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2024年中考模拟考试
数学科试题
说明：1．全卷共5页，满分120分，考试用时120分钟。
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、学校、班级、姓名、考场号、考场座号。用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑。
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上。
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
5．考生务必保持答题卡的整洁。考试结束时，将答题卡按时交回。
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 下列各数中，最大的是（ ）
A B. 0 C. 4 D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查有理数的大小比较，解题关键是熟练掌握有理数大小的比较法则．根据正数都大于0，0大于负数，据此即可解答．
【详解】解：，
，
∴最大的是4，
故选：C．
2. 年1月3日，我国自主研制的电动飞机首飞成功．的最大平飞速度为，航程米，用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：．
故选：C．
3. 河洛大鼓，俗称“说书”，是河南传统地方曲种之一，被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．如图是河洛大鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看，可得选项B的图形，
故选：B
4. 如图，在中，，点E是上一点，，连接，过点C作，交的延长线于点F，则的长为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】此题考了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．通过证明，得到，即可求解．
【详解】解： 在中，，，
，
，
，
，
，
故选：A．
5. 下列各点中，在反比例函数图象上的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出当时，当时，当时y的值即可得到答案．
【详解】解：当时，，
当时，，
当时，，
∴四个选项中，只有C选项中的点在反比例函数的图象上，
故选C．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数的性质，熟知反比例函数图象上的点一定满足反比例函数解析式是解题的关键．
6. 如图，中，点D、E分别是、的中点，若，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理求得，，从而求得，然后利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵点D、E分别是、的中点，
∴为的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，本题难度较低，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
7. 如图，直线被直线所截，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质、对顶角的性质等知识，根据两直线平行同位角相等求出，再由对顶角相等即可得到答案．
详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
故选：B
8. 不透明的袋子中装有3个红球，2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查简单事件的概率，根据概率公式求解，即可解题．
【详解】解：摸出红球的概率为，
故选：B．
9. 把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．
【详解】．
故选B．
【点睛】不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
10. 解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式方程的解法，两侧同乘化简分式方程即可．
【详解】解：解方程去分母，两边同乘后的式子为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键．
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 分解因式： _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解．
【详解】解：，
故答案：．
12. 已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）满足的关系式为y＝，则当近视眼镜为200度时，镜片焦距为________．
【答案】0.5m
【解析】
【分析】令y=200，代入反比例函数，求得x的值即可，
【详解】令y = 200,
即：200=
解得：x=0.5，
故200度近视眼镜镜片的焦距为0.5米．
故答案为：0.5m．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，本题已经给出了解析式就使得难度大大降低．
13. 小刚开学后，第一次测试数学得了70分，语文得了84分，则英语至少得 _______分，才能使三科平均分不低于80分．
【答案】86
【解析】
【分析】设英语得分，根据题意可列一元一次不等式并求解即可．
【详解】解：设英语得分，根据题意，
可得 ，
解得 ，
