资源简介

模块2专题8零点问题 方程图象【讲】
【典例1】
（2024·陕西西安·模拟预测）
已知函数．
（1）若函数在点处的切线与直线垂直，求a的值；
（2）当时，讨论函数零点的个数．
【典例2】
（2024·北京门头沟·一模）
已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求的极值；
（3）当时，判断零点个数，并说明理由．
【典例3】
（2022年新高考全国Ⅰ卷）
已知函数和有相同的最小值．
（1）求a；
（2）证明：存在直线，其与两条曲线和有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
与函数零点相关的题型，在选择题、填空题、解答题中均出现过，难度较大．这类问题通常有三种设问方式：判断（证明）函数零点的个数，求零点所在的区间，由函数零点的个数求参数的值（取值范围）．
函数的零点、方程的根、两函数图象的交点，三者各有特点，且能互相转化．
函数的零点即方程的根，在坐标系中，就是函数的图象与x轴的交点的横坐标；若，则函数的零点就是方程的根，也就是函数与函数的图象的交点的横坐标．
关于函数的零点，可通过函数零点存在性定理进行判定，如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么函数在区间上有零点，即存在实数，使得，这个c就是方程的根．
函数零点存在性定理的作用是通过代入特殊值精确计算，将零点限定在一个较小的范围内，这种方法只能判定零点是否存在，而无法判断零点的个数．
关于方程的根，当所给函数的性质和图象不易分析时，可将函数转化为方程，利用等式的性质进行化简和变形，从而等价构造出易于分析的函数．但能够直接求解的方程种类不多，很多转化后的方程无法用传统方法求根，也无法判断根的个数．
关于两函数图象的交点，它是将代数运算转化为图形特征，通过图象能清晰地数出交点的个数，或者确定参数的取值范围．
【精细化解析 典例1】
第一步：求导可得，根据题意结合垂直关系运算求解；
由题意可知：，可知，
且直线的斜率为，
由题意可知：，解得．
第二步：构建，由题意分析可知的零点个数即为与的交点个数，求导，利用导数判断的单调性和最值，进而可得结果.
由得，
令，
可知的零点个数即为与的交点个数，
则，
因为，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
且趋近于0时，趋近于，，，
当或时，函数有一个零点；
当时，函数有两个零点；
当时，函数没有零点．
[精细化解析 典例2]
第一步：求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；
当时，则，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为.
第二步：求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出极值；
函数的定义域为，且，
令，则，
因为，所以恒成立，所以在上单调递减，
即在上单调递减，
又，
所以当时，当时，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，无极小值.
第三步：依题意可得，构造函数并判断的零点个数，利用导数说明的单调性，求出最小值，再令，，利用导数说明的单调性，即可求出，从而得解.
令，即，
因为，所以，
令，
所以判断的零点个数，即判断的零点个数，
又，，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
令，，
则，因为，所以，
所以在上单调递减，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以当时有一个零点，即有一个零点，
当时无零点，即无零点，
综上可得当时有一个零点，当时无零点.
【精细化解析 典例3】
第一步：分类讨论求导判断的单调性，进而得到相应的最小值，根据最小值即可求解；
的定义域为，，
若，则，在上单调递增，无最小值，所以．
令，得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以．
的定义域为，，令，得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．所以．
因为和有相同的最小值，
所以，整理得，其中．
设，，则，
所以为上的增函数，而，故的唯一解为，即的解为．综上，．
第二步：根据方程变形，构造函数，将根据导数得函数只有一个零点，根据题意数形结合求得b的值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.
