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瑞昌市2024年学考模拟考试
数学试题卷
说明：1．全卷满分120分，考试时间120分钟．
2．请将答案写在答题卡上，否则不给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）
1. 的倒数是（ ）
A B. 2024 C. D.
2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若分式有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D. 且
4. 计算结果是（　　）
A. B. C. D.
5. 一定滑轮的起重装置如图，滑轮半径为6cm，当重物上升时，滑轮的一条半径OA按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（ ）
A B. C. D.
6. 如图1，矩形中，点E为的中点，点P沿从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为（　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 如果体重减少记作，那么体重增加，应记作______．
8. 在百度中搜索“龘龘”，能搜到与之相关的结果个数约为226000，这个数用科学记数法表示为______．
9. 《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为，乙的速度为，乙一直向东走，甲先向南走步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”若设甲乙两人相遇的时间为，则可列方程是________________．
10. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．，，则的度数是___．
11. 大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是______．
12. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，E为的中点，F为线段上一动点，当为等腰三角形时，的长为______．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：．
（2）如图，在中，，，E，D分别是BC，AC上的点，且，求证：．
14. 解不等式组，并写出它的所有整数解．
15. 先化简，再从－2，0，2中选择一个合适的值代入求值．
16. 甲、乙两名教师积极参加某社区的志愿服务活动．根据社区工作的实际需要，志愿者被随机分配到环保志愿服务队、治安志愿服务队、敬老扶弱志愿服务队、科普宣传志愿服务队．
（1）甲被分配到环保志愿服务队的概率为 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求出甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队的概率．
17. 图1、图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．
（1）在图1中画出两个以为斜边的和，且点C，均在格点上；
（2）在图2中画出一个以为对角线的菱形，且D，E均在格点上．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 为了解九年级甲、乙两个班级学生寒假期间每天体育锻炼的情况，体育老师从九年级甲、乙两班各随机抽取30名学生进行了“寒假期间平均每日体育锻炼时长（单位：分）”的调查，并对收集到的数据进行了整理、描述和分析．下面给出部分信息：
a．甲班学生平均每日体育锻炼时长条形统计图．
（平均每日体育锻炼时长用表示，共分为四个组别：．；．；．；．）
b．甲班抽取的30名学生的平均每日体育锻炼时长在组中的全部数据：
，，，，，，，，，，，．
乙班抽取的30名学生的平均每日体育锻炼时长在两个组的全部数据：
，，，，，，，，，，，，，，，，，．
c．甲、乙两班抽取的学生的平均每日体育锻炼时长的统计量如下．
平均数 中位数 众数 优秀率
甲班 44.1 48
乙班 44.0 43 45
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：______，______，并补全条形统计图．
（2）若该校九年级共有600名学生，请你估计寒假期间平均每日体育锻炼时长低于40分钟的学生人数．
（3）根据以上信息，请你对甲、乙两班寒假期间的体育锻炼情况作出评价，并说明理由．
19. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为BC，遮阳棚长为5米，与水平面的夹角为．
（1）求点A到墙面BC的距离；
（2）当太阳光线AD与地面CE夹角为时，量得影长CD为米，求遮阳篷靠墙端离地高BC的长．（结果精确到米；参考数据：，，）
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点，与轴交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点是点关于轴的对称点，连接，求的面积．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，是的直径，点E在上，连接和，平分交于点C，过点C作交的延长线于点D，连接．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的长（结果保留π）．
22. 根据以下材料，探索完成任务：
智能浇灌系统使用方案
材料 如图1是一款智能浇灌系统，水管垂直于地面并可以随意调节高度（最大高度不超过），浇灌花木时，喷头P处会向四周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流落地点M与点O的距离即为最大浇灌距离，各方向水流落地点形成一个以点O为圆心，为半径的圆形浇灌区域． 当喷头P位于地面与点O重合时，某一方向的水流上边缘形成了如图2的抛物线，经测量，，水流最高时距离地面． 如图3，农科院将该智能浇灌系统应用于一个长，宽的矩形试验田中，水管放置在矩形中心O处．
问题解决
任务1 确定水流形状 在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究浇灌最大区域 当调节水管的高度时，浇灌的圆形区域面积会发生变化，请你求出最大浇灌圆形区域面积．（结果保留）
任务3 解决具体问题 若要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，则水管至少需要调节到什么高度？
六、（本大题共12分）
23. 【课本再现】
（1）如图1，四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数为 ．
变式探究】
（2）如图2，将（1）中的沿折叠，得到，延长交于点F，若，求的长．
【延伸拓展】
（3）如图3，当（2）中的点E在射线上运动时，连接，与交于点P．探究：当的长为多少时，D，P两点间的距离最短？请求出最短距离．瑞昌市2024年学考模拟考试
数学试题卷
说明：1．全卷满分120分，考试时间120分钟．
2．请将答案写在答题卡上，否则不给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）
1. 的倒数是（ ）
A. B. 2024 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了倒数定义，根据题意利用倒数定义（互为倒数的两个数乘积为1）即可得出本题答案．
【详解】解：
∴的倒数为，
故选：C．
2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．根据定义逐一判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选A．
3. 若分式有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件，由，解答即可．
【详解】解：根据题意得：，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分母不为0时分式有意义．
4. 计算的结果是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了单项式乘以单项式，利用单项式乘以单项式的法则计算即可．
【详解】解：
，
故选：D．
5. 一定滑轮起重装置如图，滑轮半径为6cm，当重物上升时，滑轮的一条半径OA按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】重物上升的距离恰好是滑轮转过的弧长，根据弧长公式计算即可.
