资源简介

2023-2024学年广东省深圳市宝安区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案按要求填涂到答题卡相应位置上）
1．（3分）计算﹣a2 a3的结果是（　　）
A．a5 B．﹣a5 C．﹣a6 D．a6
2．（3分）杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，1cm3甲醇的质量约为0.00079kg，将0.00079用科学记数法表示应为（　　）
A．79×10﹣4 B．7.9×10﹣4 C．79×10﹣5 D．0.79×10﹣3
3．（3分）若一个三角形的两边长分别为2cm和4cm，则第三边的长可能是（　　）
A．1cm B．2cm C．4cm D．6cm
4．（3分）下列算式不能运用平方差公式计算的是（　　）
A．（x+a）（x﹣a） B．（x+a）（﹣a+x）
C．（a+b）（﹣a﹣b） D．（﹣x﹣b）（x﹣b）
5．（3分）如图是根据某地4月6日至12日的天气情况绘制的气温与日期的表格，根据表格中的信息，下列说法不正确的是（　　）
日期 4月6日 4月7日 4月8日 4月9日 4月10日 4月11日 4月12日
气温℃ 23﹣28 24﹣29 23﹣30 22﹣27 23﹣28 24﹣30 22﹣31
A．4月8日的最低气温是23℃，最高气温是30℃
B．日期是自变量，气温是因变量
C．气温随着日期的增加而逐渐升高
D．4月12日温差最大
6．（3分）用直角三角板作△ABC的高，下列作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（　　）去．
A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块
8．（3分）下列命题正确的是（　　）
A．三角形的三条高交于一点
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D．底角和腰分别相等的两个等腰三角形全等
9．（3分）为了保护视力，某公司推出了一款护眼台灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，ED∥AB，经测试发现，当∠EDC＝124°时，台灯光线最佳．则此时∠DCB的度数为（　　）
A．124° B．134° C．136° D．146°
10．（3分）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图中的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据图中的规律，
若（x﹣1）7＝a7x7+a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0；
则a6+a4+a2+a0＝（　　）
A．64 B．﹣64 C．56 D．﹣56
二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填到答题卡相应位置上）
11．（3分）若一个角等于它的补角的2倍，则这个角等于　 　度．
12．（3分）若2x＝3，4y＝5，则2x+2y的值为　 　．
13．（3分）任意给一个非零数m，按下列程序进行计算，输出的结果仍是m，则程序中的第二个方框中应该填的是 　 　．
14．（3分）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，DA交AB于点F，若A′D∥BC，且∠B﹣∠A＝20°，则∠AED的度数为 　 　．
15．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，D是BC上一点，BD＝3，以AD为边作等腰直角△ADE，当E恰好落在边AC上时，连接BE，则S△BDE＝　 　．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题10分，第17题6分，第18题6分，第19题6分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16．（10分）计算：
（1）a2 a4+（﹣2a2）3﹣a8÷a2；
（2）．
17．（6分）先化简，再求值：[（x+3y）（x﹣3y）﹣（x﹣3y）2+6y2]÷（﹣2y），其中x＝3，．
18．（6分）如图，在△ABC中，D是AC边上一点，E是BC边上一点，连接DE．
（1）过点A作BC的平行线，与ED的延长线交于点F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若D是AC的中点，求证：AF＝EC．
19．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．
（1）若∠B＝30°，且AE＝CE，求∠DAE的度数；
（2）若CD＝3DE，△ADE的面积为2，AC＝4，求点E到边AB的距离．
20．（8分）【问题背景】如图①，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，古诗“金炉香尽漏声残，翦翦轻风阵阵寒”，描绘了“漏刻”不断漏水的情景．
如图②，小明用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置．
【实践操作】上午9：00，小明在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后，小明每隔10min记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表：
记录时间 9：00 9：10 9：20 9：30 9：40
