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(共33张PPT)
5.4函数的奇偶性
年 级：高一年级 学 科：数学（苏教版）
轴对称
中心对称
对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两个方面意义重大，数学则是它的根本。
——赫尔曼·外尔
（德国数学家、物理学家）
问题1：请同学们观察函数和 的图象，你能发现这两个函数图象各有什么特征吗？
函数的图像关于轴对称
函数的图像关于原点对称
数缺形时少直观,形少数时难入微
——华罗庚
（中国科学院院士、数学家）
这启发了我们可以从数量关系角度来精准刻画这两种对称
追问：如何精准刻画函数图象的这两种对称性呢？
A
问题2：怎样用数量关系来刻画函数图象关于y轴对称这种特性？
A与A’点的坐标有什么特殊的关系呢？
A
A
A’
A与A’点的横坐标互为相反数，纵坐标相等。
问题2：怎样用数量关系来刻画函数图象关于y轴对称这种特性？
… …
… …
问题2：怎样用数量关系来刻画函数图象关于y轴对称这种特性？
发现：当自变量取一对相反数时，它们的函数值相等
思考：上述发现的结论是否具有一般性呢？
问题2：怎样用数量关系来刻画函数图象关于y轴对称这种特性？
都有
这时我们称函数 为偶函数.
根据偶函数定义可知：偶函数的图象关于y轴对称; 反之，一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.
函数 是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.
问题3：观察函数的图象，你发现这个函数图象有什么特征？
问题4：类比偶函数的研究过程，如何用数量关系来刻画函数图象关于原点对称这种特征呢？
… …
… …
发现：当自变量取一对相反数时，它们的函数值也互为相反数.
思考：上述发现的结论是否具有一般性呢？
问题4：类比偶函数的研究过程，如何用数量关系来刻画函数图像关于原点对称这种特征呢？
都有
这时我们称函数 为奇函数.
问题4：类比偶函数的研究过程，如何用数量关系来刻画函数图像关于原点对称这种特征呢？
A
A’
根据奇函数定义可知：奇函数的图象关于原点对称; 反之，一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数.
函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称
思考：如何理解奇(偶)函数定义中“任意A,都有A”这句符号语言的含义？
思考：如何理解“任意A,都有A”这句符号语言的含义？
1.说明与同在定义域中；
也说明：奇偶函数定义域是关于原点对称；
进一步说明：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.
2.说明要取遍定义域中的每一个值；
也说明：奇偶性是函数的整体性质.
3.体现了数学符号语言的简洁和严谨；
相同点 不同点
1.定义域都关于原点对称
2.奇偶性都是函数的整体性质
2.（从图象角度）偶函数的图象关于轴对称，而奇函数的图象关于原点对称.
1.(从数量关系角度）当自变量取一对相反数时，偶函数的函数值相等(即)，而奇函数的函数值是一对相反数(即).
思考：奇偶函数的相同点和不同点有哪些？
例1 判定下列函数是否为偶函数或奇函数：
解:（1）函数的定义域为R.
因为对于任意R，都有R，
且，
所以，函数为偶函数
例1 判定下列函数是否为偶函数或奇函数：
解:（2）函数的定义域为R.
因为对于任意R，都有R，
所以，函数为奇函数
且，
例1 判定下列函数是否为偶函数或奇函数：
（1）函数的定义域为R.
因为对于任意R，都有R，
且，
所以，函数为偶函数
（2）函数的定义域为R.
因为对于任意R，都有R，
所以，函数为奇函数
且，
第一步：
求定义域，并判断定义域是否关于原点对称.
第二步：
计算，判断与的关系.
第三步：
根据奇偶性的定义作结论
思考:用定义判断函数奇偶性的步骤是什么？
解:（3）函数的定义域为R.
因为对于任意R，都有R，
所以，函数为偶函数
且，
例1 判定下列函数是否为偶函数或奇函数：
解：（4）函数定义域为R.
因为，，所以
，，
因此，根据函数奇偶性定义可以知道，函数既不是奇函数，也不是偶函数.
例1 判定下列函数是否为偶函数或奇函数：
观察例1中四个函数图象，并判断函数的奇偶性.
偶函数
奇函数
偶函数
既不是奇函数，
也不是偶函数
（1）
（2）
（3）
（4）
利用图象的对称性可以快速、直观的判断函数的奇偶性
观察下面两个函数图象，并判断函数奇偶性.
既不是奇函数，
也不是偶函数
判断函数奇偶性的前提：判断函数定义域是否关于原点对称.
1
-1
既是奇函数，
也是偶函数
（2）
（1）
例2 判定函数是否具有奇偶性.
解：函数的定义域为R.
因为对于任意R，都有R，且
所以，函数为奇函数.
问题5：研究奇(偶)函数的好处是什么？
研究奇偶性好处───简化对函数的认识过程
部分
整体
函数图象
图象特征（对称性）
数量刻画
符号语言
抽象定义
1.函数奇偶性的研究方法：
奇偶性判断
课堂总结:
函数奇偶性的定义
判断(证明）
函数奇偶性的方法
图象法
定义法
1、求函数定义域，并判断函数定义域是否关于原点对称
3、根据奇偶性的定义作出结论
2、计算，并判断与的关系.
2.奇偶函数的定义和判断函数奇偶性的方法：
根据奇偶函数图象对称特征作出判断
课堂总结:
3.本节课用到的两个重要的数学思想：
①数形结合思想
②特殊与一般思想
课堂总结:
课后作业
【基础巩固】（必做）
教材118—119页练习4、5、6
【能力提升】（必做）
已知函数为奇函数且定义域为R，时，，求的解析式.
【探究发现】（选做）
函数的图象关于直线对称，你能用数量关系来刻画图象的这种对称性吗？
新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。
——华罗庚
（中国科学院院士、数学家）

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