
因为，所以，即，
因为，所以．
方法二 由正弦定理知，所以．
又因为，所以，从而，
所以．
（2）方法一由（1）知，因为，所以，，
在中，由余弦定理知，，
在中，由余弦定理知，，
因为，
所以，即，得，
因为，所以，得或．
在中，由余弦定理知，，
当时，（舍去）；当时，．
综上，．
方法二 在中，，平方得①，
由余弦定理得②，
联立①②两式得．
下同方法一．
升华 与非中点的定比分点相关的“爪子形”问题，一般可借助分点处的两邻补角关系（①式）、向量关系、面积关系、正（余）弦定理等知识求解．
【类题1-1】
7．已知D为的边AC上一点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【类题1-2】
8．在中，，．
（1）若，求的面积；
（2）若点D在BC边上且，AD＝BD，求BC的长．
【类题1-3】
9．如图，在中，，点D在线段BC上，且，，则的面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．
类型4 已知型
例3（2024上·高三数学极光杯线上测试（一））已知凸四边形内接于圆，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【思路】设，根据结合正弦定理可得，再利用三角恒等变换可得，进而利用正弦定理可得，即可得结果.
【详解】设，
在中，由正弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，
因为，即，
且，可知，
则，即，
又因为，则，
可得，
则，
在中，由正弦定理可得，
在中，可知，
由正弦定理可得，
则，可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：D.
【升华】如果或已知，那么可以通过作高构造直角三角形建立关系式，也可以利用与互补，通过余弦定理建立等式关系．
【类题1-1】
10．已知在中，角，，的对边分别为，，，，．
（1）求的值；
（2）若点线段上的一点满足，求的值．
【类题1-2】
11．在△ABC中，AB=6，，点D在BC边上，AD=4，∠ADB为锐角.
(1)若，求线段DC的长度；
(2)若∠BAD=2∠DAC，求sinC的值.
【类题1-3】
12．在中，，，且．
(1)求的大小；
(2)求的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】由正弦定理可得、，即有，而，可得，结合余弦定理求，再应用三角形面积公式求的面积即可.
【详解】
∴由正弦定理，，，即，，而，
∴，
∵，即，，
∴，即，
又由余弦定理知：，
∴，即，令，
∴，即（舍去），
∴.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：应用正余弦定理，列方程求，根据三角形面积公式求面积.
2．A
【分析】设，，则，在和中运用正弦定理得到和的关系式；在中运用正弦定理及二倍角公式可解得，代入和的关系式即可得到的长.
【详解】设，，则，
在中，由正弦定理，得，
在 中，由正弦定理，得，
两式相除，得，即，所以，
在中，由正弦定理，得，即，
又因为
，
所以，化简得，
解得或，
代入得，即.
故选：A.
3．B
【分析】利用双曲线的定义，及余弦定理，可求得，，借助，可得，即得解.
【详解】
不妨设在双曲线的右支，且
由余弦定理：
由双曲线方程：
代入可得：
代入可得：
故选：B
【点睛】本题考查了双曲线的焦点三角形的面积问题，考查了学生转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.
4．
【分析】先由得到，再结合得到，最后借助基本不等式即可求解.
【详解】
由可得，化简得，即，，又，，由余弦定理知，即，又，化简得，，又，当且仅当时取等.故，即.
故答案为：.
5．
【分析】由三角形面积公式可得到，进而得到；利用余弦定理可表示出，结合辅助角公式整理可得，根据正弦型函数值域可知，解不等式求得结果.
【详解】由三角形面积公式知：
，解得：
故答案为：
【点睛】本题考查三角形中最值问题的求解，涉及到三角形面积公式、余弦定理和辅助角公式的应用；关键是能够利用三角形面积公式和余弦定理构造等量关系，从而结合正弦型函数的值域构造出不等关系.
6．
【分析】由可得，由D是BC的中点，可得，然后可得，然后结合ADBC可得，即
【详解】因为，所以由余弦定理得①
因为D是BC的中点，
所以由余弦定理可得
化简可得：②
由①②可得
因为AD，所以
所以，所以
故答案为：
【点睛】本题考查了余弦定理和利用正弦定理进行边角互化，考查了学生对问题的处理与转化能力.
7．A
【分析】
由题目条件得到，设，则，，由余弦定理得，再根据正弦定理求出答案.
【详解】
因为，所以，
所以由，得，于是．
设，则，，
在中，由余弦定理得，
即，解得．
所以，．
在中，由正弦定理得，
故．
故选：A．
8．（1）；（2）
【分析】（1）通过正弦定理求出BC，然后求解三角形的面积；
（2）设出DC，然后通过余弦定理转化求解即可．
【详解】（1）由正弦定理得：，所以sinC=1，，
所以，所以．
（2）设DC=x，则BD=2x，由余弦定理可得
解得：所以．
【点睛】本题考查解三角形的相关知识．正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化能力与计算能力．
9．C
【解析】设，则，根据三角形的面积公式求出AC，AB，然后由，根据三角函数的性质求出面积的最大值．
【详解】解：设，则．
，，，，
，同理，
其中，
，当时，，．
故选：C．
【点睛】本题考查了余弦定理和三角恒等变换，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
10．（1）；（2）．
【分析】（1）由正弦定理可得，故设，，由余弦定理可求出，再由余弦定理即可求的值；
（2）由题意可得，，计算即可求解.
【详解】（1）由正弦定理可得，故设，，
由余弦定理得：，
所以，
因为，所以，
由余弦定理得：；
（2）因为，所以，所以，
所以.
11．(1)7
(2)
【分析】（1）在中，由余弦定理得求得，在中，由余弦定理得求得，可得 ；
（2）记，在中，由余弦定理得，再由求得、，在中，由余弦定理得及，再由可得答案.
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
∴或，当时，，则，符合题意；
当时，，则，不合题意，舍去；∴，
在中，由余弦定理得，
∴或（舍去），∴.
（2）由（1），
记，则.在中，由余弦定理得，∴为锐角，
∴，∴，，
在中，由余弦定理得，
∴，
∴.
12．(1)
(2)
【分析】（1）在和中，利用正弦定理及，结合题意，化简得到，得到，即可求解.
（2）在中，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，，
因为，可得，
又因为，，所以，
所以，可得，所以，
又因为，所以．
（2）解：在中，由正弦定理，得
，
因为，可得，
所以，可得，
所以，即的取值范围为．
答案第1页，共2页
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