所以，英语至少得86分，才能使三科平均分不低于80分．
故答案为：86．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，理解题意，弄清熟练关系是解题关键．
14. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则 ______度
【答案】35
【解析】
【分析】本题考查的是旋转的性质，旋转角的定义，根据旋转角的含义可得，再利用角的和差运算可得答案．
【详解】解：由题意得：，
，
，
故答案为：．
15. 若，则的值为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了代数式的求值，掌握等式的性质和整体思想是解题关键．把看作一个整体代入所求代数式进行计算即可得解．
【详解】解：
故答案为∶3．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查整式的混合运算：
（1）原式先根据负整数指数幂，绝对值和算术平方根的意义化简各项后，再进行加减运算即可；
（2）根据多项式乘以多项式，完全平方公式可解答本题．
【详解】解：（1）
（2）
17. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝400米，∠D＝30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A、C、E三点在一直线上（≈1．732，结果精确到1米）？
【答案】另一边开挖点E离D346m，正好使A，C，E三点在一直线上
【解析】
【分析】由∠ABD＝120°可求出，可证∠AED＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质，可得BE＝BD，从而求得BE的长度，在Rt△BDE中，根据姑姑定力，即可求得答案．
【详解】解：∵∠ABD＝120°，∠D＝30°，
∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△BDE中，BD＝400m，∠D＝30°，
∴BE＝BD＝200m，
∴DE＝＝200≈346（m），
答：另一边开挖点E离D346m，正好使A，C，E三点在一直线上．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
18. 已知一长方形公园的面积为，围绕这个公园的栅栏长为，求这个公园的长和宽．
【答案】这个公园的长为，宽为
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出宽是解题关键．设这个公园的长，则宽，直接利用长宽面积，进而得出答案．
【详解】解：设这个公园的长，则宽，根据题意可得：
，
解得：，
当时，宽为：，此时，不合题意；
故时，宽为：，
答：这个公园的长为，宽为．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19. 如图，在中，．
（1）实践与操作：过点作三角形边上的高（要求：尺规作图并保留痕迹，不写作法，标明字母）．
（2）计算：在（1）的条件下，若，，求的长
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，含的直角三角形的性质，勾股定理，掌握对的直角边是斜边的一半是解题的关键；
（1）根据尺规作图作垂线的方法作图即可；
（2）由含的直角三角形的性质，可求出，再由勾股定理求出，再由含的直角三角形的性质求解即可；
【小问1详解】
如图所示，即为所求，
【小问2详解】
，，，
，
在中，．
是边上的高，
，
，
20. 猜灯谜是我国独有的富有民族风格的一种文娱活动形式，某校开展了猜灯谜知识竞答活动，从七年级和八年级各随机抽取20名学生的竞答成绩（单位：分），进行整理、描述和分析（比赛成绩用x表示，共分成4组：：，：，：，：）．下面给出了部分信息：
七年级学生B组的竞答成绩为：81，81，82，84，82，86，82，86．
八年级被抽取学生的竞答成绩为：83，60，66，62，68，83，71，92，90，76，91，94，83，75，84，83，77，90，91，81．
七、八年级抽取的竞答成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 80 80
中位数 a 83
众数 82 b
七年级抽取的竞答成绩扇形统计图
21题图
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ________，________，________；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级学生的竞答成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级学生共有1000人，请你估计该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的有多少人？
【答案】（1）81.5，83，40；
（2）八年级学生的竞答成绩更好．理由见解析
（3）250人．
【解析】
【分析】（1）本题考查中位数、众数和扇形统计图中的百分比，对于中位数、众数，根据众数和中位数的定义求解即可，再利用B组人数除以抽取的总人数，即可求得．
（2）根据平均数、中位数、众数分析，言之有理即可．
（3）本题考查由样本估计总体，根据抽取的样本中七、八年级学生竞答成绩不低于90分的所占比乘以1000即可解题．
【小问1详解】
解：由题知，七年级随机抽取20名学生的竞答成绩，其中C组所占百分比为，D组所占百分比为，
C组人数为（人），D组人数为（人），其中B组有8名学生的竞答成绩，
将七年级竞答成绩从低到高进行排列，第10、11位竞答成绩是81分、82分，
七年级被抽取学生竞答成绩中位数为（分），
八年级被抽取学生的竞答成绩出现次数最多的是83分，
八年级被抽取学生的竞答成绩众数是83分，
又，即，
故答案为：81.5，83，40．
【小问2详解】
