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模块2专题5函数同构 化繁为简【讲】
【典例1】（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（2）设的导数为，若，求证：关于的方程在区间上有实数解.
【典例2】（2024·甘肃白银·三模）设函数，．
（1）讨论的单调性．
（2）证明：．
（3）当时，证明：．
【典例3】（2024·甘肃定西·一模）设函数，
（1）证明：.
（2）当时，证明：.
上面三个问题都可以通过变形，使关系式两边变成具有相同结构的代数式，即把关系式变为与的关系式，然结合相同的结构形式构造适当的母函数，即复合函数的外层函数，利用的单调性、最值等性质解决问题，这就是同构的思想．其思维导图如下．
观察分析→合理变形成具有相同结构的模式→构造新函数→研究性质→问题求解．
一些简单的问题可以直接构造母函数，有些复杂的问题则需要进行适当的结构变形才能构造出母函数．当式子中含有指数、对数时，构造新函数时注意利用公式，，，，等合理配凑，使式子中出现结构相同的两部分．有时结合熟悉的切线不等式，，往往事半功倍．
结论拓展：与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.
同构不仅可以用于解不等式，它在处理不等式恒成立问题、证明不等式、解方程等方面均能发挥作用．
【精细化解析 典例1】
第一步：转化为对于任意上恒成立，构造函数求导可得单调性，从而求解最值.
因为，
则可化为对于任意上恒成立，
即对于任意上恒成立，
令，可得，所以在上单调递增，
则，即，令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，当时，取得最大值，最大值为，
所以，即实数的取值范围为.
第二步：令，利用导数求得在上的单调递增，再令，求得递减，得到，再由，令，得到在递增，得到，结合零点存在定理知，即可得证.
因为，可得，
令，其中，
可得，所以在上的单调递增，
因为且，
令，可得，所以在递减，
所以，所以，所以，
又由且，
令，可得，
所以在递增，所以，即，所以，
所以，
由零点存在定理知，方程在区间上有实数解.
[精细化解析 典例2]
第一步：求导函数，由导函数的符号确定原函数的单调性即可；
因为，易知定义域为，，
由，得到，由，得到或，
所以的增区间为，减区间为，.
第二步：对求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而求出的最小值，得证；
因为，易知定义域为，，
当时，，当时，，
即在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以.
第三步：构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递减，从而得到；
由（2）知，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，
要证明，即证明，
令，则在区间上恒成立，
又，所以，所以，命题得证.
【精细化解析 典例3】
第一步：利用导数分析得的单调性，进而得到其最小值，从而得证；
因为，其定义域为，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，证毕.
第二步：利用分析法与同构法，构造函数，将问题转化为证明，利用（1）中结论即可得证.
当时，，
而，
要证，即证，即证，
设，则，
当时，，则在上单调递增，
且，
当时，，故只需证明，
由（1）知，在上成立，
故，即成立.
类型1 双元同构
例1 （T8联考2022届高三第一次联考第8题）设a，b都为正数，e为自然对数的底数．若，则（ ）
A． B． C． D．
思路 通过移项使a，b分居不等式两边，观察特征，利用指数、对数的性质配凑相同的结构．
解析 ．
因为a，b都为正数，显然，，．
方法一 ，令，，则．
因为，所以在上单调递增，所以，所以，故选B．
方法二 ，令，则．当时，，在上单调递增，所以．故选B．
方法三 因为，所以．令，则．易知在上单调递增，所以，即．故选B．
注 构造，，都可以解决问题，自变量在一定范围内，三者可相互转化．
升华 含双变量的不等式（或方程），按照“左右形式相当，一边一个变量”的目的变形，将相同的形式构造为函数，从而可以得到（或），研究函数的单调性，利用单调性简化不等式（或方程）．若题目中出现，，，等对称的数据，则把与放在一起，把与放在一起，构造函数，利用单调性解决求参数范围、证明不等式等问题．
常见同构形式有以下三种．
（1）乘积模型：
（2）商式模型：
（3）和差模型：
注 在利用积乘模型进行同构时，若两边同为正数，取对数最快捷的，而且同构得出的函数，其单调性一看便知．
【类题1-1】
1．若x，，，则（ ）
A． B． C． D．
【类题1-2】
2．已知，，若，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．0
【类题1-3】
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
类型2 指对同构型不等式
例2 （T8联考2022届高三第一次联考第16题）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是______．
思路 注意到，对移项，两边加x，得．
解析
．令，则．
又易知是R上的单调递增函数，所以．
令，则．
当时，单调递增；
当时，单调递减．
故，从而，得．故a的取值范围是．
注 本题还可以将不等式化为，构造函数解决问题．
升华 对于参变难分离的不等式或方程，考虑用同构思想处理．利用公式，，，合理配凑，使式子出现结构相同的两部分．有时命题者也会结合切线不等式，进行命题，如，，灵活使用切线不等式往往可以简化计算．
【类题1-1】
4．，若，求a的取值范围.