流水时间x/min 0 10 20 30 40
水面高度y/cm 30 29.5 29 28.5 28
【问题解决】
（1）下列图象可以大致反映水面高度随时间变化而变化的是 　 　.（填序号）
（2）由表中数据可知，流水时间每隔10min，甲容器中的水面高度下降 　 　cm，据此规律，10：10时水面高度应为 　 　cm．
（3）请你直接写出水面高度y（cm）与流水时间x（min）的关系式 　 　．
21．（9分）如图1，有A型，B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张．
（1）用1张A型卡片，2张B型卡片，3张C型卡片拼成一个长方形，如图2，用两种方法计算这个长方形面积，可以得到一个等式：　 　；
（2）选取1张B型卡片，6张C型卡片，　 　张A型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a，b的式子表示为 　 　；
（3）如图3，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E、F分别为AB、BC上一点，且AE＝CF，在BE左侧放置1张A型卡片，在BF下方放置一张B型卡片．若图中的长方形BEGF的面积为8，求一张A型卡片和一张B型卡片面积之和．
22．（10分）【特例感知】
（1）如图1，点C为直线l上一点，将一块等腰直角三角板的直角顶点与C重合，两条直角边AC、BC在直线l的两侧，过A作AD⊥l于点D，过B作BE⊥l于点E，求证：AD＝CE．
【应用拓展】
（2）当等腰直角△ACB的边AC落在直线l上，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线l上的一个动点（点D不与A、C重合），连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转90°的得到线段BE，连接AE，AE与射线BC交于点F．
①如图2，求证：AF＝EF；
②当BC＝3CF时，请直接写出AD：AC的值．
2023-2024学年广东省深圳市宝安区七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案按要求填涂到答题卡相应位置上）
1．（3分）计算﹣a2 a3的结果是（　　）
A．a5 B．﹣a5 C．﹣a6 D．a6
【分析】根据同底数幂的乘法法则求解即可求得答案．
【解答】解：﹣a2 a3＝﹣a5
故选：B．
2．（3分）杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，1cm3甲醇的质量约为0.00079kg，将0.00079用科学记数法表示应为（　　）
A．79×10﹣4 B．7.9×10﹣4 C．79×10﹣5 D．0.79×10﹣3
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00079＝7.9×10﹣4．
故选：B．
3．（3分）若一个三角形的两边长分别为2cm和4cm，则第三边的长可能是（　　）
A．1cm B．2cm C．4cm D．6cm
【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长应大于已知的两边的差，而小于两边的和．
【解答】解：设第三边的长为x cm，
由三角形的三边关系可得4﹣2＜x＜4+2，即2＜x＜6，
所以它的第三边的长可能是4cm．
故选：C．
4．（3分）下列算式不能运用平方差公式计算的是（　　）
A．（x+a）（x﹣a） B．（x+a）（﹣a+x）
C．（a+b）（﹣a﹣b） D．（﹣x﹣b）（x﹣b）
【分析】根据平方差公式的结构特点判断即可．
【解答】解：A、原式＝x2﹣a2，故该选项不符合题意；
B、原式＝（x+a）（x﹣a）＝x2﹣a2，故该选项不符合题意；
C、不能运用平方差公式，故该选项符合题意；
D、原式＝（﹣b﹣x）（﹣b+x）＝（﹣b）2﹣x2＝b2﹣x2，故该选项不符合题意；
故选：C．
5．（3分）如图是根据某地4月6日至12日的天气情况绘制的气温与日期的表格，根据表格中的信息，下列说法不正确的是（　　）
日期 4月6日 4月7日 4月8日 4月9日 4月10日 4月11日 4月12日
气温℃ 23﹣28 24﹣29 23﹣30 22﹣27 23﹣28 24﹣30 22﹣31
A．4月8日的最低气温是23℃，最高气温是30℃
B．日期是自变量，气温是因变量
C．气温随着日期的增加而逐渐升高
D．4月12日温差最大
【分析】AC．观察表格中的数据判断即可；
B．根据自变量与因变量的定义判断即可；
D．计算每天的温差即可．
【解答】解：根据表格可知，4月8日的最低气温是23℃，最高气温是30℃，
∴A正确，不符合题意；
每天的气温随着日期的变化而变化，即日期是自变量，气温是因变量，
∴B正确，不符合题意；
由表格可知，最低气温和最高均非随着日期的增加而一直在升高，
∴C不正确，符合题意；
4月6日﹣4月12日，每天的温差分别是5℃，5℃，7℃，5℃，5℃，6℃，9℃，
∴4月12日温差最大，
∴D正确，不符合题意．
故选：C．
6．（3分）用直角三角板作△ABC的高，下列作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
【解答】解：A、B、D均不是高线．
故选：C．
7．（3分）小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（　　）去．
A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块
【分析】根据全等三角形的判断方法解答．