由（1）得，，两者的图象如图．
当时，设，
则，
在上单调递增，故，
所以与的图象有唯一交点P，当直线经过点P时，其与两条曲线和才有三个不同的交点．
设三个交点的横坐标分别为，，，
则，（*）．
由，得，所以，
由于，，在上单调递减，故．
由，得，所以，
由于，，在上单调递增，故，即．
所以，由（*）式得，得证．
类型1 代数法求解零点
例1
（四川省成都市2022届高三第三次诊断考试文科）
函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 函数的定义域为，，
令，，则，故在上单调递增．
因为，，所以存在唯一的，使得，
即，即，所以．
当时，，，单调递减
当时，，，单调递增．
所以，
所以函数的零点个数为1．故选B．
升华 如果方程比较容易求解，则可以直接解方程得到函数的零点；如果函数以分段形式给出，即则其零点由方程，的根和方程，的根组成．
本题先换元，令，求出两个根或，据此进一步求出的五个根．
【类题1-1】
1．函数，则集合元素的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【类题1-2】
2．已知函数，且，则的零点个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【类题1-3】
3．已知函数在区间上的零点个数为，函数在区间上的所有零点的和记为.则下述正确的是（ ）
A．
B．
C．在区间上任意两零点的差大于
D．在区间上任意两相邻零点的差大于
类型2 几何法分析零点
例2
（2019年高考天津卷文科）
已知函数若关于x的方程恰有两个互异的实数根，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
思路 在同一坐标系中，作出函数的图象，以及直线，
根据图象判断两者有两个不同交点时a的取值范围．
解析 关于x的方程恰有两个互异的实数根，
即为和的图象有两个交点．
如图，平移直线，当直线经过点，时，两图象刚好有两个交点，分别得，，从而；
由直线与曲线相切，可得，
由，解得（舍去）．
综上，a的取值范围是．故选D．
升华 若方程不易求解，则可借助函数的图象，分析图象与x轴的交点情况．
给定分段函数求零点的问题，要先画出函数的图象，然后根据的图象与和图象的交点情况确定函数的零点情况．
本题先作出的图象，再通过平移直线，观察直线与函数的图象的交点．当直线经过点和时，有两个交点，直线与曲线相切，由此求得a的值，结合图象可得所求范围．
【类题1-1】
4．已知偶函数，且，则函数在区间的零点个数为( )
A．2020 B．2016 C．1010 D．1008
【类题1-2】
（2024·陕西汉中·二模）
5．已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
类型3 复合函数的零点
例3
（2024·全国·模拟预测）
已知函数，，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
思路 先利用导数研究当时，函数的图象和性质，结合对数函数的图象及绝对值的意义作出函数的大致图象，然后根据题意及一元二次方程根的分布得到关于的不等式，解不等式即可得到实数的取值范围．
解析 当时，，，
令，得，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，，当趋近于时，趋近于0，
结合对数函数的图象及绝对值的意义可作出函数的图象如图所示．
令，则，数形结合可知要使有6个零点，
则有两个不相等的实数根、，不妨令，有如下两种情况：
若，但，故排除此种情况，
若，对于二次函数开口向上，又，则，得，
综上，实数的取值范围是．
故选：A
升华 复合函数的零点判定，需要通过“内设、外求、图相助”的方法处理．
（1）换元：令，将复合函数分解为两个简单函数和，称为“内函数”，为“外函数”．
（2）利用外函数的图象判断其零点，得到函数有个零点，，…，．
（3）再判断的根的个数，即分别作出与的图象，从而判断方程对应的x的个数，最后把上述x的个数合在一起，就是函数的零点个数．
【类题1-1】
6．已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【类题1-2】
（2024·辽宁·一模）
7．已知函数，若关于的方程有五个不等的实数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【类题1-3】
（2024·全国·模拟预测）
8．已知函数，．若有5个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据分段函数解析式，结合集合元素要满足的性质，通过分类讨论求所有满足条件的的值，进而确定集合中元素的个数．
【详解】当时，，解得，
当时，若，解得，
当时，若，解得，
当时，若，则，解得或.
又∵
∴或
∴或或或或.
∴集合元素的个数有5个.