【类题1-2】
5．设实数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【类题1-3】
6．已知，若对任意，不等式恒成立，求正实数a的取值范围．
类型3 同构型方程
例3 已知函数（e为自然对数的底数）．若函数有且仅有两零点，求实数m的取值范围．
思路 由，得，利用的单调性简化问题．
解析 令，得，
即，即．
记，则．易知在上单调递增，
所以有两个根，即函数有两个零点．
由，易知在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，故，
数形结合可知，解得．故m的取值范围是．
注 ，也可构造解决问题．
升华 若函数比较复杂，但是可以通过配凑转化为，则令，将参数用同构的方式构造新的函数或方程．有时也可以借助切线不等式，或函数的单调性、最值等性质，将复杂函数的零点（或方程的根）问题等价转化为简单函数的问题．
【类题1-1】
7．已知实数，满足，，其中为自然对数的底数，则
【类题1-2】
8．若，函数有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【类题1-3】
9．已知函数，若函数在区间内存在零点，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】利用可得，再利用同构可判断的大小关系，从而可得正确的选项.
【详解】设，则（不恒为零），
故在上为增函数，故，
所以，故在上恒成立，
所以，
但为上为增函数，故即，
所以C成立，D错误.
取，考虑的解，
若，则，矛盾，
故即，此时，故B错误.
取，考虑，
若，则，矛盾，
故，此时，此时，故A错误，
故选：C.
【点睛】思路点睛：多元方程隐含的不等式关系，往往需要把方程放缩为不等式，再根据函数的单调性来判断，注意利用同构来构建新函数.
2．C
【分析】将式子等价变形为，进而构造函数，利用单调性得，进而根据不等式即可求解.
【详解】因为，
所以.
设，，则，易知在上单调递增，从而，即，
所以，当且仅当时取等号，即的最大值为.
故选:C.
3．B
【分析】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案.
【详解】设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：B.
【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.
4．
【分析】方法一：构造，，对不等式进行变形为，结合函数的单调性求出参数的取值范围；方法二：构造，对不等式变形为，结合函数单调性解出不等式，求出参数取值范围.
【详解】方法一：定义域为，
同构构造，
，当时，恒成立，
则在上单调递增，
即，
结合函数单调递增，可知：，即，
故恒成立，
令，，则，
当时，，当时，
故在上单调递增，在单调递减，且，
所以，
则，解得：
方法二：构造．
则恒成立，故单调递增，
因为
即，
所以，
故
令，，则，
当时，，当时，
故在上单调递增，在单调递减，且，
所以，
则，解得：
【点睛】同构适用于方程或不等式中同时出现指数函数与对数函数，常见的同构变形有，，，等.
5．B
【分析】把不等式进行同构变形：，引入函数，由导数确定单调性，不等式化为，分离参数为，再引诱函数，由导数求出其最大值后可得结论．
【详解】由题意，，，设，则不等式为，∵，∴在上是增函数，∴，即，令，则，当时，递增，时，递减，∴，∴，
故选：B．
【点睛】方法点睛：有些函数不等式是混合不等式，如不等式中既有自然对数，又有以为底的指数时，我们可以把不等式变形为形式，利用的单调性化简不等式为（或），这类方法称为同构，函数可称为母函数，如，，等等，注意掌握常见的指对同构关系：
，，．
6．
【分析】由题意，恒成立，即恒成立，即恒成立，构造函数，利用单调性可得恒成立，即，从而即可求解.
【详解】解：由题意，恒成立，即恒成立，
所以恒成立，
构造函数，易知在R上单增，
所以恒成立，即，
令，，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以，
所以，解得，
所以正实数a的取值范围.
7．e4
【解析】对等式两边取为底的对数，变形可得，，从而可知所以和是方程的根，结合方程有唯一根可得，再结合，即可得，即可求出.
【详解】实数，满足，，，
所以，，
即，，
所以和是方程的根，
由于方程的根唯一，
所以，所以，整理得，
所以．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是等式两边取为底的对数，得到和是方程的根及方程的根唯一得到.
8．D
【分析】由可得，构造函数，由导数求出最小值并得，再利用导数求解有两个正数解的a的范围即可.
【详解】由，得，
令，求导得，显然时，，当时，，
因此在上单调递减，在上单调递增，，
由，得，则，即，
于是函数有两个零点，等价于方程有两个正数解，
令，求导得，显然在上单调递减，在上单调递增，
则，当时，，而函数在上的值域为，
因此函数在上无最大值，函数值集合为；
当时，令函数，求导得，
令，求导得，则函数在上单调递增，，
函数在上单调递增，，于是，，
而函数在上的值域为，则函数在上无最大值，函数值集合为，
从而方程有两个正数解，当且仅当，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
9．.
【分析】方法一：直接求导，分情况讨论函数单调性及最值情况，进而可得零点情况，进而可得参数取值范围；
方法二：构造函数法并分离参数求得参数范围.
【详解】解：方法一：由可得，
设，，，则，令，
在单调递减，在单调递增，
故.
①当时，令，当时，单调递减，当时，单调递增，
，此时在区间内无零点；
②当时，，此时在区间内有零点；
③当时，令，解得或或，且，
此时在单减，单增，单减，单增，
当或时，，此时在区间内有两个零点；
综合①②③知在区间内有零点.
方法二：由题意可得
，即，
因为当时等号成立，
所以，即，
，令，，
易知在单减，在上单增，所以，
又趋近于和正无穷时，趋近于正无穷，
所以.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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