【解答】解：由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃．
故选：D．
8．（3分）下列命题正确的是（　　）
A．三角形的三条高交于一点
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D．底角和腰分别相等的两个等腰三角形全等
【分析】利用三角形的高线的性质、平行线的性质及判定方法、全等三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、三角形的三条高线所在直线交于一点，故原命题错误，不符合题意；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，不符合题意；
C、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，不符合题意；
D、底角和腰分别相等的两个等腰三角形全等，正确，符合题意．
故选：D．
9．（3分）为了保护视力，某公司推出了一款护眼台灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，ED∥AB，经测试发现，当∠EDC＝124°时，台灯光线最佳．则此时∠DCB的度数为（　　）
A．124° B．134° C．136° D．146°
【分析】过C作CK∥AB，得到CK∥ED，由平行线的性质推出∠EDC+∠DCK＝180°，求出∠DCK＝54°，由垂直的定义得到∠BCK＝90°，即可求解．
【解答】解：过C作CK∥AB，
∴CK∥ED，
∴∠EDC+∠DCK＝180°，
∵∠EDC＝124°，
∴∠DCK＝56°，
∵BC⊥AB，
∴BC⊥CK，
∴∠BCK＝90°．
∴∠DCB＝∠BCK+∠DCK＝146°．
故选：D．
10．（3分）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图中的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据图中的规律，
若（x﹣1）7＝a7x7+a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0；
则a6+a4+a2+a0＝（　　）
A．64 B．﹣64 C．56 D．﹣56
【分析】根据，令x＝1，则a7+a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0＝0①，令x＝﹣1，则﹣a7+a6﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝﹣27②，由①+②得2（a6+a4+a2+a0）＝﹣27，即可得出结果．
【解答】解：∵，
令x＝1，则a7+a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0＝0①，
令x＝﹣1，则﹣a7+a6﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝﹣27②，
由①+②得2（a6+a4+a2+a0）＝﹣27，
∴a6+a4+a2+a0＝﹣26＝﹣64，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填到答题卡相应位置上）
11．（3分）若一个角等于它的补角的2倍，则这个角等于　120　度．
【分析】设这个角的度数为x，根据补角的定义得x＝2（180°﹣x），然后解一次方程即可．
【解答】解：设这个角的度数为x，
根据题意得x＝2（180°﹣x），
解得x＝120°．
故答案为120．
12．（3分）若2x＝3，4y＝5，则2x+2y的值为　15　．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则结合同底数幂的乘法运算法则将原式变形，进而得出答案．
【解答】解：∵2x＝3，4y＝5，
∴2x+2y＝2x×（22）y＝3×5＝15．
故答案为：15．
13．（3分）任意给一个非零数m，按下列程序进行计算，输出的结果仍是m，则程序中的第二个方框中应该填的是 　+m　．
【分析】根据程序运算规则运算即可．
【解答】解：按程序进行计算，程序中的第二个方框中应该填的是：+m．
故答案为：+m．
14．（3分）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，DA交AB于点F，若A′D∥BC，且∠B﹣∠A＝20°，则∠AED的度数为 　100°　．
【分析】由折叠的性质可得∠ADE＝，再根据平行线的性质可得∠ADF＝∠C，根据三角形的内角和定理用含有∠A的代数式表示出∠C的度数，再根据三角形的外角性质可得∠DEF的度数，进而得出∠AED的度数．
【解答】解：将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，DA交AB于点F，则∠ADE＝，
∵A′D∥BC，
∴∠ADF＝∠C，
∵∠B﹣∠A＝20°，
∴∠B＝∠A+20°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣（∠A+20°）﹣∠A＝160°﹣2∠A，
∴∠ADE＝＝∠C＝80°﹣∠A，
∴∠DEF＝∠A+∠ADE＝∠A+80°﹣∠A＝80°，
∴∠AED＝180°﹣80°＝100°．
故答案为：100°．
15．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，D是BC上一点，BD＝3，以AD为边作等腰直角△ADE，当E恰好落在边AC上时，连接BE，则S△BDE＝　　．
【分析】作AF⊥AB交BC 于F，连接EF，易证△ABD≌△AFE，从而 EF＝BD＝3，即可求解．