【详解】∵重物上升的距离恰好是滑轮转过的弧长，
∴4π= ，
解得n=120，
故选D.
【点睛】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式，读懂题意是解题的关键.
6. 如图1，矩形中，点E为的中点，点P沿从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为（　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象可知，当P在B点时，，根据两点之间线段最短，得到，再根据图象可知，勾股定理得到，结合，求出的长，即可得出结果．
【详解】解：由函数图象知：当，即P在B点时，．
利用两点之间线段最短，得到．
∴y的最大值为，
∴．
在中，由勾股定理得：，
设的长度为t，
则，
∴，
即，
∴，
解得或，
由于，
∴．
∴，
∵点E为的中点，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查动点的函数图象．从图象中有效的获取信息，是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 如果体重减少记作，那么体重增加，应记作______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，负数是表示两个具有相反意义的量，如果体重减少用负数表示，那么体重增加就用正数表示，据此求解即可．
【详解】解：如果体重减少记作，那么体重增加，应记作，
故答案为：．
8. 在百度中搜索“龘龘”，能搜到与之相关的结果个数约为226000，这个数用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法表示绝对值较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值是易错点，由于226000有6位，所以可以确定．
【详解】解：，
故答案为：
9. 《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为，乙的速度为，乙一直向东走，甲先向南走步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”若设甲乙两人相遇的时间为，则可列方程是________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的应用，勾股定理，根据题意，则乙走了步，甲斜向北偏东走了步，根据题意，列出方程，即可．
【详解】设甲，乙两人相遇的时间为，
∴乙走了步，甲斜向北偏东走了步，
∴，
故答案为：．
10. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．，，则的度数是___．
【答案】##50度
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角定义，先分别求出和，再根据“两直线平行，内错角相等”求出和，即可得出答案．
【详解】∵，，
∴，．
∵，，
∴，，
∴．
故答案为：．
11. 大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据黄金分割比例直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵P为的黄金分割点（），设，
∴，
解得：，（不符合题意舍去），
∴，
故答案为：；
【点睛】本题主要考查黄金分割，解题的关键是熟练掌握黄金分割点的比例关系较长线段的平方等于较短边乘以整条线段．
12. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，E为的中点，F为线段上一动点，当为等腰三角形时，的长为______．
【答案】或或3
【解析】
【分析】先利用菱形性质和等边三角形的判定与性质分别求出，，，再利用等腰三角形的性质分类讨论，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴
∵E为的中点，
∴，，
∴，
当时，，
∴，
当时，
如图，过E点作于G，
∵，
∴，
∵E为的中点，，
∴，由勾股定理得，
在中，，
∴，
当点F与点O重合时，此时，
则；
综上，的长为或或3；
故答案为：或或3．
【点睛】本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质，解题关键是正确分类讨论和计算．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：．
（2）如图，在中，，，E，D分别是BC，AC上的点，且，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，似三角形的判定．
（1）先计算乘方，零指数幂，代入特殊三角函数值，计算乘法，再计算加减即可；
（2）根据题意得到，结合外角定理可得，即可证明．
【详解】（1）解：原式
；
（2）证明：∵，，
∴．
∵，
，
，
∴．
∴．
14. 解不等式组，并写出它的所有整数解．
【答案】；不等式组所有的整数解为：－1，0，1
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①，得：；
解不等式②，得：；
所以，不等式组的解集为：．
该不等式组所有的整数解为：－1，0，1．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15. 先化简，再从－2，0，2中选择一个合适值代入求值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可．
【详解】解：
．
∵，－2，
∴．
∴原式．
16. 甲、乙两名教师积极参加某社区的志愿服务活动．根据社区工作的实际需要，志愿者被随机分配到环保志愿服务队、治安志愿服务队、敬老扶弱志愿服务队、科普宣传志愿服务队．
（1）甲被分配到环保志愿服务队的概率为 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求出甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队的概率．