答：八年级学生的竞答成绩更好．理由如下（写出一条理由即可）：
①七年级学生的竞答成绩中位数81.5分八年级学生的竞答成绩中位数83分，
②七年级学生的竞答成绩众数82分八年级学生的竞答成绩众数83分，
【小问3详解】
解：（人），
答：估计该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的有250人．
【点睛】本题考查用样本估计总体、扇形统计图所占百分比、中位数、众数的意义和计算方法，从统计图表中获取数量之间的关系是解决问题的关键．
21. 某生物兴趣小组观察甲、乙两种植物生长，得到植物的高度（厘米）与观察时间（天）的函数关系，制作如下的活动报告．
项目主题 观察甲、乙两种植物的生长
记录数据 观察时间（天）…甲植物的高度（厘米）…乙植物的高度（厘米）…
建立模型 发现植物的高度（厘米）与观察时间（天）之间存在函数关系，关系式为： 甲植物：？ 乙植物：？
绘制图象
根据以上报告内容，解决下列问题：
（1）根据图象求甲植物的高度与观察时间之间的函数关系式；
（2）在图中画出关于的函数图象，观察图象可知，第______天，甲、乙两种植物高度相同
【答案】（1）
（2）图见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题意设函数表达式为，用待定系数法将代入即可求出表达式；（2）根据（1）中所求的表达式画出一次函数的图像，观察图像即可作答．
【小问1详解】
设与之间的函数关系式为，
将代入，得
解得
甲植物的高度与观察时间之间的函数关系式为
【小问2详解】
由表格可知关于的函数图象过描点作图后，画出图象．
根据图像的交点可知：第天或第天，甲、乙两种植物高度相同．
由于植物不会逆向生长，故答案为第天．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法，求出函数解析式和数形结合思想的应用．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22. 【初步感知】
（1）如图1，点A，B，P均在上，若，则锐角的大小为______度；
【深入探究】
（2）如图2，小明遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A，C重合），连接，，．求证：；小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证.请根据小明的分析思路完成证明过程．
【启发应用】
（3）如图3，是的外接圆，，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接，，，若，则的值为_____．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可直接得出答案；
（2）延长至点E，使，连接，根据圆内接四边形性质得出，再证，推出，，进而证明是等边三角形，可得；
（3）延长至点E，使，连接，通过证明，可推得是等腰直角三角形，结合与可得，代入即可求解．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2）证明过程如下：
如图，延长至点E，使，连接，
四边形是的内接四边形，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
即；
（3）如图，延长至点E，使，连接，
四边形是的内接四边形，
，
在和中，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造，进行转换求解．
23. 【问题提出】
如图1，在矩形中，点在上，且，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在折线段上运动，连接，当时停止运动，过点作，交矩形的边于点，连接．设动点的运动路程为，线段与矩形的边围成的三角形的面积为．
【初步感知】
如图2，动点由点向点运动的过程中，经探究发现是关于的二次函数，如图2所示，抛物线顶点的坐标为，与轴的交点的坐标为，与轴的交点为点．
（1）求矩形的边和的长；
【深入探究】
（2）点由点向终点运动的过程中，求关于的函数表达式；
【拓展延伸】
（3）是否存在3个路程，，，当时，3个路程对应的面积均相等．
【答案】（1），；（2）；（3）存在，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据当时，可求出；过点作于点，证明得，当时求出，进而可求出，用待定系数法求出，然后求出抛物线与轴的交点为点的坐标为，由此可知，当点与点重合时，点与点重合，由勾股定理求出，然后由由可求出；
（2）过点作于点，由求出，然后根据即可求解；
（3）先求出，结合可得，由面积相等得，整理得，根据根的判别式即可求解．
【详解】解：（1）抛物线与轴的交点的坐标为，
即当时，，
当时，点与点重合，此时线段与矩形的边围成的三角形为，如图1，
，
，
．
如图2，过点作于点，
∵，，
∴．
∵，
∴，
，当时，即，
，
．
，
设抛物线为，
抛物线顶点的坐标为，
抛物线为，
抛物线与轴的交点的坐标为，
，，
．
当时，解得：，，
抛物线与轴的交点为点的坐标为，
由此可知，当点与点重合时，点与点重合（如图3），
在中，，
由得，即，
；
（2）如图4，过点作于点，
同理可证，
∴，即，
，
．
；
（3）由知，抛物线的对称轴为直线，
，
当时，则，
，
整理，得：，
，
所以存在当时，3个路程对应的面积均相等．
【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，一元二次方程根的判别式，勾股定理等知识，求出函数解析式是解答本题的关键．2024年中考模拟考试
数学科试题
说明：1．全卷共5页，满分120分，考试用时120分钟。
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、学校、班级、姓名、考场号、考场座号。用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑。