【解答】解：如图，作AF⊥AB交BC 于F，连接EF，
∴∠BAD+∠DAF＝∠FAE+∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠FAE，
∵∠ABC＝45°，AF⊥AB，
∴AB＝AF，∠ABC＝AFB＝45°，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，
∴△ABD≌△AFE（SAS），
∴EF＝BD＝3，∠AFE＝∠ABC＝45°，
∴∠BFE＝90°，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题10分，第17题6分，第18题6分，第19题6分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16．（10分）计算：
（1）a2 a4+（﹣2a2）3﹣a8÷a2；
（2）．
【分析】根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方与积的乘方法则、零指数幂法则、负整数指数幂法则进行解题即可．
【解答】解：（1）原式＝a6﹣8a6﹣a6
＝a6﹣8a6﹣a6
＝﹣8a6；
（2）原式＝
＝
＝﹣1．
17．（6分）先化简，再求值：[（x+3y）（x﹣3y）﹣（x﹣3y）2+6y2]÷（﹣2y），其中x＝3，．
【分析】根据平方差公式、完全平方公式将括号内的式子展开，再合并同类项，然后计算除法，最后将x、y的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：[（x+3y）（x﹣3y）﹣（x﹣3y）2+6y2]÷（﹣2y）
＝（x2﹣9y2﹣x2+6xy﹣9y2+6y2）÷（﹣2y）
＝（6xy﹣12y2）÷（﹣2y）
＝﹣3x+6y，
当 x＝3， 时，原式＝．
18．（6分）如图，在△ABC中，D是AC边上一点，E是BC边上一点，连接DE．
（1）过点A作BC的平行线，与ED的延长线交于点F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若D是AC的中点，求证：AF＝EC．
【分析】（1）根据平行线的判定定理作图；
（2）先根据AAS证明三角形全等，再根据全等的性质证明．
【解答】（1）解：如图：AF即为所求；
（2）证明：∵AF∥BC，
∴∠FAC＝∠C，∠AFE＝∠FEC，
∵D是AC的中点，
∴AD＝DC，
∴△ADF≌△CDE（AAS），
∴AF＝CE．
19．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．
（1）若∠B＝30°，且AE＝CE，求∠DAE的度数；
（2）若CD＝3DE，△ADE的面积为2，AC＝4，求点E到边AB的距离．
【分析】（1）设∠C＝x，先利用AE＝CE得到∠EAC＝∠C＝x，则∠BAE＝∠CAE＝x，所以∠BAC＝2x，根据三角形内角和得到30°+x+2x＝180°，解得x＝50°，接着计算出∠DAC＝40°，然后计算∠EAC﹣∠DAC；
（2）过E作EG⊥AB于D，EH⊥AC于H，如图，根据三角形面积公式得到S△AEC＝4S△ADE＝8，则EH AC＝8，解得EH＝4，然后根据角平分线的性质得到EG＝4，从而得到E到AB的距离．
【解答】解：（1）设∠C＝x，
∵AE＝CE，
∴∠EAC＝∠C＝x，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝x，
∴∠BAC＝2x，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
而∠B＝30°，
∴30°+x+2x＝180°，
解得x＝50°，
即∠EAC＝50°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝50°，
∴∠DAC＝40°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝10°；
（2）过E作EG⊥AB于D，EH⊥AC于H，如图，
∵CD＝3DE，S△ADE＝2，AD⊥BC，
∴S△AEC＝4S△ADE＝8，
∴EH AC＝8，
∴EH＝＝4，
∵AE平分∠BAC，EG⊥AB，EH⊥AC，
∴EG＝EH＝4，
即E到AB的距离为4．
20．（8分）【问题背景】如图①，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，古诗“金炉香尽漏声残，翦翦轻风阵阵寒”，描绘了“漏刻”不断漏水的情景．
如图②，小明用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置．
【实践操作】上午9：00，小明在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后，小明每隔10min记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表：
记录时间 9：00 9：10 9：20 9：30 9：40
流水时间x/min 0 10 20 30 40
水面高度y/cm 30 29.5 29 28.5 28
【问题解决】
（1）下列图象可以大致反映水面高度随时间变化而变化的是 　②　.（填序号）
（2）由表中数据可知，流水时间每隔10min，甲容器中的水面高度下降 　0.5　cm，据此规律，10：10时水面高度应为 　26.5　cm．
（3）请你直接写出水面高度y（cm）与流水时间x（min）的关系式 　y＝﹣x+30　．
【分析】（1）由表格中的数据直接判断即可；
（2）由表格中的数据直接判断即可；