【答案】（1）
（2）见解析，
【解析】
【分析】本题考查利用树状图法求概率，通过画树状图法求得所有的情况数和满足条件的情况数是解题的关键．
（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）通过画树状图求得所有情况数，再从中选出甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队有多少种情况，最后根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：甲被分配到环保志愿服务队的概率为：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：用A，B，C，D表示环保志愿服务队、治安志愿服务队、敬老扶弱志愿服务队、科普宣传志愿服务队，画树状图如下：
共有16种等可能出现的结果，其中甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队的结果有4种，
则甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队的概率是．
17. 图1、图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．
（1）在图1中画出两个以为斜边的和，且点C，均在格点上；
（2）在图2中画出一个以为对角线的菱形，且D，E均在格点上．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，菱形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，菱形的性质是解题的关键
如图1，点向右2个格点为，连接，点向左2个格点为，连接， 则，，进而可得，，即为所作；
（2）如图2，点向右3个格点，向上1个格点为，连接，点向左3个格点，向下 1个格点为，连接， 此时，进而可得四边形即为菱形．
【小问1详解】
解：如图1，点向右2个格点为，连接，点向左2个格点为，连接，
∴，，
∴，，即为所作；
【小问2详解】
解：如图2，点向右2个格点，向上1个格点为，连接，点向左2个格点，向下 1个格点为，连接，
∴，即四边形是以为对角线的菱形，
∴菱形即为所求．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 为了解九年级甲、乙两个班级学生寒假期间每天体育锻炼的情况，体育老师从九年级甲、乙两班各随机抽取30名学生进行了“寒假期间平均每日体育锻炼时长（单位：分）”的调查，并对收集到的数据进行了整理、描述和分析．下面给出部分信息：
a．甲班学生平均每日体育锻炼时长条形统计图．
（平均每日体育锻炼时长用表示，共分为四个组别：．；．；．；．）
b．甲班抽取的30名学生的平均每日体育锻炼时长在组中的全部数据：
，，，，，，，，，，，．
乙班抽取的30名学生的平均每日体育锻炼时长在两个组的全部数据：
，，，，，，，，，，，，，，，，，．
c．甲、乙两班抽取的学生的平均每日体育锻炼时长的统计量如下．
平均数 中位数 众数 优秀率
甲班 44.1 48
乙班 44.0 43 45
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：______，______，并补全条形统计图．
（2）若该校九年级共有600名学生，请你估计寒假期间平均每日体育锻炼时长低于40分钟的学生人数．
（3）根据以上信息，请你对甲、乙两班寒假期间的体育锻炼情况作出评价，并说明理由．
【答案】（1）45，20，补图见解析
（2）估计寒假期间平均每日体育锻炼时长低于40分钟的学生为180名
（3）甲班学生寒假期间体育锻炼情况较好，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图，中位数，样本估计总体，对于（1），先求出甲班D组的人数，可求出中位数a，并补全条形统计图，再确定乙班D组的人数，可求出m；
对于（2），求出甲乙两班A，B两组人数和占样本总人数的百分比，再乘以总人数；
对于（3），根据各数的大小比较即可．
【小问1详解】
甲班A组有3人，B组有6人，C组有12人，所以D组有（人），甲班数据最中间的两个数在C组，且都是45，所以中位数是；
乙班级最中间的两个数都是43，可知B，D组都有6个数据，则，
所以．
故答案为：45，20；
补全的条形统计图如解图所示．
【小问2详解】
甲班A，B两组有9人，乙班A，B两组也有9人，
∴（名）．
答：估计寒假期间平均每日体育锻炼时长低于40分钟的学生为180名．
【小问3详解】
甲班学生寒假期间体育锻炼情况较好．
理由：甲班抽取的学生寒假期间平均每日体育锻炼时长的平均数、中位数、众数、优秀率均大于乙班．
19. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为BC，遮阳棚长为5米，与水平面的夹角为．
（1）求点A到墙面BC的距离；
（2）当太阳光线AD与地面CE的夹角为时，量得影长CD为米，求遮阳篷靠墙端离地高BC的长．（结果精确到米；参考数据：，，）
【答案】（1）米
（2）米
【解析】
【分析】（1）作，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解，
（2）作，依次求出，,的长，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解，
本题考查了，解直角三角形的应用，解题的关键是：连接辅助线构造直角三角形．
【小问1详解】
解：过点A作，垂足为F，
在中，（米），
∴（米），
∴点A到墙面BC的距离约为米，
【小问2详解】
解：过点A作，垂足为G，
由题意得：，（米），
∵（米），
∴（米），
在中，，
∴（米），
∴（米），
在中，
∴（米），
∴（米），
故答案为：米．
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点，与轴交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点是点关于轴的对称点，连接，求的面积．