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上。
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
5．考生务必保持答题卡的整洁。考试结束时，将答题卡按时交回。
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 下列各数中，最大的是（ ）
A. B. 0 C. 4 D.
2. 年1月3日，我国自主研制的电动飞机首飞成功．的最大平飞速度为，航程米，用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 河洛大鼓，俗称“说书”，是河南传统地方曲种之一，被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．如图是河洛大鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在中，，点E是上一点，，连接，过点C作，交的延长线于点F，则的长为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 下列各点中，在反比例函数图象上的点是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，中，点D、E分别是、的中点，若，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 如图，直线被直线所截，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 不透明袋子中装有3个红球，2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）
A B. C. D.
10. 解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A. B.
C D.
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 分解因式： _______．
12. 已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）满足的关系式为y＝，则当近视眼镜为200度时，镜片焦距为________．
13. 小刚开学后，第一次测试数学得了70分，语文得了84分，则英语至少得 _______分，才能使三科平均分不低于80分．
14. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则 ______度
15. 若，则的值为_____．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
17. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝400米，∠D＝30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A、C、E三点在一直线上（≈1．732，结果精确到1米）？
18. 已知一长方形公园的面积为，围绕这个公园的栅栏长为，求这个公园的长和宽．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19. 如图，在中，．
（1）实践与操作：过点作三角形边上的高（要求：尺规作图并保留痕迹，不写作法，标明字母）．
（2）计算：在（1）的条件下，若，，求的长
20. 猜灯谜是我国独有的富有民族风格的一种文娱活动形式，某校开展了猜灯谜知识竞答活动，从七年级和八年级各随机抽取20名学生的竞答成绩（单位：分），进行整理、描述和分析（比赛成绩用x表示，共分成4组：：，：，：，：）．下面给出了部分信息：
七年级学生B组的竞答成绩为：81，81，82，84，82，86，82，86．
八年级被抽取学生的竞答成绩为：83，60，66，62，68，83，71，92，90，76，91，94，83，75，84，83，77，90，91，81．
七、八年级抽取的竞答成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 80 80
中位数 a 83
众数 82 b
七年级抽取竞答成绩扇形统计图
21题图
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ________，________，________；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级学生竞答成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级学生共有1000人，请你估计该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的有多少人？
21. 某生物兴趣小组观察甲、乙两种植物生长，得到植物的高度（厘米）与观察时间（天）的函数关系，制作如下的活动报告．
项目主题 观察甲、乙两种植物的生长
记录数据 观察时间（天）…甲植物的高度（厘米）…乙植物的高度（厘米）…
建立模型 发现植物的高度（厘米）与观察时间（天）之间存在函数关系，关系式为： 甲植物：？ 乙植物：？
绘制图象
根据以上报告内容，解决下列问题：
（1）根据图象求甲植物的高度与观察时间之间的函数关系式；
（2）在图中画出关于的函数图象，观察图象可知，第______天，甲、乙两种植物高度相同
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22. 【初步感知】
（1）如图1，点A，B，P均在上，若，则锐角的大小为______度；
【深入探究】
（2）如图2，小明遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A，C重合），连接，，．求证：；小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证.请根据小明的分析思路完成证明过程．
【启发应用】
（3）如图3，是的外接圆，，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接，，，若，则的值为_____．
23. 【问题提出】
如图1，在矩形中，点在上，且，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在折线段上运动，连接，当时停止运动，过点作，交矩形的边于点，连接．设动点的运动路程为，线段与矩形的边围成的三角形的面积为．
【初步感知】
如图2，动点由点向点运动的过程中，经探究发现是关于的二次函数，如图2所示，抛物线顶点的坐标为，与轴的交点的坐标为，与轴的交点为点．
（1）求矩形的边和的长；
【深入探究】
（2）点由点向终点运动的过程中，求关于的函数表达式；
【拓展延伸】
（3）是否存在3个路程，，，当时，3个路程对应的面积均相等．

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