（3）根据（2），求出甲容器中水面每分钟下降的高度，再根据甲容器中的高度＝甲容器中开始的水面高度﹣甲容器中水面高度每分钟下降的距离×流水时间，即可写出函数关系式．
【解答】解：（1）由表格可知，水面高度随时间而降低，即该函数为减函数，而且流水时间不会小于0，水面高度流到最后，管口以下流不净，也就是y的值不会为零．
故答案为：②；
（2）由表格数据可知，流水时间每隔10min，甲容器中的水面高度下降0.5cm，
∵10：10距离9：40为30min，
∴10：10时水面高度应为28﹣3×0.5＝26.5（cm）．
故答案为：0.5，26.5；
（3）由（2）可知，甲容器中的水面高度每分钟下降0.5÷10＝20（cm），
∴y＝﹣x+30，
故答案为：y＝﹣x+30．
21．（9分）如图1，有A型，B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张．
（1）用1张A型卡片，2张B型卡片，3张C型卡片拼成一个长方形，如图2，用两种方法计算这个长方形面积，可以得到一个等式：　（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2　；
（2）选取1张B型卡片，6张C型卡片，　9　张A型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a，b的式子表示为 　b+3a　；
（3）如图3，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E、F分别为AB、BC上一点，且AE＝CF，在BE左侧放置1张A型卡片，在BF下方放置一张B型卡片．若图中的长方形BEGF的面积为8，求一张A型卡片和一张B型卡片面积之和．
【分析】（1）利用两种方法求出长方形的面积，可得结论；
（2）利用数形结合的射线解决问题即可；
（3）设 AE＝CF＝x，判断出b﹣a＝2，ab＝8，可得结论．
【解答】解：（1）（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；
故答案为：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；
（2）∵b2+6ab+9a2＝（b+3a）2，
∴选取1张B型卡片，6张C型卡片，9张A型卡片，可以拼成一个（b+3a）正方形，
故答案为：9，b+3a；
（3）设 AE＝CF＝x，
∵AB＝6，AD＝8，四边形ABCD为长方形，
∴BE＝a＝6﹣x，BF＝b＝8﹣x，则有 b﹣a＝2，
∵长方形BEGF 的面积为8，
∴ab＝8，
∵（b﹣a）2＝b2﹣2ab+a2，
∴22＝b2﹣2×8+a2，
∴a2+b2＝20，
∴一张A型卡片和一张B型卡片的面积之和是20．
22．（10分）【特例感知】
（1）如图1，点C为直线l上一点，将一块等腰直角三角板的直角顶点与C重合，两条直角边AC、BC在直线l的两侧，过A作AD⊥l于点D，过B作BE⊥l于点E，求证：AD＝CE．
【应用拓展】
（2）当等腰直角△ACB的边AC落在直线l上，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线l上的一个动点（点D不与A、C重合），连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转90°的得到线段BE，连接AE，AE与射线BC交于点F．
①如图2，求证：AF＝EF；
②当BC＝3CF时，请直接写出AD：AC的值．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADC＝∠BEC＝90°，∠ADC＝∠BEC＝90°，求得∠CBE＝∠ACD，根据全等三角形的性质得到；
（2）①如图2，过E作EG⊥BF交BF的延长线于G，则∠EGF＝∠DCB＝90°，由（1）可得△DBC≌BEG，EG＝BC＝AC，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
②如图2，当点D在CA的延长线上时，过E作EG⊥BF交BF的延长线于G，设CF＝a，则AC＝BC＝3a，由①知，△ACF≌△EGF，得到FG＝CF＝a，求得BG＝5a，根据全等三角形的性质得到CD＝BG＝5a，求得AD：AC＝；当点D在线段AC上时，过E作EG⊥BF交BF的延长线于G，同理AD：AC＝．
【解答】（1）证明：∵AD⊥l，BE⊥l，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BEC+∠ACD＝90°，
∠CBE+∠BEC＝90°，
∴∠CBE＝∠ACD，
∵AC＝BC，
∴△BCE≌△CAD（SAS）
∴AD＝CE；
（2）①证明：如图2，过E作EG⊥BF交BF的延长线于G，则∠EGF＝∠DCB＝90°，
由（1）可得△DBC≌BEG，EG＝BC＝AC，
∵EG⊥BF，∠ACB＝90°，
∴∠G＝∠ACF＝90°，
又∵∠AFC＝∠EFG，AC＝EG，
∴△ACF≌△EGF（AAS），
∴AF＝CF；
②解：如图2，当点D在CA的延长线上时，
过E作EG⊥BF交BF的延长线于G，
∵BC＝3CF，
∴设CF＝a，则AC＝BC＝3a，
由①知，△ACF≌△EGF，
∴FG＝CF＝a，
∴BG＝5a，
由（1）可得△DBC≌BEG，
∴CD＝BG＝5a，
∴AD＝2a，
∴AD：AC＝；
当点D在线段AC上时，
过E作EG⊥BF交BF的延长线于G，
∵BC＝3CF，
∴设CF＝a，则AC＝BC＝3a，
∴BF＝2a，
由①知，△ACF≌△EGF，
∴FG＝CF＝a，
∴BG＝a，
由（1）可得△DBC≌BEG，
∴CD＝BG＝a，
∴AD＝2a，
∴AD：AC＝；
综上所述，AD：AC的值为．

展开更多......

收起↑