【答案】（1）反比例函数得解析式为，一次函数的解析式为
（2）16
【解析】
【分析】此题是反比例函数和一次函数综合题，考查了待定系数法、关于坐标轴对称等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
（1）由点，点是的图象与直线的交点，则，解得，得到，，，得到反比例函数解析式，再用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）求出点，得到，即可得到答案；
【小问1详解】
解：∵点，点是的图象与直线的交点，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∴反比例函数得解析式为，
将点，代入一次函数中，
得 解得
∴一次函数的解析式为；
【小问2详解】
对于直线，
令，得，
∴点C的坐标为，
∵点D是点C关于x轴的对称点
∴点，
∴，
∴；
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，是的直径，点E在上，连接和，平分交于点C，过点C作交的延长线于点D，连接．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的长（结果保留π）．
【答案】（1）是的切线．理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，证明即可；
（2）根据三角函数的定义和弧长公式即可得到结论．
【小问1详解】
结论：是的切线．
理由：连接．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
在中，∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
22. 根据以下材料，探索完成任务：
智能浇灌系统使用方案
材料 如图1是一款智能浇灌系统，水管垂直于地面并可以随意调节高度（最大高度不超过），浇灌花木时，喷头P处会向四周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流落地点M与点O的距离即为最大浇灌距离，各方向水流落地点形成一个以点O为圆心，为半径的圆形浇灌区域． 当喷头P位于地面与点O重合时，某一方向的水流上边缘形成了如图2的抛物线，经测量，，水流最高时距离地面． 如图3，农科院将该智能浇灌系统应用于一个长，宽的矩形试验田中，水管放置在矩形中心O处．
问题解决
任务1 确定水流形状 在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究浇灌最大区域 当调节水管的高度时，浇灌的圆形区域面积会发生变化，请你求出最大浇灌圆形区域面积．（结果保留）
任务3 解决具体问题 若要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，则水管至少需要调节到什么高度？
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是建立适当的坐标系，求出二次函数解析式．
（1）以点O为坐标原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，设抛物线的函数表达为，将代入得，求出，即可得出答案；
（2）当时，即将抛物线向上平移个单位，求出函数关系式为，求出其与x轴的交点坐标，再根据圆的面积公式求出结果即可；
（3）连接，根据勾股定理求出，得出，设，此时抛物线函数表达式为，将代入，求出，即可得出答案．
【详解】解：（1）如图，以点O为坐标原点，OM方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，此时，，顶点坐标为，
设抛物线的函数表达为，
将代入得，，
解得：，
∴抛物线函数表达式为．
（2）当时，即将抛物线向上平移个单位，得：
，
令，则，
解得：，（舍去），
∴浇灌最大圆形区域面积为．
（3）连接，如图所示：
由题意知过点O，根据勾股定理可得：，
∴，
∴要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，浇灌半径至少．
设，此时抛物线函数表达式为，
将代入，得，
解得：，
∴至少调节到．
六、（本大题共12分）
23. 【课本再现】
（1）如图1，四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数为 ．
【变式探究】
（2）如图2，将（1）中的沿折叠，得到，延长交于点F，若，求的长．
【延伸拓展】
（3）如图3，当（2）中的点E在射线上运动时，连接，与交于点P．探究：当的长为多少时，D，P两点间的距离最短？请求出最短距离．
【答案】（1）；（2）；（3）当的长为时，D，P两点间的距离最短，最短距离为
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质，得到，推出，由，得到，推出即可得出结果；
（2）根据正方形的性质，得到，求出，进而得到，由折叠的性质得到，，再根据（1）中，得到，进而得到，利用勾股定理求出，由即可求解；
（3）由折叠的性质，得到，即点P在以为直径的圆上运动，设的中点为Q，连接，则当点P在上时，D，P两点间的距离最短，设交于点G，如图，求出，进而得到，，证明，得到，即可求出，即可得出结论．
【详解】解：（1）四边形是正方形，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）四边形是正方形，
，
，
，
，
由折叠的性质得到，，
由（1）知，
，
，
，
；
（3）由折叠知，
，
点P在以为直径的圆上运动，
设的中点为Q，连接，则当点P在上时，D，P两点间的距离最短，设交于点G，如图，
，
，
，
又，
，即，
，
故当的长为时，D，P两点间的距离最短，最短距离为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，点到圆上的最短距离，三角形相似的判定与性质，灵活运用点到圆上的最短距离，折叠的性质，是解题的关键．

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