故选：D．
2．C
【分析】解三角方程求得的零点即可解决
【详解】由
可得或，又，则，或，或
则的零点个数为3
故选：C
3．ABC
【分析】把零点看作是函数和函数的交点的横坐标，利用奇函数的对称性，的周期性与单调性判断各选项．
【详解】由得，此方程的解即直线与函数交点的横坐标，又是周期为的周期函数，也是奇函数，且在上单调递减，而是增函数也是奇函数，它们只有一个交点，同理在上都是有一个交点，时，交点在 上，所以它们在上交点个数为，即，，B正确；
由函数和都是奇函数，知所有交点关于原点对称，因此，A正确；
相邻两个零点为，，，
又当时，，
设且，则，而，所以，且，
若，则，所以，若，则，即仍然有，
综上，任意两个相邻零点，都有，C正确，D错误．
故选：ABC．
【点睛】关键点点睛：本题考查方程根的分布问题，解题关键是把方程的根转化为函数图象交点的横坐标，即构造函数和，它们都是奇函数，再确定的周期性与单调性，利用这些性质易判断各选项同．
4．A
【分析】作出一个周期内的函数图象，结合函数周期性判断与函数图象交点个数即可．
【详解】
依题意，当时，对称轴为，
由可知，函数的周期
令，可得
求函数的零点个数，即求偶函数与函数图象交点个数
当时，函数与函数图象有个交点
由知，
当时函数与函数图象有个交点
故函数的零点个数为
故选:
5．D
【分析】由题意可知：函数的零点个数即为与的交点个数，利用导数求过原点的切线，结合图象分析求解.
【详解】作出的图象，如图所示
令，可得，
由题意可知：函数的零点个数即为与的交点个数，
若，则，可得，
设切点坐标为，切线斜率为，
则切线方程为，
代入点，可得，解得，
此时切线斜率为；
若，则，可得，
设切点坐标为，切线斜率为，
则切线方程为，
代入点，可得，解得，
此时切线斜率为；
结合图象可知的取值范围为.
故选：D.
【点睛】易错点睛：数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题．它包含以形助数和以数解形两个方面．一般来说，涉及函数、不等式、确定参数取值范围、方程等问题时，可考虑数形结合法．运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而导致错误的选择．
6．D
【分析】令，根据分别求出函数的零点或零点所在区间，再作出函数的图象，根据数形结合即可求出函数的零点个数；
【详解】令．
①当时，，则函数在上单调递增，
由于，由零点存在定理可知，存在，使得；
②当时，，由，解得．
作出函数，直线的图象如下图所示：

由图象可知，直线与函数的图象有两个交点；
直线与函数的图象有两个交点；直线与函数的图象有且只有一个交点．综上所述，函数的零点个数为5．
故选：D．
7．C
【分析】首先判断函数在各段的单调性，即可得到的大致图象，令，则化为，分、、、、、六种情况讨论，结合函数图象即可得解.
【详解】由，
当时，函数在上单调递减，且，，当时，
当时，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
可得的大致图象如下所示：
令，则化为，
当时无解，则无解；
当时，解得，由图可知有两解，即有两解；
当时有一解且，又有一个解，即有一解；
当时有两个解，即、，
又有一个解，有两个解，所以共有三个解；
当时有三个解，即，，，
无解，有三个解，有两个解，
所以共有五个解；
当时有两个解，即，，
有三个解，有两个解，
所以共有五个解；
综上可得的取值范围是.
故选：C
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是数形结合，另外分类讨论需做到不重不漏.
8．A
【分析】当时，对求导，得到的单调性和最值再结合二次函数的性质画出的图象，令，将函数的零点个数问题转化为方程根的问题，结合图象求解即可.
【详解】由题意可知当时，，
令可得：；令可得：；，
故在上单调递减，在上单调递增，
，且当时，，
当趋近于负无穷时，趋近于0；
当时，图象的对称轴为直线，．
故作出的大致图象如图所示．
令，数形结合可知要使有5个零点，
需使方程有2个不同的实数根，且，或．
①若，，则，不成立，舍去．
②若，，则，解得．
当时，方程为，解得或，不符合方程2个根的取值范围，舍去．
故实数的取值范围为．
故选：A．
【点睛】方法点睛：对于求解函数零点个数问题，由以下的方法：（1）函数单调性与零点存在性定理得到函数零点个数；（2）参变分离后构造函数进行求解零点个数；（3）转化为两函数交点个数问题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